山东省青岛第五十八中学2026-2027学年高三上学期调研检测（三）数学试题

2024级高三调研检测（三）数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（ ） A. B. C. D. 3. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题：“，”，命题：“，”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，构造出新的数列．对数列、进行构造，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；依次构造，第次得到的数列的所有项的和记为，令，则（ ） A. 第四次得到的数列共项 B. C. 数列是等差数列 D. 对，以、、为边长不能构成一个三角形 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上有3条对称轴 D. 在区间上有3个零点 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 11. 已知函数的定义域为，且满足：，，记，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知向量，且，则在上的投影向量是_______. 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 14. 设函数，令，则a，b，c的大小关系为_______． 四、解答题 15. 已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中. （1）求证：数列是等比数列，并求； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前n项的和. 16. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 18. 在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. （1）试用表示； （2）若，求的余弦值； （3）若H在BC上，且，设，若，求的范围 19. 定义域为的可导函数在其图像上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，判断是否为“整数等差函数”，并说明理由； （2）当时，若为“整数等差函数”，求的最大值； （3）若对任意的，，当时，总有，则称为上的不减函数．若的导函数是上的不减函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立．证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 20. 求证：存在非零复数c与实数d，使得对于一切模长为1的复数均有 2024级高三调研检测（三）数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得， 因此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，故. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）是，理由见解析； （2）； （3）证明：对两边求导：. 因为不减，对任意有. 任取，则，故，即，也为不减函数. 充分性：设（常数），则. 任取满足，的三点横坐标： ，满足等差函数定义，充分性成立. 必要性：是等差函数，则存在，，使得①. 设，记，，则式 ①改写为：②， 变形：，移项拆分： ，即 ③. 构造函数，则 ③等价于. 求导：，因为不减： 时，，，，在单调不减； 时，，，，在单调不增. ，结合单调性可知：在两侧只能恒等于常数. 又，故对任意，，即， 上式对任意成立，说明为一次函数，设. 将代入条件： 左边，右边. 等式对全体成立，的系数必须相等：. 代入得，即，因此，为常函数，必要性成立. 综上，为等差函数的充要条件是为常函数. 【20题答案】 【答案】证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $