专题05 一元一次方程与二元一次方程组（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 该试卷聚焦一元一次方程与二元一次方程组，整合2024-2026年山东各地中考真题及模拟题，覆盖5个核心考点，通过古代数学典籍与现代热点情境（如新能源、非遗）实现知识应用与文化传承的融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|3-4分/题|解一元一次方程、古代问题应用|结合《九章算术》算筹文化、诗词情境，考查概念辨析与基础运算| |解答题|8-10分/题|现代问题应用、综合建模|融合函数图像分析（健步走行程）、生态修复（蓄水池发电）等现实情境，强调读图建模与最优方案设计|

专题05 一元一次方程与二元一次方程组 3年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2024-2026） 命题规律 考点01解一元一次方程 2024 潍坊卷 2025 滨州卷 以选择、填空题为主，单题分值 3-4 分。核心考查等式基本性质与方程求解，常结合命题真假判断、数字填充情境设题，侧重基础运算准确性。近年逐步融合有理数、无理数性质等跨知识点，整体难度偏低，以概念辨析为主，无复杂求解题型。 考点02一元一次方程的实际应用 2026 山东统考卷 2025 淄博卷、东营卷 2024 威海卷 覆盖选择、填空、解答三类题型，分值 4-10 分。情境涵盖古代数学诗、能源转型、数轴动点等，2026 年统考后侧重结合函数图像考查行程问题。命题从单一等量关系转向融合一次函数、绝对值的综合题型，对读图分析与建模能力要求明显提升。 考点03解二元一次方程组 2025 德州 / 滨州 / 淄博 / 潍坊卷 以解答题为主、单选题为辅，分值 3-8 分。基础题直接考查加减、代入消元法，创新题融合算筹文化、三元方程正整数解、整式化简求值等情境。近年命题注重与传统文化、数字规律结合，综合性增强，核心仍考查消元思想与运算能力，难度中等。 考点04二元一次方程组的应用——古代问题 2026 烟台卷 2025 山东统考卷 2024 日照 / 威海 / 泰安卷 以选择题为主、填空题为辅，分值 3-4 分。素材均源自《九章算术》《算法统宗》等典籍，涵盖盈不足、度量、价格等经典模型。山东统考后保留该考点，侧重古文阅读理解与等量关系提取，题型稳定，是高频基础考点，整体难度偏低。 考点05二元一次方程组的应用——现代问题 2026 山东统考卷 2025 烟台卷 2024 淄博 / 济南 / 东营 / 济宁卷 以解答题为核心、单选题为辅，分值 8-10 分。2024-2025 年侧重采购方案、利润最值，常结合一次函数、不等式考查最优方案；2026 年统考后延续该模式，情境贴合非遗、新能源、生态修复等山东本地热点，综合性逐年增强。 考点01 解一元一次方程 一、多选题 1．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 二、填空题 2．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是______． 考点02 一元一次方程的实际应用 一、单选题 1．（2026·山东·中考真题）在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 二、填空题 3．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为______． 三、解答题 4．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 5．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 6．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 考点03 解二元一次方程组 一、单选题 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 二、解答题 2．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 3．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 4．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 考点04 二元一次方程组的应用——古代问题 一、单选题 1．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 3．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 二、填空题 5．（2026·山东烟台·中考真题）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列关于，的方程组为__________． 考点05 二元一次方程组的应用——现代问题 一、单选题 1．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、解答题 2．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 3．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 4．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 5．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 6．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 一、单选题 1．（2026·山东淄博·一模）已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·二模）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·山东临沂·二模）如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（2026·山东聊城·二模）若，则的算术平方根是（） A． B． C． D． 5．（2026·山东德州·二模）若，满足，，则代数式的值可以是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2026·山东临沂·二模）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2026·山东枣庄·二模）在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为元，大巴每辆租金为元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（     ） ①大巴租金比中巴贵180元／辆； ②用7200元恰好可租4辆大巴和5辆中巴； ③若将7200元全部租用中巴，比全部租用大巴多2辆． A． B． C． D． 8．（2026·山东潍坊·二模）《孙子算经》是中国古代重要数学著作，文中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数，甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”大致意思为：“甲、乙两人带着钱，不知道有多少．若甲得到乙钱数的，则甲的钱数为48；若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48．问甲、乙各持有多少钱？”下列结论正确的是（     ） A．甲持有24钱，乙持有36钱 B．甲持有36钱，乙持有24钱 C．甲持有12钱，乙持有36钱 D．甲持有36钱，乙持有12钱 9．（2026·山东德州·二模）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（     ） A．鸡的数量 B．鸡的总价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 10．（2026·山东潍坊·二模）《九章算术》中有一个关于“粟、米、麦”的问题，大意是：4斗粟等价兑换2斗米，5斗粟加2斗麦总价为31；3斗米加4斗麦总价为42．设每斗粟价格为，每斗麦价格为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026·山东东营·一模）用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 12．（2026·山东淄博·一模）观察表一，寻找规律，表二和表三分别是从表一中选取的一部分，则__________． 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 11 3 7 11 15 … 14 11 13 … … … … … a 17 b 表一 表二 表三 13．（2026·山东泰安·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了_____里． 14．（2026·山东临沂·一模）已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 15．（2026·山东泰安·一模）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，所以．若s、t都是“迥异数”，其中，，（，，x、y都是正整数），当时，的最小值为_____． 三、解答题 16．（2026·山东德州·二模）“非遗传承，匠心味道”，德州特产火腿作为地方特色美食，其传统工艺被列入非物质文化遗产．某经销商主营A、B两款礼盒装火腿，已知：A款礼盒进价50元/盒，B款礼盒进价60元/盒；售出2盒A款和1盒B款共收入192元，售出3盒A款和5盒B款共收入540元． (1)求A、B两款礼盒的售价分别为多少元/盒？ (2)为推广非遗产品，经销商对A款礼盒开展促销；若每盒降价1元，每天销量可增加10盒．已知A款礼盒原每天销量60盒，且降价后售价不低于进价．设每盒A款礼盒降价元，每天销量为盒，求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的促销方案下，设A款礼盒每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式（利润=单盒利润×销量）； ②若要实现每天A款礼盒利润最大化，则需降价多少元，此时最大利润是多少？ 17．（2026·山东淄博·一模）情景与对话： 情景：小明和小亮同时出发，从甲地到乙地． 对话：小明说：我走完全程的一半时，小亮才走了16千米． 小亮说：我走完全程的一半时，小明已走了25千米． 问题与探索： 小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？ 18．（2026·山东淄博·二模）解二元一次方程组： 19．（2026·山东德州·二模）为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． (1)租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ (2)经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 20．（2026·山东临沂·二模）某新能源电池厂准备安装甲、乙两种型号的生产线．已知，同时开启一条甲型和一条乙型生产线每月可生产电池共200吨；同时开启一条甲型和两条乙型生产线每月可生产电池共280吨． (1)求一条甲型生产线和一条乙型生产线每月各生产电池多少吨？ (2)为扩大生产规模，工厂计划安装相同型号的甲、乙两种生产线共5条，现接到一个订单，要求4个月生产电池不少于2000吨，问至少需要安装多少条甲型生产线？ 21．（2026·山东聊城·二模）2026年，山东省持续推进黄河三角洲生态湿地修复工程，东营市某生态修复基地计划采购甲、乙两种新型节水灌溉设备，用于湿地植被养护．已知采购2台甲种设备和3台乙种设备共需要11.5万元；采购3台甲种设备和1台乙种设备共需要8.5万元．如果该基地计划一共采购甲、乙两种设备共50台，设采购甲种设备x台，采购总费用为y万元，总费用y与x之间满足一次函数关系．若受场地限制，乙种设备的数量不能少于甲种设备数量的1.5倍． (1)求甲、乙两种节水灌溉设备的单价各是多少万元？ (2)直接写出总费用y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并求出在满足所有限制条件下，如何采购可使总费用最低？最低费用是多少万元？ 22．（2026·山东东营·二模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程与二元一次方程组 3年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2024-2026） 命题规律 考点01解一元一次方程 2024 潍坊卷 2025 滨州卷 以选择、填空题为主，单题分值 3-4 分。核心考查等式基本性质与方程求解，常结合命题真假判断、数字填充情境设题，侧重基础运算准确性。近年逐步融合有理数、无理数性质等跨知识点，整体难度偏低，以概念辨析为主，无复杂求解题型。 考点02一元一次方程的实际应用 2026 山东统考卷 2025 淄博卷、东营卷 2024 威海卷 覆盖选择、填空、解答三类题型，分值 4-10 分。情境涵盖古代数学诗、能源转型、数轴动点等，2026 年统考后侧重结合函数图像考查行程问题。命题从单一等量关系转向融合一次函数、绝对值的综合题型，对读图分析与建模能力要求明显提升。 考点03解二元一次方程组 2025 德州 / 滨州 / 淄博 / 潍坊卷 以解答题为主、单选题为辅，分值 3-8 分。基础题直接考查加减、代入消元法，创新题融合算筹文化、三元方程正整数解、整式化简求值等情境。近年命题注重与传统文化、数字规律结合，综合性增强，核心仍考查消元思想与运算能力，难度中等。 考点04二元一次方程组的应用——古代问题 2026 烟台卷 2025 山东统考卷 2024 日照 / 威海 / 泰安卷 以选择题为主、填空题为辅，分值 3-4 分。素材均源自《九章算术》《算法统宗》等典籍，涵盖盈不足、度量、价格等经典模型。山东统考后保留该考点，侧重古文阅读理解与等量关系提取，题型稳定，是高频基础考点，整体难度偏低。 考点05二元一次方程组的应用——现代问题 2026 山东统考卷 2025 烟台卷 2024 淄博 / 济南 / 东营 / 济宁卷 以解答题为核心、单选题为辅，分值 8-10 分。2024-2025 年侧重采购方案、利润最值，常结合一次函数、不等式考查最优方案；2026 年统考后延续该模式，情境贴合非遗、新能源、生态修复等山东本地热点，综合性逐年增强。 考点01 解一元一次方程 一、多选题 1．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 【答案】AC 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题； B、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题； C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题； D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题． 故选：AC． 二、填空题 2．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 考点02 一元一次方程的实际应用 一、单选题 1．（2026·山东·中考真题）在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25分钟走了，停留15分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25分钟走了，设出发后分钟小英追上小杰，根据两人路程相等列方程求解即可 【详解】解：由图象可知，小英在内行走了， 小英的速度为， ∵小杰在内行走了， 小杰的速度为， 小英途中停留了， 小英再次出发的时刻为第，此时路程为， 设小英追上小杰的时刻为出发后， 根据题意得：， 解得， 两人从起点出发， 小英追上小杰的时刻是． 2．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 二、填空题 3．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为______． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 三、解答题 4．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 5．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）设注水时间为x小时，根据蓄水池的底面积乘以水位的总高度，得出蓄水的总体积，再乘以每立方米的发电量，等于本次要求的发电量，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：设注水时间为x小时， 根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 6．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 考点03 解二元一次方程组 一、单选题 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 二、解答题 2．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 3．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 考点04 二元一次方程组的应用——古代问题 一、单选题 1．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 2．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 3．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 4．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 二、填空题 5．（2026·山东烟台·中考真题）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列关于，的方程组为__________． 【答案】 【分析】根据五人同车三车空，四人同车九步行，列方程组即可解决． 【详解】解：设有辆车，个人，由题意得， ． 考点05 二元一次方程组的应用——现代问题 一、单选题 1．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 二、解答题 2．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． (2)购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解； （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，得出总费用，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组： ， 解得：， 答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个． ， 解得（为整数）． 