专题07 相似多边形（三大题型15道题） 《典例全解·题型通关》-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 相似多边形（三大题型15道题） 目录 知识点一成比例线段 1 知识点二相似多边形 2 知识点三相似多边形的性质 3 知识点一成比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．4， 3， 8，6 B．1， 2， 3， 5 C．3， 4， 5， 6 D．2， 3， 6， 8 2．四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知线段b是线段a，c的比例中项，且，，那么_________． 4．小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 5．已知，，，，在图中，除矩形与矩形外，还有几对矩形的长和宽是成比例线段？请写出具体的矩形和比值． 知识点二相似多边形 6．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 7．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 8．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 9．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    10．如图所示的两个矩形是否相似？ 知识点三相似多边形的性质 11．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 12．如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 13．两个相似多边形的面积比为，其中一个多边形的周长为，则另一个多边形的周长为______． 14．如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 15．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 相似多边形（三大题型15道题） 目录 知识点一成比例线段 1 知识点二相似多边形 3 知识点三相似多边形的性质 6 知识点一成比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．4， 3， 8，6 B．1， 2， 3， 5 C．3， 4， 5， 6 D．2， 3， 6， 8 【答案】A 【分析】将每组线段排序后，通过比较首尾线段乘积与中间两线段乘积是否相等，判断是否成比例． 【详解】解：A、 排序为3，4，6，8，，成比例，符合题意； B、，不成比例，不符合题意； C、，不成比例，不符合题意； D、，不成比例，不符合题意． 2．四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴需分情况讨论两线段乘积相等的情况： 若，代入，，，得，解得， 若，代入得，解得， 若，代入得，解得， ∴结合选项仅符合要求． 3．已知线段b是线段a，c的比例中项，且，，那么_________． 【答案】 【分析】根据比例中项定义可得，代入已知、的值计算即可. 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入得：， 解得. 4．小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 【答案】 【详解】解：设小男孩的实际身高为， 得， 解得， ． 答：小男孩的实际身高为1.2米． 5．已知，，，，在图中，除矩形与矩形外，还有几对矩形的长和宽是成比例线段？请写出具体的矩形和比值． 【答案】共有7对矩形的长和宽是成比例线段. 矩形与矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为. 【分析】分别求出各个矩形的长和宽的比，即可得出结果. 【详解】解：由题意，，，，， ∴，，， ∴矩形与矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； ∵， ∴矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为. 综上：共有7对矩形的长和宽是成比例线段. 知识点二相似多边形 6．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形和四边形相似， ∴它们的相似比是． 7．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 8．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 9．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 10．如图所示的两个矩形是否相似？ 【答案】两个矩形不相似 【分析】先计算得到小矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，验证对应角与对应边的比例关系即可判断． 【详解】解：∵矩形的四个内角都是直角， ∴两个矩形的对应角相等； 由图可知，大矩形的长为20，宽为12， 计算得小矩形的长为，宽为， 所以，对应边的比值： ，， ∵，对应边不成比例， ∴两个矩形不相似． 知识点三相似多边形的性质 11．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】如果与它形状一样且比它大，长与宽都增加一倍，所以长变成2×2=4张，宽变成2张，一共使用了8张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最少，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍， ∴需要正方形的纸片是 （张）． 12．如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质得到，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．两个相似多边形的面积比为，其中一个多边形的周长为，则另一个多边形的周长为______． 【答案】或 【分析】由相似多边形面积比得到周长比，分已知周长是较大多边形和较小多边形两种情况计算． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的周长比为， 设另一个多边形的周长为， 分两种情况讨论： 当是较大多边形的周长时，可得，解得； 当是较小多边形的周长时，可得，解得， 因此另一个多边形的周长为或． 14．如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得出，再根据相似三角形的性质可得，进而可得，设，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 15．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似 (2) 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $