精品解析：河北张家口市第七中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年10月初三数学阶段测试卷 一、选择题（共12小题，36分） 1. 如图是一个古建筑中常用的榫卯构件，其左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 5. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为( ) A. B. C. D. 7. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 9. 下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 10. 以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 11. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（13，14，15各3分，16题每空2分，共13分） 13. 已知，且，则________． 14. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 15. 如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 16. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）； （2）AE＝______． 三、解答题（共51分） 17. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． （1）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． （2）的面积为_____． 18. 如图，已知四边形为矩形． （1）尺规作图：在线段上作点，使得，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求证：． 19. 如图，在校园一面围墙前有路灯杆．小明在太阳光下借助竹竿测量该路灯杆的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯杆在太阳光下的影子； （2）测得，围墙与路灯杆之间的距离m，路灯杆的影子落在围墙上的那部分的高度为m，求路灯杆的高度． 20. 如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 21. 综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆 示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的李彤的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 王慧在她脚下放置镜子C，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部A．小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为米，王慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米． 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛C、标杆顶部E、旗杆顶部A在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，袁超的眼睛距离地面的高度为米，他与旗杆之间的距离为米． 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： （1）利用方案A测得旗杆的高度为________米； （2）请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； （3）袁超在利用方案C计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 22. 如图，是的高，点F，G在上，点E，H分别在，上，四边形是矩形， （1）证明：． （2）若，是的高，，，求的长． 23. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】 （1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月初三数学阶段测试卷 一、选择题（共12小题，36分） 1. 如图是一个古建筑中常用的榫卯构件，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断简单组合体的三视图，熟练掌握该知识点是解题关键．根据左视图的观察方法判断即可． 【详解】解：根据左视图是从左侧观看可确定该模型的左视图是一个矩形，中间的两条棱能看得到应画成实线，故其左视图如下图所示． 故选：B． 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质，计算判断即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由得， A.由得，不符合题意； B. 不符合题意； C. 符合题意； D. 由得，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵，  ∴． 4. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【解析】 【分析】由二次项系数的符号确定抛物线开口方向，结合对称轴分析图像位置与增减性． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 5. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意， D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 6. 如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 7. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的函数值计算方法是解题的关键． 先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过计算各点的函数值来比较大小． 【详解】解：∵ 二次函数， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ， 故选：A． 8. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 9. 下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 10. 以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或． 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵ 位似中心O为原点，位似比为2， ∴ 点的对应点坐标满足：或 ， ∴ 坐标为或， 故选A． 11. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 12. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论.  【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，  ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，，  ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 二、填空题（13，14，15各3分，16题每空2分，共13分） 13. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等比性质的应用，若，且，则，熟练掌握等比性质是解题关键. 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】函数图象向上平移，在原函数解析式后面加上平移的单位长度． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 15. 如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，的指数，二次项系数，解方程后再排除系数为的解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，，即， 解得：或， ∵和都满足， ∴或． 16. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）； （2）AE＝______． 【答案】 ①. 是 ②. ## 【解析】 【分析】（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论； （2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°， ∴△ACG≌△CFD， ∴∠CAG=∠FCD， ∵∠ACE+∠FCD=90°， ∴∠ACE+∠CAG=90°， ∴∠CEA=90°， ∴AB与CD是垂直的， 故答案为：是； （2）AB=2， ∵AC∥BD， ∴△AEC∽△BED， ∴，即， ∴， ∴AE=AB=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三、解答题（共51分） 17. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． （1）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． （2）的面积为_____． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质画出图形即可； （2）利用割补法计算即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 故答案为：． 18. 如图，已知四边形为矩形． （1）尺规作图：在线段上作点，使得，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求证：． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）证明：∵四边形为矩形． ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图即可解答； （2）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在校园一面围墙前有路灯杆．小明在太阳光下借助竹竿测量该路灯杆的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯杆在太阳光下的影子； （2）测得，围墙与路灯杆之间的距离m，路灯杆的影子落在围墙上的那部分的高度为m，求路灯杆的高度． 【答案】（1） 如图所示，折线为路灯杆在太阳光下的影子 （2）路灯杆的高度为m 【解析】 【分析】（1）同一时刻，太阳光线是平行的，据此即可求解； （2）作，交于点，易证，根据相似的性质可得出的长度，根据矩形的判定定理得出四边形是矩形，依据矩形的性质得出的长度，即可得到的高度． 【小问1详解】 解：同一时刻，太阳光线是平行的， 连接，过点C作一条直线与平行，交于点F， 光线被围墙挡住，落在围墙上的部分为，地面部分， 所以，路灯杆在太阳光下的影子为折现； 【小问2详解】 解：过点F作，交于点H，如答案图中所示， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：路灯杆的高度为m． 20. 如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 21. 综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆 示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的李彤的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 王慧在她脚下放置镜子C，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部A．小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为米，王慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米． 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛C、标杆顶部E、旗杆顶部A在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，袁超的眼睛距离地面的高度为米，他与旗杆之间的距离为米． 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： （1）利用方案A测得旗杆的高度为________米； （2）请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； （3）袁超在利用方案C计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】（1） （2） 旗杆的高度为米 （3）还需要测量的长度 【解析】 【分析】（1）根据题意得出相等的角，然后证明，利用相似三角形的性质列出方程求解； （2）根据题意得出相等的角，然后证明，利用相似三角形的性质列出方程求解； （3）根据题意，过点作，交于点，交于点，得出相等的角，证明，利用相似三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得米， ∴旗杆的高度为米； 【小问2详解】 解：连接，图见解析， 根据题意得，， ∴， 由反射的性质可知， ∴， ∴， 即， 解得米， ∴旗杆的高度为米； 【小问3详解】 解：还需要测量的长度，理由如下： 如图所示，过点作，交于点，交于点， ∴四边形和四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴还需要测量的长度，就能计算旗杆的高度． 22. 如图，是的高，点F，G在上，点E，H分别在，上，四边形是矩形， （1）证明：． （2）若，是的高，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵点F，G在上， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质得到对应边平行，由平行线得到两组同位角相等，从而证明，由相似三角形对应边成比例得到所求线段的关系，交叉相乘即可证明结论． （2）根据矩形性质得到对应边平行和直角，令与交点为R，结合得到与的关系式，由（1）中得到的相似三角形对应边成比例得到，代入与的关系式得到关于的方程，求解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，令交于点R， ∵矩形的边在上， ∴， 又∵点F，G在BC上， ∴，． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴，即 解得 ∴的长为． 23. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】 （1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 【答案】（1）或； （2）是四边形的“相似对角线”， 理由如下： ，平分， ， ， ， ， ， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解； （2）先说明，即可说明理由； （3）先判断出，得出，再求出，即可求得的值 【详解】解：（1）四边形是以为“相似对角线”的四边形， ∴或， ∵，，， 由勾股定理得，， 当时， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 综上：或； （2）略． （3）如图3， ∵是四边形的“相似对角线”， ∴与相似． 又， ， ∴， ， 过点E作垂足为Q， 可得， ∵， ∴， ， ， ∴． 【点睛】本题是属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、认识新定义、锐角三角函数等知识点，正确判定相似三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $