专题04 二次根式（1年汇编）（江苏专用）2026年中考数学真题分类汇编

专题04 二次根式 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 二次根式有意义的条件 2026 常州卷 以填空题为主。考查二次根式被开方数≥0，题型简单，一般直接求自变量取值范围，偶尔开放型填空，写出一个符合条件的值即可，属于基础送分题。 考点 02 二次根式的运算 2026 扬州卷、2026 常州卷、2026 无锡卷 包含实数混合运算、整式与根式化简计算，常结合零次幂、特殊角三角函数；同时会和几何综合题融合，搭配正八边形、菱形、旋转几何模型，题型覆盖计算、填空、解答大题。侧重根式化简、实数运算基本功，常结合几何模型进行综合计算，对计算能力要求较高。 考点01 二次根式有意义的条件 1．（2026·江苏常州·中考真题）若式子有意义，则实数的值可以为__________．（填一个符合要求的的值即可） 考点02 二次根式的运算 1．（2026·江苏扬州·中考真题）计算： (1) ； (2)． 2．（2026·江苏常州·中考真题）八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 3．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 4．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 1．（2026·江苏泰州·二模）函数的部分图象如图所示，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（     ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．函数值y有最小值为1 C．该函数图象与y轴的交点为 D．函数图象不经过第二象限 2．（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）下列运算正确的是 A． B． C． D． 4．（2026·江苏徐州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏泰州·一模）下列各数中，可使式子有意义的的取值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 7．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 10．（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 11．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 12．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（     ） A．x1=-，x2= B．x1=，x2= C．x1=2-，x2= D．x1=，x2= 13．（2026·江苏盐城·一模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·江苏扬州·二模）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏扬州·二模）将二次根式化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·江苏南京·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 17．（2026·江苏南京·二模）估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 18．（2026·江苏徐州·一模）已知实数a满足 ，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏徐州·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，则=________． 21．（2026·江苏南京·三模）计算：____________． 22．（2026·江苏南京·三模）计算的结果是__________． 23．（2026·江苏南京·三模）比较大小：_____（填“>、<或=”）． 24．（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______． 25．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，则__________． 26．（2026·江苏常州·三模）比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 27．（2026·江苏常州·二模）已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 28．（2026·江苏泰州·模拟预测）计算：_________． 29．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：的结果是______． 30．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：_____，_____． 31．（2026·江苏泰州·三模）在实数范围内分解因式：______． 32．（2026·江苏常州·一模）计算:_____________________． 33．（2026·江苏南通·三模）计算、化简求值： (1)计算：； (2)化简求值：，其中． 34．（2026·江苏盐城·三模）计算：． 35．（2026·江苏苏州·二模）先化简，再求值：，其中． 36．（2026·江苏南通·一模）按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 37．（2026·江苏南通·一模）七年级数学下册课本中介绍“求差法比较大小”：两个数（或代数式）的大小可以通过它们的差来判断，比如对和比较大小，那么，当时，则；当时，则；当时，则． (1)比较和的大小； (2)比较与的大小． 38．（2026·江苏南京·模拟预测）证明：当时，． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04二次根式 1年真题1年模拟 一年真题分类园 考点01二次根式有意义的条件 1. 【答案】1（答案不唯一） 考点02二次根式的运算 【答案】0)2-1 (2)ab 2. 【答案】20 3 【答案】(Q)如图即为所求作图形： g123 4. 【答案】(I)AE 113 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)1C-v10 1 6)3 一年模拟练测园 题号 2 3 5 6 9 10 答案 D C C C A B D B C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 B D C B C B 20.5+√2 21.1 22.1 23.< 24.2 25.2 26.> 27.52 28.4v5 29.V5+2 3235 30. 2 2/2 31.2(a+22)a-22) 32.2025 33.(1)-6 2)x+3,-2 34.4 213 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a+2 35.化简结果为4，值为3+2√2· 36.a025 :②C:③a=b 2020.10,@6+6N5 37.(1)x2>2x-2 2)3-V6>v6-2 38 证明：a>0,b>0, 80,20, :.a -8g。 化每得。-2+名之0. b z2 …ab 十 313 专题04 二次根式 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 二次根式有意义的条件 2026 常州卷 以填空题为主。考查二次根式被开方数≥0，题型简单，一般直接求自变量取值范围，偶尔开放型填空，写出一个符合条件的值即可，属于基础送分题。 考点 02 二次根式的运算 2026 扬州卷、2026 常州卷、2026 无锡卷 包含实数混合运算、整式与根式化简计算，常结合零次幂、特殊角三角函数；同时会和几何综合题融合，搭配正八边形、菱形、旋转几何模型，题型覆盖计算、填空、解答大题。侧重根式化简、实数运算基本功，常结合几何模型进行综合计算，对计算能力要求较高。 考点01 二次根式有意义的条件 1．（2026·江苏常州·中考真题）若式子有意义，则实数的值可以为__________．（填一个符合要求的的值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的要求，被开方数需为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，任选范围内一个值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数， ∴ ， 解得 ， 在取值范围内任取一个值即可，例如． 考点02 二次根式的运算 1．（2026·江苏扬州·中考真题）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（2026·江苏常州·中考真题）八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 【答案】 【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ∴， 设， ∴，即， 解得，， ∴正方形边长为， ∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒， ∴硬纸盒底面的边长至少为． 3．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 【答案】(1)如图即为所求作图形： (2) 【分析】（1）根据题意可知作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O，在下方截取即可； （2）设，则，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理列方程得值，进而求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 四边形是菱形 ， 在中，，， ， 即，解得（舍负）． ． 菱形的周长为． 4．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，，则点的对应点必在线段上． （2）在中利用勾股定理可求得，从而得到，再在中利用勾股定理即可求得的长． （3）过点作于点，设，则，，从而得到．在中利用锐角三角函数可求得的长，在和中利用勾股定理可依次求得，的长，再由锐角三角函数的定义即可求得的值，由旋转可知，，即可求得的值． 【详解】（1）解：将绕点按顺时针方向旋转，得到，是点的对应点，则， ． 是点的对应点， 点在线段上． （2）解：由旋转可知，，． 在中，， ． ， ， 在中，， （负值已舍去）． （3）解：如图，过点作于点． 设，则，， ． ， ． 在中，． 在中，． 在中，， ． 由旋转可知，， ． 1．（2026·江苏泰州·二模）函数的部分图象如图所示，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（     ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．函数值y有最小值为1 C．该函数图象与y轴的交点为 D．函数图象不经过第二象限 【答案】D 【分析】此题考查了从函数图象获取信息．根据解析式求得自变量的取值范围，进而判断C,D选项，进而得出，即可判断B选项，选取特殊值求得函数值，进而判断A选项，即可求解． 【详解】解：函数 ∴ ∴，则函数图象在的右侧； C. 该函数图象与y轴没有交点，故该选项不正确，不符合题意；     D.函数图象不经过第二象限，故该选项正确，符合题意； ∵， ∴ B. 函数值y有最小值不为1，故该选项不正确，不符合题意； 当时， 当时，， 当时， A. 函数值y随自变量x的增大，不是一直增大的，故该选项不正确，不符合题意． 2．（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时满足二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，据此列不等式求解即可. 【详解】∵函数 中， 是二次根式且在分母位置， ∴被开方数需满足 ，同时分母满足 ， 联立得 ， 解得 ． 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）下列运算正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】积的乘方，同底数幂相除，完全平方公式和二次根式的性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 4．（2026·江苏徐州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 5．（2026·江苏泰州·一模）下列各数中，可使式子有意义的的取值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为0，据此列出不等式确定x的范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵ 式子有意义 ∴ 需同时满足二次根式和分式有意义的条件． 即 解得 且 ． 结合选项可知，只有符合条件． 6．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 7．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据密度公式是解题关键，代入数值化简二次根式即可得到结果. 【详解】解∵密度公式为，已知，， ∴． 8．（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解得． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 10．（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 11．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握物体的密度质量体积是解题的关键． 根据物体的密度公式计算即可． 【详解】解：它的密度ρ为． 故选：B． 12．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（     ） A．x1=-，x2= B．x1=，x2= C．x1=2-，x2= D．x1=，x2= 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，先由已知点求出二次函数的常数项和对称轴，将所求方程变形为二次函数的形式，结合已知点和对称性即可求出方程的解． 【详解】点在二次函数的图象上， ，二次函数解析式为， ，纵坐标相等， 二次函数的对称轴为直线， 方程变形得，即求二次函数时的值， 点在二次函数图象上， 是方程的一个解， 设方程的另一个解为，由对称性得， 解得， 方程的解为，． 13．（2026·江苏盐城·一模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项合并、同底数幂乘法、幂的乘方、二次根式加法的法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，与不是同类项，不能合并，A错误； 选项B，根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，可得，B错误； 选项C，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得，计算正确，C正确； 选项D，与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 14．（2026·江苏扬州·二模）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A计算错误． 选项B：，B计算错误． 选项C：，C计算正确． 选项D：，D计算错误． 15．（2026·江苏扬州·二模）将二次根式化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 即化简结果为． 16．（2026·江苏南京·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 观察选项，只有的被开方数为， 故选：B ． 17．（2026·江苏南京·二模）估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算化简后结果的大小范围，即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， ， 在2和3之间． 即的值应在2和3之间． 18．（2026·江苏徐州·一模）已知实数a满足 ，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值的和，分不同范围去绝对值化简，判断等式成立的条件，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴原等式可化为 ， 分三种情况讨论： ①当时， ∵，， ∴原式， 令， 解得，与矛盾，此范围不成立； ②当时， ∵，， ∴原式，等式恒成立； ③当时， ∵，， ∴原式， 令， 解得，与矛盾，此范围不成立； 综上，的取值范围是． 19．（2026·江苏徐州·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式将分母有理化，化简后即可得到结果． 【详解】解：原式． 20．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，则=________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 21．（2026·江苏南京·三模）计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 22．（2026·江苏南京·三模）计算的结果是__________． 【答案】1 【详解】解：原式． 23．（2026·江苏南京·三模）比较大小：_____（填“>、<或=”）． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，判断两个数的正负性，根据有理数大小比较法则“负数小于正数”即可比较大小． 【详解】解：， ， ，， 可得， 根据负数小于正数，得． 24．（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 25．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，则__________． 【答案】 【分析】过点作于点，将分割为两个直角三角形，利用锐角三角函数表示出线段和，结合的长度建立方程求出的长，进而求出的长． 【详解】解：过点作于点．设． 在中，，， 是等腰直角三角形， ． 在中，，， ． ， ． 解得． ． 在中，． 26．（2026·江苏常州·三模）比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【答案】> 【分析】可先计算两个数的平方，通过比较平方的大小判断原数的大小，平方更大的原数更大，据此即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 27．（2026·江苏常州·二模）已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 【答案】 【分析】先根据已知公式推导出密度的表达式，再代入和的值，利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：由公式 可得 ，将，代入得： ． 28．（2026·江苏泰州·模拟预测）计算：_________． 【答案】 【分析】先将原式中每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 29．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：的结果是______． 【答案】 【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果． 【详解】解： ， ∴的结果是． 30．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：_____，_____． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次根式的除法与减法，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）； （2）． 故答案为：；． 31．（2026·江苏泰州·三模）在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合运用提公因式法与平方差公式，因式分解的步骤一般是：先考虑提公因式法，其次考虑公式法，这是因式分解的两种基本的方法． 先提公因式，然后再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 32．（2026·江苏常州·一模）计算:_____________________． 【答案】2026 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：2026． 33．（2026·江苏南通·三模）计算、化简求值： (1)计算：； (2)化简求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先化简绝对值、计算正弦、负整数指数幂、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，最后将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ， 将代入得：原式． 34．（2026·江苏盐城·三模）计算：． 【答案】4 【分析】先根据绝对值的性质，乘方，零次幂，特殊角的三角函数值进行化简，再计算即可． 【详解】解： ． 35．（2026·江苏苏州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为． 【分析】根据分式的运算法则先化简原式，再把代入，然后通过分母有理化计算出最终结果． 【详解】解： ， 将代入得， 原式 ． 36．（2026·江苏南通·一模）按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 【答案】(1)①；②C；③ (2)①，；② 【分析】（1）①由，再代入计算即可；②由表格信息总结归纳可得答案；③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值；②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，，， ∴， 当时，， ， ∴ ， ∴ ， ③当时，，， ∴当，满足条件时，； （2）解：①， ，， 结合（1）中结论可得，当时，代数式取得最大值； ，最大值为； ②在中，，， ， ， 当最大，则最大， ，结合（1）中结论可得，， 当时，最大，最大值为， 此时，， 周长的最大值为：． 37．（2026·江苏南通·一模）七年级数学下册课本中介绍“求差法比较大小”：两个数（或代数式）的大小可以通过它们的差来判断，比如对和比较大小，那么，当时，则；当时，则；当时，则． (1)比较和的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意利用求差法比较即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ． （2） ， ， ． 38．（2026·江苏南京·模拟预测）证明：当时，． 【答案】 证明：∵，， ∴ ，， ∴ 即 化简得， ∴． 【分析】根据，，可得和均为正数，通过展开完全平方整理即可得到结论． 【详解】略 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $