第一章预备知识（期中知识清单）高一数学上学期北师大版

第一章 预备知识　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 集合的概念与表示 1.1 集合与元素 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母 ，，，……表示，集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母 ，，，……表示。 示例：正整数 ，， 可以组成一个集合，这个集合有 个元素，分别是 ，，；全体正奇数也可以组成一个集合，这个集合有无穷多个元素，，， 是它的一部分元素。 1.2 元素与集合的关系 如果元素 在集合 中，就说元素 属于集合 ，记作 ；如果元素 不在集合 中，就说元素 不属于集合 ，记作 。 示例：若集合 是小于 的所有素数组成的集合，则 ，。 1.3 集合中元素的特性 规定：一个集合中的任何两个元素都不相同。也就是说，集合中的元素没有重复。 注意：集合中的元素具有确定性（任何一个对象是或不是集合的元素，二者必居其一）、互异性（任何两个元素都不相同）、无序性（元素排列的顺序可以不同）。 示例： 与 表示同一个集合。 1.4 常用数集及其记法 数的集合简称数集。下面是一些常用的数集及其记法： 集合 名称 记法 全体自然数组成的集合 自然数集 全体正整数组成的集合 正整数集 或 全体整数组成的集合 整数集 全体有理数组成的集合 有理数集 全体实数组成的集合 实数集 全体正实数组成的集合 正实数集 1.5 集合的表示方法 列举法是把集合中的元素一一列举出来写在花括号“”内表示集合的方法，一般可将集合表示为 。 描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法，一般可将集合表示为 ，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征。 示例：方程 的所有实数根组成的集合 ，用列举法表示为 ；所有奇数组成的集合用描述法表示为 。 1.6 有限集、无限集与空集 含有有限个元素的集合叫作有限集，如集合 ；含有无限个元素的集合叫作无限集，如整数集 。 我们把不含任何元素的集合叫作空集，记作 。 示例：集合 是空集。 1.7 区间 设 ， 是两个实数，且 ，则集合 也可以用符号 表示，其他类似情况的符号都称为区间。 定义 符号 这里的实数 ， 称为区间的端点， 称为闭区间， 称为开区间，， 称为半开半闭区间。实数集 可以表示为 。 2. 集合的基本关系 2.1 子集 一般地，对于两个集合 与 ，如果集合 中的任何一个元素都属于集合 ，即若 ，则 ，那么称集合 是集合 的子集，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）。 显然，任何一个集合都是它本身的子集，即 。 规定空集是任何集合的子集。也就是说，对于任意一个集合 ，都有 。 示例：；。 2.2 集合的相等 对于两个集合 与 ，如果集合 是集合 的子集，且集合 也是集合 的子集，那么称集合 与集合 相等，记作 。 示例：，，则 。 2.3 真子集 对于两个集合 与 ，如果 ，且 ，那么称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ），读作“ 真包含于 ”（或“ 真包含 ”）。 示例： 是 的真子集，即 。 2.4 Venn 图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为 Venn 图。 示例：用 Venn 图可直观表示 、、 等关系。 3. 集合的基本运算 3.1 交集 一般地，由既属于集合 又属于集合 的所有元素组成的集合，叫作集合 与 的交集，记作 ，读作“ 交 ”，即 根据交集的定义，对于任何集合 ，，有 ，，，，。 示例：，，则 。 3.2 并集 一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，叫作集合 与 的并集，记作 ，读作“ 并 ”，即 根据并集的定义，对于任何集合 ，，有 ，，，，。 示例：，，则 。 3.3 全集与补集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号 表示。全集包含所要研究的这些集合。 设 是全集， 是 的一个子集（即 ），则由 中所有不属于 的元素组成的集合，叫作 中子集 的补集，记作 ，即 由补集的定义，对任何集合 ，有 ，，。 示例：设全集 ，，则 。 4. 必要条件与充分条件 4.1 命题 可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。一个命题通常可以表示为“若 ，则 ”和“ 是 ”两种形式。当命题表示为“若 ，则 ”时， 是命题的条件， 是命题的结论。当命题“若 ，则 ”是真命题时，就说由 推出 ，记作 。 4.2 必要条件 一般地，当命题“若 ，则 ”是真命题时，称 是 的必要条件。也就是说，一旦 不成立， 一定也不成立，即 对于 的成立是必要的。 示例：在“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件。 4.3 充分条件 一般地，当命题“若 ，则 ”是真命题时，称 是 的充分条件。 示例：“”是“”的充分条件。 注意：对于真命题“若 ，则 ”，即 时，称 是 的必要条件，也称 是 的充分条件。 4.4 充要条件 一般地，如果 ，且 ，那么称 是 的充分且必要条件，简称 是 的充要条件。 是 的充要条件也常常说成“ 成立当且仅当 成立”，或“ 与 等价”。当 是 的充要条件时， 也是 的充要条件。 示例： 与 互为充要条件。 5. 全称量词与存在量词 5.1 全称量词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题。在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“”表示，读作“对任意的”。 示例：“所有的正方形都是矩形”是全称量词命题，其中“所有”是全称量词。 5.2 存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题。在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“”表示，读作“存在”。 示例：“有些三角形是直角三角形”是存在量词命题，其中“有些”是存在量词。 5.3 全称量词命题的否定 一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确。全称量词命题的否定是存在量词命题。 对于全称量词命题 ：， 具有性质 ，通常把它的否定表示为 ， 不具有性质 。 示例：“任意一个一元二次函数的图象都与 轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与 轴不相交”。 5.4 存在量词命题的否定 一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立。存在量词命题的否定是全称量词命题。 对于存在量词命题 ：， 具有性质 ，通常把它的否定表示为 ， 不具有性质 。 示例：“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”。 6. 不等式的性质 6.1 实数大小比较的基本事实 如果 是正数，那么 ；如果 等于 ，那么 ；如果 是负数，那么 。反过来也成立。 示例：比较 与 的大小：，所以 。 6.2 不等式的基本性质 性质 内容 性质 1（传递性） 如果 ，且 ，那么 性质 2（加法性质） 如果 ，那么 性质 3（乘法性质） 如果 ，，那么 ；如果 ，，那么 性质 4（同向可加） 如果 ，，那么 性质 5（同向正数可乘） 如果 ，，那么 性质 6（开方性质） 当 时，，其中 ， 示例：由 ， 得 ；由 ， 得 。 注意：运用不等式的性质时要注意条件，如性质 5 要求两边同为正数，性质 3 中两边同乘负数时不等号方向要改变。 7. 基本不等式 7.1 基本不等式（均值不等式） 对于任意实数 ，， 总是成立的，即 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立。 设 ，，取 ，，代入上述不等式可得 其中 叫作 ， 的算术平均值， 叫作 ， 的几何平均值。因此，基本不等式又可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。基本不等式又称均值不等式。 示例：， 时，，，显然 。 7.2 利用基本不等式求最值 当 ， 均为正数时，下面的命题均成立： 1. 若 （ 为定值），则当且仅当 时， 取得最大值 ； 1. 若 （ 为定值），则当且仅当 时， 取得最小值 。 示例：长为 的细铁丝弯成矩形，当长、宽均为 时（即正方形时），矩形面积最大。 注意：利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”：各项为正、和或积为定值、等号能取到。 8. 一元二次函数 8.1 一元二次函数的配方 一元二次函数 都可以通过配方化为 的形式，其中 ，。 示例：。 8.2 一元二次函数的图象与性质 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线。一元二次函数 的图象可以由 的图象经过向左（或向右）平移 个单位长度，再向上（或向下）平移 个单位长度而得到。 一元二次函数 有如下性质： 1. 函数 的图象是一条抛物线，顶点坐标是 ，对称轴是直线 。 1. 当 时，抛物线开口向上；在区间 上，函数值随自变量的增大而减小，在区间 上，函数值随自变量的增大而增大；函数在 处有最小值，记作 。 当 时，抛物线开口向下；在区间 上，函数值随自变量的增大而增大，在区间 上，函数值随自变量的增大而减小；函数在 处有最大值，记作 。 示例： 的图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点为 ，函数在 处取得最小值 。 9. 一元二次不等式及其解法 9.1 一元二次不等式的概念 一般地，形如 ，或 ，或 ，或 （其中 为未知数，，， 均为常数，且 ）的不等式叫作一元二次不等式。使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集。 9.2 利用一元二次函数的图象解一元二次不等式 对于一元二次不等式 ，其解集与方程 的判别式 有关： 方程 的实数根 不等式 的解集 不等式 的解集 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 示例：不等式 ：对应方程 的两根为 ，，函数图象开口向上，所以解集为 。 注意：解一元二次不等式时，若二次项系数 ，可先在不等式两边同乘 （同时改变不等号方向），化为二次项系数为正后再求解。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 子集、真子集的个数公式 含 个元素的集合共有 个子集， 个真子集， 个非空子集， 个非空真子集。 示例：集合 有 个子集、 个真子集。 1.2 集合相等与包含的判定 当且仅当 且 ； 当且仅当 且 。判断两个集合相等，通常先判断元素是否完全相同，或证双向包含。 1.3 集合运算的性质与分配律 ；；；。 1.4 德摩根定律（补集与交并的转化） ；。求“交的补”“并的补”时可先转化再算。 1.5 容斥原理 对任意两个有限集 与 ，有 。其中 表示集合 中元素的个数。 示例：，，则 。 【使用提醒】多个集合求并的元素个数时，须按“加奇减偶”逐层扣除重叠部分，不可只减一次。 1.6 充分必要条件与集合包含的关系 设 ， 分别对应集合 ，，则： 是 的充分条件当且仅当 ； 是 的必要条件当且仅当 ； 是 的充要条件当且仅当 。 1.7 基本不等式的常用变形 由基本不等式 （，）可得：；；；（）。 【使用提醒】上述变形均以 ， 非负（或同号）为前提，且等号都在 时取得。 1.8 一元二次函数最值的顶点公式 。 时，在 处取得最小值 ； 时取得最大值 。 【使用提醒】若题目限定了 的取值范围，顶点不在范围内时最值在区间端点处取得。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断两个集合关系的方法 先化简集合（注意元素的取值范围与形式），再按“任一元素是否属于另一集合”判断包含关系；要证 需证双向包含。如 ，，化简后得 。 2.2 求集合交集、并集、补集的方法 先明确全集，再把集合表示在数轴上（或 Venn 图中），交取公共部分、并取所有部分、补取全集去掉 的部分。如 ，，则 ，。 2.3 判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 看“”与“”两个命题的真假： 真则 充分； 真则 必要；两者都真则充要。可用“小范围是大范围的充分条件、大范围是小范围的必要条件”辅助判断。 2.4 判断全称量词命题、存在量词命题真假的方法 全称量词命题：要证真须对所有元素验证，要证假只需找一个反例；存在量词命题：要证真只需找一个满足条件的元素，要证假须对所有元素验证。 2.5 写出命题否定（量词命题）的方法 改写为“量词互换（ 与 互换）＋结论否定”：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。如“所有正方形都是矩形”的否定为“存在一个正方形不是矩形”。 2.6 利用基本不等式求最值的步骤 “一正、二定、三相等”：①各项为正；②构造和为定值求积最大、积为定值求和最小；③检验等号能否取到。如 时 ，当且仅当 时取等。 2.7 解一元二次不等式的一般步骤 ①化二次项系数为正；②求对应方程 的根（用 判断）；③画出一元二次函数的示意图；④由图象写出解集（大于取两边、小于取中间）。如 的根为 ，，解集为 。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 作差法比较大小 比较 、 就看 的符号：作差、变形（配方/因式分解）、定号 ，故 基本不等式求最值的配凑 凑“定值”：和为定用 ，积为定用 ，并检查取等条件 时 ，当 时最大 含参数的一元二次不等式分类讨论 先因式分解求根，再按两根大小关系分类讨论解集 即 ，按 与 的大小讨论 数轴标根（穿针引线） 把根标在数轴上，从右上方起“奇穿偶不穿” 解 得 或 4. 常见考试模型 4.1 基本不等式求最值模型 公式：和为定值 时积最大 ；积为定值 时和最小 （，）。 限定：必须满足“一正、二定、三相等”；等号取不到时，须改用对勾函数或二次函数求最值。 示例：如 ，，，则 在 时取得最大值 。 【使用提醒】“和定积最大、积定和最小”必须等号能取到，否则结论不成立。 4.2 一元二次不等式应用模型 公式：利润＝（售价 成本）×销量；设售价每提高 元销量减少 件，则可列一元二次不等式求范围。 限定：解出的范围要与实际限制（如售价上限、销量非负、取正整数）取交集。 示例：如每间客房日租金提高 元，收入不低于 元，得 ，即 ，解得 ，再结合 得 ，故 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略集合中元素的互异性，把重复元素当作两个元素 典例：已知集合 ，，且 ，求实数 的值。 错解：由 得 ，所以 或 ，解得 或 或 ，故 的值为 ，，。 正解：由 得 或 。当 时，，此时 ，满足互异性；当 时， 或 。又 时 出现重复元素，不满足互异性，舍去。综上， 或 。 原因：忽略集合中元素的互异性。学生解出 后没有回代检验， 时集合 中元素 与 之外又出现 ，违背“任何两个元素都不相同”的规定。凡由集合运算反求参数，解出的值都要回代检验互异性。 易错点 2：忽略空集是任何集合的子集，漏掉空集这一情况 典例：已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围。 错解：由 得 ，解得 。 正解：当 时，，即 ，此时 成立；当 时，由 解得 。综上，。 原因：漏分类讨论。空集是任何集合的子集，学生看到 就直接对非空集合列不等式，忘记 可能是空集。凡涉及“子集”“真子集”的含参数问题，都要先讨论集合为空集的情形。 易错点 3：混淆“充分条件”与“必要条件”的方向 典例：设 ：，：，判断 是 的什么条件。 错解：由 得 或 ，所以 是 的必要条件。 正解： 不成立（ 时 真但 假）； 成立（ 代入成立）。所以 是 的必要不充分条件。 原因：概念理解错误、方向判断失误。“ 真”表示 充分、 必要。学生把“能由 推出 ”误判为“ 必要”，把推出方向与充分必要条件的方向弄反。判断时牢记“推出去的（左）是充分条件，被推出的（右）是必要条件”，并用“小范围⇒大范围”辅助验证。 易错点 4：写全称量词命题的否定时只改量词、不改结论 典例：写出命题“所有能被 整除的整数，其末位数字都为 ”的否定。 错解：存在一个能被 整除的整数，其末位数字为 。 正解：存在一个能被 整除的整数，其末位数字不为 。 原因：否定不彻底。全称量词命题的否定必须“量词互换（全称变存在）＋结论否定（都为 变为不为 ）”两步同时完成，学生只把“所有”改成“存在”，漏掉对结论的否定。写否定时先找清“量词”和“结论”，两者都要改。 易错点 5：利用基本不等式求最值，忽略“一正、二定、三相等”的取等条件 典例：求函数 的最小值。 错解：，所以最小值为 。 正解： 中等号成立需 ，即 ，但 ，等号取不到。由 在 上单调递增，得当 时 取最小值 。 原因：忽略取等条件。基本不等式求最值必须“一正、二定、三相等”，本题和虽为定值 ，但等号成立时 不在定义域内，结论不成立。求最值时先检验等号能否取到，取不到时改用单调性等方法。 易错点 6：解一元二次不等式时未先化二次项系数为正，解集方向颠倒 典例：求不等式 的解集。 错解：对应方程 的根为 ，，所以解集为 。 正解：两边同乘 得 ，即 ，解集为 。 原因：忽略二次项系数的符号。抛物线开口向下时，“大于零”取两根之间、“小于零”取两根之外，与开口向上时恰好相反。解一元二次不等式第一步必须先化二次项系数为正，再按“大于取两边、小于取中间”写解集。 学科网（北京）股份有限公司 $