专题05 一元一次方程与二元一次方程（1年汇编）（江苏专用）2026年中考数学真题分类汇编

专题03 一元一次方程与二元一次方程 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 一元一次方程与实际问题 2026 南通卷、2026 宿迁卷、2026 镇江卷、2026 连云港卷 题型包含选择、填空、解答。常以《孙子算经》等古代数学文化、商品打折销售、物资采购、田地分配为背景，考查列一元一次方程解决实际问题，还可与统计加权平均数综合出题，属于基础应用题。 考点 02 解二元一次方程组 2026 南通卷、2026 宿迁卷 以计算类题型为主，包含实数运算、二元一次方程组求解；设置新定义明文密文模型，根据等量关系建立方程组求参数并求值，以基础计算为主，是中考基础必考题。 考点 03 二元一次方程组与实际问题 2026 无锡卷、2026 苏州卷、2026 盐城卷、2026 扬州卷、2026 淮安卷 题型覆盖选择、填空、解答。常选用《九章算术》古算题、游乐园购票方案等现实情境，考查读取题干信息、提取等量关系列方程组，解答题最后一问常搭配最优方案选择问题。 考点01 一元一次方程与实际问题 1．（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 【答案】 【分析】根据服装进价不变的等量关系，设标价为元，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每件服装的标价是元，根据题意，得 ， 解得：， 即每件服装的标价是元． 3．（2026·江苏镇江·中考真题）1942年，新四军在我市创办了敌后第一家银行——惠农银行．其发行的“惠农币”作为苏南根据地早期的货币，为以茅山地区为中心的苏南抗日根据地的巩固和发展作出了一定贡献．用1元、5元、10元三种面额的“惠农币”16张，共计58元购买一批物资，其中5元面额的纸币张数是10元面额纸币张数的3倍，求10元面额的纸币张数． 【答案】10元面额的纸币张数为2张 【分析】设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为，再根据等量关系“共58元”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为， 由题意可得：， ， ， ， ． 答：10元面额的纸币张数为2张． 4．（2026·江苏连云港·中考真题）某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． (1)求好田、坏田各买了多少亩？ (2)现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 【答案】(1)好田买了亩，坏田买了亩 (2)好田的平均亩产量是 【分析】（1）设好田有x亩，则坏田有亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设好田有x亩，则坏田有亩． 根据题意，得． 解这个方程，得．． 答：好田买了亩，坏田买了亩． （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是． 根据题意，得． 解方程，得． 经检验，是所列方程的解．所以有． 答：好田的平均亩产量是． 5．（2026·江苏盐城·中考真题）小明在某外卖平台挑选食品时发现，A，B两个商家的食品总体评分都是星．为了选择，他整理了两个商家近期顾客评价情况的相关数据，并绘制成如下统计图表． 顾客对食品的评分情况统计表 商家 总体评分（单位：星） 分项评分（单位：星） 口味 包装 配送 A B (1)①在商家A食品“口味”的评分中，“5星”好评所占的百分比是__________； ②在商家B食品“口味”的评分中，众数是__________星． (2)总体评分是由口味、包装、配送的评分按计算得到的．小明由此算出商家A食品“配送”的评分为星，请计算商家B食品“配送”的评分． (3)根据提供的信息，你建议小明选择哪个商家？说说你的想法． 【答案】(1)；5 (2)商家B食品“配送”的评分为星 (3)解：建议选择商家A，理由如下： 食品的核心是口味，商家A的口味评分（星）高于商家B（星）；且商家A的低星评价（1星、2星）占比极低，好评更集中，口味体验更稳定，因此更推荐选择商家A． 【分析】（1）①先求出商家A“口味”评分的总人数，进而即可得解；②从扇形统计图获取信息即可； （2）设商家B食品“配送”的评分为星，再根据题意列出方程并求解即可； （3）理由合理即可． 【详解】（1）解：①由题意得，商家A“口味”评分的总人数为：， ∴“星”好评所占百分比为：； ②商家B的口味评分中，星占比，占比最高， ∴众数是星； （2）解：设商家B食品“配送”的评分为星， ∵总体评分是由口味、包装、配送的评分按计算得到的， ∴ ， 解得； （3）略 考点02 解二元一次方程组 1．（2026·江苏南通·中考真题）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】根据实数的运算法则可求解第一问，根据解方程组的步骤可求解第二问． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 已知，则 ，将代入中，解得， 再代入中，解得． ∴方程组的解是：. 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 (1)求a，b的值； (2)求密文的明文． 【答案】(1) 的值为，的值为 (2) 密文的明文为 【分析】（1）代入两组明文与密文的对应值，列二元一次方程组求解a，b； （2）将a，b与密文的x，y代入公式计算明文． 【详解】（1）解：由题意，将两组对应值代入， 得 解这个方程组，得； （2）由（1）得， 将代入，得 ， 所以密文的明文为1． 考点03二元一次方程组与实际问题 1．（2026·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可． 【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两 ∵5只雀和6只燕总重1斤，且1斤=16两， ∴可得方程 将1只雀和1只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4只雀加1只燕，另一边为5只燕加1只雀， ∴可得方程 , 因此可列方程组为． 3．（2026·江苏盐城·中考真题）小明在阅读《九章算术》时看到一个问题，大意为：只麻雀、只燕子放在天平上，麻雀一端重，燕子一端轻．麻雀、燕子从两端各交换只，天平就平衡了．已知所有的麻雀和燕子总重斤（“斤”为古代计量单位）．问：麻雀、燕子每只重多少斤？设一只麻雀重斤，一只燕子重斤．请列出符合题意的二元一次方程组：_______________． 【答案】 【分析】提取题干中的两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：∵所有麻雀和燕子总重为1斤，一只麻雀重斤，一只燕子重斤，共只麻雀与只燕子 ， ∴第一个方程为 ， ∵交换只后，麻雀侧变为只麻雀加只燕子，燕子侧变为只燕子加只麻雀，此时天平平衡，两侧重量相等， ∴第二个方程为 ， ∴方程组为． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y， 根据题意：． 5．（2026·江苏淮安·中考真题）某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 【答案】(1)该团成人有4人，儿童有3人 (2)最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 【分析】（1）设该团队成人有x人，儿童有y人，根据题意列方程组去求解即可； （2）根据成人有4人，儿童有3人，结合票务信息制定不同方案，分别求出所需费用，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：设该团队成人有x人，儿童有y人， 根据题意，得 解得 答：该团队成人有4人，儿童有3人； （2）解：方案一：按照A方案购票，则所需费用为1190元； 方案二：购买两个B套票，一个儿童票，则所需费用为（元）； 方案三：购买一个B套票，两个C套票，则所需费用为（元）； 方案四：购买四个C套票，则所需费用为（元）； ∵， ∴按照方案三购票最省钱， 答：最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元． 1．（2026·江苏盐城·三模）我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（     ） A．1 B．- C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据左侧三角形求出每个小三角形的三个顶点上的数字之和，再依次求出的值，最后求和即可． 【详解】解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2026·江苏淮安·模拟预测）有酒精含量为的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为的溶液，如果再稀释到，那么还需要加水的数量是上次加的水的（     ）倍． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在稀释酒精含量过程中，酒精质量始终不变． 【详解】解：设有克含量为的酒精，第一次加了克的水后稀释成浓度为的酒精， ， ， ， ， 设有克含量为的酒精，第二次加了克的水后稀释成浓度为的酒精， ， ， ， ， ． 答：还需要加的水量是上次加的水的倍． 3．（2026·江苏泰州·二模）若，则下列等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，根据等式的基本性质变形，结合特殊值法即可判断各选项是否一定成立． 【详解】∵ ， ∴ ， A选项，取，，满足，但，因此A不一定成立； B选项，代入，得，仅当时等式成立，因此B不一定成立； C选项，将等式两边同时乘，得 ，因此选项C一定成立； D选项，代入，得，仅当时，因此D不一定成立． 4．（2026·江苏盐城·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用鹿的总数量不变，根据两种分鹿情况分别表示出鹿的总数，列出等式即可求解． 【详解】解：∵设有客人，鹿的总数量不变 每人分只多只，可得鹿的总数量为 每人分只少只，可得鹿的总数量为 ∴根据鹿的总数相等，可列方程 5．（2026·江苏连云港·二模）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2人一组，每组5个杏，则少10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用牧童总人数不变的等量关系，分别根据两种分杏情况表示出总人数，即可列出正确方程． 【详解】解：设杏有个，两种分法的牧童总人数相等． ∵第一种分法中，2人一组，每组5个杏，少10个杏， ∴满足分组共需要个杏，组数为，总人数为． ∵第二种分法中，4人一组，每组8个杏，多2个杏， ∴实际分掉个杏，组数为，总人数为． ∵总人数相等，因此可得方程． 6．（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 7．（2026·江苏南通·一模）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过天相遇，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总路程看作单位1，根据相遇时野鸭飞行路程与大雁飞行路程之和等于总路程列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1，经过天相遇， ∵野鸭飞完全程需要7天，． ∴野鸭每天飞行的路程为，天的飞行路程为， ∵大雁飞完全程需要9天， ∴大雁每天飞行的路程为，天的飞行路程为， 相遇时两者飞行路程和等于总路程， ∴可列方程 8．（2026·江苏盐城·一模）小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两段跑步的总时间等于总用时建立方程. 【详解】解：∵设小明以米/秒的速度跑了米，总路程为米， ∴剩下的路程为米， ∴以米/秒跑米的时间为秒，以米/秒跑剩下路程的时间为秒， ∵总用时为分钟，需统一单位为秒，即总时间为秒， ∴根据总时间的等量关系可列方程. 9．（2026·江苏无锡·一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长安到齐国的总路程看作单位1，根据题意得到甲乙各自的行走时间和日行程，利用甲的行程加乙的行程等于总路程的等量关系列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1， ∵甲走完全程需要5日， ∴甲每日的行程为， 甲走了日， ∴甲的总行程为， ∵乙走完全程需要7日， ∴乙每日的行程为， 又∵乙先出发2日，甲出发日后相逢， ∴乙一共行走了日， ∴乙的总行程为， ∵甲、乙两人的行程和等于总路程1， ∴可得方程 ． 10．（2026·江苏无锡·一模）2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出胜场和平场的总场次，再根据积分规则列出方程即可； 【详解】解：∵该队共进行15场比赛，负了5场， ∴胜场和平场的总场次为场， ∵设胜了场， ∴平的场次为场， 又∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为24分， ∴总得分等于胜场得分加平场得分，可列方程：． 11．（2026·江苏无锡·一模）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十一日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】追及时快马走的总路程等于慢马走的总路程，根据路程公式即可列方程． 【详解】解：∵快马每天走230里， ∴快马走的总路程为里， ∵慢马每天走140里，且先走11天， ∴慢马一共走了天，总路程为， 追及时两马路程相等，因此可得方程． 12．（2026·江苏无锡·模拟预测）年月日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长公里，测试列车以的速度跑完全程，比预定时间快了分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长，普通高铁以的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（   ） A．磁悬浮试验线的全长为公里 B．磁悬浮试验线的预定运行时间为分钟 C．传统高铁线路的运行时间为分钟 D．测试列车实际运行时间为分钟 【答案】A 【分析】设预定运行时间为小时，根据题意列方程求出，进而求出磁悬浮试验线的全长、传统高铁线路的运行时间及测试列车实际运行时间即可判断求解． 【详解】解：设预定运行时间为小时， ∵测试列车跑完全程比预定时间快分钟， ∴， 整理得， ①， ∵传统高铁线路长为公里，跑完比预定时间多分钟， ∴， 整理得，② 联立①②，得， 解得小时，即预定运行时间为分钟， 代入①，得 公里，即磁悬浮试验线全长公里， 测试列车实际运行时间为 分钟， 传统高铁运行时间为 分钟， ∴正确，错误． 13．（2026·江苏无锡·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 14．（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意，杏的总数在两种分组方式下相等，由此列出方程，即可作答． 【详解】解：∵人一组，每组个杏，则多个杏，设牧童人， ∴杏的总数：； ∵人一组，每组个杏，则多个杏． ∴杏的总数：； ∵杏的总数不变， ∴， 故选：C． 15．（2026·江苏无锡·二模）活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3人或4人，则分组方案一共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题是二元一次方程的实际应用问题，解题思路是根据总人数列出方程，结合分组数为非负整数，找出所有符合条件的分组方案即可． 【详解】解：设3人组有组，4人组有组，其中均为非负整数， 根据题意得 ， 变形得 ， 和互质， 必为的倍数， 又 ， ， 因此的可取非负整数值为，，， ，对应的值分别为，，， ，均符合要求， 分组方案一共有种，故选C． 16．（2026·江苏连云港·二模）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等，走路快的人走步和走路慢的人走步用的时间相等，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设走路快的人走步追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步． 根据题意得． 17．（2026·江苏南通·一模）我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出1间客房．设该店有客房x间、房客y人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出题目中的两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】解：设该店有客房间、房客人 ∵ 每间客房住7人时，有7人无房可住，总人数等于住满房间的人数加无房的7人， ∴ ∵ 每间客房住9人时，空出1间客房，即实际住了间房，总人数等于9乘实际使用的房间数， ∴ ，整理得 ． ∴可得方程组． 18．（2026·江苏无锡·一模）明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题干中提取两个等量关系，依次列方程即可得到结果． 【详解】解：设肉元/斤，鱼元/斤，根据题意得， ． 19．（2026·江苏扬州·三模）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，属于古代问题，由题意，根据等量关系：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，列出方程组即可． 【详解】解：苦果有x个，甜果有y个， 则根据九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，得方程； 根据四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，得方程； 故得方程组：； 故选：D． 20．（2026·江苏盐城·三模）《九章算术》中记载一个这样的问题“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”如果设雀重x两，燕重y两，根据题意列出方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，设雀重x两，燕重y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【详解】解：设雀重x两，燕重y两， 由题意得，． 故选：D． 21．（2026·江苏扬州·二模）已知实数，，满足，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，平方的非负性的应用及解二元一次方程组，熟练掌握不等式性质是解题的关键．由题意得，可求，则，可求，进而可得． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴， 解得:， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 22．（2026·江苏南京·二模）把一些糖果分给学生，如果每名学生分5颗糖果，那么多3颗糖果；如果每名学生分6颗糖果，那么最后一名学生只有4颗糖果．设一共有名学生，颗糖果，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 根据“如果每名学生分5颗糖果，那么多3颗糖果；如果每名学生分6颗糖果，那么最后一名学生只有4颗糖果”列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得，即． 故选B． 23．（2026·江苏·一模）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米， 由题意可得：， 故选：B． 24．（2026·江苏淮安·模拟预测）一盘草莓约20个左右，几位小朋友分．若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个．这盘草莓有___个． 【答案】17 【分析】设有个草莓，根据小朋友的人数不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设有个草莓， 依题意，得：， 解得． 25．（2026·江苏淮安·模拟预测）甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射击10发．结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中____发、乙命中____发． 【答案】 8 6 【分析】设甲命中x发，则乙命中发，根据“结算分数时，甲比乙多10分”列出一元一次方程求解． 【详解】解：设甲命中x发，则乙命中发， 根据题意得， 解得 答：甲中8发，乙中6发． 26．（2026·江苏盐城·二模）若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． 27．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 28．（2026·江苏南京·二模）实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】③④ 【分析】先根据变形得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再根据已知绝对值的大小关系判断，的符号关系，分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故④正确； 且， ∵， ∴等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． ∵， 假设，异号，则， ∵， ∴， ∴，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，，必为同号，故②错误． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时； 当时，，，此时， 因此不一定成立，故①错误． 综上，正确结论的序号是③④． 29．（2026·江苏常州·一模）若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 30．（2026·江苏南京·一模）甲纸条长为，乙纸条长为．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，恰好形成总长为的纸条，则________． 【答案】88 【分析】由题意可知：重叠部分为，设重叠部分的长度为，则，，根据重叠后的总长度为为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴． 31．（2026·江苏泰州·模拟预测）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据参赛总场数用表示出负场的场数．再根据总得分等于胜场得分与负场得分的和列出方程． 【详解】解：设该队胜了场，则负了场， 胜场得分为分，负场得分为分， 故可列方程为． 32．（2026·江苏宿迁·一模）已知点P的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点P为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点M在第_______________象限 【答案】一 【分析】根据“和谐点”的定义列出关于的一元一次方程，求解得到的值，进而得到点的横纵坐标，根据象限的定义判断点所在象限即可． 【详解】解：∵点是“和谐点”， ∴ 解得， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵第一象限内点的横纵坐标均为正， ∴点在第一象限． 33．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 【答案】140 【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 弧的长为，弧的长为， ，， ，即． ， ， 解得， ， 该砖雕的面积为 ． 34．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 【答案】6 【分析】将题干图补全为一个大长方形，由于是这个长方形的对角线，这条对角线把长方形分成了两个相同的直角三角形，不难看出，左下角补的两个长方形的面积等于右上角补的长方形的面积，设小长方形的长为x，进而列方程求解即可. 【详解】解：如图， 设小长方形的长为x． ， ， ， ， ， ， 答：小长方形的长是6． 35．（2026·江苏南京·三模）方程组的解为__________． 【答案】 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 36．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都相等，则的值是____． 【答案】 【分析】先根据题意可得，，进而可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都相等， ∴，， ∴，， ∴． 37．（2026·江苏南京·二模）如图，一块长为，宽为的长方形铁皮，按如图所示的方式裁剪折叠，做成一个底面为正六边形且侧面为长方形的无盖铁皮箱，则铁皮箱底面的边长为______． 【答案】 【分析】设铁皮箱底面正六边形的边长为，侧面长方形的高为．根据正六边形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理并结合图形列出关于x、h的方程组求解即可． 【详解】解：设铁皮箱底面正六边形的边长为，侧面长方形的高为,则, 如图：连接，并延长交边沿于E，G， ∵正六边形， ∴，是正六边形的对称轴，点A和B关于对称，， ∴， ∴， ∵， ∵,， ∴ ∴， ∴，， ∴长方形的长：； 长方形的宽：， 联立：，解得：， ∴铁皮箱底面的边长为． 38．（2026·江苏盐城·二模）有一种明码为自然数的密码产生法，原理是：对于多项式因式分解的结果，若取，作为明码，则各个因式的值是：，，，把这些值从大到小排列得到128160，于是就可以把“128160”作为一个六位数的密码．那么，对于多项式，若给定明码x，y的值，所产生的密码为201510，请写出明码_________． 【答案】 【分析】先对多项式进行因式分解，再根据密码生成规则，结合因式值的大小关系列出方程组，解方程组即可得到明码． 【详解】解：， ∵x，y为自然数， ∴， 根据密码生成规则，可知三个因式的值从大到小为20，15，10， ∴， 解得． 39．（2026·江苏盐城·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”大意是：优质酒（醇酒）1斗价值50钱，普通酒（行酒）1斗价值10钱．现用30钱，共买到2斗酒．问醇酒、行酒各买了多少斗？根据题意可知，醇酒买了______斗． 【答案】 【分析】可以设醇酒买斗，则行酒买斗，根据题意列出二元一次方程组求解即可．本题考查二元一次方程组的应用，根据题意等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买斗，则行酒买斗． 由题意得，， 由①得， 把③代入②得， 解，得， 把代入③得， 所以原方程组解为， 所以醇酒买了斗． 40．（2026·江苏苏州·一模）已知方程组，则_________． 【答案】5 【详解】解： 得，， 整理得， 得，， 整理得， ． 41．（2026·江苏泰州·一模）一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为_____． 【答案】1 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图1和2列出方程组得：， 得， 解得：， 所以小正方形的边长为． 42．（2026·江苏泰州·一模）若二元一次方程组的解为，则的值为____． 【答案】 【分析】先由二元一次方程组解的定义得到关于的二元一次方程组，两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：二元一次方程组的解为， ， 则①②得， ． 43．（2026·江苏南通·二模）某苹果种植基地去年销售A、B型号的苹果，实际销售总收入比计划多1万元．今年改进种植技术，苹果的品质、产量都有提升．基地准备在去年实际售价的基础上，将A、B型号的苹果每千克都提高元（）销售，有两种销售方式，相关信息如下． 去年销售情况 型号 总销量（万kg） 计划销售单价（元/kg） 实际销售单价（元/kg） A 4 B 3 今年销售方式 ①A、B型号的苹果均卖出万kg； ②A、B型号的苹果均卖出万元． (1)求的值； (2)试探究今年两种销售方式哪种平均单价高． 【答案】(1)10 (2)销售方式一的平均单价高， 理由：当时，，， 即去年A、B型号苹果的实际销售单价分别为8元/千克、13元/千克； 方案一的平均单价为：元/千克； 方案二的平均单价为：元/千克， ， 所以销售方式一的平均单价高． 【分析】（1）根据实际总收入比计划总收入多1万元，列方程求解，计划总收入：A，B，合计万元；实际总收入：万元，列方程求解； （2）先求出去年A、B实际售价，再分别列式表示两种方式的平均单价，作差比较大小． 【详解】（1）解：由题意，得． 解得． （2）略 44．（2026·江苏淮安·模拟预测）求未知数． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)4 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． 45．（2026·江苏连云港·二模）为美化城市环境，园林局准备购买甲、乙两种不同的树苗共2000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株多15元，若购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元． (1)求购买一株甲树苗和一株乙树苗分别需要多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和，请问：应如何购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于且购买树苗的总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元 (2)购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元 【分析】（1）设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元，根据“购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元”列出一元一次方程求解； （2）设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株，根据“购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于”列出一元一次不等式，求出的取值范围，设购买这批树苗的费用为元，用含的代数式表示出，再根据一次函数的性质求最小值． 【详解】（1）解：设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元； （2）解：设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株， ， 解得：， 设购买这批树苗的费用为元，由题意得： ， ， 随的增大而减小， 当时，． 答：购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元． 46．（2026·江苏无锡·二模） 背景 随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间． 素材1 某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对汽车充电时，其快充时的电量、慢充时的电量与充电时间（单位：小时）的函数图像分别为图2中的线段，．    素材2 暑假里，小明一家驾驶新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．一段时间后，小明发现此时恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），最后恰好用小时充满电． 问题解决： (1)根据素材1，请分别根据快速充电和慢速充电两种情况，求、关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)根据素材2，请求出小明一家使用快速充电桩和慢速充电桩各多长时间． 【答案】(1)关于的函数解析式为，关于的函数解析式为 (2)小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时 【分析】（1）观察图像，确定，，，再用待定系数法可得答案；（2）设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时，先结合图像确定分别使用快速充电桩充电的速度及使用慢速充电桩充电的速度，再根据“恰好用小时完成充电”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图像可知：，，， 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 即关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； （2）解：设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时， 由图像知：使用快速充电桩充电的速度为：；使用慢速充电桩充电的速度为：， 依题意，得：， 解得：， ∴， 答：小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时． 47．（2026·江苏常州·一模）某商场在世博会上购置A、B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元．求A，B玩具的单价． 【答案】A玩具单价为50元，B玩具单价为75元． 【分析】先根据题意设出未知数，再利用题目给出的两个等量关系列出一元一次方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：设A玩具单价为元，由题意得B玩具单价为元． ∵购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元， ∴， 解得， ∴B玩具单价为（元）． 答：A玩具的单价为50元，B玩具的单价为75元． 48．（2026·江苏泰州·模拟预测）为响应“双碳”目标，某市推行公共自行车与新能源摆渡车的“零碳出行”方案．市民张老师从家到学校全程，他先骑行公共自行车一段路程，再换乘新能源摆渡车．公共自行车平均速度为，新能源摆渡车的平均速度为，全程共用时．求张老师骑行公共自行车的路程． 【答案】骑行公共自行车的路程为 【分析】设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为，根据全程共用时列出方程，解方程即可． 【详解】解：设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为． ， 由题意得：， 解得：， 答：骑行公共自行车的路程为． 49．（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 50．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由 设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． 51．（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 【答案】10000枚 【分析】设这批纪念章一共有枚，原计划每天制作400枚，原计划完成时间为天，实际每天比原计划多做100枚，实际每天制作枚，实际完成时间为天，根据实际比原计划提前5天完成，列方程求解即可； 【详解】解：设这批纪念章一共有枚， 根据题意可得， 解得：， 答：这批纪念章一共有枚． 52．（2026·江苏南通·模拟预测）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果先进行精加工，然后进行粗加工．若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？ 【答案】(1)应安排4天精加工，8天粗加工 (2)加工这批蔬菜最多获得145000元利润 【分析】（1）根据题意可得等量关系为：精加工天数粗加工天数，精加工吨数粗加工吨数，列出方程组求解即可． （2）设精加工的蔬菜吨数为m吨，销售利润为元，则粗加工的蔬菜吨数为吨，根据题意列出W与m之间的关系，再确定m的取值范围，然后利用一次函数的性质求出W的最大值． 【详解】（1）解：设应安排天进行精加工，天粗加工， 根据题意得 解得， 答：应安排4天进行精加工，8天粗加工； （2）解：设精加工的蔬菜吨数为m吨，销售利润为元，则粗加工的蔬菜吨数为吨， ∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完， 解得 ， 根据题意，得， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， 答：加工这批蔬菜最多获得145000元利润． 53．（2026·江苏盐城·模拟预测）项目化学习 汽车生产线分配方案 素材一 某汽车制造厂计划采购装配两种新能源汽车零配件生产线：A型生产线、B型生产线，装配每条生产线所需技工人数、单条生产线采购成本如下表： 生产线型号 每条所需装配技工 每条采购成本（万元） A型 4 1200 B型 5 1600 素材二 工厂现有装配技工60名，全部分配到两条生产线的装配工作中，每名技工只参与其中一种型号生产线的装配工作，采购两类生产线总花费18800万元． (1)求A型、B型生产线各采购多少条？ (2)工厂扩充人员后，共有装配技工65名，全部上岗参与装配，每名技工只负责一种生产线装配，要求采购的B型生产线数量多于4条．要使生产线的采购总成本最低，A型、B型生产线应各采购多少条？ 【答案】(1)安装5条A型生产线，8条B型生产线 (2)当安装10条A型生产线，5条B型生产线时，安装总成本最少 【分析】（1）设A型采购条，B型采购条，根据题意列方程组求解即可； （2）设采购条A型生产线，条B型生产线，根据“共有装配技工65名”得到二元一次方程，进而根据要求取合适的解得到所有采购方案，比较采购总成本即可． 【详解】（1）解：设A型采购条，B型采购条， 根据题意得：， 解得：． 答：安装5条A型生产线，8条B型生产线； （2）解：设采购条A型生产线，条B型生产线， 根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数，且， ∴或或， ∴共有3种采购方案， 方案1：采购总成本为（万元）； 方案2：采购总成本为（万元）； 方案3：采购总成本为（万元）， ∵， ∴当安装10条A型生产线，5条B型生产线时，安装总成本最少． 54．（2026·江苏苏州·三模）解方程组： 【答案】 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 55．（2026·江苏盐城·三模）“东台西瓜”已成为国家地理标志产品，畅销国内各大城市．某瓜农计划将一批西瓜运往外市，若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满西瓜，一次可运走24吨；若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满西瓜，一次可运走26吨．现有西瓜32吨，计划同时租用两种货车，其中甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)该瓜农的租车方案有哪几种？请说明理由． 【答案】(1)1辆甲种货车载满西瓜一次可运送6吨，1辆乙种货车载满西瓜一次可运送4吨； (2)解：该瓜农共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，5辆乙种货车；方案2：租用4辆甲种货车，2辆乙种货车．理由如下： 由题意列二元一次方程得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该瓜农共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，5辆乙种货车；方案2：租用4辆甲种货车，2辆乙种货车． 【分析】（1）设1辆甲种货车载满西瓜一次可运送x吨，1辆乙种货车载满西瓜一次可运送y吨，根据“若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满西瓜，一次可运走24吨；若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满西瓜，一次可运走26吨”列方程组求解即可； （2）由题意列二元一次方程得：，根据m、n均为正整数设计合适的方案即可． 【详解】（1）解：设1辆甲种货车载满西瓜一次可运送x吨，1辆乙种货车载满西瓜一次可运送y吨， 由题意得：， 解得， 即1辆甲种货车载满西瓜一次可运送6吨，1辆乙种货车载满西瓜一次可运送4吨； （2）略． 56．（2026·江苏泰州·二模）2026年，世界超级摩托车锦标赛上，一名车手驾驶某中国制造的摩托车获得三冠．某经销商抓住机会迎合市场，进行大量采购： (1)已知购入A型摩托车10辆和B型摩托车6辆共需万元；购入A型摩托车20辆和B型摩托车10辆共需20万元．求A型车和B型车的购入价； (2)在（1）的条件下，经销商准备了34万元，想要购入A型摩托车和B型摩托车共50辆，求经销商最多购入多少辆B型摩托车． 【答案】(1)A型摩托车购入价每辆0.6万元，B型摩托车每辆0.8万元 (2)购入B型摩托车最多20辆 【分析】（1）设A型摩托车购入价每辆x万元，B型摩托车每辆y万元，购入A型摩托车10辆和B型摩托车6辆共需万元；购入A型摩托车20辆和B型摩托车10辆共需20万元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购入B型摩托车a辆，则购入A型摩托车辆，经销商准备了34万元，据此列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设A型摩托车购入价每辆x万元，B型摩托车每辆y万元， ∴ 解得 答：A型摩托车购入价每辆万元，B型摩托车每辆万元． （2）解：设购入B型摩托车a辆，则购入A型摩托车辆， 解得 答：购入B型摩托车最多20辆． 57．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在垂直交叉的两条路上，甲在交叉点南1120米处由南向北行走，乙在交叉点处由西向东行走．同时出发4分钟后，甲乙两人第一次距交叉点的距离相等．又走了52分钟，两人第二次距交叉点的距离相等．甲乙两人的速度分别是多少？ 【答案】， 【详解】解：设甲每分钟行x米，乙每分钟行y米； 整理得： 解得： 甲每分钟行150米，乙每分钟行130米． 58．（2026·江苏宿迁·二模）端午节前夕，某超市销售“蜜枣”馅、“蛋黄”馅两种不同口味的粽子．已知销售8个“蜜枣”馅和6个“蛋黄”馅粽子共54元；销售4个“蜜枣”馅和8个“蛋黄”馅粽子共52元． (1)求每个“蜜枣”馅和“蛋黄”馅粽子售价各是多少元？ (2)某快餐店要订购一批粽子，因为数量较多，经与超市协商后统一按售价的八折购买．该快餐店计划购买两种口味的粽子共120个，且“蛋黄”馅粽子数量不少于“蜜枣”馅粽子数量的．请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元 (2)购买“蜜枣”馅粽子90个“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少． 【分析】（1）设每个“蜜枣”馅粽子售价x元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子个，所需总费用为w元 ，根据题意列不等式可确定m的取值范围，再得到，最后根据一次函数的增减性得到费用最小时的购买方案． 【详解】（1）解：设每个“蜜枣”馅粽子售价x元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元， 根据题意得：， 解得． 答：每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元． （2）解：设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子个，所需总费用为w元 ， 由题意得， 解不等式得， 又∵， ∴， 统一按八折购买，总费用为： ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当m取最大值90时，w取得最小值， 此时． 答：购买“蜜枣”馅粽子90个，“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少． 59．（2026·江苏南通·三模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每头牛值金两，每头羊值金两 (2)方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 60．（2026·江苏扬州·二模）若二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】先解方程组得，再代入即可求解． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把代入得，， 解得． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程与二元一次方程 1年真题1年模拟 考点01 一元一次方程与实际问题 1．C 2． 【答案】 3． 【答案】10元面额的纸币张数为2张 4． 【答案】(1)好田买了亩，坏田买了亩 (2)好田的平均亩产量是 5． 【答案】(1)；5 (2)商家B食品“配送”的评分为星 (3)解：建议选择商家A，理由如下： 食品的核心是口味，商家A的口味评分（星）高于商家B（星）；且商家A的低星评价（1星、2星）占比极低，好评更集中，口味体验更稳定，因此更推荐选择商家A． 考点02 解二元一次方程组 1． 【答案】(1) (2) 2． 【答案】(1) 的值为，的值为 (2) 密文的明文为 考点03二元一次方程组与实际问题 1．D 2．A 3． 【答案】 4． 【答案】 5． 【答案】(1)该团成人有4人，儿童有3人 (2)最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A A C B D A B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C A A C C B B C D D 题号 21 22 23 答案 A B B 24．17 25． 8 6 26． 27． （答案不唯一） 28．③④ 29． 30．88 31． 32．一 33．140 34．6 35． 36． 37． 38． 39． 40．5 41．1 42． 43．(1)10 (2)销售方式一的平均单价高， 理由：当时，，， 即去年A、B型号苹果的实际销售单价分别为8元/千克、13元/千克； 方案一的平均单价为：元/千克； 方案二的平均单价为：元/千克， ， 所以销售方式一的平均单价高． 44．(1) (2) (3)4 45．(1)甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元 (2)购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元 46．(1)关于的函数解析式为，关于的函数解析式为 (2)小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时 47．A玩具单价为50元，B玩具单价为75元． 48．骑行公共自行车的路程为 49．(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 50．(1)不能，理由 设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． (2)场 51．10000枚 52．(1)应安排4天精加工，8天粗加工 (2)加工这批蔬菜最多获得145000元利润 53．(1)安装5条A型生产线，8条B型生产线 (2)当安装10条A型生产线，5条B型生产线时，安装总成本最少 54． 55．(1)1辆甲种货车载满西瓜一次可运送6吨，1辆乙种货车载满西瓜一次可运送4吨； (2)解：该瓜农共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，5辆乙种货车；方案2：租用4辆甲种货车，2辆乙种货车．理由如下： 由题意列二元一次方程得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该瓜农共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，5辆乙种货车；方案2：租用4辆甲种货车，2辆乙种货车． 56．(1)A型摩托车购入价每辆0.6万元，B型摩托车每辆0.8万元 (2)购入B型摩托车最多20辆 57．， 58．(1)每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元 (2)购买“蜜枣”馅粽子90个“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少． 59．(1)每头牛值金两，每头羊值金两 (2)方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 60． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程与二元一次方程 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 一元一次方程与实际问题 2026 南通卷、2026 宿迁卷、2026 镇江卷、2026 连云港卷 题型包含选择、填空、解答。常以《孙子算经》等古代数学文化、商品打折销售、物资采购、田地分配为背景，考查列一元一次方程解决实际问题，还可与统计加权平均数综合出题，属于基础应用题。 考点 02 解二元一次方程组 2026 南通卷、2026 宿迁卷 以计算类题型为主，包含实数运算、二元一次方程组求解；设置新定义明文密文模型，根据等量关系建立方程组求参数并求值，以基础计算为主，是中考基础必考题。 考点 03 二元一次方程组与实际问题 2026 无锡卷、2026 苏州卷、2026 盐城卷、2026 扬州卷、2026 淮安卷 题型覆盖选择、填空、解答。常选用《九章算术》古算题、游乐园购票方案等现实情境，考查读取题干信息、提取等量关系列方程组，解答题最后一问常搭配最优方案选择问题。 考点01 一元一次方程与实际问题 1．（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 【答案】 【分析】根据服装进价不变的等量关系，设标价为元，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每件服装的标价是元，根据题意，得 ， 解得：， 即每件服装的标价是元． 3．（2026·江苏镇江·中考真题）1942年，新四军在我市创办了敌后第一家银行——惠农银行．其发行的“惠农币”作为苏南根据地早期的货币，为以茅山地区为中心的苏南抗日根据地的巩固和发展作出了一定贡献．用1元、5元、10元三种面额的“惠农币”16张，共计58元购买一批物资，其中5元面额的纸币张数是10元面额纸币张数的3倍，求10元面额的纸币张数． 【答案】10元面额的纸币张数为2张 【分析】设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为，再根据等量关系“共58元”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为， 由题意可得：， ， ， ， ． 答：10元面额的纸币张数为2张． 4．（2026·江苏连云港·中考真题）某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． (1)求好田、坏田各买了多少亩？ (2)现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 【答案】(1)好田买了亩，坏田买了亩 (2)好田的平均亩产量是 【分析】（1）设好田有x亩，则坏田有亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设好田有x亩，则坏田有亩． 根据题意，得． 解这个方程，得．． 答：好田买了亩，坏田买了亩． （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是． 根据题意，得． 解方程，得． 经检验，是所列方程的解．所以有． 答：好田的平均亩产量是． 5．（2026·江苏盐城·中考真题）小明在某外卖平台挑选食品时发现，A，B两个商家的食品总体评分都是星．为了选择，他整理了两个商家近期顾客评价情况的相关数据，并绘制成如下统计图表． 顾客对食品的评分情况统计表 商家 总体评分（单位：星） 分项评分（单位：星） 口味 包装 配送 A B (1)①在商家A食品“口味”的评分中，“5星”好评所占的百分比是__________； ②在商家B食品“口味”的评分中，众数是__________星． (2)总体评分是由口味、包装、配送的评分按计算得到的．小明由此算出商家A食品“配送”的评分为星，请计算商家B食品“配送”的评分． (3)根据提供的信息，你建议小明选择哪个商家？说说你的想法． 【答案】(1)；5 (2)商家B食品“配送”的评分为星 (3)解：建议选择商家A，理由如下： 食品的核心是口味，商家A的口味评分（星）高于商家B（星）；且商家A的低星评价（1星、2星）占比极低，好评更集中，口味体验更稳定，因此更推荐选择商家A． 【分析】（1）①先求出商家A“口味”评分的总人数，进而即可得解；②从扇形统计图获取信息即可； （2）设商家B食品“配送”的评分为星，再根据题意列出方程并求解即可； （3）理由合理即可． 【详解】（1）解：①由题意得，商家A“口味”评分的总人数为：， ∴“星”好评所占百分比为：； ②商家B的口味评分中，星占比，占比最高， ∴众数是星； （2）解：设商家B食品“配送”的评分为星， ∵总体评分是由口味、包装、配送的评分按计算得到的， ∴ ， 解得； （3）略 考点02 解二元一次方程组 1．（2026·江苏南通·中考真题）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】根据实数的运算法则可求解第一问，根据解方程组的步骤可求解第二问． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 已知，则 ，将代入中，解得， 再代入中，解得． ∴方程组的解是：. 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 (1)求a，b的值； (2)求密文的明文． 【答案】(1) 的值为，的值为 (2) 密文的明文为 【分析】（1）代入两组明文与密文的对应值，列二元一次方程组求解a，b； （2）将a，b与密文的x，y代入公式计算明文． 【详解】（1）解：由题意，将两组对应值代入， 得 解这个方程组，得； （2）由（1）得， 将代入，得 ， 所以密文的明文为1． 考点03二元一次方程组与实际问题 1．（2026·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可． 【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两 ∵5只雀和6只燕总重1斤，且1斤=16两， ∴可得方程 将1只雀和1只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4只雀加1只燕，另一边为5只燕加1只雀， ∴可得方程 , 因此可列方程组为． 3．（2026·江苏盐城·中考真题）小明在阅读《九章算术》时看到一个问题，大意为：只麻雀、只燕子放在天平上，麻雀一端重，燕子一端轻．麻雀、燕子从两端各交换只，天平就平衡了．已知所有的麻雀和燕子总重斤（“斤”为古代计量单位）．问：麻雀、燕子每只重多少斤？设一只麻雀重斤，一只燕子重斤．请列出符合题意的二元一次方程组：_______________． 【答案】 【分析】提取题干中的两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：∵所有麻雀和燕子总重为1斤，一只麻雀重斤，一只燕子重斤，共只麻雀与只燕子 ， ∴第一个方程为 ， ∵交换只后，麻雀侧变为只麻雀加只燕子，燕子侧变为只燕子加只麻雀，此时天平平衡，两侧重量相等， ∴第二个方程为 ， ∴方程组为． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y， 根据题意：． 5．（2026·江苏淮安·中考真题）某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 【答案】(1)该团成人有4人，儿童有3人 (2)最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 【分析】（1）设该团队成人有x人，儿童有y人，根据题意列方程组去求解即可； （2）根据成人有4人，儿童有3人，结合票务信息制定不同方案，分别求出所需费用，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：设该团队成人有x人，儿童有y人， 根据题意，得 解得 答：该团队成人有4人，儿童有3人； （2）解：方案一：按照A方案购票，则所需费用为1190元； 方案二：购买两个B套票，一个儿童票，则所需费用为（元）； 方案三：购买一个B套票，两个C套票，则所需费用为（元）； 方案四：购买四个C套票，则所需费用为（元）； ∵， ∴按照方案三购票最省钱， 答：最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元． 1．（2026·江苏盐城·三模）我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（     ） A．1 B．- C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据左侧三角形求出每个小三角形的三个顶点上的数字之和，再依次求出的值，最后求和即可． 【详解】解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2026·江苏淮安·模拟预测）有酒精含量为的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为的溶液，如果再稀释到，那么还需要加水的数量是上次加的水的（     ）倍． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在稀释酒精含量过程中，酒精质量始终不变． 【详解】解：设有克含量为的酒精，第一次加了克的水后稀释成浓度为的酒精， ， ， ， ， 设有克含量为的酒精，第二次加了克的水后稀释成浓度为的酒精， ， ， ， ， ． 答：还需要加的水量是上次加的水的倍． 3．（2026·江苏泰州·二模）若，则下列等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，根据等式的基本性质变形，结合特殊值法即可判断各选项是否一定成立． 【详解】∵ ， ∴ ， A选项，取，，满足，但，因此A不一定成立； B选项，代入，得，仅当时等式成立，因此B不一定成立； C选项，将等式两边同时乘，得 ，因此选项C一定成立； D选项，代入，得，仅当时，因此D不一定成立． 4．（2026·江苏盐城·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用鹿的总数量不变，根据两种分鹿情况分别表示出鹿的总数，列出等式即可求解． 【详解】解：∵设有客人，鹿的总数量不变 每人分只多只，可得鹿的总数量为 每人分只少只，可得鹿的总数量为 ∴根据鹿的总数相等，可列方程 5．（2026·江苏连云港·二模）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2人一组，每组5个杏，则少10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用牧童总人数不变的等量关系，分别根据两种分杏情况表示出总人数，即可列出正确方程． 【详解】解：设杏有个，两种分法的牧童总人数相等． ∵第一种分法中，2人一组，每组5个杏，少10个杏， ∴满足分组共需要个杏，组数为，总人数为． ∵第二种分法中，4人一组，每组8个杏，多2个杏， ∴实际分掉个杏，组数为，总人数为． ∵总人数相等，因此可得方程． 6．（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 7．（2026·江苏南通·一模）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过天相遇，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总路程看作单位1，根据相遇时野鸭飞行路程与大雁飞行路程之和等于总路程列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1，经过天相遇， ∵野鸭飞完全程需要7天，． ∴野鸭每天飞行的路程为，天的飞行路程为， ∵大雁飞完全程需要9天， ∴大雁每天飞行的路程为，天的飞行路程为， 相遇时两者飞行路程和等于总路程， ∴可列方程 8．（2026·江苏盐城·一模）小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两段跑步的总时间等于总用时建立方程. 【详解】解：∵设小明以米/秒的速度跑了米，总路程为米， ∴剩下的路程为米， ∴以米/秒跑米的时间为秒，以米/秒跑剩下路程的时间为秒， ∵总用时为分钟，需统一单位为秒，即总时间为秒， ∴根据总时间的等量关系可列方程. 9．（2026·江苏无锡·一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长安到齐国的总路程看作单位1，根据题意得到甲乙各自的行走时间和日行程，利用甲的行程加乙的行程等于总路程的等量关系列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1， ∵甲走完全程需要5日， ∴甲每日的行程为， 甲走了日， ∴甲的总行程为， ∵乙走完全程需要7日， ∴乙每日的行程为， 又∵乙先出发2日，甲出发日后相逢， ∴乙一共行走了日， ∴乙的总行程为， ∵甲、乙两人的行程和等于总路程1， ∴可得方程 ． 10．（2026·江苏无锡·一模）2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出胜场和平场的总场次，再根据积分规则列出方程即可； 【详解】解：∵该队共进行15场比赛，负了5场， ∴胜场和平场的总场次为场， ∵设胜了场， ∴平的场次为场， 又∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为24分， ∴总得分等于胜场得分加平场得分，可列方程：． 11．（2026·江苏无锡·一模）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十一日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】追及时快马走的总路程等于慢马走的总路程，根据路程公式即可列方程． 【详解】解：∵快马每天走230里， ∴快马走的总路程为里， ∵慢马每天走140里，且先走11天， ∴慢马一共走了天，总路程为， 追及时两马路程相等，因此可得方程． 12．（2026·江苏无锡·模拟预测）年月日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长公里，测试列车以的速度跑完全程，比预定时间快了分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长，普通高铁以的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（   ） A．磁悬浮试验线的全长为公里 B．磁悬浮试验线的预定运行时间为分钟 C．传统高铁线路的运行时间为分钟 D．测试列车实际运行时间为分钟 【答案】A 【分析】设预定运行时间为小时，根据题意列方程求出，进而求出磁悬浮试验线的全长、传统高铁线路的运行时间及测试列车实际运行时间即可判断求解． 【详解】解：设预定运行时间为小时， ∵测试列车跑完全程比预定时间快分钟， ∴， 整理得， ①， ∵传统高铁线路长为公里，跑完比预定时间多分钟， ∴， 整理得，② 联立①②，得， 解得小时，即预定运行时间为分钟， 代入①，得 公里，即磁悬浮试验线全长公里， 测试列车实际运行时间为 分钟， 传统高铁运行时间为 分钟， ∴正确，错误． 13．（2026·江苏无锡·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 14．（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意，杏的总数在两种分组方式下相等，由此列出方程，即可作答． 【详解】解：∵人一组，每组个杏，则多个杏，设牧童人， ∴杏的总数：； ∵人一组，每组个杏，则多个杏． ∴杏的总数：； ∵杏的总数不变， ∴， 故选：C． 15．（2026·江苏无锡·二模）活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3人或4人，则分组方案一共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题是二元一次方程的实际应用问题，解题思路是根据总人数列出方程，结合分组数为非负整数，找出所有符合条件的分组方案即可． 【详解】解：设3人组有组，4人组有组，其中均为非负整数， 根据题意得 ， 变形得 ， 和互质， 必为的倍数， 又 ， ， 因此的可取非负整数值为，，， ，对应的值分别为，，， ，均符合要求， 分组方案一共有种，故选C． 16．（2026·江苏连云港·二模）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等，走路快的人走步和走路慢的人走步用的时间相等，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设走路快的人走步追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步． 根据题意得． 17．（2026·江苏南通·一模）我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出1间客房．设该店有客房x间、房客y人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出题目中的两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】解：设该店有客房间、房客人 ∵ 每间客房住7人时，有7人无房可住，总人数等于住满房间的人数加无房的7人， ∴ ∵ 每间客房住9人时，空出1间客房，即实际住了间房，总人数等于9乘实际使用的房间数， ∴ ，整理得 ． ∴可得方程组． 18．（2026·江苏无锡·一模）明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题干中提取两个等量关系，依次列方程即可得到结果． 【详解】解：设肉元/斤，鱼元/斤，根据题意得， ． 19．（2026·江苏扬州·三模）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，属于古代问题，由题意，根据等量关系：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，列出方程组即可． 【详解】解：苦果有x个，甜果有y个， 则根据九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，得方程； 根据四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，得方程； 故得方程组：； 故选：D． 20．（2026·江苏盐城·三模）《九章算术》中记载一个这样的问题“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”如果设雀重x两，燕重y两，根据题意列出方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，设雀重x两，燕重y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【详解】解：设雀重x两，燕重y两， 由题意得，． 故选：D． 21．（2026·江苏扬州·二模）已知实数，，满足，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，平方的非负性的应用及解二元一次方程组，熟练掌握不等式性质是解题的关键．由题意得，可求，则，可求，进而可得． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴， 解得:， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 22．（2026·江苏南京·二模）把一些糖果分给学生，如果每名学生分5颗糖果，那么多3颗糖果；如果每名学生分6颗糖果，那么最后一名学生只有4颗糖果．设一共有名学生，颗糖果，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 根据“如果每名学生分5颗糖果，那么多3颗糖果；如果每名学生分6颗糖果，那么最后一名学生只有4颗糖果”列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得，即． 故选B． 23．（2026·江苏·一模）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米， 由题意可得：， 故选：B． 24．（2026·江苏淮安·模拟预测）一盘草莓约20个左右，几位小朋友分．若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个．这盘草莓有___个． 【答案】17 【分析】设有个草莓，根据小朋友的人数不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设有个草莓， 依题意，得：， 解得． 25．（2026·江苏淮安·模拟预测）甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射击10发．结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中____发、乙命中____发． 【答案】 8 6 【分析】设甲命中x发，则乙命中发，根据“结算分数时，甲比乙多10分”列出一元一次方程求解． 【详解】解：设甲命中x发，则乙命中发， 根据题意得， 解得 答：甲中8发，乙中6发． 26．（2026·江苏盐城·二模）若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． 27．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 28．（2026·江苏南京·二模）实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】③④ 【分析】先根据变形得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再根据已知绝对值的大小关系判断，的符号关系，分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故④正确； 且， ∵， ∴等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． ∵， 假设，异号，则， ∵， ∴， ∴，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，，必为同号，故②错误． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时； 当时，，，此时， 因此不一定成立，故①错误． 综上，正确结论的序号是③④． 29．（2026·江苏常州·一模）若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 30．（2026·江苏南京·一模）甲纸条长为，乙纸条长为．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，恰好形成总长为的纸条，则________． 【答案】88 【分析】由题意可知：重叠部分为，设重叠部分的长度为，则，，根据重叠后的总长度为为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴． 31．（2026·江苏泰州·模拟预测）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据参赛总场数用表示出负场的场数．再根据总得分等于胜场得分与负场得分的和列出方程． 【详解】解：设该队胜了场，则负了场， 胜场得分为分，负场得分为分， 故可列方程为． 32．（2026·江苏宿迁·一模）已知点P的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点P为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点M在第_______________象限 【答案】一 【分析】根据“和谐点”的定义列出关于的一元一次方程，求解得到的值，进而得到点的横纵坐标，根据象限的定义判断点所在象限即可． 【详解】解：∵点是“和谐点”， ∴ 解得， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵第一象限内点的横纵坐标均为正， ∴点在第一象限． 33．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 【答案】140 【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 弧的长为，弧的长为， ，， ，即． ， ， 解得， ， 该砖雕的面积为 ． 34．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 【答案】6 【分析】将题干图补全为一个大长方形，由于是这个长方形的对角线，这条对角线把长方形分成了两个相同的直角三角形，不难看出，左下角补的两个长方形的面积等于右上角补的长方形的面积，设小长方形的长为x，进而列方程求解即可. 【详解】解：如图， 设小长方形的长为x． ， ， ， ， ， ， 答：小长方形的长是6． 35．（2026·江苏南京·三模）方程组的解为__________． 【答案】 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 36．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都相等，则的值是____． 【答案】 【分析】先根据题意可得，，进而可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都相等， ∴，， ∴，， ∴． 37．（2026·江苏南京·二模）如图，一块长为，宽为的长方形铁皮，按如图所示的方式裁剪折叠，做成一个底面为正六边形且侧面为长方形的无盖铁皮箱，则铁皮箱底面的边长为______． 【答案】 【分析】设铁皮箱底面正六边形的边长为，侧面长方形的高为．根据正六边形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理并结合图形列出关于x、h的方程组求解即可． 【详解】解：设铁皮箱底面正六边形的边长为，侧面长方形的高为,则, 如图：连接，并延长交边沿于E，G， ∵正六边形， ∴，是正六边形的对称轴，点A和B关于对称，， ∴， ∴， ∵， ∵,， ∴ ∴， ∴，， ∴长方形的长：； 长方形的宽：， 联立：，解得：， ∴铁皮箱底面的边长为． 38．（2026·江苏盐城·二模）有一种明码为自然数的密码产生法，原理是：对于多项式因式分解的结果，若取，作为明码，则各个因式的值是：，，，把这些值从大到小排列得到128160，于是就可以把“128160”作为一个六位数的密码．那么，对于多项式，若给定明码x，y的值，所产生的密码为201510，请写出明码_________． 【答案】 【分析】先对多项式进行因式分解，再根据密码生成规则，结合因式值的大小关系列出方程组，解方程组即可得到明码． 【详解】解：， ∵x，y为自然数， ∴， 根据密码生成规则，可知三个因式的值从大到小为20，15，10， ∴， 解得． 39．（2026·江苏盐城·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”大意是：优质酒（醇酒）1斗价值50钱，普通酒（行酒）1斗价值10钱．现用30钱，共买到2斗酒．问醇酒、行酒各买了多少斗？根据题意可知，醇酒买了______斗． 【答案】 【分析】可以设醇酒买斗，则行酒买斗，根据题意列出二元一次方程组求解即可．本题考查二元一次方程组的应用，根据题意等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买斗，则行酒买斗． 由题意得，， 由①得， 把③代入②得， 解，得， 把代入③得， 所以原方程组解为， 所以醇酒买了斗． 40．（2026·江苏苏州·一模）已知方程组，则_________． 【答案】5 【详解】解： 得，， 整理得， 得，， 整理得， ． 41．（2026·江苏泰州·一模）一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为_____． 【答案】1 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图1和2列出方程组得：， 得， 解得：， 所以小正方形的边长为． 42．（2026·江苏泰州·一模）若二元一次方程组的解为，则的值为____． 【答案】 【分析】先由二元一次方程组解的定义得到关于的二元一次方程组，两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：二元一次方程组的解为， ， 则①②得， ． 43．（2026·江苏南通·二模）某苹果种植基地去年销售A、B型号的苹果，实际销售总收入比计划多1万元．今年改进种植技术，苹果的品质、产量都有提升．基地准备在去年实际售价的基础上，将A、B型号的苹果每千克都提高元（）销售，有两种销售方式，相关信息如下． 去年销售情况 型号 总销量（万kg） 计划销售单价（元/kg） 实际销售单价（元/kg） A 4 B 3 今年销售方式 ①A、B型号的苹果均卖出万kg； ②A、B型号的苹果均卖出万元． (1)求的值； (2)试探究今年两种销售方式哪种平均单价高． 【答案】(1)10 (2)销售方式一的平均单价高， 理由：当时，，， 即去年A、B型号苹果的实际销售单价分别为8元/千克、13元/千克； 方案一的平均单价为：元/千克； 方案二的平均单价为：元/千克， ， 所以销售方式一的平均单价高． 【分析】（1）根据实际总收入比计划总收入多1万元，列方程求解，计划总收入：A，B，合计万元；实际总收入：万元，列方程求解； （2）先求出去年A、B实际售价，再分别列式表示两种方式的平均单价，作差比较大小． 【详解】（1）解：由题意，得． 解得． （2）略 44．（2026·江苏淮安·模拟预测）求未知数． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)4 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． 45．（2026·江苏连云港·二模）为美化城市环境，园林局准备购买甲、乙两种不同的树苗共2000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株多15元，若购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元． (1)求购买一株甲树苗和一株乙树苗分别需要多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和，请问：应如何购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于且购买树苗的总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元 (2)购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元 【分析】（1）设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元，根据“购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元”列出一元一次方程求解； （2）设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株，根据“购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于”列出一元一次不等式，求出的取值范围，设购买这批树苗的费用为元，用含的代数式表示出，再根据一次函数的性质求最小值． 【详解】（1）解：设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元； （2）解：设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株， ， 解得：， 设购买这批树苗的费用为元，由题意得： ， ， 随的增大而减小， 当时，． 答：购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元． 46．（2026·江苏无锡·二模） 背景 随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间． 素材1 某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对汽车充电时，其快充时的电量、慢充时的电量与充电时间（单位：小时）的函数图像分别为图2中的线段，．    素材2 暑假里，小明一家驾驶新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．一段时间后，小明发现此时恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），最后恰好用小时充满电． 问题解决： (1)根据素材1，请分别根据快速充电和慢速充电两种情况，求、关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)根据素材2，请求出小明一家使用快速充电桩和慢速充电桩各多长时间． 【答案】(1)关于的函数解析式为，关于的函数解析式为 (2)小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时 【分析】（1）观察图像，确定，，，再用待定系数法可得答案；（2）设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时，先结合图像确定分别使用快速充电桩充电的速度及使用慢速充电桩充电的速度，再根据“恰好用小时完成充电”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图像可知：，，， 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 即关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； （2）解：设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时， 由图像知：使用快速充电桩充电的速度为：；使用慢速充电桩充电的速度为：， 依题意，得：， 解得：， ∴， 答：小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时． 47．（2026·江苏常州·一模）某商场在世博会上购置A、B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元．求A，B玩具的单价． 【答案】A玩具单价为50元，B玩具单价为75元． 【分析】先根据题意设出未知数，再利用题目给出的两个等量关系列出一元一次方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：设A玩具单价为元，由题意得B玩具单价为元． ∵购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元， ∴， 解得， ∴B玩具单价为（元）． 答：A玩具的单价为50元，B玩具的单价为75元． 48．（2026·江苏泰州·模拟预测）为响应“双碳”目标，某市推行公共自行车与新能源摆渡车的“零碳出行”方案．市民张老师从家到学校全程，他先骑行公共自行车一段路程，再换乘新能源摆渡车．公共自行车平均速度为，新能源摆渡车的平均速度为，全程共用时．求张老师骑行公共自行车的路程． 【答案】骑行公共自行车的路程为 【分析】设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为，根据全程共用时列出方程，解方程即可． 【详解】解：设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为． ， 由题意得：， 解得：， 答：骑行公共自行车的路程为． 49．（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 50．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由 设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． 51．（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 【答案】10000枚 【分析】设这批纪念章一共有枚，原计划每天制作400枚，原计划完成时间为天，实际每天比原计划多做100枚，实际每天制作枚，实际完成时间为天，根据实际比原计划提前5天完成，列方程求解即可； 【详解】解：设这批纪念章一共有枚， 根据题意可得， 解得：， 答：这批纪念章一共有枚． 52．（2026·江苏南通·模拟预测）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果先进行精加工，然后进行粗加工．若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？ 【答案】(1)应安排4天精加工，8天粗加工 (2)加工这批蔬菜最多获得145000元利润 【分析】（1）根据题意可得等量关系为：精加工天数粗加工天数，精加工吨数粗加工吨数，列出方程组求解即可． （2）设精加工的蔬菜吨数为m吨，销售利润为元，则粗加工的蔬菜吨数为吨，根据题意列出W与m之间的关系，再确定m的取值范围，然后利用一次函数的性质求出W的最大值． 【详解】（1）解：设应安排天进行精加工，天粗加工， 根据题意得 解得， 答：应安排4天进行精加工，8天粗加工； （2）解：设精加工的蔬菜吨数为m吨，销售利润为元，则粗加工的蔬菜吨数为吨， ∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完， 解得 ， 根据题意，得， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， 答：加工这批蔬菜最多获得145000元利润． 53．（2026·江苏盐城·模拟预测）项目化学习 汽车生产线分配方案 素材一 某汽车制造厂计划采购装配两种新能源汽车零配件生产线：A型生产线、B型生产线，装配每条生产线所需技工人数、单条生产线采购成本如下表： 生产线型号 每条所需装配技工 每条采购成本（万元） A型 4 1200 B型 5 1600 素材二 工厂现有装配技工60名，全部分配到两条生产线的装配工作中，每名技工只参与其中一种型号生产线的装配工作，采购两类生产线总花费18800万元． (1)求A型、B型生产线各采购多少条？ (2)工厂扩充人员后，共有装配技工65名，全部上岗参与装配，每名技工只负责一种生产线装配，要求采购的B型生产线数量多于4条．要使生产线的采购总成本最低，A型、B型生产线应各采购多少条？ 【答案】(1)安装5条A型生产线，8条B型生产线 (2)当安装10条A型生产线，5条B型生产线时，安装总成本最少 【分析】（1）设A型采购条，B型采购条，根据题意列方程组求解即可； （2）设采购条A型生产线，条B型生产线，根据“共有装配技工65名”得到二元一次方程，进而根据要求取合适的解得到所有采购方案，比较采购总成本即可． 【详解】（1）解：设A型采购条，B型采购条， 根据题意得：， 解得：． 答：安装5条A型生产线，8条B型生产线； （2）解：设采购条A型生产线，条B型生产线， 根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数，且， ∴或或， ∴共有3种采购方案， 方案1：采购总成本为（万元）； 方案2：采购总成本为（万元）； 方案3：采购总成本为（万元）， ∵， ∴当安装10条A型生产线，5条B型生产线时，安装总成本最少． 54．（2026·江苏苏州·三模）解方程组： 【答案】 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 55．（2026·江苏盐城·三模）“东台西瓜”已成为国家地理标志产品，畅销国内各大城市．某瓜农计划将一批西瓜运往外市，若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满西瓜，一次可运走24吨；若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满西瓜，一次可运走26吨．现有西瓜32吨，计划同时租用两种货车，其中甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)该瓜农的租车方案有哪几种？请说明理由． 【答案】(1)1辆甲种货车载满西瓜一次可运送6吨，1辆乙种货车载满西瓜一次可运送4吨； (2)解：该瓜农共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，5辆乙种货车；方案2：租用4辆甲种货车，2辆乙种货车．理由如下： 由题意列二元一次方程得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该瓜农共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，5辆乙种货车；方案2：租用4辆甲种货车，2辆乙种货车． 【分析】（1）设1辆甲种货车载满西瓜一次可运送x吨，1辆乙种货车载满西瓜一次可运送y吨，根据“若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满西瓜，一次可运走24吨；若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满西瓜，一次可运走26吨”列方程组求解即可； （2）由题意列二元一次方程得：，根据m、n均为正整数设计合适的方案即可． 【详解】（1）解：设1辆甲种货车载满西瓜一次可运送x吨，1辆乙种货车载满西瓜一次可运送y吨， 由题意得：， 解得， 即1辆甲种货车载满西瓜一次可运送6吨，1辆乙种货车载满西瓜一次可运送4吨； （2）略． 56．（2026·江苏泰州·二模）2026年，世界超级摩托车锦标赛上，一名车手驾驶某中国制造的摩托车获得三冠．某经销商抓住机会迎合市场，进行大量采购： (1)已知购入A型摩托车10辆和B型摩托车6辆共需万元；购入A型摩托车20辆和B型摩托车10辆共需20万元．求A型车和B型车的购入价； (2)在（1）的条件下，经销商准备了34万元，想要购入A型摩托车和B型摩托车共50辆，求经销商最多购入多少辆B型摩托车． 【答案】(1)A型摩托车购入价每辆0.6万元，B型摩托车每辆0.8万元 (2)购入B型摩托车最多20辆 【分析】（1）设A型摩托车购入价每辆x万元，B型摩托车每辆y万元，购入A型摩托车10辆和B型摩托车6辆共需万元；购入A型摩托车20辆和B型摩托车10辆共需20万元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购入B型摩托车a辆，则购入A型摩托车辆，经销商准备了34万元，据此列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设A型摩托车购入价每辆x万元，B型摩托车每辆y万元， ∴ 解得 答：A型摩托车购入价每辆万元，B型摩托车每辆万元． （2）解：设购入B型摩托车a辆，则购入A型摩托车辆， 解得 答：购入B型摩托车最多20辆． 57．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在垂直交叉的两条路上，甲在交叉点南1120米处由南向北行走，乙在交叉点处由西向东行走．同时出发4分钟后，甲乙两人第一次距交叉点的距离相等．又走了52分钟，两人第二次距交叉点的距离相等．甲乙两人的速度分别是多少？ 【答案】， 【详解】解：设甲每分钟行x米，乙每分钟行y米； 整理得： 解得： 甲每分钟行150米，乙每分钟行130米． 58．（2026·江苏宿迁·二模）端午节前夕，某超市销售“蜜枣”馅、“蛋黄”馅两种不同口味的粽子．已知销售8个“蜜枣”馅和6个“蛋黄”馅粽子共54元；销售4个“蜜枣”馅和8个“蛋黄”馅粽子共52元． (1)求每个“蜜枣”馅和“蛋黄”馅粽子售价各是多少元？ (2)某快餐店要订购一批粽子，因为数量较多，经与超市协商后统一按售价的八折购买．该快餐店计划购买两种口味的粽子共120个，且“蛋黄”馅粽子数量不少于“蜜枣”馅粽子数量的．请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元 (2)购买“蜜枣”馅粽子90个“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少． 【分析】（1）设每个“蜜枣”馅粽子售价x元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子个，所需总费用为w元 ，根据题意列不等式可确定m的取值范围，再得到，最后根据一次函数的增减性得到费用最小时的购买方案． 【详解】（1）解：设每个“蜜枣”馅粽子售价x元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元， 根据题意得：， 解得． 答：每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元． （2）解：设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子个，所需总费用为w元 ， 由题意得， 解不等式得， 又∵， ∴， 统一按八折购买，总费用为： ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当m取最大值90时，w取得最小值， 此时． 答：购买“蜜枣”馅粽子90个，“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少． 59．（2026·江苏南通·三模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每头牛值金两，每头羊值金两 (2)方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 60．（2026·江苏扬州·二模）若二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】先解方程组得，再代入即可求解． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把代入得，， 解得． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $