专题06 一元二次方程（1年汇编）（江苏专用）2026年中考数学真题分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06一元二次方程 1年真题1年模拟 一年真题分类园 考点01解一元二次方程 【答案】1)8 25=1+5.5=1-5 2. 【答案】()=2+10 为2=2-10 2)-1≤x<2 3. 【答案105-3+ 53,5 2,1 2 g2r2+ x=8x2=1 【答案】 考点02根的判别式 1.A 2. 【答案】m<1 3. 116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 -1 20.5 4. 【答案】①③④ 5. 【答案】1)火箭点火后13s降落伞将打开. (②)解：火箭上升过程中，不存在经过5s恰好上升75m的情形：理由如下： 当h=75时，得-t2+26t+1=75, 整理，得2-26t+74=0, △=(-26)-4×1×74=380>0 4-26±380-13t95 故方程的两个不相等的实数根为： 2 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：0≤t≤13， :13+V95>13 ∴.t=13+V95 不在范围内，舍去： :t=13-V95<13 ∴.t=13-V95 在时间范围内， .t=13-V95≠5 故火箭上升过程中，不存在经过5s恰好上升75m的情形. 考点03配方法的应用 1. 【答案】-4-0.25 考点04一元二次方程与实际问题 216 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】该广场原来的半径为3m 一 年模拟练测 题号 2 3 ⑤ 6 6 0 10 答案 D B C A A D y C B C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B D y y C B A 21.-1 22.5 23.x2-x-2=0 24.19 25.-3 26. 27.3 28 2p+g=0且p≤-8 29.-1 30.1 31.2 32.-13 33.31 34. -5 4 35 m≥、I 4 36.15 37.1 38.m<-25或m>25 316 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 39.3 40.(x-2}=3 3 41.40.75 42.① 43. 44.2 45.300(1+x)2=432 46. m≤-5 47.1≤a≤9 48.m<4且m1 49.(1)x2-15x+54:-3x2+45x (2)3 50.(1) 3 x=2,为=2 (2) -1<x≤2 51.45个 52.2m 53.1)-3 包造释方程0.=-2+5,5=2-5（答案不唯）： 6)m+3m+10r2+3n+1）=-】 a 54.a+1,2. 416 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.4)5=-2+而.=-2-而 2)3； 3)1 56.1)150 (2)解：小亮的说法是正确的，理由如下： 设两人框的中间相同的数为x,则横着的3个数为x-1,x,x+1,竖着的3个数为x-7,x,x+7, x-1)(x-7)=112 由题意得 整理得x2-8x-105=0, 解得7 负数含去)，6=15 :15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数， .x=15不符合题意，舍去， 小亮说法正确。 57.10元 3 58.①)x=0或2=-2或x=-1 (2)t=1+V5 59.Q)AB=20m,BC=20m,围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到400m2,理由 设AE=y,则AB=2y,BC=60-6y, 2y(60-6y)=400 由题意得： 3y2-30y+100=0 整理得 .△=(-30)2-4×3×100=-300<0 方程无解， 516 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.面积不能达到400m2. 60.(1)3:2024 (2)10% 8)60x1+10%)=66 顷， 画图如下： ◆绿地面积（公顷） 66 60 56 51 48 0 20222023202420252026年份 616 专题06 一元二次方程 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 解一元二次方程 2026 淮安卷、2026 徐州卷、2026 无锡卷、2026 连云港卷 以解答计算题为主，常和实数运算、整式化简、不等式组综合放在一题内考查。可选用配方法、公式法、因式分解法解方程，侧重基础计算能力，属于基础必考题。 考点 02 根的判别式 2026 扬州卷、2026 镇江卷、2026 南通卷、2026 淮安卷、2026 盐城卷 题型覆盖选择、填空、解答。考查利用判别式判断根的情况、求参数取值范围；常和二次函数图象性质、实际应用综合，可结合代数式求值，综合性较强。 考点 03 配方法的应用 2026 连云港卷 多为填空压轴题型。不止用于解方程，还利用配方求代数式最值，结合等式变形进行代数推理，对学生代数变形能力要求较高。 考点 04 一元二次方程与实际问题 2026 常州卷 以解答大题为主，结合几何图形面积模型出题，根据面积等量关系建立一元二次方程求解，检验解的实际意义，是方程应用类常考题型。 考点01 解一元二次方程 1．（2026·江苏淮安·中考真题）计算与解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分别计算绝对值、算术平方根、零指数幂，再合并计算即可； （2）用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 解得：，． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）计算： (1)解方程； (2)解不等式组 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：, 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 3．（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：原式 ． 4．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】， 【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 考点02 根的判别式 1．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 化简得， 解得． 3．（2026·江苏南通·中考真题）关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 【答案】 / 【分析】（1）利用一元二次方程有两个相等实数根的判别式条件，代入a与b、c的关系，变形得到所求代数式的值． （2）先由系数和为0得是方程的根，结合重根条件与根与系数的关系，推导m与n的数量关系，代入代数式计算． 【详解】解：（1）一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，， ， ， ； （2）， 是方程的一个根， 方程有两个相等的实数根， 方程的两个根均为1， 根据根与系数的关系，两根之和为， ， 将，代入得， 整理得， ，为非零实数， ． 4．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 5．（2026·江苏盐城·中考真题）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 【答案】(1)火箭点火后降落伞将打开． (2)解：火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形；理由如下： 当时，得， 整理，得， ， 故方程的两个不相等的实数根为：， 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：， ， 不在范围内，舍去； ， 在时间范围内， ， 故火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形． 【分析】（1）将解析式配方，得，根据函数的性质，确定函数取得最大值条件即可； （2）令函数值等于75，建立一元二次方程，求得方程的两个根，根据方程的根，判断是否有一个根是5，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， 当时，函数取得最大值， 故火箭点火后降落伞将打开． （2）解：略． 考点03 配方法的应用 1．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 考点04 一元二次方程与实际问题 1．（2026·江苏常州·中考真题）如图，某小区有一个圆形活动广场，为丰富居民户外活动，物业向广场外围拓宽铺设宽的彩色环形塑胶跑道．改造后，含跑道的圆形活动区域的总面积为原来的4倍，求该广场原来的半径（单位：）． 【答案】该广场原来的半径为． 【分析】先找出等量关系，再列出一元二次方程，最后求解即可． 【详解】解：由题意可知，含跑道的圆形活动区域的半径为． 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：该广场原来的半径为． 1．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 2．（2026·江苏盐城·二模）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴， 将，代入上式，原式， 故选B． 3．（2026·江苏盐城·一模）随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需要与其余支球队各进行一场比赛， 又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为，因此可得方程． 4．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 5．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 6．（2026·江苏扬州·二模）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合一元二次方程有两个相等的实数根，得出根的判别式等于0，代入方程系数计算，整理即可得到所求代数式的值． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 根的判别式， 整理得． 7．（2026·江苏淮安·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 8．（2026·江苏常州·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C．， D．无实数根 【答案】C 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】∵ 移项得 提取公因式得 ∴或 解得． 9．（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 10．（2026·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可得判别式，计算后解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，二次项系数为，满足一元二次方程定义， ∴， 解得：． 11．（2026·江苏泰州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则c的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实根， ∴ 整理得， 解得． 12．（2026·江苏南通·一模）关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路是根据方程无实数根得到判别式小于0，求出k的取值范围，再确定k的最大整数值． 【详解】解：对于一元二次方程，方程无实数根时判别式． ∵原方程为 ∴，， 代入得 ∵方程没有实数根 ∴ 解不等式得 又∵k为整数 ∴k的最大值为 13．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 14．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 15．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到，，，然后通过将高次项降次后得到，然后代入求值． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∵， ∴原式 ． 16．（2026·江苏无锡·一模）某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程，解题思路是依次推出两次升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， 第二次升级后的能量密度为 ， ∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 17．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 18．（2026·江苏南通·模拟预测）若实数，满足，，则等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据立方差公式可得：，根据，可得：，设，可得：，利用完全平方公式可得：，所以可得方程，利用换元法解方程即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 设，则有， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 设， 可得：， 两边同时乘以，可得：， 整理得：， 分解因式得， 或， 不能为负数， ， 解得：， 或． 19．（2026·江苏宿迁·三模）约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“二次方值点”定义，该点满足，联立一次函数得到一元二次方程，结合“第一象限存在两个不同二次方值点”的条件，利用一元二次方程根的判别式和根的正负性求解的范围即可． 【详解】解：∵“二次方值点”满足纵坐标是横坐标的平方，即， ∴联立与， 得， 整理得， ∵函数图象在第一象限存在两个不同的“二次方值点”，说明该一元二次方程有两个不相等的正实数根， 故方程有两个不等实根， ∴， 解得， 又∵两个根均为正数（第一象限横坐标），对于该方程，两根之和，满足两根均为正数， 则还需满足两根之积大于， 两根之积， 解得， 综上，的取值范围是． 20．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】A 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 21．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 22．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 23．（2026·江苏南京·三模）写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 【答案】 【详解】解：设这个一元二次方程为， ∵这个一元二次方程的两根之和为1，两根之积为， ∴，， ∴取时，， ∴此时这个一元二次方程为（答案不唯一）． 24．（2026·江苏泰州·三模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】19 【分析】由一元二次方程的解、根与系数的关系得，，再代入即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 25．（2026·江苏扬州·模拟预测）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到与的关系式，整理得出的值，再利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 等式两边同时除以得， 可得， 所以． 26．（2026·江苏泰州·三模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，则， ∴等式两边同时乘以得，． 27．（2026·江苏盐城·三模）设方程的正根介于整数m与之间，则________． 【答案】3 【分析】先求出方程的正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：得，， 可知方程的正根为． ， ， ， 则． 28．（2026·江苏苏州·二模）某长方形的长和宽分别等于关于的一元二次方程的两根，若该长方形的周长和面积的数值相等，则，的关系为______． 【答案】 且 【分析】设，是关于x的一元二次方程的两正实数根，利用根与系数的关系，可得出，,结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系． 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积的数值相等， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得，或，解得， ∵，即， ∴， ∴且． 29．（2026·江苏南京·二模）已知方程（a，b为常数，）的两根之和等于两根之积，则b的值为________． 【答案】 【分析】根据题意得到方程两根之和与两根之积的表达式，再结合题干给出的等量关系列等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 两根之和为，两根之积为， 根据题意，两根之和等于两根之积，可得： ， ，等式两边同乘得： ， ∴ ． 30．（2026·江苏南京·二模）若关于的方程的两个根为，，且，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数关系得到，，再根据已知列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的两个根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得，此时，满足方程有两个根的条件， 故． 31．（2026·江苏泰州·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则m的值为__________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和关于的表达式，再结合已知条件列方程求解，最后验证方程有两个实数根即可． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，根据根与系数的关系可得 已知， 因此 移项得 系数化为得 当时，原方程的判别式，满足方程有两个实数根的条件． 32．（2026·江苏泰州·二模）设关于的方程的两根分别是、，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关于的一元二次方程的两个根，满足，，根据该关系得到和，代入所求代数式化简计算即可得到结果． 【详解】解：方程的两根分别是，， 由根与系数的关系可得，， 将和代入所求代数式得． 33．（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【分析】由已知条件可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． 34．（2026·江苏南京·二模）设，是一元二次方程的两个根，若，，则______，______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积与方程系数,的关系，代入已知条件求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，， ，， ，解得；． 35．（2026·江苏徐州·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， 解得：， 故答案为：. 36．（2026·江苏苏州·三模）如图，在沙漠中有一条东西向的公路，一个人在公路上点的位置，要走到沙漠中的目的地，已知地到公路的距离，，且人在公路上走的速度为，在沙漠里走的速度为，则此人从走到的最短时间是______h． 【答案】 【分析】假设从上点处开始从公路进入沙漠，连接，设，此人从走到的时间，则，整理得， 两边平方整理得，再根据求出即可求解． 【详解】解：假设从上点处开始从公路进入沙漠，连接，设，此人从走到的时间， ∴走公路的路程为，走沙漠的路程为， ∵人在公路上走的速度为，在沙漠里走的速度为， ∴， 整理得， 两边平方得， 整理得， ∵关于的方程有解， ∴， 整理得， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， 解得， ∴最小， 此时代入方程得，整理得，解得，符合题意， ∴此人从走到的最短时间是． 37．（2026·江苏连云港·三模）已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____． 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系得到两条对角线的乘积，再代入面积公式计算即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线的长分别为， 是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系可得， 菱形的面积． 38．（2026·江苏扬州·二模）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于x轴的对称点都在一次函数的图象上，则m的取值范围是_________． 【答案】或 【分析】根据轴对称性质得到对称点坐标，代入一次函数整理得到一元二次方程，利用判别式大于求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：依题意，设反比例函数的图象上一点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为， 依题意，点在一次函数的图象上， ，两边同乘整理得， 则此方程有两个不相等的实数根，即， 解得或. 39．（2026·江苏连云港·二模）将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 【答案】3 【分析】先根据二次函数图像平移的上加下减规律，得到平移后抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴只有1个公共点，可得一元二次方程根的判别式，据此列方程即可求解m的值． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度后，得到的抛物线解析式为， 平移后抛物线与轴有个公共点， ，即， 整理得，， 解得， 故答案为：． 40．（2026·江苏扬州·二模）用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【答案】 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 41．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 42．（2026·江苏扬州·二模）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．下列三个函数的图象上存在2个“单位圆点”的是________（填序号）； ①；   ②；   ③． 【答案】① 【分析】若点是“单位圆点”，则满足．要判断函数图象上“单位圆点”的个数，联立函数解析式与，根据方程实数解的个数判断即可． 【详解】解：根据定义，“单位圆点”满足，分别对三个函数判断如下： 联立 将代入，整理得， ，此方程有两个不相等的实数解，即函数的图象上存在2个“单位圆点”． 联立 将代入，整理得，令，方程变形为，此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立 将代入，整理得 因式分解得 解得或或，共三个不同实数解，即函数的图象上存在3个“单位圆点”． 综上，存在2个“单位圆点”的是． 43．（2026·江苏南京·一模）设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 【答案】 【分析】对于给定的一元二次方程，先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入已知等式计算得到的值． 【详解】解：∵，是方程的两个根 根据根与系数的关系，得， 将，代入得： 解得：． 44．（2026·江苏泰州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数a、b，都有．例如：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【分析】先根据定义将转化为关于x的一元二次方程，其有两个相等的实数根，得出，即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴， 即关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴． 45．（2026·江苏泰州·一模）某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】根据 二月份的营业额为万元，月均增长率为，得到 三月份的营业额为万元，四月份的营业额为万元，结合 四月份的营业额为万元，即可列得方程． 【详解】解：根据题意， 可列方程为． 46．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将两个函数图象至少有一个交点的问题，转化为联立两个函数解析式得到的一元二次方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式的性质求解即可. 【详解】解：联立两个函数的解析式得 ， 整理，得， ∵两个图象至少有一个交点， ∴该一元二次方程有实数根， ∴， 解得. 47．（2026·江苏宿迁·二模）实数a，b，c满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，由得到，进而得到，则b和c可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴b和c可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ∴， 整理得， ∴， 解得． 48．（2026·江苏南通·一模）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】由，以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：且， 综上，的取值范围是且． 49．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出种菜区的面积，用总面积减去种菜区的面积求出休闲区的面积，再乘以休闲区每平米的储水量，求出接水量； （2）根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，种菜区的面积为； 休闲区能接的雨水量为； （2）解：由题意，， 解得，（不合题意，舍去）； 故的值为3. 50．（2026·江苏徐州·三模）解方程、解不等式组 (1)解方程 (2)解不等式组． 【答案】(1) ， (2) 【详解】（1）解： 或 ∴， （2）解：解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 51．（2026·江苏泰州·二模）为备战2026靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的团购优惠方案如下：若购买数量不超过30个，则每个足球的售价为180元；若购买数量超过30个，则每增加1个，每个足球的售价降低2元，但每个足球的售价不得低于120元．若该足球队共花费6750元购买该品牌足球，求该足球队购买足球的数量． 【答案】45个 【分析】设该足球队购买了x个足球，先判断，然后根据总花费6750元，列出方程，解方程，然后根据每个足球的售价不得低于120元，再进行判断即可． 【详解】解：设该足球队购买了x个足球， 若购买30个，总价为（元）， ∵， ∴， 则， 整理得：， ∴，，                                       当时，单价为（元），，不符合题意，舍去； 当时，单价为（元），，符合题意． 答：该足球队购买了45个足球． 52．（2026·江苏泰州·二模）如图所示，在一块长是、宽的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 【答案】 【分析】设两个花圃之间的草坪的宽度为，则两个花圃可合成长为，宽为的矩形，根据花圃总面积为矩形空地面积的一半，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两个花圃之间的草坪的宽度为， 由题意得：， 解得，． 当时，，应舍去． ∴． 答：两个花圃之间的草坪的宽度为． 53．（2026·江苏·三模）一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【答案】(1) (2)选择方程①，，（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． 【详解】（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 54．（2026·江苏苏州·二模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，． 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再解一元二次方程得到的可能取值，根据分式有意义的条件排除使分母为零的，最后代入化简式计算即可得到结果． 【详解】解： 解方程得， ∵原分式有意义时分母不能为， ∴， ∵是方程的解 ∴ 将代入得：原式． 55．（2026·江苏南通·模拟预测）按要求完成作答： (1)解方程：； (2)计算：； (3)已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）分别计算立方根、绝对值、乘方，再合并计算； （3）根据完全平方公式和单项式乘多项式法则对代数式进行化简，再结合方程根的定义求出的值，最后代入化简后的代数式进行变形求值． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ ∴，． （2）解： ． （3）解： ∵m是方程的根， ∴，即， ． 56．（2026·江苏无锡·二模）如图为某年月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：小亮的说法是正确的，理由如下： 设两人框的中间相同的数为，则横着的个数为，竖着的个数为， 由题意得， 整理得 ，     解得（负数舍去），， ∵在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数， ∴不符合题意，舍去， ∴小亮说法正确． 【分析】（）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出个数，求和即可； （）设两人框的中间相同的数为，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出个数为，小亮框出个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）略 57．（2026·江苏常州·一模）常州梳篦是国家级非物质文化遗产之一，被誉为宫梳名篦，深受广大游客的喜爱．某商店销售一批梳篦，每把梳篦的成本为60元，若按每把85元的售价销售，则每周可卖100把．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每把梳篦的售价每降低1元，每周便能多卖10把．要使每周总利润为3000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将梳篦的单价降多少元？ 【答案】10元 【分析】本题是一元二次方程的利润实际应用问题，解题思路是：设降价金额为元，根据单把利润销售量总利润列方程，求解后结合不亏本和尽可能给顾客优惠的条件确定最终解． 【详解】解：设该商店应将梳篦的单价降元．根据题意列方程： ， 整理得： 解得 由不亏本的条件得， 解得， 结合尽可能给顾客优惠，选择降价更多的解， ∴， 答：该商店应将梳篦的单价降10元． 58．（2026·江苏泰州·一模）【材料阅读】 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程． 如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根． 再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解． 【学以致用】 (1)求方程的根； (2)求方程的根． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】根据转化的新思路，（1）将方程转化为一元二次方程即可求解；（2）将方程两边平方后转化为一元二次方程求解，并检验增根． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴或， 即或， 即或或， 解得或或． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴， 经检验：是原方程的解，是增根， ∴． 59．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，理由 设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）略 60．（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）． (1)根据图中所提供的信息，填空：2023年比2022年增加了__________公顷，在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年； (2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率； (3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图． 【答案】(1)3；2024 (2) (3)公顷， 画图如下： 【分析】（1）用2023年的绿地面积减去2022年的绿地面积可得第一空的答案；求出2024年和2025年这两年的绿地面积的增加量，比较即可得到第二空的答案； （2）设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，再根据2025年和2027年这两年的绿地面积建立方程求解即可； （3）根据（2）所求求出2026年的绿地面积，再画图即可． 【详解】（1）解：公顷， ∴2023年比2022年增加了3公顷； ∵公顷，公顷，且， ∴在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是2024年； （2）解：设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年（）绿地面积的年平均增长率为； （3）略 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 解一元二次方程 2026 淮安卷、2026 徐州卷、2026 无锡卷、2026 连云港卷 以解答计算题为主，常和实数运算、整式化简、不等式组综合放在一题内考查。可选用配方法、公式法、因式分解法解方程，侧重基础计算能力，属于基础必考题。 考点 02 根的判别式 2026 扬州卷、2026 镇江卷、2026 南通卷、2026 淮安卷、2026 盐城卷 题型覆盖选择、填空、解答。考查利用判别式判断根的情况、求参数取值范围；常和二次函数图象性质、实际应用综合，可结合代数式求值，综合性较强。 考点 03 配方法的应用 2026 连云港卷 多为填空压轴题型。不止用于解方程，还利用配方求代数式最值，结合等式变形进行代数推理，对学生代数变形能力要求较高。 考点 04 一元二次方程与实际问题 2026 常州卷 以解答大题为主，结合几何图形面积模型出题，根据面积等量关系建立一元二次方程求解，检验解的实际意义，是方程应用类常考题型。 考点01 解一元二次方程 1．（2026·江苏淮安·中考真题）计算与解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）计算： (1)解方程； (2)解不等式组 3．（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： (1)解方程：； (2)计算：． 4．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 考点02 根的判别式 1．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．（2026·江苏镇江·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 3．（2026·江苏南通·中考真题）关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 4．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 5．（2026·江苏盐城·中考真题）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 考点03 配方法的应用 1．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 考点04 一元二次方程与实际问题 1．（2026·江苏常州·中考真题）如图，某小区有一个圆形活动广场，为丰富居民户外活动，物业向广场外围拓宽铺设宽的彩色环形塑胶跑道．改造后，含跑道的圆形活动区域的总面积为原来的4倍，求该广场原来的半径（单位：）． 1．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 2．（2026·江苏盐城·二模）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏盐城·一模）随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 5．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 6．（2026·江苏扬州·二模）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2026·江苏淮安·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 8．（2026·江苏常州·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C．， D．无实数根 9．（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 11．（2026·江苏泰州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则c的值为（   ） A． B．4 C． D．2 12．（2026·江苏南通·一模）关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（   ） A．1 B．0 C． D． 13．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 14．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 15．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 16．（2026·江苏无锡·一模）某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·江苏南通·模拟预测）若实数，满足，，则等于（   ） A． B． C．或 D．或 19．（2026·江苏宿迁·三模）约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 21．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 22．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则=________． 23．（2026·江苏南京·三模）写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 24．（2026·江苏泰州·三模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 25．（2026·江苏扬州·模拟预测）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 26．（2026·江苏泰州·三模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 27．（2026·江苏盐城·三模）设方程的正根介于整数m与之间，则________． 28．（2026·江苏苏州·二模）某长方形的长和宽分别等于关于的一元二次方程的两根，若该长方形的周长和面积的数值相等，则，的关系为______． 29．（2026·江苏南京·二模）已知方程（a，b为常数，）的两根之和等于两根之积，则b的值为________． 30．（2026·江苏南京·二模）若关于的方程的两个根为，，且，则______． 31．（2026·江苏泰州·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则m的值为__________． 32．（2026·江苏泰州·二模）设关于的方程的两根分别是、，则代数式的值为_______． 33．（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． 34．（2026·江苏南京·二模）设，是一元二次方程的两个根，若，，则______，______． 35．（2026·江苏徐州·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 36．（2026·江苏苏州·三模）如图，在沙漠中有一条东西向的公路，一个人在公路上点的位置，要走到沙漠中的目的地，已知地到公路的距离，，且人在公路上走的速度为，在沙漠里走的速度为，则此人从走到的最短时间是______h． 37．（2026·江苏连云港·三模）已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____． 38．（2026·江苏扬州·二模）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于x轴的对称点都在一次函数的图象上，则m的取值范围是_________． 39．（2026·江苏连云港·二模）将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 40．（2026·江苏扬州·二模）用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 41．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 42．（2026·江苏扬州·二模）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．下列三个函数的图象上存在2个“单位圆点”的是________（填序号）； ①；   ②；   ③． 43．（2026·江苏南京·一模）设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 44．（2026·江苏泰州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数a、b，都有．例如：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 45．（2026·江苏泰州·一模）某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 46．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 47．（2026·江苏宿迁·二模）实数a，b，c满足，则的取值范围是__________． 48．（2026·江苏南通·一模）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 49．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 50．（2026·江苏徐州·三模）解方程、解不等式组 (1)解方程 (2)解不等式组． 51．（2026·江苏泰州·二模）为备战2026靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的团购优惠方案如下：若购买数量不超过30个，则每个足球的售价为180元；若购买数量超过30个，则每增加1个，每个足球的售价降低2元，但每个足球的售价不得低于120元．若该足球队共花费6750元购买该品牌足球，求该足球队购买足球的数量． 52．（2026·江苏泰州·二模）如图所示，在一块长是、宽的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 53．（2026·江苏·三模）一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 54．（2026·江苏苏州·二模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 55．（2026·江苏南通·模拟预测）按要求完成作答： (1)解方程：； (2)计算：； (3)已知m是方程的根，求代数式的值． 56．（2026·江苏无锡·二模）如图为某年月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 57．（2026·江苏常州·一模）常州梳篦是国家级非物质文化遗产之一，被誉为宫梳名篦，深受广大游客的喜爱．某商店销售一批梳篦，每把梳篦的成本为60元，若按每把85元的售价销售，则每周可卖100把．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每把梳篦的售价每降低1元，每周便能多卖10把．要使每周总利润为3000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将梳篦的单价降多少元？ 58．（2026·江苏泰州·一模）【材料阅读】 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程． 如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根． 再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解． 【学以致用】 (1)求方程的根； (2)求方程的根． 59．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 60．（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）． (1)根据图中所提供的信息，填空：2023年比2022年增加了__________公顷，在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年； (2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率； (3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $