专题04 因式分解章末56道压轴题型专训（8大题型）-2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 因式分解章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、十字相乘法因式分解 1 题型二、因式分解与方程或化简问题 2 题型三、先提公因式再套公式综合分解 3 题型四、因式分解彻底分解问题 4 题型五、因式分解的综合应用 5 题型六、利用因式分解求代数式的值 6 题型七、因式分解相关新定义题型 7 题型八、利用因式分解判断整除问题 8 【经典例题一 十字相乘法因式分解】 1．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． (1)用十字相乘法分解因式； (2)用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， （2）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， ． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由，得，利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，故原式可分解为，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)将代数式先分解因式，再求值，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了利用十字相乘法进行因式分解，因式分解的应用，弄清题中的分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给材料信息即可求解； （2）分别计算和，然后把看作整体因式分解为，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴ ． 3．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 4．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．我们学习过一元一次方程，因此在求解二元一次方程组时，通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比求解二元一次方程组，小明对一元二次方程求解过程提出了如下思考： ①若，则有或者； ②结合学习过的因式分解相关知识，， ③当时， ④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程______和______，这是一个“降次”的过程． ⑤即或 请根据小明的思考过程，完成下列问题： (1)序号④中的两个一元一次方程分别为______和______ (2)应用小明的思路，求解下列两个一元二次方程： ； 【答案】(1)； (2)①，；②， 【分析】本题主要考查因式分解---十字相乘法解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）根据“两个因数的积为零，那么这两个因数中至少有一个因数为零”可得答案； （2）①把分解成与2的积，且，方程可变形为，故可解答； ②把分解成，分解成，而，故方程可变形为，故可解答． 【详解】（1）解：， ∴或， 故答案为：；； （2）解：①， ， 或， ∴，； ②， ， 或， ∴，． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（25-26八年级上·全国·阶段检测）阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴ ． 7．（24-25八年级上·河南新乡·期末）【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据结合题意分解因式即可； （2）把分解成两个整数的乘积形式，再根据题意可得的结果等于分解成的两个整数的和，据此建立方程求解即可； （3）把看做一个整体，再仿照题意因式分解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）； （3） ． 【经典例题二 因式分解与方程或化简问题】 8．（25-26七年级上·上海松江·期末）（1）设是否存在实数，使得能化简为，若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由． （2）若，，且，求的值． 【答案】（1）能，；（2）11 【分析】此题考查了整式的混合运算，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把代入确定出的值即可； （2）原式变形后，将已知等式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式， 当时，， ，即， 解得：； （2）由题知：， ， 同理：， ， 由，知：，， ，即， ， ， 则． 9．（25-26八年级上·四川乐山·期末）设是关于x的多项式，若方程有一个根为，则．所以多项式必有一个一次因式．例如，多项式，当时，，则必有一个一次因式，那么，，而，所以，，．这种因式分解的方法叫做“试根法”．解决下列问题： (1)请你用“试根法”分解因式： ①； ②； (2)若多项式（m为常数）有一个因式为，求m的值并将此多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查因式分解，多项式乘多项式，理解“试根法”的原理是解题的关键． （1）① 时，，令，参照题干，即可求解；②当时，，令，参照题干，即可求解； （2）令，参照题干，即可求解． 【详解】（1）解：① 当时，， 则必有一个一次因式， 令， 而， ，， ． ②当时，， 则必有一个一次因式， 令， 而， ，，， ，，， ． 同理，可得， ； （2）解：多项式（m为常数）有一个因式为， 令， 而， ，，，， 解得，，， ， ， 同理，可得， ． 10．（2026·河南信阳·一模）如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，，，故4，12，20都是神秘数． (1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：______； (2)小明说：“2024是神秘数．”小亮为了验证，设较小偶数是m，则较大偶数是，列出方程，请用小亮所列方程分析小明的说法是否正确； (3)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)小明的说法不正确，理由： ，即：， ∴，解得：，不是偶数， ∴2024不是神秘数； (3)能够被4整除，理由： ， 能被整除． 【分析】（1）根据“神秘数”的定义，任选大于等于的两个连续偶数，即可求解， （2）应用平方差公式解，求出的值，即可判断， （3）化简得能被整除，即可求解， 本题考查了，数字规律探索，解题的关键是：理解题意正确列式． 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）， （2）略 （3）略 11．（2025·江西九江·二模）数学老师布置了一道数学题：化简．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … (1)对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是__________． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解    B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法    D．甲、乙都是因式分解 (2)请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)A (2) 选择甲同学的解法： 原式． 选择乙同学的解法： 原式． 【分析】本题考查了整式的化简，因式分解，熟知平方差和完全平方公式是解题的关键。 （1）根据因式分解的概念和整式的化简，即可解答； （2）按照整式的化简，将过程补充完整即可。 【详解】（1）解：，为整式的乘法； ，为因式分解， 故选：A； （2）略 12．（25-26八年级上·山西临汾·期中）请阅读下面材料并解决问题： 配方法是数学中重要的一种思想方法，如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将一个式子通过恒等变形转化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式来解决问题．并利用非负性的优势，能在方程求解场景中化繁为简，成为破解难题的金钥匙． 例：已知，求和的值． 解：由已知得： 即， ， ． 根据上述方法，解决问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用以及非负数的性质，解题关键是通过配方法将原式转化为完全平方式的和，再利用非负数的性质求解． 通过配方法将给定的等式转化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出的值，再代入计算的值． 【详解】解：由已知得：， 即， ， ， ， ． 13．（25-26八年级上·内蒙古·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法在代数式的化简、求值及方程函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解． 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确运用分组分解法进行因式分解． （1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ． 14．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）【阅读与理解】将分解因式，我们可以按下面的方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验证中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ，． ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③． (2)解方程． 【答案】(1)①，；②，；③，； (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，解题时要熟练掌握并能灵活运用“十字相乘法”是关键． （1）依据题意，根据“十字相乘法”逐个计算即可得解； （2）依据题意，根据“十字相乘法”进行计算即可得解． 【详解】（1）解：①， ，， ∴， ∴原方程的解为，； ②， ，， ∴， ∴原方程的解为，； ③， ，， ∴， ∴原方程的解为，． （2）， ，    ， ∴， ∴原方程的解为，． 【经典例题三 先提公因式再套公式综合分解】 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式继续因式分解，最后把m、n的值代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）先分解因式，再计算求值．已知，求的值． 【答案】；36 【详解】解：， ∵， ∴原式． 17．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）按要求完成下列计算： (1)先分解因式，再求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)，3 (2)150 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，然后，代入数据计算即可求解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，然后整体代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：∵，， ∴ ． 18．（25-26八年级上·福建厦门·期末）人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，若因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． (1)已知多项式，当取时，求出用上述方法生成的密码； (2)已知多项式，当n取正整数时，用上述方法生成的密码中，第一个因式码为11，求完整的密码． 【答案】(1)用上述方法生成的密码为； (2)完整的密码为． 【分析】本题考查因式分解，已知字母的值，求代数式的值． （1）分解因式为，将代入各因式，将因式码按从小到大的顺序排列即可； （2）分解因式为，根据题意可得，可得，分别代入，，将因式码按从小到大的顺序排列，即可得完整的密码． 【详解】（1）解： ， 当时，，， 因式码为，，， ∴将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码． （2）解： ， ∵为正整数， ∴为偶数， 又∵，第一个因式码为11， ∴， ∴， ∴，， ∴完整的密码为． 19．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）【阅读材料】 “换元法”是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具． 例题  因式分解：． 思路：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原成“”即可． 【解决问题】 (1)根据【阅读材料】中的“思路”，写出例题的解答过程； (2)在有理数范围内，利用换元法因式分解：． 【答案】(1)设，则原式． 把代入， 得原式 (2) 【分析】（1）根据题意进行因式分解即可； （2）设，再根据题意进行因式分解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则 原式． 把代入，得 原式． 20．（25-26七年级下·山西晋中·期末）学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！ 小明：解：     …………第一步     …………第二步     …………第三步 小红：解：     …………第一步     …………第二步     …………第三步 思考： (1)在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是 （用字母表示），小红第二步因式分解的方法叫 ． (2)用你自己喜欢的方法因式分解：． (3)结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议． 【答案】(1)，提公因式法 (2)解：． (3)建议：学习因式分解时要牢记分解步骤，先观察多项式是否有公因式，有公因式一定要先提取，再用公式法继续分解，分解完成后要检查是否分解彻底．（合理即可） 【分析】（1）根据两人的解题步骤即可判断； （2）利用提公因式法结合平方差公式，即可完成因式分解； （3）结合因式分解的解题要求，提出合理可行的学习建议即可． 【详解】（1）解：小明第二步将变形为，再分解为两个因式的乘积，依据的公式是平方差公式：； 小红第二步提取了公因式，因此第二步的因式分解的方法是提公因式法． （2）略 （3）略 21．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）阅读材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：用换元法对多项式进行因式分解． 解：把“”看成一个整体，令， 则． 把代入得，原式． (1)请你用换元法对下列多项式进行因式分解： ①___________．（填空） ②．（写过程） (2)小聪发现也可以用换元法因式分解． 解：原式 … 请帮小聪同学把过程补充完整． (3)请直接写出因式分解的结果： ①___________． ②___________． 【答案】(1)①；②； (2)解：原式 令， 则原式 ， ∵， ∴原式. (3)①；② 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）先利用多项式乘以多项式的法则进行展开，再利用换元法进行因式分解即可； （3）仿照（2）的思路进行求解即可. 【详解】（1）解：①令， 则 ； ∵， ∴原式； ②令， 则 ； ∵， ∴原式； （2）略 （3）解：① ； ② . 【经典例题四 因式分解彻底分解问题】 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用． （1）根据，得出有关m，n的方程组求出即可； （2）由把代入，得其值为0，则多项式可分解为的形式，先根据（1）的方法求出a，b的值，进而将多项式分解得出答案． 【详解】（1）解：在等式中， 分别令，，得 ， 解得； （2）解：把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 分别令，，得 ， 解得， 所以． 23．（25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读下列材料： 小颖同学对多项式进行因式分解的过程中发现，如果把看成一个整体，用一个新的字母代替，此多项式就可以运用公式法进行因式分解，以下是她的做法． 解：设， 原式 (1)小颖同学进行因式分解时，所得到的最后结果是否分解彻底？______（填“是”或“否”；如果否，直接写出因式分解最后的结果______； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)否， (2) 【分析】（1）由还可以利用完全平方公式分解，从而可得答案； （2）设，则可得再继续分解即可． 【详解】（1）解：还可以利用完全平方公式分解， ∴因式分解不彻底，还可以继续分解； ∴设， 原式 故答案为：否，； （2）解：设， 【点睛】本题考查的是利用换元法分解因式，掌握“换元法的方法与步骤”是解本题的关键． 24．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上材料提供的方法，解答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提公因式法        B．公式法    C．换元法 (2)老师说，该同学因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果：_________． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握换元法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）根据因式分解的方法即可得出答案； （2）利用公式法将因式分解不彻底的结果进行因式分解即可； （3）仿照题意进行因式分解即可求解． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的公式法； 故选：B． （2）解：设， 原式 ， ∴因式分解的最后结果为． 故答案为：． （3）解：设， 原式 ． 25．（24-25八年级上·山东东营·期末）阅读下列材料：提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：．这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)有人说，无论，取何实数，代数式去的值总是正数，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明： ， 所以无论，取何实数，代数式的值总是正数． 【分析】本题考查了整式的因式分解，理解题中例子并将式子合理分组是解题的关键． （1）前两项和后两项先分组，再分别分解因式，最后提取公因式分解； （2）把45分成25、16、4，与、与分别构成完全平方式，再利用非负数的和说明即可． 【详解】（1）解： （2）略 26．（25-26八年级·湖南长沙·阶段练习）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式：． 解：原式第1步：拆项法，将拆成和 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部) 第4步：提公因式法(整体)； 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底 (1)请你试一试分解因式：； (2)请你试一试在实数范围内分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）根据题意原式可化为，再提取公因式可得，再应用平方差公式进行分解因式可得，再提取公因式可得，可化为，应用十字相乘法进行分解因式即可得出答案； （2））原式可化为再提取公因式可得，再提取公因式可得，再应用实数范围内分解因式即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（25-26七年级下·湖南永州·期中）阅读题． 材料一：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，，，，则都是“完美数”；再如，，（是整数），所以也是“完美数”． 材料二：任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且）．如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定．例如，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有． 请解答下列问题： (1)8　　　．（填写“是”或“不是”）一个完美数，　　　　． (2)如果和都是“完美数”，试说明也是“完美数”． 【答案】(1)是， (2) 设，，其中a，b，c，d均为整数， 则 ∵a，b，c，d均为整数 ∴与也是整数，即是“完美数”． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和分解因式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义和最佳分解的定义可得； （2）根据完全平方公式配方变形，可证明是“完美数”； 【详解】（1）∵ ∴8是完美数， ， ； （2）略 28．（25-26八年级上·河南开封·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 【答案】(1) (2) (3)，小， 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式，最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）结合材料，用换元法进行分解因式； （3）利用换元法把原式变形分解，由即可得解． 【详解】（1）解： 设， 原式 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ∵ ∴ ∴当时，多项式存在最小值，为． 故答案为：，小，． 【经典例题五 因式分解的综合应用】 29．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）如图，阴影部分的面积与一个长方形面积相等，阴影部分内、外都为正方形，边长如图．若该长方形的长为，则该长方形的宽为多少？ 【答案】 【分析】根据阴影部分的面积表示与平方差公式因式分解知识进行求解． 【详解】解：由题意得，该阴影部分的面积为： ， ∴该长方形的宽为． 30．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【答案】(1)因式分解 (2)见解析 【分析】（1）根据因式分解的定义解答； （2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可． 【详解】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 31．（2026·广东汕头·一模）小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： (1)请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 (2)小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 【答案】(1)（或） (2)证明见解析 【分析】（1）通过设连续正整数（），对进行因式分解，即可得到完全平方形式，从而补全空格． （2）类比（1）的方法，设且，对因式分解，证明其结果为完全平方数． 【详解】（1）证明：设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴或， ∴一定是正整数的平方数， 故空格处填（或）． （2）证明：设，是连续的正整数，且， ， ， ， 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． 32．（2026·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 一类特殊乘法运算的研究 研究对象：两个十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘． 初探算法：例：；；； ．．．．．． 发现规律：可以将它们的积分解成“前积”和“后积”两部分．例：的积为4216，其中42看作“前积”，16看作“后积”．“前积”就是将十位数字与________相乘的积，“后积”就是个位数字相乘的积，“前积”乘以100加上“后积”就是这两个两位数相乘的积． 算法推理：两个两位数分别记为和，且，其中，，则上述规律表示为________．尝试对此规律进行证明． …… 任务： (1)请你写出一个符合以上乘法运算特征的算式并计算出结果：_______，其中“前积”为_______，“后积”为_______． (2)直接写出报告中“_______”处空缺的内容：①________，②________； (3)完成“算法推理”中的证明过程． 【答案】(1) (2)十位数字加1的数； (3) 解：因为，所以 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）根据规律填空即可； （3）根据多项式的乘法进行计算证明，即可求解． 【详解】（1）解：；其中“前积”为30；“后积”为24； （2）解：十位数字加1的数（或比它大1的数）；（语言表达合理即可） ； （3）略 33．（25-26七年级下·河南郑州·期中）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧” (1)受上述方法启发，尝试分解； (2)类比问题（1）尝试分解； (3)小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因． 【答案】(1) (2) (3)正确； 举例：当完全平方数为时， ， 一般结论：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式 【分析】本题考查了因式分解： （1）根据新定义，用构造出平方项，再进行因式分解； （2）根据新定义，把原式看成和的和，用构造平方项，完成因式分解； （3）当完全平方数为时，代入并分解因式，再设完全平方数为，其中为正整数，将按照“姬曼技巧”进行变形，分解因式，后总结一般结论即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：正确； 一般结论：设完全平方数为，其中为正整数，则， ， 因此，正确结论是：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式． 34．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 【答案】(1)②③ (2) (3)9 (4) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）依据题意，先作差，然后根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴12不是“和谐数”， ②∵， ∴20是“和谐数”， ③∵， ∴45是“和谐数”， ④∵， ∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴； （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴． 35．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 【答案】(1)1，， (2) 【分析】（1）通过观察是方程的一个解，从而得到的一个因式是，再用竖式除法得到另一个因式即可； （2）因为为整式，所以用竖式除法得到的余数等于0，从而求出的值，然后将的值代入，进而再将其因式分解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴多项式的一个因式是． 多项式的另一个因式可用下面的竖式除法求得： ． （2）解：，其中为整式， ∴要确定整式，则可用竖式除法： 为整式， ， 解得． ， ． 【经典例题六 利用因式分解求代数式的值】 36．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)分解因式：； (2)无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 【答案】(1) (2)2023 【分析】考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据题干的方法求解即可； （2）利用配方法将代数式转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ， 故的最小值为2023． 37．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知a，b是两个连续整数（），． (1)我们知道，一个大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他正因数，这样的数就是合数．代数式是合数吗？请说明理由； (2)设，求n的值． 【答案】(1) 是合数，理由如下： ∵a，b是连续整数，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是大于1的整数，且有两个大于1的因数， 即有两个大于1的因数， 因此，是合数； (2)3 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）根据题意可知，则，因式分解得到，根据可知有两个大于1的因数，即可作答； （2）由题意可知，，则、分别可因式分解为、，根据可知，，进而开平方即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵a，b是连续整数，且， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 38．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）认真阅读下列材料，然后利用乘法公式尝试解答问题． 【阅读材料】 材料一 分解因式：． 解： ． 材料二 无论取何值，代数式的值都大于等于0， 当代数式减去4时，代数式的值大于等于， 代数式有最小值，最小值为． 【问题解决】 (1)分解因式：①；②． (2)①说明：代数式的最大值为5． ②求代数式的最小值． 【答案】(1)①② (2)① ， ∵， ∴， ∴，即代数式的最大值为5． ② 【分析】本题考查因式分解的应用．结合例题把含字母的项配成完全平方式是解决本题的关键．用到的知识点为：和． （1）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，再用平方差公式进行因式分解； （2）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最大（小）值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：①略 ② ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 39．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③； (2)； (3)最小值为7． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答即可； （2）先运用新定义求得，即可求解； （3）先求得，再根据新定义可得，然后结合它们的“恒定值”为，可得，结合完全平方公式可得 ，即可解答． 【详解】（1）解：① ②，不是常数； ③为常数； ∴是的“恒定多项式”的是①③； 故答案为：①③ （2）解， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 它们的“恒定值”为． （3）解：， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 又它们的“恒定值”为， ， ， ， ， ，当且仅当时等号成立． 代数式的最小值为7． 40．（25-26八年级上·山西长治·期末）阅读与思考 在完成数学作业时，小明遇到这样一道题： 当时，求代数式的值小明是这样做的： 先将代数式因式分解：         ① ．当时，，所以这个代数式的值为0． 善于思考的小明想到，是否可以反过来利用这个想法，将整式进行因式分解呢？ 于是，他继续进行了以下尝试： 因式分解：． 当时，，说明经过因式分解后，应该有一个因式是．如果能够在将多项式变形的过程中分解出，就可以把作为公因式提取出来，从而因式分解．于是他将进行了如下解答： ． 从而完成了因式分解． 阅读以上材料，解答下列问题： (1)在上面的解答过程中，①中用到的因式分解的方法是______________． (2)因式分解：． ①当_______（填一个数即可）时，； ②借助小明的思路，完成因式分解． 【答案】(1)提公因式法 (2)①2（或7，任写一个均可）； ② ． 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）①中提取公因式，即用到的因式分解的方法是提公因式法； （2）①通过试值法求出使多项式为0的值即可； ②仿照小明的思路因式分解即可． 【详解】（1）解：①中提取公因式，即用到的因式分解的方法是提公因式法； 故答案为：提公因式法； （2）解：①当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：2； ②略 41．（25-26八年级上·江苏南通·期末）【阅读材料】 将关于的多项式因式分解． （1）若，求的值． 解：等式右边， （2）若分解后有一个因式为，求的值． 解：设另一个因式为，则 等式右边 由左右两边各项系数分别相等，可得解之得 上述方法叫做待定系数法，其一般思路是先假设出某一代数式（含待定系数），然后根据已知条件列出关于这些系数的方程（组），最后解这些方程（组），确定系数的值． 【初探方法】 （1）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，其中，，是正整数，则的值为____________（写出满足条件的一个值即可）； （2）若将多项式因式分解，其中一个因式为，求的值； 【拓展应用】 （3）一个分式往往可以写成几个分子均为常数的分式的和的形式，如； 请用待定系数法将分式化成几个分子均为常数的分式和的形式． 【答案】（1）16（或19、49均可）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解题意，运用待定系数法进行因式分解． （1），则，再由，是正整数确定的值； （2）设多项式的另一个因式为 ，则， 展开左边得，再对比左右两边多项式的系数求解即可； （3）设（，，为常数） 则 ，那么得到 ，对比左右两边多项式的系数，得 ，即可求解． 【详解】（1）解： ，即 ，是正整数 取，；或或 则或或， ∴的值为16或49或19； （2）解：设多项式的另一个因式为 ， 则， 展开左边得， 对比左右两边多项式的系数，得 解得 ； （3） 解： 设（，，为常数） ∴ ∴ ∴ ， 对比左右两边多项式的系数，得 解得 ． 42．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）阅读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．例如：分解因式，我们可以进行以下操作：，再利用平方差公式可得；再如求代数式的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：，于是由平方的非负性可知，当时，有最小值． 根据材料，用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数_______； (2)分解因式：_______；代数式的最大值为_______； (3)试判断代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)9 (2)；16 (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键； （1）设，再根据多项式恒等性质列出方程组解答便可； （2）仿样例进行解答便可； （3）把两个多项式作差，解答便可． 【详解】（1）设，则， 解得， 故答案为：9； （2） ； ， 由平方的非负性可知，当时，有最大值16， 故答案为：；16； （3）． 理由如下： 【经典例题七 因式分解相关新定义题型】 43．（25-26八年级上·重庆·期末）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． （1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0； （3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 【答案】（1）-1； （2）﹣m2+4m﹣4， 证明：由“如意数”的定义可得， c＝ab+a+b＝（m﹣4）•（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）＝﹣m2+4m+m﹣4﹣m＝﹣m2+4m﹣4＝﹣（m﹣2）2， ∵（m﹣2）2≥0， ∴﹣（m﹣2）2≤0， ∴“如意数”c恒小于等于0； （3）b＝x2+2 【分析】（1）利用“如意数”的定义可直接求得； （2）利用“如意数”的定义求出c的值，再判断； （3）利用“如意数”的定义表示出c，把a与c的值代入即可． 【详解】解：（1）由“如意数”的定义可得， c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1； （2）略 （3）∵c＝ab+a+b， ∴（a+1）b＝c﹣a， ∴（x2+1）b＝x4+4x2+2﹣x2， ∴（x2+1）b＝x4+3x2+2＝（x2+1）（x2+2）， ∵x2≥0， ∴x2+1＞0， ∴b＝x2+2． 【点睛】本题以新概念“如意数”为背景考查了因式分解，关键是能根据定义表示出“如意数”，然后利用因式分解解答． 44．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 【答案】(1)40 (2)“比肩数”为，60是比肩数 (3) 证明：由（2）可知：， ∴ ， ∵是完全平方数 ∴是一个完全平方数的4倍． 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“比肩数”的定义可直接代入进行求解； （2）设两个连续正整数为和，根据“比肩数”的定义可得，然后问题可进行求解； （3）由（2）可知：，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴这个比肩数是； 故答案为40； （2）解：设两个连续正整数为和，则根据“比肩数”的定义可知： ， ∴“比肩数”是两个连续正整数积的两倍， ∵， ∴60是“比肩数”； （3）略 45．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1) ， 是“双一次可分解式”； (2) ， 是“双一次可分解式”； (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 46．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【答案】(1)①2或5或8②是 (2)或 (3) 设， 则： ； ∴也是“对称数”． 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，写出一个对称数即可；②，即可得出结论； （2）结合完全平方公式，将转化为的形式，进行求解即可； （3）设，求出，并进行转化，判断即可． 【详解】（1）解：①； 故这个“对称数”可以是2或5或8； ②∵， ∴45是“对称数”； 故答案为：是； （2）， ∵M为“对称数”， ∴为一个完全平方数， ∵， ∴或． （3）略 47．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，公式法因式分解，理解新定义的运算法则是关键． （1）利用复数的运算法则运算解题； （2）先根据复数的定义计算，再合并即可求解； （3）根据复数的定义将所求式子变为，再利用平方差公式因式分解即可； 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）， ； （3）． 48．（2026·山东青岛·二模）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 【答案】(1)和， (2) (3) 【分析】（1）对多项式因式分解得出 ，结合定义即可求解； （2）由题意令其“零值”为，则多项式可写成 ，可知，即可求解； （3）由得，故“对称值”为3．设多项式的另一个“零值”为，根据已知它的“对称值”与 相同，得出方程，求得的值，即可求解． 【详解】（1）对多项式因式分解，得 令，得； 令，得 因此多项式的“零值”为和 根据“对称值”定义计算得： ，即“对称值”为． （2）展开多项式 ，得 因为两个“零值”相等，设相等的“零值”为，则多项式可写成 对比系数得 ， 解得 ， 因此“对称值”为． （3）对 因式分解，得 ， 因此它的两个“零值”为和 已知该多项式有一个“零值”为，因此 计算 的“对称值”得： 设多项式的另一个“零值”为， 已知它的“对称值”与 相同，即对称值为，且一个零值为， 因此可得 解得，即另一个“零值”为． 【经典例题八 利用因式分解判断整除问题】 49．（26-27七年级上·重庆巴南·阶段练习）求证：能被31整除． 【答案】 证明： ∵ 是整数， 含有因数31， ∴ 能被31整除． 【分析】利用幂的乘方将变形为平方差形式，分解出因数31即可证明． 【详解】证明：略． 50．（2026·江苏南京·三模）求证：当n为整数时，能被2整除． 【答案】证明：， 当n为奇数时，则是偶数，是偶数，故能被2整除 ； 当n为偶数时，则是奇数，是偶数，故能被2整除 ； 综上所述，能被2整除． 【分析】根据整式的乘法，整式的加减，化简后，分类解答即可； 【详解】略 51．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)两个连续整数的平方差必是奇数； (2)若a为整数，则能被6整除． 【答案】(1)说法正确，理由如下： 设两个连续整数为，（为整数），则平方差为， ∵为整数， ∴是偶数，是奇数， ∴两个连续整数的平方差必是奇数； (2)说法正确，理由如下： ， ∵为整数， ∴，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数， ∴三个连续整数的乘积必定能被整除，即能被6整除． 【分析】（1）设两个连续整数为，（为整数），再结合完全平方公式计算即可得证； （2）将变形为，再结合，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数，分析即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 52．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． (2)【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】(1) 解：淇淇的说法错误，理由如下， ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； (2) 解： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【分析】本题主要考查了完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． （1）利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； （2）利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【详解】（1）略 （2）略 53．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为聪慧数．例如：，，，8，16，24都是聪慧数． (1)写出一个除8，16，24外的聪慧数：____________； (2)证明：任意一个聪慧数都能被8整除． 【答案】(1)32（答案不唯一） (2)证明：设连续的两个奇数中，较小的数为，则较大的数为，n为正整数，               任意聪慧数都能被8整除． 【分析】（1）根据新定义，写出一个聪慧数，即可求解． （2）设连续的两个奇数中，较小的数为，则较大的数为，n为正整数，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：32（答案不唯一） （2）略 54．（2026·重庆江北·模拟预测）在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”． (1)请根据以上方法判断31568_____（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，求所有符合条件的N的值． (2)证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除． 【答案】(1)是，所有符合条件的N的值为5153，5326，5662 (2)见解析 【分析】（1）分别得出31568的“顺数”与“逆数”，求差，计算能否被17整除即可判断；设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，可用x、y表示出N，根据“顺数”与“逆数”的定义可表示出“顺数”与“逆数”的差为90（66﹣x﹣10y），根据“最佳拍档数”的定义可得90（66﹣x﹣10y）能被17整除，即可得出符合题意x、y的值，即可得答案； （2）设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，可表示出“顺数”与“逆数”的差，可判断差能否被30整除；同理可判断四位正整数“顺数”与“逆数”的差能否被30整除，综上即可得答案． 【详解】（1）（1）31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668， （361568-315668）÷17＝2700； ∴31568是“最佳拍档数”， 设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y， N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008， ∵N是四位“最佳拍档数”， ∴50000+6000+100y+10x+3﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]， ＝6000+100y+9x+2﹣1000y﹣100x﹣68+x， ＝5940﹣90x﹣900y， ＝90（66﹣x﹣10y）， ∴66﹣x﹣10y能被17整除， 设66﹣x﹣10y=17k， ∴, ∴k可取0，1，2，3， k=0，x＝6，y＝6时，此时N的值为5662， k=2，x＝2，y＝3时，此时N的值为5326， k=3，x＝5，y＝1时，此时N的值为5153， 综上，所有符合条件的N的值为5153，5326，5662 故答案为：是 （2）（2）设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z， 它的“顺数”：1000z+600+10y+x， 它的“逆数”：1000z+100y+60+x， ∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x） ＝540﹣90y ＝90（6﹣y）， ∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除， 设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，千位数字为a， ∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x） ＝5940﹣900z﹣90y ＝90（66﹣10z﹣y）， ∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除， ∴任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除． 【点睛】本题考查“顺数”、“逆数”与“最佳拍档数”的定义及应用，熟练掌握几位数的表示方法，理解新定义，正确分解因式是解题关键． 55．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 【答案】(1)43 (2) 证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴为整数， ∴能被整除 即与的平方差能被3整除． 【分析】（1）利用平方差公式法进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算后判断即可. 【详解】（1）解：， ∴的结果是3的43倍； （2）略． 56．（2026·江苏盐城·三模）【阅读思考】 代数证明是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个命题的正确性，如表所示： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． ∵① ② 又能被2整除 ∴能被2整除 ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 【解决问题】 (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于_______（填写“整式的乘法” 或 “因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被整除． 【答案】(1) 因式分解 (2) ∵， ∵，是奇数， ∴是偶数， ∴能被整除， ∵能被整除， ∴能被整除， 即能被整除． 【分析】（1）根据因式分解的定义判断变形，把多项式化为几个整式乘积的变形是因式分解，据此可得结论． （2）先对原式变形，再利用是奇数得到是偶数，结合偶数的性质证明原式是2的倍数即可． 【详解】（1）解：从①到②是将多项式化为几个整式乘积的形式，符合因式分解的定义，因此答案为因式分解． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、十字相乘法因式分解 1 题型二、因式分解与方程或化简问题 2 题型三、先提公因式再套公式综合分解 3 题型四、因式分解彻底分解问题 4 题型五、因式分解的综合应用 5 题型六、利用因式分解求代数式的值 6 题型七、因式分解相关新定义题型 7 题型八、利用因式分解判断整除问题 8 【经典例题一 十字相乘法因式分解】 1．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由，得，利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，故原式可分解为，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)将代数式先分解因式，再求值，其中． 3．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 4．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．我们学习过一元一次方程，因此在求解二元一次方程组时，通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比求解二元一次方程组，小明对一元二次方程求解过程提出了如下思考： ①若，则有或者； ②结合学习过的因式分解相关知识，， ③当时， ④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程______和______，这是一个“降次”的过程． ⑤即或 请根据小明的思考过程，完成下列问题： (1)序号④中的两个一元一次方程分别为______和______ (2)应用小明的思路，求解下列两个一元二次方程： ； 5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 6．（25-26八年级上·全国·阶段检测）阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 7．（24-25八年级上·河南新乡·期末）【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【经典例题二 因式分解与方程或化简问题】 8．（25-26七年级上·上海松江·期末）（1）设是否存在实数，使得能化简为，若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由． （2）若，，且，求的值． 9．（25-26八年级上·四川乐山·期末）设是关于x的多项式，若方程有一个根为，则．所以多项式必有一个一次因式．例如，多项式，当时，，则必有一个一次因式，那么，，而，所以，，．这种因式分解的方法叫做“试根法”．解决下列问题： (1)请你用“试根法”分解因式： ①； ②； (2)若多项式（m为常数）有一个因式为，求m的值并将此多项式因式分解． 10．（2026·河南信阳·一模）如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，，，故4，12，20都是神秘数． (1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：______； (2)小明说：“2024是神秘数．”小亮为了验证，设较小偶数是m，则较大偶数是，列出方程，请用小亮所列方程分析小明的说法是否正确； (3)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？说明理由． 11．（2025·江西九江·二模）数学老师布置了一道数学题：化简．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … (1)对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是__________． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解    B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法    D．甲、乙都是因式分解 (2)请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 12．（25-26八年级上·山西临汾·期中）请阅读下面材料并解决问题： 配方法是数学中重要的一种思想方法，如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将一个式子通过恒等变形转化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式来解决问题．并利用非负性的优势，能在方程求解场景中化繁为简，成为破解难题的金钥匙． 例：已知，求和的值． 解：由已知得： 即， ， ． 根据上述方法，解决问题： 已知，求的值． 13．（25-26八年级上·内蒙古·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法在代数式的化简、求值及方程函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解． 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解． 14．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）【阅读与理解】将分解因式，我们可以按下面的方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验证中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ，． ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③． (2)解方程． 【经典例题三 先提公因式再套公式综合分解】 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）先分解因式，再求值：，其中，． 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）先分解因式，再计算求值．已知，求的值． 17．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）按要求完成下列计算： (1)先分解因式，再求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 18．（25-26八年级上·福建厦门·期末）人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，若因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． (1)已知多项式，当取时，求出用上述方法生成的密码； (2)已知多项式，当n取正整数时，用上述方法生成的密码中，第一个因式码为11，求完整的密码． 19．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）【阅读材料】 “换元法”是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具． 例题  因式分解：． 思路：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原成“”即可． 【解决问题】 (1)根据【阅读材料】中的“思路”，写出例题的解答过程； (2)在有理数范围内，利用换元法因式分解：． 20．（25-26七年级下·山西晋中·期末）学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！ 小明：解：     …………第一步     …………第二步     …………第三步 小红：解：     …………第一步     …………第二步     …………第三步 思考： (1)在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是 （用字母表示），小红第二步因式分解的方法叫 ． (2)用你自己喜欢的方法因式分解：． (3)结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议． 21．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）阅读材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：用换元法对多项式进行因式分解． 解：把“”看成一个整体，令， 则． 把代入得，原式． (1)请你用换元法对下列多项式进行因式分解： ①___________．（填空） ②．（写过程） (2)小聪发现也可以用换元法因式分解． 解：原式 … 请帮小聪同学把过程补充完整． (3)请直接写出因式分解的结果： ①___________． ②___________． 【经典例题四 因式分解彻底分解问题】 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 23．（25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读下列材料： 小颖同学对多项式进行因式分解的过程中发现，如果把看成一个整体，用一个新的字母代替，此多项式就可以运用公式法进行因式分解，以下是她的做法． 解：设， 原式 (1)小颖同学进行因式分解时，所得到的最后结果是否分解彻底？______（填“是”或“否”；如果否，直接写出因式分解最后的结果______； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 24．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上材料提供的方法，解答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提公因式法        B．公式法    C．换元法 (2)老师说，该同学因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果：_________． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 25．（24-25八年级上·山东东营·期末）阅读下列材料：提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：．这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)有人说，无论，取何实数，代数式去的值总是正数，请说明理由． 26．（25-26八年级·湖南长沙·阶段练习）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式：． 解：原式第1步：拆项法，将拆成和 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部) 第4步：提公因式法(整体)； 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底 (1)请你试一试分解因式：； (2)请你试一试在实数范围内分解因式：． 27．（25-26七年级下·湖南永州·期中）阅读题． 材料一：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，，，，则都是“完美数”；再如，，（是整数），所以也是“完美数”． 材料二：任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且）．如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定．例如，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有． 请解答下列问题： (1)8　　　．（填写“是”或“不是”）一个完美数，　　　　． (2)如果和都是“完美数”，试说明也是“完美数”． 28．（25-26八年级上·河南开封·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 【经典例题五 因式分解的综合应用】 29．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）如图，阴影部分的面积与一个长方形面积相等，阴影部分内、外都为正方形，边长如图．若该长方形的长为，则该长方形的宽为多少？ 30．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 31．（2026·广东汕头·一模）小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： (1)请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 (2)小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 32．（2026·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 一类特殊乘法运算的研究 研究对象：两个十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘． 初探算法：例：；；； ．．．．．． 发现规律：可以将它们的积分解成“前积”和“后积”两部分．例：的积为4216，其中42看作“前积”，16看作“后积”．“前积”就是将十位数字与________相乘的积，“后积”就是个位数字相乘的积，“前积”乘以100加上“后积”就是这两个两位数相乘的积． 算法推理：两个两位数分别记为和，且，其中，，则上述规律表示为________．尝试对此规律进行证明． …… 任务： (1)请你写出一个符合以上乘法运算特征的算式并计算出结果：_______，其中“前积”为_______，“后积”为_______． (2)直接写出报告中“_______”处空缺的内容：①________，②________； (3)完成“算法推理”中的证明过程． 33．（25-26七年级下·河南郑州·期中）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧” (1)受上述方法启发，尝试分解； (2)类比问题（1）尝试分解； (3)小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因． 34．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 35．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 【经典例题六 利用因式分解求代数式的值】 36．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)分解因式：； (2)无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 37．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知a，b是两个连续整数（），． (1)我们知道，一个大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他正因数，这样的数就是合数．代数式是合数吗？请说明理由； (2)设，求n的值． 38．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）认真阅读下列材料，然后利用乘法公式尝试解答问题． 【阅读材料】 材料一 分解因式：． 解： ． 材料二 无论取何值，代数式的值都大于等于0， 当代数式减去4时，代数式的值大于等于， 代数式有最小值，最小值为． 【问题解决】 (1)分解因式：①；②． (2)①说明：代数式的最大值为5． ②求代数式的最小值． 39．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 40．（25-26八年级上·山西长治·期末）阅读与思考 在完成数学作业时，小明遇到这样一道题： 当时，求代数式的值小明是这样做的： 先将代数式因式分解：         ① ．当时，，所以这个代数式的值为0． 善于思考的小明想到，是否可以反过来利用这个想法，将整式进行因式分解呢？ 于是，他继续进行了以下尝试： 因式分解：． 当时，，说明经过因式分解后，应该有一个因式是．如果能够在将多项式变形的过程中分解出，就可以把作为公因式提取出来，从而因式分解．于是他将进行了如下解答： ． 从而完成了因式分解． 阅读以上材料，解答下列问题： (1)在上面的解答过程中，①中用到的因式分解的方法是______________． (2)因式分解：． ①当_______（填一个数即可）时，； ②借助小明的思路，完成因式分解． 41．（25-26八年级上·江苏南通·期末）【阅读材料】 将关于的多项式因式分解． （1）若，求的值． 解：等式右边， （2）若分解后有一个因式为，求的值． 解：设另一个因式为，则 等式右边 由左右两边各项系数分别相等，可得解之得 上述方法叫做待定系数法，其一般思路是先假设出某一代数式（含待定系数），然后根据已知条件列出关于这些系数的方程（组），最后解这些方程（组），确定系数的值． 【初探方法】 （1）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，其中，，是正整数，则的值为____________（写出满足条件的一个值即可）； （2）若将多项式因式分解，其中一个因式为，求的值； 【拓展应用】 （3）一个分式往往可以写成几个分子均为常数的分式的和的形式，如； 请用待定系数法将分式化成几个分子均为常数的分式和的形式． 42．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）阅读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．例如：分解因式，我们可以进行以下操作：，再利用平方差公式可得；再如求代数式的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：，于是由平方的非负性可知，当时，有最小值． 根据材料，用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数_______； (2)分解因式：_______；代数式的最大值为_______； (3)试判断代数式与的大小，并说明理由． 【经典例题七 因式分解相关新定义题型】 43．（25-26八年级上·重庆·期末）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． （1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0； （3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 44．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 45．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 46．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 47．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 48．（2026·山东青岛·二模）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 【经典例题八 利用因式分解判断整除问题】 49．（26-27七年级上·重庆巴南·阶段练习）求证：能被31整除． 50．（2026·江苏南京·三模）求证：当n为整数时，能被2整除． 51．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)两个连续整数的平方差必是奇数； (2)若a为整数，则能被6整除． 52．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． (2)【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 53．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为聪慧数．例如：，，，8，16，24都是聪慧数． (1)写出一个除8，16，24外的聪慧数：____________； (2)证明：任意一个聪慧数都能被8整除． 54．（2026·重庆江北·模拟预测）在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”． (1)请根据以上方法判断31568_____（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，求所有符合条件的N的值． (2)证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除． 55．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 56．（2026·江苏盐城·三模）【阅读思考】 代数证明是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个命题的正确性，如表所示： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． ∵① ② 又能被2整除 ∴能被2整除 ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 【解决问题】 (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于_______（填写“整式的乘法” 或 “因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被整除． 学科网（北京）股份有限公司 $