专题02 因式分解56道计算题专项训练（7大题型）-2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第02讲 因式分解56道计算题专项训练（7大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（25-26七年级下·天津·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【分析】直接提公因式分解因式． 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可完成分解； （2）先凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】 【详解】解：原式 ； ，， 原式 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式即可分解因式； （2）先将变形为，再提取公因式，最后提取公因数3分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 6．（24-25八年级上·四川眉山·期中）把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解 （3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （4）利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）因式分解或求值 (1)因式分解：①；②． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)①；② (2)另一个因式是，的值为 【分析】（1）①提公因式，即可求解；②根据平方差公式因式分解即可求解； （2）设另一个因式为 ，根据多项式的乘法计算，对比多项式的各项，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：设另一个因式为 由题意得： ∴， 解得：， ∴另一个因式是，的值为 【经典计算题二 平方差公式分解因式】 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）把下列多项式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 12．（25-26八年级上·吉林长春·期末）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式展开，合并同类项后再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 13．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）把看作一个整体，直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）直接利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ． （3）解： ， ． （4）解： ， ， ， ． 14．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）按照要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】(1)；3 (2)； 【详解】（1）解： 当，时，原式； （2）解： 当，时，原式． 15．（2026·湖北·二模）数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： ………………第一步 ……………第二步 ……第三步 习题2：因式分解：． 解： ………………第一步 ……第二步 ………………………第三步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)习题1从第二步开始出现错误，习题2从第一步开始出现错误 (2)见解析 【分析】（1）根据平方差公式判断习题1，再根据提出负号后括号内的每一项都要变号解答习题2； （2）分别根据平方差公式和完全平方公式解答． 【详解】（1）习题1：第二步出现错误，应为，习题2：第一步提出负号出现错误，应为； （2）选择习题1写出正确解答过程： ； 若选择习题2，正确解答过程如下： ． 16．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题三 完全平方公式分解因式】 17．（2026八年级上·全国·专题练习）将下列各式分解因式： 【答案】 【分析】先变形，然后运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 18．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 19．（25-26八年级上·山东泰安·期末）计算与因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的相关知识，熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）利用提取公因式法分解因式即可； （2）利用公式法分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 20．（25-26八年级上·新疆·阶段检测）利用因式分解进行简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1)90000 (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便运算，涉及完全平方公式和提取公因式法： （1）利用完全平方公式计算即可； （2）提出公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 22．（26-27七年级上·甘肃天水·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】将进行因式分解，然后把代入即可求解； 将变形为，然后把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解题的关键． （1）先提负号“”，再运用完全平方公式进行因式分解； （2）运用完全平方公式进行因式分解； （3）运用完全平方公式进行因式分解； （4）把看成整体，运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．（25-26七年级下·四川达州·期中）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，再根据完全平方公式解答即可； （2）令，再根据整式乘法法则整理，然后根据完全平方公式解答． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ； 将“B”还原，可以得到： ． 【经典计算题四 综合运用公式法分解因式】 25．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解：           ． 26．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后用平方差公式进行分解因式即可； （2）先提公因式，然后用完全平方公式进行分解因式即可； （3）用平方差公式分解因式即可； （4）先提公因式，然后用平方差公式进行分解因式即可； （5）先用平方差公式分解因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 29．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法解题即可； （3）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 30．（25-26八年级上·天津·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式因式分解； （2）先提取公因式，再根据平方差公式因式分解； （3）根据平方差公式因式分解； （4）先根据平方差公式因式分解，再合并同类项； （5）运用整体思想，先根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式因式分解； （6）先根据完全平方公式展开，再合并同类项，最后根据完全平方公式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 31．（25-26八年级上·山东泰安·期中）因式分解： （1）． （2） 计算： （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【分析】本题考查了因式分解和整式的运算，熟练掌握因式分解的方法和乘法公式是解答本题的关键． （1）变形后先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解； （3）把原式变形为，再用平方差公式计算； （4）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ； （3）解： （4）解： 32．（25-26八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 【答案】(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为，再利用平方差公式因式分解． ③仿照阅读材料，运用配方法将转化为与的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： 故答案为：①，②； （2）解：① ； 故答案为：． ② 故答案为：． ③ ； 故答案为：． 【经典计算题五 综合提公因式和公式法分解因式】 33．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1)（x－y）（2m＋n）（2m－n） (2) 【分析】（1）利用提公因式以及平方差公式进行因式分解即可； （2）利用提公因式以及完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 35．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 36．（25-26七年级下·全国·单元测试）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 37．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据十字相乘法因式分解即可求解； （2）根据平方差公式因式分解即可求解； （3）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 38．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2） . （3） . （4） . （5） . （6） . 39．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）先分解因式，再计算求值．已知，求的值． 【答案】；36 【详解】解：， ∵， ∴原式． 40．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）在的运算结果中，项不存在，x的系数为3，求m，n的值并对式子进行因式分解． 【答案】 ，， 【分析】根据整式的乘法和因式分解计算． 【详解】解： ， ∵项不存在，x的系数为3， ∴， 解得， ∴． 【经典计算题六 十字相乘法】 41．（25-26七年级下·山东济南·期中）分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）利用十字相乘法因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 42．（25-26八年级上·四川资阳·期中）因式分解： (1) ； (2) ； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，掌握各类分解方法是解题关键； （1）综合提公因式和公式法分解因式； （2）利用十字相乘法即可求解； （3）完全平方公式分解因式； （4）平方差公式分解因式； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 43．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法进行因式分解． （1）利用十字相乘法进行因式分解； （2）利用十字相乘法进行因式分解； （3）利用十字相乘法进行因式分解； （4）利用十字相乘法进行因式分解； （5）利用十字相乘法进行因式分解； （6）利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 44．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）提取公因式，分解因式即可得； （2）提取公因式，分解因式即可得； （3）先利用十字相乘法分解因式可得，再利用十字相乘法分解因式即可得； （4）利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 45．（25-26八年级上·全国·单元复习）十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】本题主要考查十字法因式分解的应用： （1），从而运用十字相乘法可分解因式； （2），从而运用十字相乘法可分解因式； （3），从而运用十字相乘法可分解因式； （4），从而运用十字相乘法可分解因式； （5），从而运用十字相乘法可分解因式； （6），从而运用十字相乘法可分解因式； （7），从而运用十字相乘法可分解因式； （8），从而运用十字相乘法可分解因式； （9），从而运用十字相乘法可分解因式； （10），从而运用十字相乘法可分解因式； （11），从而运用十字相乘法可分解因式； （12），从而运用十字相乘法可分解因式 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） （8） ； （9） ； （10） ； （11） （12） ． 46．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）阅读与思考：我们知道，整式乘法计算：，反过来，即为因式分解．通过观察发现：这个等式可以写成，一般地，可以归纳为：，例如，分解因式：， 请仔细阅读以上内容并完成下面练习：分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可； （2）根据十字相乘法进行因式分解即可； （3）先提取公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握十字相乘法和提公因式法． 47．（25-26七年级上·山西朔州·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． ①；②． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式. ∴原式. 48．（25-26七年级上·全国·期中）阅读下列材料： 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 【答案】(1)①，；②， (2)①，；②，；③， 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）①根据题干方法解答即可；②根据题干方法解答即可； （2）①根据十字相乘法解方程即可； ②根据十字相乘法解方程即可； ③根据十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解：① 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； ② 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； （2）解：①原方程化为 ∴或 ∴，； ②原方程化为 ∴或 ∴，； ③原方程化为，即 ∴或 ∴，． 【经典计算题七 分组分解法】 49．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法，以及完全平方公式、平方差公式的应用．关键是通过合理分组，将原式转化为可利用公式分解的形式：先把原式中能构成完全平方的项结合，得到完全平方式后，再与剩余项结合形成平方差的形式，最后用平方差公式完成分解． 【详解】解：原式 ． 50．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （2）将看作一个整体，先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （3）利用分组分解法分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 51．（24-25七年级下·全国·周测）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，提公因式分解因式． （1）先提取公因式，再分组分解，后利用提公因式即可求解； （2）先分组，再提取公因式，再次分组分解，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是合理分组，然后运用公式法（平方差公式、完全平方公式等）进行因式分解． （1）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，再提取公因式得出最终结果； （2）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果； （3）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 53．（25-26七年级下·江西吉安·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 【答案】 【分析】此题考查利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底，后三项一组符合完全平方公式特征，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 54．（25-26八年级上·山东淄博·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用分组分解法分解即可； （2）用分组分解法分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 55．（25-26七年级下·河北沧州·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 又，， 原式． （3）解： ． 56．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 因式分解56道计算题专项训练（7大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（25-26七年级下·天津·阶段练习）因式分解：． 2．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）因式分解： (1) (2) 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先因式分解，再求值：，其中，． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）分解因式 (1) (2) 6．（24-25八年级上·四川眉山·期中）把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）因式分解或求值 (1)因式分解：①；②． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【经典计算题二 平方差公式分解因式】 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）把下列多项式因式分解： (1) (2) 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·吉林长春·期末）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 13．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 14．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）按照要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)先因式分解，再求值：，其中，． 15．（2026·湖北·二模）数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： ………………第一步 ……………第二步 ……第三步 习题2：因式分解：． 解： ………………第一步 ……第二步 ………………………第三步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 16．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 【经典计算题三 完全平方公式分解因式】 17．（2026八年级上·全国·专题练习）将下列各式分解因式： 18．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 19．（25-26八年级上·山东泰安·期末）计算与因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 20．（25-26八年级上·新疆·阶段检测）利用因式分解进行简便计算： (1)． (2)． 21．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 22．（26-27七年级上·甘肃天水·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（25-26七年级下·四川达州·期中）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【经典计算题四 综合运用公式法分解因式】 25．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：． 26．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解 (1) (2) 27．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 29．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（25-26八年级上·天津·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 31．（25-26八年级上·山东泰安·期中）因式分解： （1）． （2） 计算： （3） （4） 32．（25-26八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 【经典计算题五 综合提公因式和公式法分解因式】 33．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 34．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）把下列各式因式分解： (1) (2) 35．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 36．（25-26七年级下·全国·单元测试）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 37．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）分解因式： (1) (2) (3) 38．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 39．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）先分解因式，再计算求值．已知，求的值． 40．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）在的运算结果中，项不存在，x的系数为3，求m，n的值并对式子进行因式分解． 【经典计算题六 十字相乘法】 41．（25-26七年级下·山东济南·期中）分解因式 (1) (2) 42．（25-26八年级上·四川资阳·期中）因式分解： (1) ； (2) ； (3)． (4) 43．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 44．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）分解因式： (1) (2) (3) (4) 45．（25-26八年级上·全国·单元复习）十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 46．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）阅读与思考：我们知道，整式乘法计算：，反过来，即为因式分解．通过观察发现：这个等式可以写成，一般地，可以归纳为：，例如，分解因式：， 请仔细阅读以上内容并完成下面练习：分解因式： (1) (2) (3) 47．（25-26七年级上·山西朔州·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． ①；②． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． 48．（25-26七年级上·全国·期中）阅读下列材料： 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 【经典计算题七 分组分解法】 49．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 50．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）分解因式： (1) (2) (3) 51．（24-25七年级下·全国·周测）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 53．（25-26七年级下·江西吉安·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 54．（25-26八年级上·山东淄博·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 55．（25-26七年级下·河北沧州·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 56．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $