专题02 整式及其运算（1年汇编）（江苏专用）2026年中考数学真题分类汇编

专题02 整式及其运算 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 代数式及代数式求值 2026 盐城卷、徐州卷、苏州卷、宿迁卷 包含选择、填空与解答题型。命题常结合江苏本地生活情境列代数式，高频考查整体代入求值；部分考题结合多边形规律、密码模型，将代数式与新定义背景融合。侧重阅读理解，核心为整体思想，设问灵活，综合性逐步增强。 考点 02 整式的运算 2026 扬州卷、宿迁卷、常州卷 以选择题判断运算正误为主，也会在解答大题中出现整式化简。重点考查同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等运算法则。命题侧重辨析易混淆幂运算公式，常融合零次幂、三角函数进行混合计算，易错点集中在符号与指数处理。 考点 03 乘法公式 2026 南通卷、宿迁卷、扬州卷、常州卷 选择、填空、解答题均有涉及。平方差、完全平方公式为核心，常结合几何图形面积模型命题，借助图形直观验证公式。既考查公式直接计算，也会利用公式变形求代数式的值，数形结合特征明显。 考点 04 因式分解 2026 苏州卷、常州卷、宿迁卷、连云港卷 以填空题为主，少量选择题。考查提公因式法、公式法（平方差、完全平方），多为两步分解。命题侧重基础分解，常和整式乘法互逆考查，易错点是分解不彻底，需要分解到不能再分解为止。 考点01 代数式及代数式求值 1．（2026·江苏盐城·中考真题）在“苏超”场外市集上，小明购买了个“麋鹿王”、个“盐小勺”、个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将四边形、五边形、六边形的纸片从一个顶点出发，沿对角线剪成若干个三角形纸片．照此方法，若将一个边形纸片剪开，则所得三角形纸片的个数为___________． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 4．（2026·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 5．（2026·江苏宿迁·中考真题）生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 (1)求a，b的值； (2)求密文的明文． 考点02 整式的运算 1．（2026·江苏扬州·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏常州·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）计算： (1) ； (2)． 考点03 乘法公式 1．（2026·江苏南通·中考真题）在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）已知，，则的值为 ． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿，剪开，可拼成正方形．若，，则的面积是_______． 4．（2026·江苏常州·中考真题）计算： (1)． (2)． 考点04 因式分解 1．（2026·江苏苏州·中考真题）若，其中，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·江苏常州·中考真题）分解因式：__________． 3．（2026·江苏宿迁·中考真题）因式分解：____________． 4．（2026·江苏连云港·中考真题）分解因式：______． 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知是一个四位数，若，则这个四位数一定能被（     ） A．2整除 B．3整除 C．7整除 D．11整除 3．（2026·江苏盐城·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏盐城·三模）我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（     ） A．1 B．- C．3 D． 5．（2026·江苏南京·二模）下列计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏南通·二模）若，是正整数，且满足，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南通·三模）若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（2026·江苏扬州·二模）下列运算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏扬州·二模）若，则的值可能是（    ） A． B．3 C． D．2 12．（2026·江苏泰州·二模）我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”．观察下列按规律排列的算式： …… 按照此规律，下一个等式是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 14．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．与取值有关 15．（2026·江苏徐州·一模）函数图像的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（   ） A．4个 B．3个 C．1个 D．2个 16．（2026·江苏南通·模拟预测）若实数，满足，，则等于（   ） A． B． C．或 D．或 17．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 18．（2026·江苏无锡·一模）下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏无锡·一模）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·江苏苏州·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 22．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都相等，则的值是____． 23．（2026·江苏南京·三模）计算的结果是__________． 24．（2026·江苏南京·三模）我国科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”，“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．1皮秒仅相当于秒．则400皮秒用科学记数法表示为_____秒． 25．（2026·江苏徐州·三模）如图图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，，按此规律可知，第n个图案中黑点的个数为___________ 26．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知为实数，，，则_____（填“”，“”或“”）． 27．（2026·江苏泰州·三模）若 ，则_____________． 28．（2026·江苏南通·二模）某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟组装个零件．若该机器人搭载个机械手（），则该机器人平均每分钟组装的零件个数是____． 29．（2026·江苏徐州·二模）观察下列由边长为1的小正方形组成的图形规律，照此规律，第个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数可表示为______． 30．（2026·江苏南通·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，，就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是___． 31．（2026·江苏南通·二模）的结果是__________． 32．（2026·江苏常州·一模）若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 33．（2026·江苏苏州·一模）代数式，则的值为__________ 34．（2026·江苏泰州·一模）若一次函数的图象经过点，则的值为______． 35．（2026·江苏南京·一模）计算的结果是______． 36．（2026·江苏苏州·一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 37．（2026·江苏扬州·一模）设、、、为正整数，且，，，则___________． 38．（2026·江苏徐州·一模）我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了如图所示数表，人们称这个图表为“杨辉三角”，这个数表给出了（n为非负整数）的展开式的系数规律． （n为非负整数）展开式的每一项按照字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它的展开式只有一项，系数为1； ，它的展开式有两项，系数分别为1，1； ，它的展开式有三项，系数分别为1，2，1； ，它的展开式有四项，系数分别为1，3，3，1； 观察杨辉三角和上面的等式，你会发现其中的规律，根据规律就可得出的展开式有______项，其中的系数为_______． 39．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 40．（2026·江苏无锡·一模）已知n是常数，若和是同类项，则________． 41．（2026·江苏南通·模拟预测）表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数； ②； ③的最小值是36； ④若，，则符合条件的最小的n值为11． 其中正确的有_______． 42．（2026·江苏苏州·二模）分解因式：______． 43．（2026·江苏南京·二模）化简分式的结果是________． 44．（2026·江苏苏州·三模）若，则______． 45．（2026·江苏盐城·二模）有一种明码为自然数的密码产生法，原理是：对于多项式因式分解的结果，若取，作为明码，则各个因式的值是：，，，把这些值从大到小排列得到128160，于是就可以把“128160”作为一个六位数的密码．那么，对于多项式，若给定明码x，y的值，所产生的密码为201510，请写出明码_________． 46．（2026·江苏苏州·一模）已知方程组，则_________． 47．（2026·江苏南通·模拟预测）分解因式：_______________． 48．（2026·江苏淮安·模拟预测）探索题． 如图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形． (1)仔细观察，你能发现图中铺瓷砖的规律吗？请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数_______． (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为，请算出第20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 49．（2026·江苏南京·三模）求证：当n为整数时，能被2整除． 50．（2026·江苏盐城·三模）先化简，再求值：，其中． 51．（2026·江苏南京·三模）计算： (1)； (2)． 52．（2026·江苏南通·二模）已知，其中为实数． (1)求的值； (2)若整式满足，求证：． 53．（2026·江苏宿迁·二模）先化简，再求值：，其中，． 54．（2026·江苏盐城·二模）结合如图所示的数轴，比较代数式与的大小． 55．（2026·江苏盐城·二模）若一个四位数的各数位上的数字互不相等且满足，则称这个四位数为“友善四位数”．例如：四位数，因为，所以四位数是友善四位数． (1)判断 是不是友善四位数，并说明理由； (2)已知四位数（千位数字为，十位数字为）是友善四位数，则这个友善四位数是________； (3)若是一个友善四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数，求证：能被整除． 56．（2026·江苏盐城·三模）【阅读思考】 代数证明是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个命题的正确性，如表所示： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． ∵① ② 又能被2整除 ∴能被2整除 ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 【解决问题】 (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于_______（填写“整式的乘法” 或 “因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被整除． 57．（2026·江苏南京·模拟预测）证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02整式及其运算 1年真题1年模拟 一年真题分类园 考点01代数式及代数式求值 1.A 2. 【答案】 n-2 3. 【答案】 9 4. 【答案】2 5. 【答案】(I) a的值为1，b的值为-3 (2) 密文(4 的明文为1 考点02整式的运算 1.B 2.D 3.C 4. 116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】0)2-1 (2)ab 考点03乘法公式 1.B 2. 【答案】2 3. 31 【答案】4 4. 9 【答案】4)2 (2)4x+8 考点04因式分解 1.B 2. 【答案】 (m+3)2 3 【答案】 y(x+y) 4. 【答案】 (a+2)(a-2) 一 年模拟练测园 题号 1 2 3 × 6 6 7 6 9 10 答案 C D C C C D D B A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D A C C C D D 216 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.9803 22.-9 23.1 24.4×10-10 25.2 3n2+n 26.> 27. -4或-12 28.10t 29.2n-1 30.15 3.8r 32. -8 33.-5 34.3 35.7a 36.2a=b+c 37.-601 38 6 10 39.-10130x2026 40.8 41.③④ 42.(x-3)月 .+y x-y 316 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 44. 1 45.x=15,y=5 465 47.(5-x(x-) 48.)(n+1) (2)210块 ea+a+2,1596块 49.证明：a+2y-(3m+4)=2+4n+4-3n-4=m+n=n(n+1) 当n为奇数时，则1+1是偶数，+)是铜数，故+)能被2整除； 当为憫数时，则n+1是奇数，+)是偶数，枚2+) 能被2整除： 综上所述， (+2-(3n+4)能被2整除。 50. a2+2a+23 9 51.)16 2a2+b2 (2) 52.(1)4 (2)证明：A+6=P-2Q :.A=P-20-6=-2m2+4m+4(m2-2m+2）-6 =2m2-4m+2 =2(m-1)20 416 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 53. 5y2,5 54.m2-2mn+n2>m2-n2 55.(1)解：5678是“友善四位数”，理由如下： .四位数5678， ∴.各数位数字为a=5,b=6,c=7,d=8, 各数位数字互不相等， 又，a+d=5+8=13,b+c=6+7=13,满足a+d=b+c, .5678是友善四位数： (2)8710或8912 3)i证明：P=abed=dcba .P=1000a+100b+10c+d,2=1000d+100c+10b+a, .P+9=1001a+110b+110c+1001d, P+Q=1001(a+d)+110(b+c) 整理得， P是友善四位数， ..a+d=b+c, :P+0=10o1(a+d)+10(a+d)=111a+d) ,a,d都是整数， :1山(a+)能被l11整除，即P+2能被1整除。 56.(1) 因式分解 2) :m+m+2=mm+1)+2 ,m>0,m是奇数， .m+1是偶数， 516 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .m(m+)能被2整除， .2能被2整除， m(m+)+2能被2整除， 即m2+m+2能被2整除. 57. 证明：，任意个位数是5的整数都可以写成10n+5的形式，其中n为整数， :.(10m+5)}=100m2+100m+252=25(4n2+4n+1） 又n为整数， .4n2+4n+1为整数， :（00m+5)是25的整数倍， 即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除. 616 专题02 整式及其运算 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 代数式及代数式求值 2026 盐城卷、徐州卷、苏州卷、宿迁卷 包含选择、填空与解答题型。命题常结合江苏本地生活情境列代数式，高频考查整体代入求值；部分考题结合多边形规律、密码模型，将代数式与新定义背景融合。侧重阅读理解，核心为整体思想，设问灵活，综合性逐步增强。 考点 02 整式的运算 2026 扬州卷、宿迁卷、常州卷 以选择题判断运算正误为主，也会在解答大题中出现整式化简。重点考查同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等运算法则。命题侧重辨析易混淆幂运算公式，常融合零次幂、三角函数进行混合计算，易错点集中在符号与指数处理。 考点 03 乘法公式 2026 南通卷、宿迁卷、扬州卷、常州卷 选择、填空、解答题均有涉及。平方差、完全平方公式为核心，常结合几何图形面积模型命题，借助图形直观验证公式。既考查公式直接计算，也会利用公式变形求代数式的值，数形结合特征明显。 考点 04 因式分解 2026 苏州卷、常州卷、宿迁卷、连云港卷 以填空题为主，少量选择题。考查提公因式法、公式法（平方差、完全平方），多为两步分解。命题侧重基础分解，常和整式乘法互逆考查，易错点是分解不彻底，需要分解到不能再分解为止。 考点01 代数式及代数式求值 1．（2026·江苏盐城·中考真题）在“苏超”场外市集上，小明购买了个“麋鹿王”、个“盐小勺”、个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算三种商品的费用，相加得总支付金额． 【详解】解：个“麋鹿王”费用为元，个“盐小勺”费用为元，个“盐小饼”费用为元， 总金额为元． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将四边形、五边形、六边形的纸片从一个顶点出发，沿对角线剪成若干个三角形纸片．照此方法，若将一个边形纸片剪开，则所得三角形纸片的个数为___________． 【答案】 【分析】观察图形，分别数出四边形、五边形、六边形被分割成的三角形个数，找出三角形个数与多边形边数之间的数量关系． 【详解】 解：由图可知： 四边形从一个顶点出发，沿对角线剪开，得到2个三角形，即； 五边形从一个顶点出发，沿对角线剪开，得到3个三角形，即； 六边形从一个顶点出发，沿对角线剪开，得到4个三角形，即； ， 以此类推，边形从一个顶点出发，沿对角线剪开，所得三角形纸片的个数为． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式用完全平方公式因式分解，再根据已知条件得到的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．（2026·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 【答案】2 【分析】本题先对已知等式变形，得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 5．（2026·江苏宿迁·中考真题）生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 (1)求a，b的值； (2)求密文的明文． 【答案】(1) 的值为，的值为 (2) 密文的明文为 【分析】（1）代入两组明文与密文的对应值，列二元一次方程组求解a，b； （2）将a，b与密文的x，y代入公式计算明文． 【详解】（1）解：由题意，将两组对应值代入， 得 解这个方程组，得； （2）由（1）得， 将代入，得 ， 所以密文的明文为1． 考点02 整式的运算 1．（2026·江苏扬州·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，与不是同类项，不能合并，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C错误； 选项D，，故D错误． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，与不是同类项，不能合并，运算错误； B选项，，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 3．（2026·江苏常州·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点03 乘法公式 1．（2026·江苏南通·中考真题）在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图1和图2得出该算式应满足的形式，即可解答； 【详解】解：由图1知长方形面积为，由图2知面积为， 该算式应满足的形式， ，此时，符合题意，其余选项均不符合． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：由完全平方公式可得． ∵ ∴ 把代入上式得 ∴， 即． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿，剪开，可拼成正方形．若，，则的面积是_______． 【答案】 【分析】设，，则，利用正方形的性质可得，，进而可得，利用完全平方公式求得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在正方形和正方形中，，，， 设，，则， ∵， ∴，即； ∵四边形是正方形， ∴，，又， ∴，即， ∴，则， ∵，即， 解得， ∴． 4．（2026·江苏常州·中考真题）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算零指数幂、平方及负整数指数幂，再计算加法即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 考点04 因式分解 1．（2026·江苏苏州·中考真题）若，其中，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合得到和的值，即可计算出的结果． 【详解】解： 又∵，且， ∴ ，， ∴ ． 2．（2026·江苏常州·中考真题）分解因式：__________． 【答案】 【分析】观察多项式符合完全平方和公式的结构，直接套用公式分解因式即可． 【详解】解：． 3．（2026·江苏宿迁·中考真题）因式分解：____________． 【答案】 【分析】观察多项式的两项，找到公因式，用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 4．（2026·江苏连云港·中考真题）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、平方差公式、积的乘方的法则，逐一判断选项的运算是否正确即可． 【详解】解： A、，故选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，运算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知是一个四位数，若，则这个四位数一定能被（     ） A．2整除 B．3整除 C．7整除 D．11整除 【答案】D 【分析】将各位数字相同的四位数用数位知识表示为代数式，结合整除的性质即可求解． 【详解】解：∵是四位数，且，为的整数， ∴， ∵， ∴，即该四位数一定含有因数，一定能被整除， 对选项A，当时，不能被整除，排除A； 对选项B，当时，不能被整除，排除B； 对选项C，当时，不能被整除，排除C． 3．（2026·江苏盐城·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则逐个判断选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，因此A错误； 选项B：根据同底数幂乘法法则，，因此B错误； 选项C：根据同底数幂除法法则，，运算正确； 选项D：根据幂的乘方法则，，因此D错误． 4．（2026·江苏盐城·三模）我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（     ） A．1 B．- C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据左侧三角形求出每个小三角形的三个顶点上的数字之和，再依次求出的值，最后求和即可． 【详解】解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·江苏南京·二模）下列计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：∵，∴ 选项A不符合要求. 选项B：∵与不是同类项，不能合并，∴选项B不符合要求. 选项C：∵，∴选项C符合要求. 选项D：∵与不是同类项，不能合并，∴选项D不符合要求. 6．（2026·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据操作规则可总结出每轮过后留下的编号都是的倍数，按要求计算每轮后剩余人数，直到人数少于4，即可得到最后留下的最小编号． 【详解】解：由题意得第一轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第二轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第三轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第四轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，停止报数； 最后留下的同学中，编号较小的是． 7．（2026·江苏南通·二模）若，是正整数，且满足，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简等式左右两边，再根据同底数幂相等则指数相等推导和的关系式. 【详解】解：∵ 左边 ， 又∵ 右边 ， ∵ ， ∴ . 8．（2026·江苏南通·三模）若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过两个方程相加消去参数，再对整理后的式子配方，利用平方数的非负性求出，的值，代入求后计算即可． 【详解】解：令为①，为②， ①+②消去得：， 变形配方得：， ∵平方数为非负数，两个非负数的和为，则每个平方都为， ∴， 解得， 把，代入①得：， 解得， ∴． 9．（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 10．（2026·江苏扬州·二模）下列运算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 11．（2026·江苏扬州·二模）若，则的值可能是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】由得，代入，得到关于x的一元二次函数，化为顶点式，求出最值，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的值可能是2． 12．（2026·江苏泰州·二模）我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”．观察下列按规律排列的算式： …… 按照此规律，下一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察已知三个等式，总结各部分的变化规律，即可推导出下一个等式． 【详解】解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ∴规律为：第n个等式中，左边第一个乘数是从1开始的连续n个正整数组成的数，加号后的加数是n，结果是从9开始依次递减1的连续n个正整数组成的数. ∴下一个等式对应 ，第一个乘数为1234，加数为4，结果为9876，即等式为． 13．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 14．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．与取值有关 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的值，再计算，开方后得到的值． 【详解】解：∵由完全平方公式可得 将，代入得 计算得 又∵ 代入， 得 ∴ ． 15．（2026·江苏徐州·一模）函数图像的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（   ） A．4个 B．3个 C．1个 D．2个 【答案】C 【分析】根据函数的开口方向以及与坐标轴交点位置、对称轴位置判断函数值符号，确定及相关代数式的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于负半轴， ，；， ∵对称轴在轴右侧， ，即； ，； 由图可知对称轴，且， ，即； 当时，，当时， ； ； ，， ， ； 综上所述，正数只有这1个． 16．（2026·江苏南通·模拟预测）若实数，满足，，则等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据立方差公式可得：，根据，可得：，设，可得：，利用完全平方公式可得：，所以可得方程，利用换元法解方程即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 设，则有， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 设， 可得：， 两边同时乘以，可得：， 整理得：， 分解因式得， 或， 不能为负数， ， 解得：， 或． 17．