广西壮族自治区南宁市青秀区八年级数学上学期单元作业设计（北师大版八年级上册第一章）

2024版北师大数学八上第一章《勾股定理》单元整合作业设计 应用场景：课后巩固、分层练习、单元检测。适用范围:2024版北师大数学八上第一章 1、 作品基础信息 项 目 填写内容 作品名称 第一章 《勾股定理》单元作业设计 学段学科 初中 数学 适用年级 八年级上册 教材版本 北师大版（ 2024 版） 对应内容 第 一章 《勾股定理》 作业类型 单元整合作业 完成时长 总时长 90 分钟 设计者 马天青 二、设计背景与意图 1.课标与教材分析 （1）课标要求： 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 （2）学业要求 能够在具体的现实情境中，学会从几何的角度发现问题和提出问题，经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，培养应用意识和创新意识，提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力。能从生活情境、数学情境中抽象出几何关系，运用图形的基本性质进行推理与运算；感悟归纳推理和演绎推理的价值，会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界。 （3）教材的地位 《勾股定理》是北师大版八年级上册第一章的内容。它是平面几何里一座重要的里程碑，建立起几何图形与代数运算之间的桥梁，是数形结合思想的第一个重要载体。既是对七年级几何知识的巩固，又为以后解直角三角形、三角函数、空间几何的学习打下坚实基础。本单元的学习，将引导学生完成从定性的图形认知，走向定量的边长运算的思维跨越。 （4）教学重难点 重点：理解勾股定理和它的逆定理，会利用定理进行计算与解决简单的实际问题。 难点：灵活运用数形结合、方程、分类讨论、转化展开的思想去解决综合性问题；感悟由特殊到一般的探究方法。 2.学情分析 维度 具体描述 已有基础 八年级学生经过七年级上下册的学习，已经掌握了直角三角形的角的性质，具备基础的几何直观，会进行平方运算；拥有一定的生活经验，能够从身边的情境中抽象简单的数学模型。 现有困惑 容易混淆 “勾股定理” 和它的逆定理；遇到没有给出图形的题目容易忽略分类讨论；面对立体表面的最短路径问题，不知何时展开；在求圆柱内部直线路径和表面爬行最短路径；对于数形结合的思想方法还不够熟练。 差异分析 学生的思维层次存在一定的分化：基础层的学生能够完成公式的直接代入计算；中等层次可以解决常规应用题；学有余力的学生渴望开展拓展性的探究活动。因此本套作业设置了分层与选做探究题，适配不同层次学生的发展需求。 3. 设计意图 本作业依据 2022 版义务教育数学课程标准，针对 2024 版北师大版八年级上册第一章《勾股定理》进行单元整体作业设计。结合八上学生已经具备一定的几何直观，但逻辑推理容易碎片化、易形成 “勾股定理适用于所有三角形” 的思维误区这一学情，设置 A 基础巩固、B 能力提升、C 拓展探究三个层级的任务，实施分层作业，适配不同水平学生的发展需求。 本作业以勾股定理的数量关系为主线，渗透数形结合、转化、分类讨论、从特殊到一般等数学思想。基础层级重在落实定理的理解与基本运算；中档层级侧重几何模型识别与转化方法的训练；拓展探究层级注重引导学生开展类比迁移，跳出机械刷题，着力发展学生几何直观、数学建模与逻辑推理等核心素养。同时设置可选的拓展任务，满足学有余力学生的探究欲望，力求做到减负提质、分层育人，彰显作业育人高度。 作业选取多元的问题素材：一方面选用《九章算术》引葭赴岸、赵爽弦图、伽菲尔德证法等经典数学文化资源，让学生感受我国古代数学的成就，领略古人的智慧；另一方面依托平陆运河、南宁青秀山台阶、学生学习用品真实情境创设问题，引导学生体会勾股定理在工程测量、生活实际中的应用价值，建立数学与现实生活的联结，赋予作业人文温度，厚植家国情怀。题型包含选择题、填空题、解答题与类比探究题，兼顾基础运算、简单几何证明、数学建模与探究思考。 针对学生容易出现的认知盲区，本作业设置了两处对比性学习任务：一是第 19 题，专门安排锐角三角形、钝角三角形三边平方数量关系的探究活动，补齐 “只有直角三角形满足“a2＋b2与c2” 的认知边界，形成完整的知识结构；二是设置两道以圆柱为背景的对比习题，区分 “线段内部穿行” 与 “侧面表面爬行” 两种不同模型，破除思维定式，厘清易混淆的概念。压轴探究以勾股树为载体，引导学生将正方形的面积规律，迁移到半圆（圆）、等边三角形、等腰直角三角形、正六边形等图形之中，探寻隐藏在不同外形之下不变的数量关系，感受几何图形和谐统一之美，渗透数学美育。作业末尾设置一道不计分的开放性选做题，鼓励学生观察、猜想与尝试，激发探究兴趣。 整套作业立足学情、依标设计，分层清晰、梯度合理，兼顾知识巩固、思维发展与美育熏陶，落实数学核心素养的培育目标。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 记住勾股定理及其逆定理的内容，能够辨别勾股数，分清定理与逆定理的区别，知道定理成立的前提条件。 抽象能力、 几何直观 选择题、填空题概念题的正确率，能够准确辨析正误。 能力运用 B 能够运用勾股定理进行边长计算，会用面积法、方程思想、展开转化、分类讨论解决基础与中档的几何问题，能够解决简单的生活实际问题。 运算能力、 应用意识 解答题列式、运算、模型转化的完成度，实际应用题的正确率。 思维发展 C 能够开展观察、对比、猜想，体会数形结合、由特殊到一般的思想；能够辨析易混淆的几何模型；初步开展探究性思考。 推理能力、 创新意识 规律题、拓展题、压轴探究问题的作答情况；选做题的猜想表达。 情感态度 D 感受勾股定理悠久的历史与奇妙的数学之美，愿意从生活当中发现几何问题；敢于猜想，乐于探究，建立学好几何的信心。 数学眼光、 情感观念 愿意尝试拓展问题，不惧怕复杂情境，体会数学的美感。 4、 作业内容与目标对应表 题号 题 型 题目概要 对应作业目标编号 难度/建议 设计意图 评价要点 1 选择题 已知 Rt△ABC，∠C=90°，两条直角边长，求斜边 A ★必做 直接考察勾股定理的基础代入运算。 能否直接利用勾股定理运算。 2 选择题 辨别选项中哪一组是勾股数。 A ★必做 直接考察勾股数的定义。 记住勾股数的判定条件。 3 选择题 概念正误辨析，勾股定理、逆定理的理解 A ★必做 注意c是最长边这个前提。 分清定理、逆定理的条件与结论。 4 选择题 大风折断木杆的生活情境，求折断前总高度。 B ★★ 必做 把木杆折断抽象成直角三角形，解决简单的生活问题。 建立简单几何模型进行求解。 5 选择题 圆柱形笔筒里面放铅笔，求内部最长可放长度。 B ★★ 必做 圆柱内部的空间对角线，为和第 9 题做模型对比埋下伏笔。 会求圆柱空间内部体对角线的长度。 6 选择题 已知两条直角边，求斜边上的高（面积法） B ★★ 必做 训练面积法这个非常重要的解题工具 掌握利用面积相等求高的方法。 7 选择题 直角三角形两条边长是 6 和 7，求第三边平方 B ★★ 必做 训练分类讨论思想，是高频易错点。 是否能够想到需要进行分类讨论。 8 选择题 科普园区圆柱展示柱，蚂蚁沿着侧面爬行最短距离 B,C ★★ 必做 曲面要展开铺平，和第6题形成鲜明对比：一个走内部，一个走表面，破除模型混淆。 掌握曲面展开转化思想；能够对比区分两个圆柱模型。 9 选择题 选用我国古代数学名著《九章算术》中的经典“引葭赴岸” 原题 B,C ★★ 必做 以传统文化为载体，把实际水面芦苇问题抽象为直角三角形模型，考查学生利用勾股定理列一元一次方程解决实际问题的能力，渗透数学建模思想，感受我国古代数学成就，增强文化自信。 考查学生从古文中提取条件、转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决实际问题的能力，落实数学建模核心素养。 10 填空题 在 Rt△ABC中，斜边 BC＝10，那么 BC 2+AB 2+AC 2 A ★必做 直接考查勾股定理基本关系式。不是简单求边长，而是对BC平方的整体代换求值，引导学生理解勾股定理是边的平方关系，打破只会求线段长的思维定式，巩固勾股定理核心概念。 考查勾股定理和整体的数学思想 11 填空题 由两个直角三角形和三个正方形构成图形，求阴影面积 A ★★ 必做 依托勾股定理几何意义（以直角三角形三边向外作正方形，两小正方形面积和等于大正方形面积）。不单独求边长，直接转化为面积计算，训练数形结合思想，让学生理解勾股定理的几何内涵。 知道两个小正方形面积之和等于大正方形的面积。 12 填空题 观察 3,4,5；5,12,13；7,24,25，写出下一组勾股数 C ★★ 必做 探究勾股数的数字规律。巩固勾股数概念，培养学生观察、归纳、猜想的代数推理能力，体会从特殊到一般的数学思想，拓展对勾股数特征的认识。 从数列中找到变化的规律。 13 填空题 由 “赵爽弦图” 变形得到 “数学风车” 图案，原直角三角形两直角边长为 5 和 6，将长为 6 的直角边向外延长一倍，求 “数学风车” 的外围周长。 C ★★ 必做 由赵爽弦图变形而来的 “数学风车” 模型。依托经典几何图形，考查勾股定理计算与周长概念，需要学生分清外围轮廓，排除内部线段干扰，训练识图能力，感受赵爽弦图的变式魅力。 能准确求斜边；正确识别外围线段，算出周长。易错点：混淆内外线段。 14 填空题 广西南宁青秀山台阶示意图，蚂蚁沿台阶表面走最短路径 B,C ★★ 必做 依托本土情境，把折面展开变成平面，体会化折为直的数学思想。 能够把台阶展开成长方形再求斜边。 15 解答题 四边形ABDC，∠A=90°，给出四条线段长度，求面积 B ★必做 课本原型改编。连接对角线把不规则四边形拆成两个直角三角形，考查勾股定理及其逆定理的综合应用，训练分割图形求面积的几何方法，落实几何图形转化的基础思路。 会添加辅助线，拆分图形，分步计算面积。 16 解答题 利用伽菲尔德总统的梯形图形验证勾股定理 A,C ★必做 再现伽菲尔德总统证法。借助梯形面积的两种表达方法完成勾股定理证明，从面积角度验证定理，感受一题多证，体会等面积法，加深对勾股定理推导逻辑的理解。 理解面积法证明定理的思路；能够写出证明过程。 17 解答题 梯子靠墙下滑的经典模型，求梯子底部向外滑动的距离 B ★★ 必做 经典梯子模型。第 (1) 问基础，直接用勾股定理求直角边；第 (2) 问中档，动态变化，梯子长度不变，研究底边移动距离。体会 “变中不变”，培养动态几何思维，是勾股定理实际应用的典型基础模型。 分两个状态分别进行计算。 18 解答题 货轮从 O 码头向正北行驶 12 km 到 A，再向正东行驶 16 km 到 B 码头。(1) 求 O、B 码头直线距离；(2) 货轮沿直线返回 O 码头，比原航线少航行多少千米？ B ★★ 必做 融入国家重大战略工程平陆运河。正北、正东方向构造直角，第 (1) 问直接求两点直线距离；第 (2) 问对比折线航程与直线航程。把航海方位问题抽象成直角三角形，体现数学服务于地方建设，落实建模素养。 能把航行路线抽象为直角三角形，用勾股定理计算线段长；会对比两条路线的路程。易错点：审题不清，路程计算混淆。 19 解答题 探究锐角、钝角三角形三边平方的大小关系 C ★★ 必做 勾股定理的拓展延伸。勾股定理是直角三角形的性质，本题探究锐角、钝角三角形三边平方关系，通过作高构造直角三角形，利用勾股定理推导不等式，引导学生分类讨论，完善三角形三边平方关系的认知体系，发展逻辑推理素养。 读懂探究思路，完成填空，并且对钝角情形进行猜想与证明。 20 (1) 解答题 勾股树：求字母 A 代表的正方形面积 A ★必做 压轴探究题，整份作业最大的亮点和创新点。从勾股树正方形面积关系出发，类比迁移：把正方形替换为半圆、等边三角形、等腰直角三角形、正六边形，探究通用规律。 引导学生发现本质：只要图形面积与边长平方成正比，结论就成立；最后增设选做拓展，向外 / 向内绘制图形依然保持等量关系。 由浅入深、层层递进，实现从 “记住勾股定理” 到理解定理本质，发展类比推理、归纳猜想，让学生体验数学家式探究过程，落实几何直观、推理能力等高阶核心素养。 利用面积的等量关系求解。 20 (2) 解答题 多层正方形勾股树，寻找面积之间的关系 C ★★ 必做 发现多层勾股树当中的面积传递规律。 20 (3)① 解答题 把叶子换成半圆、等边三角形，猜想等式。 B,C ★★ 必做 猜想面积是否依然满足等量关系。 20 (3)② 解答题 再把叶子换成等腰直角三角形、正六边形，判断结论是否成立 C ★★ 必做 继续猜想结论是否成立。 20 (3)③ 解答题 原创 寻找这些图形面积与边长关系的共同特点 C ★★ 必做 提炼出面积和边长的平方成正比这个核心特点。 20 (3)④ 拓展 探究 原创 叶子向内或者一部分向内一部分向外，猜想结论是否成立 C,D ★★★ 选做 敢于做出自己的猜想，无需严谨证明；激发探究的热情。 难度标记说明 ★必做：全体学生必须完成，落实单元基础知识、基本技能。 ★★必做：全体学生必须完成，提升素养和能力。 ★★★选做：拓展探究，供学有余力学生选做，旨在激发学生兴趣，不断探索！ 时间建议：必做题建议 80 分钟完成；选做题建议额外10分钟，整套作业限时90分钟。 五、作业评价量表（分层 A/B/C 等级评价） 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 能够精准理解勾股定理及逆定理，概念没有混淆，基础题正确率很高。 基本掌握勾股定理及逆定理，偶尔出现概念小失误。 概念模糊，经常混淆定理和逆定理，基础题目出错较多。 25% 能力运用 熟练运用勾股定理、面积法、方程、分类讨论、展开转化去解决各类问题，计算失误极少。 可以解决大部分常规问题，遇到复杂情境偶尔卡顿，少量计算失误。 解决应用题存在困难，不会建立模型，常常遗漏分类讨论。 30% 思维发展 善于观察，乐于猜想，可以发现规律，能够辨析易混淆模型，愿意去思考拓展问题。 在提示下可以找到规律，能够完成中档思维型问题。 面对规律、拓展类题目无从下手，不善于对比辨析。 30% 情感态度 态度端正，书写规范，愿意挑战拓展问题，不怕困难，热爱思考。 能够按时完成，书写比较整齐，不排斥难题。 完成比较被动，书写潦草，畏惧几何难题。 15% 本检测之后分层补救措施 【基础层（对应 C 等级）概念补救】 1. 回归课本，重读勾股定理、逆定理的定义，做好公式识记； 2. 专项训练：纯代入式基础计算题、勾股数的辨认； 3. 借助画图，分清定理（由直角→边长平方）和逆定理（边长平方→直角）的因果方向。 【中等层（对应 B 等级）方法补救】 1. 建立错题本，整理易错题型：分类讨论题、立体路径题、折叠方程题； 2. 开展小专题：面积法、展开转化、方程思想的专项微训练； 3. 加强画图习惯的培养：无图要考虑多解。 【提高层（对应 A 等级）拓展培优】 1. 提供拓展素材：勾股树的深度探究、立体表面的最短路径多种展开方式； 2. 鼓励自主去探究 “叶子向内绘制为什么面积关系不变” 这个选做题； 3. 开展探究式的小思考，提升类比推理的能力。 六、具体作业内容【共 20 题】 试卷说明：满分 100 分，考试时间 90 分钟；不得使用计算器 注意事项： 1. 答题前，请将姓名、班级填写在答题卡指定位置； 2. 全部答案均需写在答题卡，试卷上作答无效。 2024北师大版数学八上第一章《勾股定理》单元整合作业 一、选择题（每题3分，共27分） 1.★在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3, BC=4,则AB的长是 （ ） A.3  B.4  C.5  D.7 2.★下列各组数中，属于勾股数的是 （ ） A.1，2，3  B.6，8，10  C.2，3，4  D.5，6，7 3.★下列说法正确的是 （ ） A. 任意三角形都满足两边的平方和等于第三边的平方 B. 三角形的三边a、b、c满足（c是最长边），则这个三角形一定是直角三角形 C. 勾股定理与它的逆定理含义相同 D. 直角三角形的三边一定都是勾股数 4.★★如图，乡村庭院里一根竖直的果木杆遭遇大风，在距离地面 4米 处折断，木杆的顶端落在地面上，距离木杆底端 3米。这根木杆折断之前的高度是 （　　） A. 7米 B. 8米 C. 9米 D. 12米 5.★★小明把一支铅笔放在圆柱形笔筒中，如图笔筒内部的底面直径BC为9 cm，内壁高为12 cm，则这支铅笔的长度可能是 （　　） A．1.9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm 6.★★Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则斜边 AB 边上的高是 （ ） A.5  B.4.8  C.10  D.12 7.★★已知直角三角形两条边长是 6和7，则第三边的平方等于 （ ） A.85  B.13  C.85或13  D.以上都不对 8.★★科普园区立着一根圆柱形的展示柱,圆柱高 8m，底面周长 12m。一只小蚂蚁从柱子底部的A点出发，沿着侧面爬到上方与 A 相对的 B 点，则蚂蚁爬行的最短距离是 （ ） A．8 m B.10 m C．14 m D．20 m B A （第4题图） （第5题图） （第8题图） （第9题图） 9.★★我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。”（注：1 丈 = 10 尺）。意思是：有一个边长为 10 尺的正方形水池，水池正中央长着一根芦苇，芦苇高出水面 1 尺，把芦苇拉向岸边，顶端刚好碰到岸边的水面。则水深为（ ） A．10 尺  B．12 尺  C．13 尺  D．14 尺 二、填空题（每题4分，共20分） 10.★在 Rt△ABC，斜边 BC＝10，那么 BC 2+AB 2+AC 2＝　 　。 11.★★如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，则阴影部分的面积是________。 12.★★观察一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25……按照此规律，请写出下一组勾股数：________。 13.★★如图，是由 “赵爽弦图” 变形而来的美丽的 “数学风车” 图案：原来弦图中直角三角形两条直角边长分别为 5 和 6，将四个直角三角形中长度为 6 的直角边各自向外延长一倍，则这个 “数学风车” 的外围周长是____。 14.★★如图是广西南宁青秀山风景区文化长廊一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20 cm，长都是50 cm，宽都是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是　 　 （第11题图） （第13题图） （第14题图） 三、解答题（共53分） 15.★（7分・课本素材）如图，四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，CD＝13，BD＝12，求这个四边形的面积．[来源:Z 16.★（7分・课本素材）1876年，美国总统伽菲尔德(James Abram Garfield)利用下图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出过程。 17.（8分・课本素材） (1)★（4 分）一架长 5m 的梯子，斜靠在竖直的墙面上，梯子底端距离墙 3m，求梯子顶端到地面的高度。 (2)★★（4分）如果梯子的顶端向下滑动 1m，那么梯子的底端将向外滑动多少米？ 18．（8分）平陆运河是新中国第一条通江达海的大运河。一艘货运轮船从河畔O码头出发，向正北方向行驶12 km到达A点，再从A点向正东方向行驶16 km抵达B码头。 （1）★★求O码头与B码头之间的直线距离；（4分） （2）★若货船从B码头沿直线直接返航回到O码头，比先走正北、再走正东的航线少航行多少千米？（4分） 19.（10分・课本素材）在△ABC中,BC＝a ，AC＝b，AB＝c，且c≥b≥a. (1)★如图1，当△ABC是锐角三角形时，小明猜想a2＋b2>c2.以下是他的证明过程：其中, ①是______________，②是______________ ；（4分） (2)★★如图2，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2＋b2与c2之间的大小关系并证明（6分）． 20.类比探究（13分） （1）★直接写出图中字母A所代表的正方形的面积（3分） （2）★★如图2，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的面积分别是4，6，1，2．最大正方形E 的面积为　 　；如图3，S1、S2、S3、S4、S5、S6 、S7 之间有哪些数量关系　 　 （4分） （图1） （图2） （图3） （3） 通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分去，就可以得到一棵美丽的勾股树． 1 ①★★如果把勾股树上的正方形“叶子”，换成以直角三角形三边向外画出的半圆、等边三角形，你会发现什么结论？用等式表示出来（2分） ②★★如果把勾股树上的正方形“叶子”，换成以直角三角形三边向外画出的等腰直角三角形、正六边形，①中的结论还成立吗？（2分） ③★★【原创】 想一想：正方形、半圆、等边三角形、等腰直角三角形、正六边形，它们的面积和边长之间有着什么样的共同特点？（2分） ④★★★【原创，选做，不计入总分】 如果把勾股树的 “叶子” 图形，改成全部向内绘制，或是一部分向外、同时一部分向内绘制，前面发现的面积等量关系还成立吗？请像数学家一样细心观察，大胆思考！ 七、参考答案与解析 1、 选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 1. 答案：C 解析：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，由勾股定理： AB2 = AC2 + BC2 = 32 + 42 =25，AB=5。 2. 答案：B 解析： 62+82=102，所以 6，8，10 是勾股数。其余选项不满足。 3. 答案：B 解析： A：只有直角三角形才满足，错误； B：若三角形三边 a,b,c（c 最长）满足a2＋b2=c2 ，则是直角三角形，正确； C：勾股定理和逆定理含义不同，错误； D：直角三角形边长不一定是整数，不一定是勾股数，错误。 4. 答案：C 解析：折断部分为直角三角形斜边。 斜边 =5 米。 木杆原总高 = 4+5=9 米。 5. 答案：D 解析：圆柱笔筒内部最长线段（体对角线）=15 cm。 铅笔放在笔筒内，长度大于 15cm，选 D。 6. 答案：B 解析：斜边 AB=10。 利用面积法：×6×8 = ×10 × h，解得高 h=4.8。 7. 答案：C 解析：分类讨论： ①7 是斜边：第三边平方 =72 -62=13； ②6、7 均为直角边：第三边平方 = 62+72=85。 第三边的平方为 85 或 13。 8. 答案：10 解析：把圆柱侧面展开为长方形，圆柱高 8m，底面周长 12m，A、B 相对，水平长度为底面周长一半 6m。由勾股定理，最短距离 =6²+8²=102m。答案：10m 9. 答案：B 解析：设水深 x 尺，则芦苇长 (x+1) 尺，水池中心到岸边水平距离 5 尺。 x2 +52 = (x+1)2 解得 x=12，水深 12 尺。 【易错提示与数学思想】 思想：数学建模思想，将古文实际问题转化为直角三角形模型。 易错点：①容易忽略 “池方一丈，中央到岸边是 5 尺”，误把 10 当作直角边；②混淆水深和芦苇总长，未知数设错。 背景补充：本题源自《九章算术》“引葭赴岸”，是我国古代运用勾股定理进行测量的经典名题。 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 10. 答案：200 解析：Rt△ABC的斜边 BC=10，所以 AB2 + AC2 = BC2 BC2 + AB2 + AC2 = BC2 + BC2 =102+102=200 11.答案：25 解析：直角三角形斜边 13，直角边 12。另一直角边平方 = 13²−12²=25。阴影两个正方形面积之和等于 25。 12. 答案：9，40，41 解析：勾股数规律：奇数 n，另外两数为 ,。n=9，=40，=41 13. 答案：76 解析：原直角三角形两直角边长为 5、6，将长度为 6 的直角边向外延长一倍，得到线段长 6，新直角三角形两条直角边为 5、12。 斜边 =13。 风车共有 4 组外围线段，每组包含斜边 13、延长线段 6。 周长 = 4×(13+6)=76。 易错提醒：容易误将内部线段计入周长。 14. 答案：130 cm 解析：台阶展开为直角三角形，两条直角边分别为 50 cm、120 cm。 最短路径 =130 cm。 三、解答题（共 53 分） 15. 答案：36 解析：连接 BC。 因为∠A=90°，AB=4，AC=3 所以 BC2=32+42=25，BC=5。 在△BCD 中，BC=5，BD=12，CD=13。 52+122=132，即 BC2+BD2=CD2， 所以△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°。 四边形面积 = S△ABC + S△BCD =×3×4 +×12×5 =6+30=36。 答：四边形面积为 36。 16.证明： 梯形面积 = (a+b)(a+b)。 梯形面积也等于 3 个直角三角形面积之和：ab +ab +c2。 化简得到 a2+b2=c2，勾股定理得证。 17.(1) 答案：4 m 解析：梯子长 5m，底端距墙 3m。 顶端距地面高度 =4 m。 答：梯子顶端到地面高度为 4m。 (2) 答案：1 m 解析：顶端下滑 1m，新高度 4-1=3 m。 此时梯子底端离墙距离 =4 m。 向外滑动距离：4-3=1 m。 答：梯子底端向外滑动 1 米。 18.(1) 答案：20 km 解析：正北、正东方向互相垂直，∠O=90°， OB2=122 +162=400=20 2。 答：O 码头与 B 码头直线距离 20 km。 (3) 答案：8 km 解析：原航线总长：12+16=28 km。 路程差值：28-20=8 km。 答：比原航线少航行 8 千米。 评分要点（本题满分8分） ①根据题意画出几何图形，构造直角三角形，建立几何模型，2 分； ②准确求出直角三角形两条直角边的长度，2 分； ③正确列出勾股定理表达式并完成计算，3 分； ④写出作答，规范答题格式，1 分。 （部分得分：能正确构造直角三角形，但计算出现计算失误，扣 1～2 分；只写最终答案，无建模与计算过程，仅给 2 分。） 【易错提示与数学思想】 思想：数学建模、数形结合思想，把工程测量的实际问题抽象成直角三角形。 易错点：方位角画图出错，不能准确找到直角，混淆水平、竖直方向线段。 背景补充：本题以广西平陆运河本土重大水利工程为情境，感受勾股定理在工程勘测中的实用价值。 19.(1) ① c2-(a+x)2；② 2ax 解析：在 Rt△ADB 中，AD2=AB2-BD2=c2-(a+x)2。 联立等式化简得 a2+b2-c2=2ax， 因为 a>0,x>0，所以 2ax>0。 (2) 猜想：钝角三角形中，a2+b2<c2。 证明：过点 A 作 AD⊥BC，交 CB 延长线于 D，设 CD=x。 Rt△ADC 中：AD2=b2-x2 Rt△ADB 中：AD2=c2-(x-a)2 ，∴b2-x2 =c2-(x-a)2 展开化简：a2+b2-c2 = -2ax。 因为 a>0,x>0，所以 - 2ax<0，即 a2+b2 ＜ c2 评分要点（本题满分 10 分） (1) ①填写正确，2 分；②填写正确，2 分。（本小问合计 4 分） (2) ( 写出猜想，1 分；作出辅助线，1 分；两次利用勾股定理列出等式，2 分；化简变形，1 分；根据符号得出结论，1 分。（本小问合计 6 分） （部分得分：猜想正确但不会证明，仅得 1 分；辅助线画对，能列出一组勾股关系式，可得 2 分；化简过程出现小计算错误，扣 1 分。） 【易错提示与数学思想】 思想：数形结合、转化思想，借助作高构造直角三角形，把斜三角形问题转化为勾股定理问题；渗透从特殊到一般的探究思想。 易错点：①第二问钝角三角形作高，容易画到线段 BC 上，应该作在 BC 延长线上；②展开代数式时去括号符号出错。 背景补充：本题取材于北师大版八上教材拓展探究素材，拓展勾股定理，完善学生对一般三角形三边平方关系的认知，破除 “只有直角三角形可以用勾股定理” 的片面认知。 20. (1) 图左 A 面积：81；图中：56；图右 A 面积：16 解析：根据勾股定理，正方形面积关系： (3) 数量关系：S1 + S2 = S3 S₁+S₂+S₃+S₄=S₅ S₁+S₂+S₆=S₅ S₃+S₄+S₇=S₅ 采分细则：写出1条正确答案得1分；写出2条正确答案得2分；写出3条以上正确答案得3分。 解析：设直角三角形三边为 a,b,c，c 是斜边。三个图形面积都可以写成边长平方乘以固定系数 k： S1=ka2，S2=kb2，S3=kc2 由勾股定理 a2+b2=c2，两边同乘 k，得到 ka2 +kb2 =kc2， 即 S1+S2=S3。 无论边上绘制的是正方形、半圆还是等边三角形，该等式均成立。 (4) ①结论：以直角三角形三边向外作半圆、等边三角形，两个较小图形面积之和等于最大图形面积， S1+S2=S3。 ②结论：成立。换成等腰直角三角形、正六边形，结论依旧成立。 ③共同特点：图形面积都和对应边长的平方成正比例（面积 = 边长2 × 固定系数）。 ④【选做，不计入总分】结论：面积等量关系仍然成立。 提示：只需要关注面积与边长平方的倍数关系，和图形向内、向外绘制无关。引导学生像数学家一样猜想思考。 【易错提示与数学思想】 思想：数形结合、类比探究、从特殊到一般。依托勾股定理，先研究以直角三角形三边为边向外所作正方形的面积关系，再类比迁移到同类图形，探究面积之间不变的数量关系。 易错点：容易混淆 “直角三角形斜边、直角边” 对应的正方形面积，不能抓住面积与边长平方的转化关系。 【背景简叙】 在图形形态变化中挖掘恒定的数量规律，感受几何图形精巧和谐的数学之美，体会数学内在的奇妙与统一。本题在勾股定理经典正方形面积原型基础上自主拓展设计，依托多年教学积累原创后续设问，引导学生感受几何构图的奇妙，激发学生的好奇心和研究热情。 1 学科网（北京）股份有限公司 $