第二章直线和圆的方程章末检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》单元检测卷 考试范围： 2.1 直线的倾斜角与斜率；2.2 直线的方程；2.3 直线的交点坐标与距离公式；2.4 圆的方程；2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 考试时间： 120分钟　　满分： 150分 1. 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.直线 的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2.已知直线 与 平行，则实数 的值为（　　） A. B. C. 或 D. 3.圆 的圆心坐标和半径分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4.已知点 ，，则线段 的垂直平分线方程为（　　） A. B. C. D. 5.圆 与圆 的位置关系是（　　） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6.已知圆 上到直线 的距离为 的点有且仅有 个，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7.已知实数 满足 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知圆 ，直线 。若直线 上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，使得四边形 为正方形（ 为坐标原点），则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 1. 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（　　） A. 若点 在圆 上，则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内，则直线 与圆 相离 C. 若点 在圆 外，则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上，则直线 与圆 相切 10.已知圆 ，直线 ，则下列说法正确的是（　　） A. 直线 恒过定点 B. 直线 与圆 可能相切 C. 直线 被圆 截得的弦长最小值为 D. 若直线 被圆 截得的弦长为整数，则这样的弦共有 条 11.已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线 ，切点分别为 ，则下列说法正确的是（　　） A. 四边形 面积的最小值为 B. 弦 的最小值为 C. 直线 恒过定点 D. 使得 的点 有且仅有 个 1. 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 13.已知圆，直线。若圆上恰有个点到直线的距离等于，则。 14.已知圆和圆，点为圆上的动点，点为圆上的动点，点满足，则的取值范围是。 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分） 已知直线过点，且分别满足下列条件，求直线的方程： （1）直线与直线平行； （2）直线与直线垂直； （3）直线 在两坐标轴上的截距相等且截距不为零。 16.（15分） 已知圆经过点，，且圆心在直线上。 （1）求圆 的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值。 17.（15分） 在平面直角坐标系中，已知圆和圆。 （1）判断圆 与圆 的位置关系； （2）求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长； （3）求过两圆交点且面积最小的圆的方程。 18.（17分） 已知圆，直线。 （1）求证：直线 恒过定点，并求出该定点坐标； （2）判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由； （3）当直线 被圆 截得的弦长最短时，求直线 的方程及最短弦长。 19.（17分） 已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 。 （1）求四边形 面积的最小值；（4分） （2）证明：直线 恒过定点，并求出该定点坐标；（6分） （3）求线段 的中点 的轨迹方程。（7分） 参考答案与详细解析 一、单项选择题 1.【答案】D 解析： 直线方程化为斜截式：，斜率，则倾斜角。 2.【答案】B 解析： 两直线平行，需满足，即，解得或。 当时，，，两直线重合，舍去。 当时，，，即，两直线平行。。 3.【答案】A 解析： 配方得，圆心，半径。 4.【答案】D 解析： 中点，，故垂直平分线斜率，方程为，即。 5.【答案】B 解析： 圆心，；圆心，。圆心距。，故两圆外切。 6.【答案】B 解析： 直线，圆心到直线的距离。圆上到直线距离为的点有且仅有个，需满足且，即，解得。 7.【答案】C 圆化为标准式圆心，半径3，令。圆心到直线的距离，解得，最大值为 8.【答案】B 解析： 四边形 为正方形，则 。直线 上存在点 使 ，即直线 与圆 有公共点。圆心到直线 的距离 ，即 ，，。 二、多项选择题 9.【答案】ABD 解析： 圆心到直线距离 。 A. 点 在圆上，，，相切，正确。 B. 点 在圆内，，，相离，正确。 C. 点 在圆外，，，直线与圆相交，错误。 D. 点 在直线上，，，相切，正确。 10.【答案】AC 解析： 直线整理为 ，令 ，解得 。故直线恒过定点 ，A正确。 圆心 ，。，点 在圆内，直线必与圆相交，不可能相切，B错误。 弦长最小值对应 时，此时 为弦心距，弦长 ，C正确。 弦长范围为 ，整数弦长为 ，共 条，D错误。 11.【答案】ABC 解析： 圆心 ，。 四边形 面积 。 最小值为 到直线 的距离 ，，A正确。 弦 最短时 最小，，B正确。 设，则为圆与以为直径的圆的公共弦。经计算可得过定点，C正确。 时，，。 到直线 的距离 ，直线 上与 距离为 的点有 个，D错误。 三、填空题 12.【答案】 或 解析： 截距相等且不为零时，设 ，代入 ：，，方程为 。截距为零时，设 ，代入 ：，，方程为 。 13.【答案】 或 。 解析： 圆 化为 ，圆心 ，半径 。直线 到圆心距离 。圆上到直线距离为 的点恰有 个的条件是 或 。取 时：，，。 14.【答案】 解析： 表示 为 中点。设 ，，则 。：圆 半径 ，圆 圆心 半径 。 到原点距离范围为 。 的范围为 的修正。答案：。 四、解答题 15.（13分） 解： （1）设 ，代入 ：，。故 。……（4分） （2）设 （与 垂直，斜率积为 ），代入 ：，。故 。……（4分） （3）截距相等且不为零，设 ，即 。代入 ：。故 。……（5分） 16.（15分） 解： （1）设圆心 。：。 ，，。 圆心 ，。 圆 的标准方程为 。……（7分） （2）圆心到直线距离 。 ，，，，，。……（8分） 17.（15分） 解： （1），圆心 ，。 ，圆心 ，。 ，，两圆相交。……（4分） （2）两圆方程相减：，得 ，即 。 公共弦所在直线方程为 。……（5分） 到该直线距离 。 公共弦长 。……（3分） （3）面积最小的圆是以公共弦为直径的圆。弦中点 为 到直线 的垂足。 到直线距离向量计算：。 半径 。圆方程为 。……（3分） 18.（17分） 解： （1）直线整理为 。 令 ，解得 。 故直线恒过定点 。……（5分） （2）圆 化为 ，圆心 ，。 ，点 在圆内，故直线 与圆 必相交。……（5分） （3）弦长最短时，。，故 。 直线 ：，即 。 最短弦长 。……（7分） 19.（17分） 解： （1） 圆 的圆心为 ，半径 。 设 ，则 。因为 在直线 上，所以 的最小值即为原点 到直线 的距离： 四边形 的面积 又因为 是圆 的切线，所以 ，在 中， 于是 当且仅当 ，即 取最小值 时，四边形 的面积取得最小值 。 （2） 设 。因为 在圆 外，过 作圆 的两条切线，切点弦 的方程为 整理得 令 解得 。 所以直线 恒过定点 。 （3） 由（2）知直线 过定点 。因为 是切点弦，所以 。又 ，所以 。 因此点 在以 为直径的圆上。 ，，以 为直径的圆的方程为 即 又因为 是切点弦 的中点， 在圆 内部（不包括圆周），即 。 而圆 可化为 其圆心为 ，半径 。该圆上任意点到原点的最大距离为 所以该圆完全在圆 内部。因此点 的轨迹方程为 学科网（北京）股份有限公司 $