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·江苏无锡·一模）下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、∵不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，故 A错误． B、不符合完全平方公式结构，无法用完全平方公式因式分解，故B错误． C、的一次项不是两个平方项底数乘积的倍，不符合完全平方公式结构，故C错误． D、，符合完全平方和公式结构，可分解为，故 D正确． 19．（2026·江苏无锡·一模）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进一步分解即可得到结果． 【详解】解： 20．（2026·江苏苏州·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用提公因式法、平方差公式对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A选项中，，故本选项因式分解错误； B选项中，无法因式分解，故本选项因式分解错误； C选项中，，故本选项因式分解正确； D选项中，无法因式分解，故本选项因式分解错误． 21．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【分析】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 22．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都相等，则的值是____． 【答案】 【分析】先根据题意可得，，进而可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都相等， ∴，， ∴，， ∴． 23．（2026·江苏南京·三模）计算的结果是__________． 【答案】1 【详解】解：原式． 24．（2026·江苏南京·三模）我国科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”，“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．1皮秒仅相当于秒．则400皮秒用科学记数法表示为_____秒． 【答案】 【详解】解：皮秒秒秒秒． 25．（2026·江苏徐州·三模）如图图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，，按此规律可知，第n个图案中黑点的个数为___________ 【答案】 【分析】通过观察前三个图案中黑点数量的构成，将其分解为自然数之和与序号平方的和，进而归纳出第个图案的规律并进行化简． 【详解】解：观察图形及数据可知： 第①个图案有个黑点， 第②个图案有个黑点， 第③个图案有个黑点， 以此类推，第个图案中黑点个数为 ， 因为， 所以第个图案中黑点个数为． 26．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知为实数，，，则_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】通过对作差结果配方，结合平方的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， 即， ． 27．（2026·江苏泰州·三模）若 ，则_____________． 【答案】 或 【分析】先根据平方运算求出的所有可能值，再根据立方根的定义求出的值，最后分情况计算的结果即可. 【详解】解：由，得或 由， 两边同时立方得 当时，； 当时，． 28．（2026·江苏南通·二模）某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟组装个零件．若该机器人搭载个机械手（），则该机器人平均每分钟组装的零件个数是____． 【答案】 【分析】根据总每分钟组装零件个数等于单个机械手每分钟组装零件个数乘以机械手数量，列出对应代数式即可. 【详解】解：已知单个机械手平均每分钟组装个零件，共有个机械手， 则总每分钟组装零件个数为：. 29．（2026·江苏徐州·二模）观察下列由边长为1的小正方形组成的图形规律，照此规律，第个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数可表示为______． 【答案】 【详解】解：第1个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为1； 第2个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为； 第3个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为； 第4个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为； …… 第n个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为． 30．（2026·江苏南通·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，，就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是___． 【答案】 【分析】利用平方差公式将“智慧优数”转化为两数之积，通过变量代换确定两因数需同奇偶且 ，再按奇偶分类枚举、排序得到第个“智慧优数”． 【详解】解：设， 令，，则， 可得， 解得， ，为正整数， ，为同奇偶的整数， ，， ，即， ， ， 解得， ， 当，为偶数： 若，，则， 若，，则， 当，为奇数： 若，，则， 将得到的“智慧优数”从小到大排序为，，， 故第个“智慧优数”为． 31．（2026·江苏南通·二模）的结果是__________． 【答案】 【详解】解：． 32．（2026·江苏常州·一模）若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 33．（2026·江苏苏州·一模）代数式，则的值为__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是通过对所求代数式进行变形，使其能够利用已知条件进行整体代入求值． 【详解】解：， ， 故答案为． 34．（2026·江苏泰州·一模）若一次函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】3 【分析】将点代入一次函数解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 将，代入解析式得， 整理得 ． 35．（2026·江苏南京·一模）计算的结果是______． 【答案】 【分析】先利用积的乘方法则、幂的乘方法则计算第一项，利用同底数幂的乘法法则计算第二项，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 36．（2026·江苏苏州·一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【答案】 【分析】设中心格内的数为，根据三阶幻方的性质，任意一行、一列及对角线上的数之和都相等，且和为，利用这一性质表示出相关位置的数，通过列方程即可得出之间的关系． 【详解】解：设中心格内的数为， ∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， ∴幻和为， ∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为， 设第一行第三列的数为，则， 解得； 设第三行第三列的数为，则，即， 解得， 又∵主对角线上的数之和为， ∴，即， ∴， ∴． 37．（2026·江苏扬州·一模）设、、、为正整数，且，，，则___________． 【答案】 【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中求解即可． 【详解】解：，， 设，；，． ， ， ， ，， ，． ，， ． 38．（2026·江苏徐州·一模）我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了如图所示数表，人们称这个图表为“杨辉三角”，这个数表给出了（n为非负整数）的展开式的系数规律． （n为非负整数）展开式的每一项按照字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它的展开式只有一项，系数为1； ，它的展开式有两项，系数分别为1，1； ，它的展开式有三项，系数分别为1，2，1； ，它的展开式有四项，系数分别为1，3，3，1； 观察杨辉三角和上面的等式，你会发现其中的规律，根据规律就可得出的展开式有______项，其中的系数为_______． 【答案】 6 10 【分析】根据题意观察展开式的项数与的关系，以及杨辉三角中系数的递推规律，即可求出 的项数及特定项的系数． 【详解】解：由题意可知， 的展开式有项 当 时，展开式的项数为； 根据杨辉三角的规律，下一行中间的系数等于上一行相邻两数系数之和 那么 的系数分别为， 则 的系数分别为 ，即 所以 所以其中的系数为． 39．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 【答案】 【分析】本题考查单项式的规律探索，分别找出代数式的符号、系数绝对值、的次数对应的规律，再将代入规律计算即可． 【详解】解：∵第1个代数式为 第2个代数式为 第3个代数式为 第4个代数式为 …… ∴第个代数式为 将代入得 40．（2026·江苏无锡·一模）已知n是常数，若和是同类项，则________． 【答案】8 【详解】解：和是同类项， ， ． 41．（2026·江苏南通·模拟预测）表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数； ②； ③的最小值是36； ④若，，则符合条件的最小的n值为11． 其中正确的有_______． 【答案】③④ 【分析】先根据前几个变化规律得到，再逐一分析各说法即可求解． 【详解】解：由题意，第一个数组为， 第二个数组为， 则第三个数组为， 第四个数组为，……， ∴， ， ， ， ， ……， 依次类推，发现，为正整数， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴为偶数，故①不符合题意； ∵ ∴，， ∴，故②不符合题意； ∵，为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组， ∴当，，，时最小， ∴的最小值是；故③符合题意； ∵，， ∴，， ∵，， ∴n值最小为11，故④符合题意； 故正确的有③④． 42．（2026·江苏苏州·二模）分解因式：______． 【答案】 【分析】完全平方公式：． 【详解】解：． 43．（2026·江苏南京·二模）化简分式的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，利用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【详解】解： 44．（2026·江苏苏州·三模）若，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ . 45．（2026·江苏盐城·二模）有一种明码为自然数的密码产生法，原理是：对于多项式因式分解的结果，若取，作为明码，则各个因式的值是：，，，把这些值从大到小排列得到128160，于是就可以把“128160”作为一个六位数的密码．那么，对于多项式，若给定明码x，y的值，所产生的密码为201510，请写出明码_________． 【答案】 【分析】先对多项式进行因式分解，再根据密码生成规则，结合因式值的大小关系列出方程组，解方程组即可得到明码． 【详解】解：， ∵x，y为自然数， ∴， 根据密码生成规则，可知三个因式的值从大到小为20，15，10， ∴， 解得． 46．（2026·江苏苏州·一模）已知方程组，则_________． 【答案】5 【详解】解： 得，， 整理得， 得，， 整理得， ． 47．（2026·江苏南通·模拟预测）分解因式：_______________． 【答案】 【分析】观察原式结构，可将其转化为平方差的形式，再利用平方差公式进行因式分解，最后化简括号内的整式即可． 【详解】解： ． 48．（2026·江苏淮安·模拟预测）探索题． 如图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形． (1)仔细观察，你能发现图中铺瓷砖的规律吗？请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数_______． (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为，请算出第20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【答案】(1) (2)210块 (3)；1596块 【分析】（1）观察图形即可得出规律； （2）代入进行计算即可求解； （3）结合（1）（2）中的结论得出白瓷砖的块数规律，再代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：第1个图形铺瓷砖的总块数为， 第2个图形铺瓷砖的总块数为， 第3个图形铺瓷砖的总块数为， …… 依此类推，第n个图形铺瓷砖的总块数为； （2）解：第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为， 当时，（块）， 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块． （3）解：依题意，第n个图形白瓷砖的块数为； 当时，， 答：第n个图形中白瓷砖的块数为；第55个图形中共有1596块白瓷砖． 49．（2026·江苏南京·三模）求证：当n为整数时，能被2整除． 【答案】证明：， 当n为奇数时，则是偶数，是偶数，故能被2整除 ； 当n为偶数时，则是奇数，是偶数，故能被2整除 ； 综上所述，能被2整除． 【分析】根据整式的乘法，整式的加减，化简后，分类解答即可； 【详解】略 50．（2026·江苏盐城·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， ∵， ∴， 原式． 51．（2026·江苏南京·三模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 52．（2026·江苏南通·二模）已知，其中为实数． (1)求的值； (2)若整式满足，求证：． 【答案】(1) (2)证明： ． 【分析】（1）将 与 代入 ，合并同类项化简即可； （2）由 代入化简得 ，根据平方非负性得 ． 【详解】（1）． （2）略． 53．（2026·江苏宿迁·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可得到化简的结果，最后代入即可求值． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 54．（2026·江苏盐城·二模）结合如图所示的数轴，比较代数式与的大小． 【答案】 【分析】由数轴得，，作差法结合因式分解即可求解． 【详解】解：∵， 由数轴得， ∴，， ∴， ∴． 55．（2026·江苏盐城·二模）若一个四位数的各数位上的数字互不相等且满足，则称这个四位数为“友善四位数”．例如：四位数，因为，所以四位数是友善四位数． (1)判断 是不是友善四位数，并说明理由； (2)已知四位数（千位数字为，十位数字为）是友善四位数，则这个友善四位数是________； (3)若是一个友善四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数，求证：能被整除． 【答案】(1)解：是“友善四位数”，理由如下： ∵四位数， ∴各数位数字为， ∴各数位数字互不相等， 又∵ ，，满足， ∴是友善四位数； (2)或 (3)证明：∵，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵是友善四位数， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴能被整除，即能被1111整除． 【分析】（）根据“友善四位数”的定义判断即可求解； （）根据“友善四位数”的定义可得 ，再结合数字的取值范围和各数位互不相等的条件，枚举得到符合要求的四位数即可； （）将和分别用代数式表示，相加后结合化简，可得到是与整数的乘积，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四位数是友善四位数， ∴， ∴， ∵都是的整数，且四个数位数字互不相等， ∴，即， 当时，，得到四位数，各数位互不相等，符合要求； 当时，，与千位数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，得到四位数，各数位互不相等，符合要求； ∴这个友善四位数是或， 故答案为：或； （3）略 56．（2026·江苏盐城·三模）【阅读思考】 代数证明是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个命题的正确性，如表所示： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． ∵① ② 又能被2整除 ∴能被2整除 ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 【解决问题】 (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于_______（填写“整式的乘法” 或 “因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被整除． 【答案】(1) 因式分解 (2) ∵， ∵，是奇数， ∴是偶数， ∴能被整除， ∵能被整除， ∴能被整除， 即能被整除． 【分析】（1）根据因式分解的定义判断变形，把多项式化为几个整式乘积的变形是因式分解，据此可得结论． （2）先对原式变形，再利用是奇数得到是偶数，结合偶数的性质证明原式是2的倍数即可． 【详解】（1）解：从①到②是将多项式化为几个整式乘积的形式，符合因式分解的定义，因此答案为因式分解． （2）略 57．（2026·江苏南京·模拟预测）证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【答案】 证明：∵任意个位数是5的整数都可以写成的形式，其中为整数， ， 又∵为整数， ∴为整数， ∴是25的整数倍， 即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【分析】本题先将任意个位是5的整数表示为含整数n的代数式，再对该式平方展开，提取公因式25后，根据整除的定义即可证明结论． 【详解】略 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $