精品解析：河南省南阳市部分校联考2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学试卷（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “几何体是正四面体”是“几何体是正三棱锥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若几何体是正四面体，则该四面体的四个面都是全等的正三角形， 顶点在底面的投影是底面中心，所以正四面体一定是正三棱锥，充分性成立； 若几何体是正三棱锥，则该三棱锥底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形的中心， 但三条侧棱长可以和底面边长不相等，侧面只是全等等腰三角形， 不一定四个面都是正三角形，所以正三棱锥不一定是正四面体，必要性不成立. 所以“几何体是正四面体”是“几何体是正三棱锥”的充分不必要条件. 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选取合适的中间值判断各数的取值范围即可. 【详解】， 为增函数，所以，所以， 为增函数，所以，所以，所以. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题知， 解，即，解得且，故且， 则. 4. 已知函数，若曲线在点处的切线的斜率等于10，则这样的切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，令导数等于10得到关于的方程，通过换元解出的值，进而得到的四个不同取值，每个值对应一条切线，故共有4条. 【详解】由，求导得 令，得 化简得，令（），则 解得或，即或，所以或， 共有个不同的值，对应条不同的切线. 5. 已知，则的溶液的是的溶液的的（ ） A. B. 10倍 C. 倍 D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，由， 得， 当时，由， 得， 所以的溶液的是的溶液的的倍. 6. 若函数的所有极值点之和为，则的所有极值点之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据单调性求出极值点，再根据条件列方程求解. 【详解】因为，所以， 若，则，则在上单调递增，无极值点，不符合题意； 若，则得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的所有极值点为，故，得， 故的所有极值点之积为； 同理，若，的所有极值点为，都小于0，不符合题意， 综上，的所有极值点之积为. 7. 当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对条件不等式两端同乘，再令，问题转换成，再构造函数，求导确定最值即可求解. 【详解】由，又， 所以， 令，， 即，得， 令， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 从而， 故的最大值为. 8. 已知定义在上的函数满足①，，②，，③，，则（ ） A. 32 B. C. 22 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设易得，即可得到，再分析得到，进而求解即可. 【详解】由题意，得，，则， 所以，则， 而， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过特值排除A、C，利用不等式性质证明B、D. 【详解】对于A：取，则满足，但，A错误； 对于B：因为，所以，又，所以，B正确； 对于C：取，则满足，此时，又，所以，C错误； 对于D：因为，所以，得，又，所以，D正确. 10. 若函数的零点个数为，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导函数得出的单调性，分类讨论得出零点个数，再逐个对求导，根据单调性选择合适的图象. 【详解】因为在上单调递增，， 所以使得， 则当时，单调递减；当时，单调递增； 则， ①若，则，则，， 则由得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故C选项符合； ②若，则，则，此时D选项符合； ③若，因为时，所以， 则，， 则由得或；得或； 则在上单调递增，在上单调递减， 此时A选项符合. 11. 设是定义在上的可导函数，且．记．若对任意，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求，结合题意，整理即可判断选项A；构造函数，求，结合选项A即可判断的符号，从而判断的单调性．先判断与的大小，进而即可判断选项B；先判断与的大小，进而即可判断选项C；先判断与的大小，进而即可判断选项D． 【详解】对于A，由，则， 又，且，即，整理得，故A正确； 令，则， 结合选项A知，则，所以在上单调递增， 对于B，由，即，所以，故B错误； 对于C，由，即，即，所以，故C正确； 对于D，当时，则，所以，即， 即，即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由已知对数式求出，再利用基本不等式求最值. 【详解】由，得，可化为， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得此时， 即当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 13. 若直线是曲线与曲线的公切线，则____． 【答案】 【解析】 【分析】设直线分别与两条曲线相切，利用导数的几何意义建立切点坐标与斜率的关系，再结合切点在直线上列方程求解. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得，所以切线斜率为，且切线过原点， 故，所以， 所以，于是 设直线与曲线相切于点， 由得，所以切线斜率为，且切线过原点， 故 切点纵坐标为 因为切点在直线上，所以， 解得 14. 某采气井到道路（视为直线）的垂直距离为，垂足为，道路上距离点处建有标准化集气中转站，现拟在道路段上选取阀室点位（管道检修截断设施）．已知跨沟渠管沟（直线段）单位造价是道路管沟（直线段）单位造价的倍．若要使管线的总造价最低，则与之间的距离应为____． 【答案】15 【解析】 【分析】设，把道路管沟的单位造价作为，则跨沟渠管沟的单位造价为，管线的总造价为（）. 求导后令导数为零求出解，再由导数的符号判断单调性，即得总造价最低时与之间的距离. 【详解】设，则，，其中. 以道路管沟的单位造价作为，则跨沟渠管沟的单位造价为， 所以管线的总造价为， 求导得. 令，得， 两边平方整理得，解得. 因为，所以. 而在上单调递增， 故当时；当时， 所以管线的总造价在时取得最小值，即点与点之间的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记使得不等式对任意的恒成立的实数的所有取值的集合为，非空集合． （1）求集合； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）根据题意可得， 解得， 所以． （2）若是的充分不必要条件，则非空集合是的真子集， 所以且等号不同时取得， 解得， 故的取值范围为． 16. 已知函数． （1）证明：． （2）若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明：． 因为，所以． 又，所以，所以， 即，所以，即． 故． （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，并根据单调性比较出大小； （2）由基本不等式得到，从而得到，求出答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以． 综上，的取值范围为． 17. 已知函数． （1）若在上有个零点，求的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1） （2）易知； 设，． 因为函数、在上均为增函数， 根据函数单调性的性质得在上单调递增， 因为，，所以存在，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增; 所以， 因为，所以， ， 因为函数在上单调递减，且，所以， 所以，即， 故，即. 【解析】 【分析】（1）将函数有两个零点转化为方程在上有2个解，构造函数并求出其单调性，即可求得的取值范围； （2）将不等式变形整理并构造函数，对函数求导并利用隐零点问题求出极值，再由函数单调性求出最值判断符号即可得出结论. 【小问1详解】 因为在上有2个零点，所以在上有2个解， 等价为在上有2个解，即直线与的图象在上有2个交点． 易知，由可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以函数在上的极小值为， 当时，，当时，， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 略 18. 已知函数，且函数的定义域为． （1）求的值． （2）若函数在上单调，求的取值范围． （3）试问是否存在，使得在上的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的值为 【解析】 【分析】（1）根据抽象函数定义域解不等式即可求得； （2）由复合函数单调性并根据对数式有意义分类讨论单调性，解不等式即可求得的取值范围． （3）根据函数单调性以及值域表达式可得，再由可求得结果. 【小问1详解】 因为的定义域为，所以的定义域为， 令，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减， 若在上单调递增，则无解； 若在上单调递减，则或或 解得或或，即， 故的取值范围为 【小问3详解】 假设存在，使得在上的值域为， 因为，，所以， 在上单调递减，所以 即则两式相除，得， 即，化简得， 所以， 所以， 所以存在符合题意的，且的值为． 19. 设函数． （1）证明：，． （2）证明：对任意正整数，在上存在唯一的极值点． （3）记（2）中在上的极值点为，设点，证明：存在定点，使得为定值. 【答案】（1）证明：． 令，则，令， 则，所以在上单调递减，则， 即，所以在上单调递减，则， 所以在上恒成立． 因为，所以， 故，． （2）证明：设，则． 当时，若为偶数，，，单调递减， 若为奇数，，，单调递增，所以在上单调． 又，． 因为对于任意正整数，且，所以． 因为的图象是连续不断的，所以结合在上的单调性可知， 存在唯一的，使得． 又， 且对恒成立，所以当时， 与同号，零点相同，即在左、右两侧的符号相反， 且．故对任意正整数，在上存在唯一的极值点． （3）证明：由（2）可知，即． 令．因为，所以．将代入上式， 可化简为，即． 由，得且， 所以． 又，所以． 因为，所以． 由，得，则，所以． 将代入，得． 设定点，则， 所以． 若使其为定值恒成立，只需． 比较得，，，解得，，即或， 所以存在定点或，使得为定值1． 【解析】 【分析】（1）先放缩消去正余弦外的分母，构造单增函数，利用导数证明单调性从而证得不等式. （2）先根据极值点等价于导函数分子零点，再用零点存在定理证有解，再求导证明导分子严格单调，得到零点唯一，即极值点唯一. （3）先利用极值条件做三角恒等变形化简，再通过多项式待定系数，由分式恒为定值求解定点. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “几何体是正四面体”是“几何体是正三棱锥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若曲线在点处的切线的斜率等于10，则这样的切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条 5. 已知，则的溶液的是的溶液的的（ ） A. B. 10倍 C. 倍 D. 6. 若函数的所有极值点之和为，则的所有极值点之积为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足①，，②，，③，，则（ ） A. 32 B. C. 22 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的零点个数为，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 设是定义在上的可导函数，且．记．若对任意，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值为______． 13. 若直线是曲线与曲线的公切线，则____． 14. 某采气井到道路（视为直线）的垂直距离为，垂足为，道路上距离点处建有标准化集气中转站，现拟在道路段上选取阀室点位（管道检修截断设施）．已知跨沟渠管沟（直线段）单位造价是道路管沟（直线段）单位造价的倍．若要使管线的总造价最低，则与之间的距离应为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记使得不等式对任意的恒成立的实数的所有取值的集合为，非空集合． （1）求集合； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）证明：． （2）若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）若在上有个零点，求的取值范围； （2）证明：． 18. 已知函数，且函数的定义域为． （1）求的值． （2）若函数在上单调，求的取值范围． （3）试问是否存在，使得在上的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 设函数． （1）证明：，． （2）证明：对任意正整数，在上存在唯一的极值点． （3）记（2）中在上的极值点为，设点，证明：存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $