2.5.1 第2课时 直线和圆相切的综合应用同步练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时：直线和圆相切的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； （2）过点作圆的切线，求此切线的方程． 【答案】（1）；（2）和 【分析】（1）先判断点在圆上，根据直线与切线垂直得到切线斜率，利用点斜式直线方程求得切线方程； （2）先判断点在圆外，根据切线斜率存在和不存在分类讨论，结合圆心到直线的距离等于圆的半径，求得切线方程. 【详解】(1)点在圆上，圆心，由斜率公式得， 故所求切线的斜率为．故所求的切线方程为：，即． （2）由于，所以点在圆外； ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 故，解得，所以切线方程为． ②当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离也为1，这时直线与圆也相切， 所以另一条切线方程是． 综上所述，所求切线方程为和． 【例2】已知圆经过，两点，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设圆心的坐标为，则，再结合，得到，联立求出，得到圆心，再求半径即可； （2）由题可知，再求出切线的长，接着根据等面积法求即可． 【详解】（1）解：设圆心的坐标为，则， 因为，是圆上的两点，所以， 所以，即， 由得即， 则圆的半径， 故圆的标准方程为； （2）因为，，所以， 所以， 则四边形的面积， 因为过点作圆的两条切线，切点为，，所以， 所以四边形的面积，解得. 【基础夯实】 一、单选题 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 2．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 3．已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 4．过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 5．已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】设圆心坐标为，半径为，由题意列出方程组求解即可. 【详解】设圆心坐标为，半径为， 由题意可得， 解得， 所以圆C的半径为. 6．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 二、多选题 7．过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 【答案】CD 【分析】根据题意，分直线的斜率存在以及不存在讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即，解得； 综上所述，直线的斜率为或者不存在. 故选：CD 8．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点、圆心以及两个切点构成正方形，最后根据以及两点间距离公式即可得出结果. 【详解】化为标准方程为：，圆心，半径为， 因为过点M所作的圆的两条切线相互垂直， 所以点M、圆心以及两个切点构成正方形，， 因为M在直线上，所以可设， 则，解得：或，所以或， 故点M的纵坐标为1或. 故选：AC. 9．若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【答案】CD 【详解】由圆，圆心为，半径为， ∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得， 结合选项，实数的取值可以为10，4. 三、填空题 10．已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则， 所以切线长为. 11．已知圆O：x2＋y2＝4和点，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________． 【答案】/ 【分析】求出切线方程，再求得切线与坐标轴的交点坐标，然后计算面积． 【详解】由已知，所以切线的斜率为，切线方程为，即， 令得，令得， 所以． 故答案为：． 12．已知是圆（为参数，）上的点，则圆的标准方程为______，点对应的值为______，过点的圆的切线方程是______． 【答案】 【分析】由圆的参数方程得到半径，从而得到标准方程，由三角函数值得到，由圆上一点的切线方程得到过点的切线方程. 【详解】由，得，所以圆的标准方程为； 又得，又因为，所以； 由，知过圆上一点的切线方程为， 又因为，过点的圆的切线方程为． 故答案为：；；. 四、解答题 13．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用圆心与切点的连线垂直于切线，通过斜率关系求出圆心坐标，再计算半径得到圆的标准方程。 （2）分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径，求出过定点的圆的切线方程 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 14．过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可； （2）根据切线长的性质可得，进而结合图形求解即可. 【详解】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时：直线和圆相切的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； （2）过点作圆的切线，求此切线的方程． 【例2】已知圆经过，两点，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，，求的值. 【基础夯实】 一、单选题 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 4．过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 5．已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（   ） A． B．2 C． D．3 6．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 8．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 9．若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 三、填空题 10．已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 11．已知圆O：x2＋y2＝4和点，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________． 12．已知是圆（为参数，）上的点，则圆的标准方程为______，点对应的值为______，过点的圆的切线方程是______． 四、解答题 13．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 14．过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $