第二章分式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材湘教版

第二章 分式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 分式的概念及基本性质 1.1 分式的概念 设 和 都是多项式，其中 不为零多项式。我们把 除以 的结果记作 ，称 是分式，其中 称为分子， 称为分母。 示例：、 都是分式； 不是分式，它是整式。 注意：系数全为 的多项式叫作零多项式，零多项式记作 ，分式的分母必须不为零多项式。 1.2 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘同一个不为 的多项式（或除以它们的一个不为 的公因式），所得分式与原分式相等。 示例：。 1.3 分式的约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分。 示例：。 注意：化成最简分式的方法是约分，若分子或分母是多项式，应先将其因式分解，再找出公因式约去。 1.4 最简分式 如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式。 示例： 是最简分式； 约分前不是最简分式。 2. 分式的加法和减法 2.1 同分母分式的加减法 同分母的分式相加，分母不变，把分子相加。 同分母的分式相减，分母不变，把分子相减。 示例：。 注意：分式运算的最后结果要化成最简分式或整式。 2.2 相反分式与分式的减法 与 互为相反分式，即 。于是规定：减去一个分式等于加上这个分式的相反分式。 示例：。 2.3 异分母分式的加减法（通分） 异分母的分式相加（减），取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母（这样的公分母称为最简公分母），利用分式的基本性质，把它们化成同分母的分式（这个过程叫作通分），然后再相加（减）。 示例：。 注意：多项式 与分式相加（减），用 与分式相加（减）。 3. 分式的乘法和除法 3.1 分式的乘法 分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母。 示例：。 3.2 分式的除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 示例：。 3.3 分式的乘方 分式的乘方就是把分子、分母各自乘方。 示例：。 4. 整数指数幂 4.1 同底数幂的除法 同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减。 示例：。 4.2 零次幂与负整数指数幂 任何非零实数的零次幂都等于 。 非零实数的负整数指数幂规定为 由于 ，因此 。特别地，。 示例：；。 4.3 科学记数法（绝对值较小的数） 对于一些绝对值较小的数，可利用科学记数法将它们表示成 的形式，其中 是正整数，。 示例：。 4.4 整数指数幂的基本性质 引入零次幂和负整数指数幂后，指数的取值范围推广到全体整数，下列性质仍然成立： 基本性质 字母表示 同底数幂相乘 （，， 都是整数） 幂的乘方 （，， 都是整数） 积的乘方 （，， 是整数） 商的乘方 （，， 是整数） 示例：；。 5. 可化为一元一次方程的分式方程 5.1 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 示例： 是分式方程； 的分母不含未知数，不是分式方程。 5.2 分式方程的解法 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤如下： 第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程； 第二步，解所得到的一元一次方程； 第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解。 示例：解 ：两边同乘 得 ，解得 ，检验知 是原分式方程的解。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 分式的符号变化法则 分式本身、分子、分母三个符号中，同时改变任意两个，分式的值不变： 【使用提醒】变号时分子、分母要作为整体，只改变分子（或分母）中某一项的符号，分式的值会改变。 1.2 分式值为 的条件 分式 的值为 的条件是：分子 且分母 。 【使用提醒】只令分子为 而不检验分母，可能把使分母为 的值误当成”分式值为 “。 1.3 分式无意义的条件 分式 无意义（值不存在）的条件是：分母 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 分式化简求值 先对分子、分母因式分解，约去公因式化为最简分式，再代入求值。如当 ， 时求 的值，先化为 再代入得 。 2.2 通分与最简公分母的确定 先将各分母因式分解，再取各分母所有因式的最高次幂的积作最简公分母，系数取各分母系数的最小公倍数。如 与 的最简公分母为 。 2.3 解分式方程的规范流程 去分母（两边同乘最简公分母）→ 解所得整式方程 → 检验（将解代入最简公分母看是否为 ）→ 下结论。如解 ，去分母得 ，代入最简公分母 ，故为原方程的解。 2.4 分式方程应用题步骤 设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 双检验（是否为方程的解、是否符合实际意义）→ 作答。 2.5 求分式值为 的步骤 令分子等于 解出未知数的值 → 逐个代入分母检验是否不等于 → 保留使分母不等于 的值。 3. 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 约分先分解 分子、分母是多项式时先因式分解再约分，避免漏约、错约 相反因式变号 分母含 与 这类相反因式时，先提负号化为同分母 幂的底数统一 负指数幂先化为正指数幂，符号单独处理，分子分母各自乘方 科学记数法定阶 小数点移动的位数即 的绝对值，左移为正、右移为负 4. 常见考试模型 4.1 工程问题模型 公式：工作时间 工作总量 工作效率，即 ；“原计划天数 实际天数 提前天数”。 限定：效率、时间为正数；“提前”“多干”等表述对应时间或效率的差。 示例：如原计划每天种 棵树，实际每天种 棵，提前 天完成任务：。 4.2 行程问题模型 公式：时间 路程 速度，即 ；顺水（风）速度 静水速度 水（风）速，逆水（风）速度 静水速度 水（风）速。 限定：速度、时间为正数，注意单位统一。 示例：如走线路二的速度是线路一的 倍，少用 ：。 4.3 购销 / 数量问题模型 公式：总价 单价 数量；由”单价、数量、总价”中的等量关系或比例关系列方程。 限定：数量通常为正整数，不合题意的根舍去。 示例：如 型机器人比 型每小时多搬 ，且搬运 与 用时相等：。 4.4 增根与分式方程无解 公式：去分母后求出的解若使最简公分母为 ，则该解是增根，原方程无解。 限定：解分式方程必须检验，检验时只需将解代入最简公分母看是否为 。 示例：如 ，去分母得 ，使最简公分母 ，为增根，原方程无解。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求分式值为 0 的条件时漏掉”分母 ≠ 0” 典例：当 取哪个数时，分式 的值等于 ？ 错解：令 ，得 ，所以 ，分式的值等于 。 正解：令 ，得 。当 时，分母 ，分式无意义；当 时，分母 。所以当 时，分式的值等于 。 原因：概念理解不完整。“分式的值为 ”必须同时满足”分子 “和”分母 “两个条件。学生只记住了”分子为 “这一个显性条件，忘了分式本身还要求分母不为 ，把使分母为 的值也当成答案。凡求”值为 “的题，都要把求出的值逐个回代分母检验。 易错点 2：约分时不先因式分解，直接把”项”约掉 典例：把分式 化成最简分式。 错解：分子、分母同时约去 ，得 。 正解：先因式分解，。 原因：对约分的本质理解错误。约分约去的是分子、分母的”公因式”，必须先把分子、分母因式分解后整体约去；学生把约分误当成”逐项相消”，直接约去 项，违背了分式的基本性质。分子、分母是多项式时，第一步一定是先因式分解。 易错点 3：通分时分子漏乘相应的因式 典例：计算：。 错解：。 正解：最简公分母为 ，。 原因：条件遗漏。通分的依据是分式的基本性质：分子、分母必须同乘同一个不为 的因式。学生只把分母乘成了最简公分母，却忘了分子也要乘上相应的因式，破坏了分式的值。通分时”分母乘多少、分子就乘多少”要成对进行。 易错点 4：解分式方程忘记检验，误把增根当解 典例：解方程：。 错解：去分母得 ，解得 ，所以方程的解为 。 正解：去分母得 ，解得 。检验：当 时，最简公分母 ，所以 是增根，原方程无解。 原因：漏掉了分式方程”必须检验”这一步。去分母时两边同乘最简公分母，若求出的解使最简公分母为 ，就相当于两边同乘了 ，这个解不保证原方程成立。学生把解分式方程当成解普通整式方程，得到 就作答。解分式方程的三步”去分母、解方程、检验”缺一不可。 易错点 5：负整数指数幂与负数幂混淆，符号处理错误 典例：计算：。 错解：。 正解：。 原因：概念混淆。负整数指数幂 表示 （底数取倒数、指数变号），不是负数；而 才表示幂的相反数。学生把”指数上的负号”错误地搬到了整个幂的前面。注意区分 、 与 三者的含义。 易错点 6：分式运算结果未化成最简分式 典例：计算：。 错解：。 正解：。 原因：缺少”结果要化为最简分式或整式”的意识。分式运算的最后一步是约分，把结果化成最简分式（分子、分母没有公因式）或整式。学生合并完分子就停止，没有继续约去公因式 。分式加减乘除运算完成后，都要回头检查结果能否再约分。 学科网（北京）股份有限公司 $