设总费用为，则． 因，则随增大而增大，故当时，最小． （元） 此时内画瓶数量为，最少费用为元． 答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 3．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 4．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 (2)修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． （2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 5．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大载客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 6．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 一、单选题 1．（2026·山东淄博·一模）已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解方程得到x关于a的表达式，再根据根的取值范围列出不等式，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解： 若时，方程化为，无解，故； 当时， ∵ 方程的根在和之间 ∴ ∴， ∵为正数， ∴ ∴ ． 2．（2026·山东临沂·二模）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“总利润=每套利润×购买套数”表示出两种方案的总利润即可列方程。 【详解】解：设每套课桌椅的成本为元， 原订购60套，每套售价100元，每套利润为元， 原方案总利润为元； 实际购买72套，每套减价3元，实际每套售价为元，每套利润为元， 实际方案总利润为元， 两种方案利润相同， 列方程得． 3．（2026·山东临沂·二模）如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设卖出份早餐组合，则单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个，根据今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】解：设卖出份早餐组合，则单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个， 根据题意，得， 解得， 则早餐组合的收入为（元）， 故售出早餐组合的收入的范围是． 4．（2026·山东聊城·二模）若，则的算术平方根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方和绝对值的非负性得，求解，后计算，再求出的算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∵算术平方根为非负数， ∴的算术平方根为． 5．（2026·山东德州·二模）若，满足，，则代数式的值可以是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，将，用含参数的代数式表示，代入所求代数式化简，根据平方的非负性判断即可得到结果． 【详解】解：， 得 ， 得 ， 解得：， 将代入②， 得 ， 整理得 ， 解得：， ∴ ， ， ， 因此代数式的值可以为． 6．（2026·山东临沂·二模）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先通过消元法解方程组，得到用表示的，再逐一验证四个结论，用到二元一次方程组解法，象限内点的坐标特征等知识点． 【详解】解：， 由，可得， 把代入，得， 即方程组的解为， 当时，，， 代入，满足方程，故①正确； 若，则，整理得，解得， 即存在实数满足条件，故②正确； ∵， ∴不论取何值，恒为，值不变，故③正确； 若点落在第三象限，需满足且，即， 解得，该不等式组无解， ∴没有点落在第三象限，故④正确． 综上，四个结论都正确，选项D符合题意． 7．（2026·山东枣庄·二模）在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为元，大巴每辆租金为元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（     ） ①大巴租金比中巴贵180元／辆； ②用7200元恰好可租4辆大巴和5辆中巴； ③若将7200元全部租用中巴，比全部租用大巴多2辆． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给出的租金关系和数量关系，推导列出正确方程，再对比选项得到答案． 【详解】解：设中巴每辆租金为元，大巴每辆租金为元，大巴租金比中巴贵180元/辆， ∴ ∵7200元全部租用中巴比全部租用大巴多2辆，全部租用中巴的数量为，全部租用大巴的数量为 ∴可列方程 ， 与选项B一致． 8．（2026·山东潍坊·二模）《孙子算经》是中国古代重要数学著作，文中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数，甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”大致意思为：“甲、乙两人带着钱，不知道有多少．若甲得到乙钱数的，则甲的钱数为48；若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48．问甲、乙各持有多少钱？”下列结论正确的是（     ） A．甲持有24钱，乙持有36钱 B．甲持有36钱，乙持有24钱 C．甲持有12钱，乙持有36钱 D．甲持有36钱，乙持有12钱 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意设出未知数，列出方程组求解即可得到结果． 【详解】解：设甲原持有钱，乙原持有钱. 根据题意列方程组得， 解得， . 答：甲原持有钱，乙原持有钱． 9．（2026·山东德州·二模）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（     ） A．鸡的数量 B．鸡的总价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，理清题中各量的关系，根据方程对应的等量关系即可判断的意义． 【详解】解：由题意可知，9是每人出的钱数，11是多出的钱数，16是还差的钱数， ∵总出钱数人数每人出的钱数， 第一个方程表示“每人出9钱，余11钱”， 即所有人出的总钱数比鸡的总价多11钱， ∴9乘得到总出钱数， 因此表示买鸡的人数， 第二个方程也符合“每人出6钱，差16钱”的等量关系， 故表示买鸡的人数． 10．（2026·山东潍坊·二模）《九章算术》中有一个关于“粟、米、麦”的问题，大意是：4斗粟等价兑换2斗米，5斗粟加2斗麦总价为31；3斗米加4斗麦总价为42．设每斗粟价格为，每斗麦价格为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据粟和米的兑换关系，得到每斗米的价格用的表达式，再根据两个总价条件列出方程组，对比选项得到结果． 【详解】∵设每斗粟价格为，每斗麦价格为，且斗粟等价兑换斗米， ∴斗粟的价格等于斗米的价格，计算得每斗米的价格为. ∵斗粟加斗麦总价为， ∴列方程得：， ∵斗米加斗麦总价为，每斗米价格为， ∴列方程得：， 因此可列方程组为． 二、填空题 11．（2026·山东东营·一模）用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 【答案】12 【分析】本题考查一元一次方程在实际配套问题中的应用．根据配套关系得到盒底数量是盒身数量的倍，据此设未知数列出方程，再解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：设需要张硬纸板做盒身，则做盒底的硬纸板为张．根据题意，得， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得． 12．（2026·山东淄博·一模）观察表一，寻找规律，表二和表三分别是从表一中选取的一部分，则__________． 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 11 3 7 11 15 … 14 11 13 … … … … … a 17 b 表一 表二 表三 【答案】 【详解】解：首先要熟悉表（一）中，各行和各列中数字之间的规律：第一行是从0开始连续的整数．第二行是从1开始依次多2．第三行是从2开始依次多3．．各列的规律和对应各行的规律一致． 表（二）中，根据发现的规律，得，即． 表（三）中，，即． ． 13．（2026·山东泰安·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了_____里． 【答案】192 【分析】设第六天走的路程为里，根据每天走的路程为前一天的一半，可推出前五天的路程，根据六天总路程为378里，建立一元一次方程求解，即可得到第一天走的路程． 【详解】解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，第四天走的路程为里，第三天走的路程为里，第二天走的路程为里，第一天走的路程为里， 依题意列方程得：， 合并同类项得：， 解得：． 则第一天走的路程为里． 14．（2026·山东临沂·一模）已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】运用整体思想，将，得到，结合，求出的取值范围，再选取一个合适的整数即可． 【详解】解：， 将，得， ∵， ∴， 解得， ∴可取．（答案不唯一） 15．（2026·山东泰安·一模）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，所以．若s、t都是“迥异数”，其中，，（，，x、y都是正整数），当时，的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，先根据“迥异数”定义推导得等于的三个数位上的数字和，再分别表示出和，结合条件得到，根据“迥异数”数位要求筛选出符合的，计算对应比值后比较得到最小值，理解新定义是解题关键． 【详解】解：设“迥异数”，其中 ，且互不相等， 对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，∴ ， ，三个数位数字为 ， ， ，三个数位数字为 ， ， 由 得： ， 整理得， 都是正整数，都是“迥异数”，因此满足，，，，，， 可得符合条件的组合为，， 当时，， 当时， ， ， 的最小值为， 故答案为． 三、解答题 16．（2026·山东德州·二模）“非遗传承，匠心味道”，德州特产火腿作为地方特色美食，其传统工艺被列入非物质文化遗产．某经销商主营A、B两款礼盒装火腿，已知：A款礼盒进价50元/盒，B款礼盒进价60元/盒；售出2盒A款和1盒B款共收入192元，售出3盒A款和5盒B款共收入540元． (1)求A、B两款礼盒的售价分别为多少元/盒？ (2)为推广非遗产品，经销商对A款礼盒开展促销；若每盒降价1元，每天销量可增加10盒．已知A款礼盒原每天销量60盒，且降价后售价不低于进价．设每盒A款礼盒降价元，每天销量为盒，求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的促销方案下，设A款礼盒每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式（利润=单盒利润×销量）； ②若要实现每天A款礼盒利润最大化，则需降价多少元，此时最大利润是多少？ 【答案】(1)A款礼盒的售价为元盒，B款礼盒的售价为元盒 (2) (3)①；②A款礼盒每盒售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）设每盒A款礼盒的售价为元，则每盒B款礼盒的售价为元，根据题意列出方程求解即可； （2）由题意得：，再由题意确定x的取值范围即可； （3）①根据题意得出，化简即可；②结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每盒A款礼盒的售价为元，则每盒B款礼盒的售价为元， 根据题意得：， 解得， ∴每盒B款礼盒的售价（元， 答：A款礼盒的售价为元盒，B款礼盒的售价为元盒； （2）解：由题意得：， ∵A款礼盒进价元盒，售价为元盒，且每盒售价不低于进价， ， 答：； （3）①解：， ②， 当时，有最大值， 答：A款礼盒每盒售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元． 17．（2026·山东淄博·一模）情景与对话： 情景：小明和小亮同时出发，从甲地到乙地． 对话：小明说：我走完全程的一半时，小亮才走了16千米． 小亮说：我走完全程的一半时，小明已走了25千米． 问题与探索： 小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？ 【答案】8 【分析】设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为，根据两次行走的时间相等列出等式，求出全程长度，再计算小明走完全程时小亮走的路程，最终得到小亮未走完的路程． 【详解】解：设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为， 当小明走完全程一半时，两人所用时间相等，得， 整理得， 当小亮走完全程一半时，两人所用时间相等，得， 整理得， ∴，即， ∵， ∴， 全程长度为千米， ∴速度比，即， 小明走完全程的时间为， 这段时间内小亮走的路程为：（千米）， 小亮未走完的路程为（千米） 答：小明走完全程时，小亮未走完的路程还有千米． 18．（2026·山东淄博·二模）解二元一次方程组： 【答案】 【详解】解：原方程组可化为 ，得， 解得， 将代入①，得 ∴二元一次方程组的解为． 19．（2026·山东德州·二模）为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． (1)租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ (2)经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 【答案】(1)租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元 (2)租用大型客车15辆，小型客车10辆，才能使费用最少，最少为元 【分析】（1）设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元，列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出关于的不等式组，求出的值，表示出总费用求解即可； 【详解】（1）由题意，设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元， ， ，． 答：租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元； （2）由题意，大型客车辆，则小型客车辆， ， ， 又为整数， 或16， 又，且， 随增大而增大， 当时费用最少，此时大型客车为15辆，小型客车：（辆）， 最少费用：（元）． 20．（2026·山东临沂·二模）某新能源电池厂准备安装甲、乙两种型号的生产线．已知，同时开启一条甲型和一条乙型生产线每月可生产电池共200吨；同时开启一条甲型和两条乙型生产线每月可生产电池共280吨． (1)求一条甲型生产线和一条乙型生产线每月各生产电池多少吨？ (2)为扩大生产规模，工厂计划安装相同型号的甲、乙两种生产线共5条，现接到一个订单，要求4个月生产电池不少于2000吨，问至少需要安装多少条甲型生产线？ 【答案】(1)甲型生产线每月生产电池120吨，乙型生产线每月生产电池80吨 (2)3条 【分析】（1）列二元一次方程组解决实际问题； （2）根据题意列出不等式解决实际问题． 【详解】（1）解：设一条甲型生产线每月生产x吨，一条乙型生产线每月生产y吨．由题意得，    解得 答：一条甲型生产线每月生产120吨，一条乙型生产线每月生产80吨； （2）解：设安装甲型生产线m条，则乙型生产线条， 根据4个月总产量不少于2000吨，列不等式， ， 解得， 又∵m为整数， ∴m最小取3． 答：至少需要安装3条甲型生产线． 21．（2026·山东聊城·二模）2026年，山东省持续推进黄河三角洲生态湿地修复工程，东营市某生态修复基地计划采购甲、乙两种新型节水灌溉设备，用于湿地植被养护．已知采购2台甲种设备和3台乙种设备共需要11.5万元；采购3台甲种设备和1台乙种设备共需要8.5万元．如果该基地计划一共采购甲、乙两种设备共50台，设采购甲种设备x台，采购总费用为y万元，总费用y与x之间满足一次函数关系．若受场地限制，乙种设备的数量不能少于甲种设备数量的1.5倍． (1)求甲、乙两种节水灌溉设备的单价各是多少万元？ (2)直接写出总费用y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并求出在满足所有限制条件下，如何采购可使总费用最低？最低费用是多少万元？ 【答案】(1)甲种节水灌溉设备的单价2万元，乙种节水灌溉设备的单价2.5万元 (2)，（x为整数）；采购甲20台、乙30台，最低费用115万元 【分析】（1）设甲种节水灌溉设备的单价m万元，乙种节水灌溉设备的单价n万元，根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意即可得到总费用y关于x的函数解析式，进而得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求最低费用即可． 【详解】（1）解：设甲种节水灌溉设备的单价m万元，乙种节水灌溉设备的单价n万元． 根据题意可得， 解得． 答：甲种节水灌溉设备的单价2万元，乙种节水灌溉设备的单价2.5万元． （2）解：设采购甲种设备x台，则采购乙种设备台， 根据题意得：； 由，得， 又， ∴（x为整数）； ∵，y随x增大而减小， ∴时，可使总费用最低，且． 答：采购甲20台、乙30台，最低费用115万元． 22．（2026·山东东营·二模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】(1)小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量 (2)小亮安排个深蹲消耗的热量最多 【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量，根据题意列出方程组并求解即可； （2）设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡，根据题意可得，变形得．由题意可列不等式组，解得，容易得到，结合一次函数的增减性与的取值范围，判断的最大值，和对应的的值． 【详解】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量， 根据题意可列方程： ， 解得， 答：小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量； （2）解：设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡， 根据题意，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值． 答：小亮安排个深蹲消耗的热量最多． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $