2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的实际应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 本同步练聚焦直线与圆的方程实际应用，分A级基础巩固与B级综合运用两层，梯度清晰，从单一应用到综合建模，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础巩固|圆的方程、直线与圆位置关系等单一知识点应用|以涵洞、拱桥等简单情境命题，如第1题直接求半圆方程，第10题判断船能否过桥，培养几何直观与运算能力| |B级综合运用|多知识点综合应用、实际问题建模|结合复杂情境如零件截面（第13题）、售货区域划分（第15题），需建立坐标系并综合推理，发展模型观念与应用意识|

第二课时　直线与圆的方程的实际应用 （时间：60分钟　满分：99分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，建立如图所示的直角坐标系，则该半圆的方程是（　　） A．x2＋y2=25 B．x2＋y2=25（y≥0） C．（x＋5）2＋y2=25（y≤0） D．x2＋y2=25（y≤0） 2.如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|=12 m，拱高|CD|=4 m，则拱桥的直径为（　　） A．15 m B．13 m C．9 m D．6.5 m 3.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x=0表示，在公园外两点A（－2，0），B（0，2）与公园边上任意一点修建一处三角形舞台，则舞台面积的最小值为（　　） A．3－　 B．3＋　　 C．3－　 D． 4.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁．若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为（　　） A．（x＋20）2＋（y－20）2=100 B．（x－20）2＋（y＋20）2=100 C．（x＋20）2＋（y＋20）2=100 D．（x－20）2＋（y－20）2=100 5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA=10 m，AB=100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m）（　　） A．100　 B．100　　 C．150　 D．150 6.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段，这座桥的水面跨度是20 m，拱顶离水面4 m，当水面上涨2 m后，桥在水面的跨度为（　　） A．10 m　 B．10 m　　 C．6 m　 D．6 m 7.〔多选〕如图所示，已知直线l的方程是y=x－4，一个半径为的圆C，圆心C从点（0，）开始以每秒个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（　　） A．6秒　 B．8秒　　 C．10秒　 D．16秒 8.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用（x－2）2＋（y＋3）2=4表示，村外一小路方程可用x－y＋2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是　　　　． 9.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时长为　　　　h． 10.（10分）某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 11.（2026•淮安月考）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为（　　） A．（12－24）m　 B．（12＋24）m C．（24－12）m　 D．不确定 12.现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分），已知弦|AB|=1尺，弓形高|CD|=1寸，则阴影部分的面积约为（注：π≈3.14，sin 22.5°≈，1尺=10寸）（　　） A．6.33平方寸　 B．5.35平方寸 C．7.37平方寸　 D．8.39平方寸 13.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示（单位：cm），四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B，C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tan α=，tan β=，则该零件的截面的周长为　　　　．（结果保留π） 14.（13分）设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，甲、乙两人在何处相遇？ 15.（15分）（2026•阳江月考）有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回时，每单位距离，A地的运费是B地的2倍，已知A，B两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低．建立适当的平面直角坐标系． （1）求A，B两地的售货区域的分界线的方程； （2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地． 第二课时　直线与圆的方程的实际应用 1.B　在给定的坐标系中，上半圆方程中满足y≥0，故选B． 2.B　如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2=|OD|2＋|BD|2，即r2=（r－4）2＋62，解得r=，所以拱桥的直径为13 m． 3.A　因为直线lAB：x－y＋2=0，圆心为（1，0），半径为1，则圆心到直线lAB的距离为d==，所以AB边上的高的最小值为－1，所以三角形舞台面积Smin=×2×（－1）=3－． 4.D　易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B（图略），则∠AOB=30°，∵|OA|=40，∴|AB|=20，|OB|==20，∴暗礁所在区域边界方程为（x－20）2＋（y－20）2=100. 5.A　以A为坐标原点建立平面直角坐标系（图略），设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k=0（k＞0），则当该直线与圆O相切时，新路长度最小，此时=45，解得k=1，此时求得新路长度为100 m． 6.C　根据题意，建立如图所示的圆拱桥模型．设圆O的半径为R，当水面跨度是20 m，拱顶离水面4 m时，水面为AB，M为AB的中点，即|AB|=20，|OM|=R－4，由勾股定理，得|AM|2=（）2=|OA|2－|OM|2，即100=R2－（R－4）2，解得R=．当水面上涨2 m后，水面为CD，N为CD的中点，此时|ON|=R－2，由勾股定理，得|CD|=2|CN|=2=6（m）． 7.AD　设当圆与直线l相切时，圆心坐标为（0，m），则圆心到直线l的距离为=，解得m=－或m=－，所以该圆运动的时间为=6（秒）或=16（秒）． 8.－2　解析：从村庄外围到小路的最短距离为圆心（2，－3）到直线x－y＋2=0的距离减去圆的半径2，即－2=－2. 9.1　解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B（40，0）为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y=x，则圆心B（40，0）到直线y=x的距离d==20，可求得|MN|=2=20，所以城市B处于危险区的时长为1 h． 10.解：建立如图所示的坐标系， 依题意，各点的坐标为A（－10，0），B（10，0），P（0，4），D（－5，0），E（5，0）， 设圆拱桥所在圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2=r2（r＞0）， 于是有 解得 所以这座圆拱桥所在的方程是x2＋（y＋10.5）2=14.52（0≤y≤4）． 把点D的横坐标x=－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m，3＜3.1， 所以该船可以从桥下通过． 11.A　如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为（－18，0），（18，0），（0，6）．设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0.因为A，B，P在此圆上，故有解得故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324=0，将点P2的横坐标x=6代入上式，结合图形解得y=－24＋12．故支柱A2P2的长为（12－24）m． 12.A　连接OD（图略），设半径为r．由题意知|AD|=5寸，则|OD|=r－1，在Rt△OAD中，|OA|2=|AD|2＋|OD|2，即r2=52＋（r－1）2，解得r=13，则sin∠AOC=，所以∠AOC≈22.5°，则∠AOB≈2×22.5°=45°，所以扇形OAB的面积S1==≈66.33（平方寸），△OAB的面积S2=×10×12=60（平方寸），所以阴影部分的面积为S1－S2≈66.33－60=6.33（平方寸）． 13.84＋6π　解析：以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则直线AB的方程为4x＋3y=0，直线CD的方程为3x－4y－105=0，直线EF的方程为y=12，设圆心为O（a，b），则圆心到直线AB，直线CD，直线y=12的距离均相等且等于r，则r===|12－b|，解得a=15，b=0，r=12，易得|AB|==9，|CD|==16，对应弧长为圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋=84＋6π． 14.解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系． 设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为（a，0），C点坐标为（0，b），则CD所在直线的方程为＋=1（a＞3，b＞3），设乙的速度为v，则甲的速度为3v．依题意有 解得 所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇． 15.解：（1）以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则点A（3，0），B（－3，0）， 设每单位距离B地的运费为a元，设售货区域内一点为P（x，y），若在两地的购货费用相同，则2a=a， 化简可得（x－5）2＋y2=16，故在A，B两地的售货区域的分界线的方程为（x－5）2＋y2=16. （2）如图，由（1）可知，A，B两地的售货区域的分界线是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆，所以在圆（x－5）2＋y2=16上的居民从A，B两地购货的总费用相同． 由2a＞ a，可得（x－5）2＋y2＞16， 所以在圆（x－5）2＋y2=16外的居民从B地购货便宜； 由2a＜ a，可得（x－5）2＋y2＜16， 所以在圆（x－5）2＋y2=16内的居民从A地购货便宜． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $