26.4 实际问题与二次函数 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数　知识清单 人教（2024）版　九年级上册　第二十六章　二次函数 知识地图：把实际问题「翻译」成二次函数 前面三节研究的是「已知一个二次函数，去看它的图象、性质和与方程的关系」；本节反过来——题目只给一个实际情境，要我们自己把它变成二次函数，再求出「最大」「最小」的那个答案。这一步叫做建立二次函数模型。四节内容可以用四句话串起来： ① 一个模型：先从题目里找出两个变量，设其中一个为 ，把另一个用含 的式子表示出来，就得到二次函数 ，再配方成顶点式求最值。 ② 三类问题：最大高度（跳水、喷水、投篮）、最大面积（围栏、建园）、最大利润（定价、销售），再加一类抛物线形建筑（拱桥、隧道、拱门）。它们用的都是同一套方法。 ③ 一个关键词：自变量的取值范围。它由实际意义决定：长度必须为正、销量不能为负、时间落在运动过程之内……范围写错，答案全错。 ④ 一步别忘：求出顶点以后一定要回头看一眼——顶点在不在取值范围内？在，就在顶点处取最值；不在，就按增减性在端点处取最值。 一、学习目标与重难点 学习目标：① 会用二次函数解决最大高度、最大面积、最大利润等实际问题，经历「审题设变量 → 列函数解析式 → 定自变量取值范围 → 求最值并作答」四个步骤；② 会求实际问题中二次函数的最大（小）值，并能判断顶点是否落在自变量的取值范围内；③ 会建立适当的平面直角坐标系，用二次函数解决抛物线形建筑（拱桥、隧道等）的宽度、高度问题；④ 在求最值的过程中，体会二次函数是刻画「最优」问题的有力模型。 重　　点：把实际问题转化为二次函数问题（设变量、列解析式），再用配方法或顶点公式求出最值；以及求最值时对自变量取值范围的讨论。 难　　点：★★ 两点最容易出错：一是求出的顶点不在自变量取值范围内时，最值要在端点处取；二是自变量取值范围的完整性——既要考虑「长度为正、销量非负」这类实际限制，又要考虑题目给出的额外条件（例如「墙长只有 18 m」）。此外，把答案放回实际情境里检验（例如单位、整数要求）也不可少。 二、建模四步：实际问题怎么变成二次函数 1. 教材的思路：四步走 教材在本节开头就把方法说清楚了。解决实际问题的基本过程是：先弄清题意，找出两个变量并设出其中的一个；再把要求的量用含 的式子表示，得到二次函数；然后根据实际意义写出 的取值范围；最后用二次函数的知识求出最值，并回到题目作答。四步连起来就是（图 1）： 图 1　建模四步：① 审题·设变量 → ② 列式·建模型 → ③ 定范围·看实际 → ④ 求最值·作答；右下角那条抛物线 的顶点 就是它的最高点 四步之中，第 ① 步和第 ③ 步最容易被跳过，而它们恰恰是决定成败的两步。第 ① 步没做对，解析式就写错；第 ③ 步没做全，最值就可能取在错的地方。 2. 最值在哪里：顶点公式与配方法 二次函数的最值问题，前面已经学过两件工具，本节要反复使用它们： 工具一（配方法）：把 配方成 的形式，顶点的横坐标和纵坐标一眼可见。 工具二（顶点公式）：抛物线 的顶点是最低（高）点：当 时，y 的最值是 。 于是判断最值的方法很干脆： 时开口向上，顶点处 取最小值； 时开口向下，顶点处 取最大值。本节的实际问题里， 几乎都是负数——因为「面积」「利润」随着变量增大到某个值以后，往往会转而变小，图象是一条开口向下的抛物线。 ★ 最值一定在顶点吗？不一定。只有在顶点横坐标落于自变量取值范围内时，最值才在顶点处取得；如果顶点「够不着」（在范围之外），那么图象在这个范围上是单调的，最值就在端点处取得。这正是第七、八两节要专门讨论的问题。 三、最大高度：教材例1 跳水（教材 P51） 1. 教材提出的问题 例1（教材 P51，图 26.4-1）　从 高的跳台上起跳，运动员在空中的重心高度 （单位：m）与起跳后的时间 （单位：s）满足 。运动员在空中的最大高度是多少（结果保留一位小数）？ 题目里的两个变量是时间 和重心高度 ，函数解析式已经给出，所以第 ①② 步现成，我们要做的是第 ③ 步（定范围）和第 ④ 步（求最值）。 图 2　教材例1： 的图象——起跳时 、，约 s 后到达最高点，最大高度约 m；约 s 后入水 2. 解答与检验 解　因为 ，抛物线开口向下，顶点就是它的最高点。 ① 由公式求顶点的横坐标： ② 把 代入解析式（或直接用顶点纵坐标公式）： 　　 ③ 检验范围：运动员从起跳到入水， 大约在 到 之间， 显然在这个范围内，所以这个最大值可以取到。 答：约 s 后运动员的重心最高，最大高度约为 m。 t（s） 0 0.3 1.8 （m） 这张小表和图 2 对得上： 时 ，这正是跳台的高度； 时达到最高的约 m；图象与 轴的另一交点在 处，表示运动员约 s 后入水，此时 。 ★ 三个提醒： ① 「最大高度」指的是重心的最大高度，不是「跳离跳台的高度」。题目给的 是从水面算起的， 时 已经是起跳点的高度了。 ② 不要忘记第 ③ 步。若算出的顶点横坐标超出了运动过程的时间范围，就要改用端点处求最值——本题的 在范围内，所以顶点有效。 ③ 「保留一位小数」既是计算要求，也是实际测量的精度要求。本题用 代入后得到 ，与直接用顶点纵坐标公式算出的结果一致。 四、最大面积：教材例2 篱笆靠墙（教材 P51—P52） 1. 教材提出的问题 例2（教材 P51—P52）　用一段长 的篱笆，借助一面足够长的墙围成一个矩形菜园。怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 把篱笆围成的矩形画出来（图 3 左）：靠墙的那一面不用篱笆，篱笆只围另外三面。设垂直于墙的一边长为 m，那么三面篱笆的长度分别是 、 和 ，于是平行于墙的一边长就是 m。这样，面积 就被 唯一确定了： 图 3　教材例2：三面篱笆围成矩形菜园（左）与 的图象（右）——顶点 说明当 时面积最大，为 （图中 表示垂直于墙的边长） 2. 解答与检验 解　设垂直于墙的边长为 m，则平行于墙的边长为 m，菜园的面积为 。由题意 　　。 ① 定范围：边长必须为正，所以 ；又平行于墙的边长也必须为正，，得 。两项合起来：。 ② 求最值：因为 ，抛物线开口向下，配方后 ，顶点是 。 ③ 检验范围：顶点横坐标 落在 内，可以取到。 答：当垂直于墙的边长为 m、平行于墙的边长为 m 时，菜园的面积最大，最大面积是 。 把答案和图 3 右对照着看：抛物线的顶点 正对着 ；横轴上标出的 一段，恰好把顶点包在里面，所以最大面积 一定取得到。若围出来的边长不满足 ，那说明设的变量或列的式子出了问题。 ★ 这一类题的三条经验： ① 「篱笆只围三面」是本题的关键。如果误以为四面都要围，式子就会写成 ，答案完全不同。所以下笔之前一定要先把图画出来。 ② 面积 与边长 之间的等量关系是「长 × 宽」，写解析式前先把这个等量关系说清楚。 ③ 如果题目的墙长度有限（比如「墙长只有 18 m」），那么「平行于墙的边」还要额外满足「不超过墙长」，范围会被迫缩小，最值也可能改在端点取得——第八节会用一道题把这两种情形放在一起对照。 五、最大利润：教材探究 涨价与降价（教材 P52—P53） 1. 教材提出的问题 探究（教材 P52—P53）　某商品的进价是每件 元，现在的售价是每件 元，每星期可以卖出 件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价 元，每星期要少卖出 件；每降价 元，每星期可以多卖出 件。如何定价才能使每星期的利润最大？ 题目的「如何定价」包含两个方向：往上调（涨价）和往下调（降价）。它们各自对应一个二次函数，我们把两个方案分别算出来，再比一比（图 4）。下笔之前先写清楚一个等量关系： 每星期的利润 = 单件利润 × 每星期的销售量 其中单件利润 = 售价 − 进价。这个等量关系是本题的「列式」依据，涨价、降价两个方案共用它，只是「单件利润」和「销售量」的表达式不同。 图 4　教材探究：涨价、降价两个方案的二次函数图象（纵轴都从 起）——左边顶点 ，右边顶点 ，两幅图取相同的纵轴范围，便于直接比较 2. 方案一：涨价 设每件涨价 元。这时： 单件利润 （元）　　销售量 （件） 所以每星期的利润 ，展开并配方： 定范围：销售量不能为负，由 得 ；又涨价额 。所以 。 结论：顶点横坐标 落在范围内，所以 时 取最大值 ，此时定价 元。 3. 方案二：降价 设每件降价 元。这时： 单件利润 （元）　　销售量 （件） 所以每星期的利润 ，展开并配方： 定范围：单件利润不能为负，由 得 ；又降价额 。所以 。 结论：顶点横坐标 落在范围内，所以 时 取最大值 ，此时定价 元。 4. 两个方案比一比 方案 函数解析式 自变量范围 顶点 最大利润 定价 涨价 元 元 每件 元 降价 元 元 每件 元 比较两个最大值：，所以定价 65 元（每件涨价 5 元）时，每星期的利润最大，最大利润是 6250 元。 ★ 三个提醒： ① 「利润最大」的答案一定要写成定价多少元，不能只写「涨价 5 元」。定价是题目真正要问的量。 ② 若题目限定「单价为整数」，降价方案要取 或 （定价 元或 元），利润都是 元，仍小于 元；涨价方案的 本来就是整数，结论不变。所以两种情形下都定价 元。 ③ 本题的两个范围都来自「实际意义」：销售量、单件利润都不能为负。这几步不等式写成一行就够，但一步都不能省。 六、抛物线形建筑：教材探究 拱桥（教材 P53） 1. 教材提出的问题 探究（教材 P53）　一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面 m 时，水面宽 m。水面上升 m 后，水面宽是多少（结果保留一位小数）？ 这类问题的抛物线上没有现成的解析式，所以第 ① 步要先建立平面直角坐标系：把拱顶放在原点，把抛物线的对称轴作为 轴（图 5）。建系的方式不是唯一的，但选得巧，解析式最简单。 ★ 为什么第一步必须先建立坐标系？ ① 题目给出的全是几何信息——「拱顶离水面 m」「水面宽 m」，没有现成的解析式。只有先把图形放进坐标系，把几何信息翻译成点的坐标，才谈得上「设解析式、代入求 」。 ② 两条建系经验：把顶点放在原点，解析式里就只剩 一个待定字母；让对称轴与 轴重合，抛物线关于 轴对称，计算量最小。 ③ 建系方式可以不同，但「水面宽」这类实际结果是唯一的——算完之后用实际问题核对一遍，是很好的自我检查。 图 5　教材探究：以拱顶为原点、对称轴为 轴建系，抛物线为 。原水面宽 m（红点），上升 m 后的水面宽约 m（绿点） 2. 解答过程 解　以拱顶为原点、抛物线的对称轴为 轴建立平面直角坐标系。 ① 设解析式：顶点在原点且开口向下，所以设 （）。 ② 找一点代入：原水面宽 m，半宽为 ；拱顶离水面 m，水面在 轴下方 m 处。所以抛物线经过点 。 ③ 求 ：把 代入，，解得 。所以这条抛物线是 。 ④ 求新水面宽：水面上升 m 后，水面在 处。令 ，得 ，所以 。 上面最后一步：由 开方求出 ，取正值算半宽，所以新水面的半宽约 m，水面宽约 m。 答：水面上升 m 后，水面宽约为 m。 ★ 三个提醒： ① 建系方式不同，解析式就不同；但水面宽是实际结果，不随建系方式改变。所以算完之后最好用「量」的方式核对一遍。 ② 拱顶离水面 m、水面宽 m，这两个信息对应的是同一个点 ，不要写成 ——水面在 轴下方，纵坐标是负的。 ③ 由 得到的 有两个值，一正一负，正负各表示水面与抛物线的一个交点，取正值算半宽，再乘 才是水面宽。 七、自变量的取值范围：本节最容易丢分的一步 1. 范围从哪里来：三个来源 本节四个例题，函数解析式都不难写，真正拉开差距的是第 ③ 步——把自变量的取值范围定准、定全。范围写错，后面的配方法和顶点公式算得再漂亮也没有用。取值范围一般来自三个地方（图 6）： 来源一 · 实际意义：长度、面积、时间、销量这些量本身不能为负。例如边长 、销售量 。 来源二 · 图形或过程的限制：矩形「平行于墙的边」必须是正的，所以 ；跳水运动员的 只取「从起跳到入水」这一段。 来源三 · 题目额外的条件：例如「墙长只有 18 m」会额外要求 ；「单价为整数」会要求 取整数。这类条件最容易被漏掉。 图 6　三种实际背景下的自变量取值范围：跳水的 、篱笆的 、涨价的 ；数轴上加粗的一段就是取值范围（以涨价额 为例） 实际背景 函数解析式 范围是怎么定出来的 取值范围 最大高度（跳水） 时间从起跳到入水；入水时 （约） 最大面积（篱笆） 边长 ，且 最大利润（涨价） 涨价额 ，销量 最大利润（降价） 降价额 ，单件利润 抛物线形建筑 水面宽 m，半宽 2. 定完范围要回头看一眼 范围定好以后，紧接着要做一件事：把顶点横坐标和范围比一比。这一步只有两种结果： ① 顶点在范围内：最值就在顶点处取得。本节例1（ 在 内）、例2（ 在 内）、探究中的涨价（ 在 内）与降价（ 在 内），都属于这一种。 ② 顶点不在范围内：这时抛物线在取值范围内只升不降（或只降不升），最值就要在端点上取——不能照抄顶点纵坐标。第八节专门讲这一种。 八、顶点在不在范围内：一道对照题讲透 1. 题目：同一道题，墙长不同 对照题　用一段长 m 的篱笆，借助一面墙围成一个矩形菜园。仍设垂直于墙的边长为 m，则平行于墙的边长为 m，面积 。现在分别求下面两种情形下的最大面积： 情形一：墙长 m，够长；情形二：墙长只有 m。 图 7　同一道题、两种墙长：情形一（左）中顶点 落在范围 内，最值在顶点取到；情形二（右）中顶点 落在范围 之外，最值改在端点 处取到 2. 情形一：顶点在范围内（图 7 左） 解　平行于墙的边长是 ，它不能超过墙长 m： 　　，解得 ；再由边长必须为正，得 ，即 。合起来：。 顶点是 ，横坐标 满足 ，所以顶点在范围内，在顶点处取最大值。 答：当 时，即垂直于墙的边长 15 m、平行于墙的边长 30 m 时，菜园面积最大，最大面积为 。 3. 情形二：顶点不在范围内（图 7 右） 解　这一次墙长只有 m： 　　，解得 ；再由 得 。合起来：。 顶点横坐标 不满足 ——顶点「够不着」，这时最值改在端点处取。 再判断取哪一个端点：配方知 ，抛物线的对称轴是 ，开口向下，所以在对称轴右侧（）图象是下降的。取值范围 整段都在对称轴右侧，因此 越小面积越大，取左端点 。 计算： 答：当 时，即垂直于墙的边长 21 m、平行于墙的边长 18 m（正好用尽墙长）时，菜园面积最大，最大面积为 。 ★ 把两种情形放在一起看： ① 解析式完全一样，，顶点也完全一样 ，但答案不同（ 与 ）——差别就出在取值范围上。 ② 所以「先定范围，再看顶点在不在范围内」不是一句空话，它是决定答案的一步。以后遇到实际问题求最值，凭直觉套顶点之前，先问自己一句：顶点够得着吗？ ③ 判断端点还有一个更稳妥的办法：把两个端点（以及顶点，如果可取）的函数值都算出来，比一比谁最大——算三个数，比想三分钟可靠。 九、易错清单与错解辨析 1. 八个高频失分点 ① 不写取值范围，直接套顶点公式：这是本节第一大失分点。没有先定范围，就没有资格谈「最大值」——因为顶点可能根本取不到。写解答时，范围那一步必须落在纸上。 ② 顶点不在范围内，仍照抄顶点纵坐标：如第八节情形二，顶点 里的 取不到，正确答案是端点值 。 ③ 答非所问：把「涨价额」当成「定价」。最大利润是 元，但题目问的是「如何定价」，最后一定要写出 元。 ④ 篱笆靠墙题把三面当四面：「借一面墙」意味着只有三面用篱笆，平行于墙的边长是 （或 ），不是 。 ⑤ 利润的等量关系写错：利润 = 单件利润 × 销售量，其中单件利润 = 售价 − 进价。写成「售价 × 销量」就把进价漏掉了；写成「涨价额 × 销量」则把 元的进价漏掉了。 ⑥ 建系后点的纵坐标符号搞错：拱桥题中水面在 轴下方，点应写成 。写成 会导致 ，抛物线开口向上，与图形不符。 ⑦ 漏掉题目额外的限制：「墙长 18 m」「单价为整数」「结果保留一位小数」这类条件都会改变范围或答案的写法，读题时要划出来。 ⑧ 由 只取正根，忘记「水面宽 = 2 × 半宽」：由 取半宽 后，还要乘 才是水面宽 m。 2. 错解辨析：错在哪里，怎么改 错解　用 m 篱笆借一面墙围矩形菜园，设垂直于墙的边长为 m，则 。因为配方得 ，顶点是 ，所以菜园面积最大是 ——但学生只写了这一步就结束，最后写成「最大面积 50」，单位、边长、范围一概未交代。 错在哪里：① 没有写自变量取值范围 ，也没说明顶点横坐标 是否在这个范围内——恰好本题的内外两个「设而不说」都补上了，换个墙长就会出错（见第八节情形二）；② 没有回答「怎样围」，只给了面积；③ 面积单位漏写。 正确写法：设垂直于墙的边长为 m，则平行于墙的边长为 m，面积 。由 且 得 。顶点横坐标 在范围内，所以当 时面积最大，最大面积为 。答：垂直于墙的边长 5 m、平行于墙的边长 10 m 时，菜园面积最大，最大面积是 。 十、方法总结 1. 三类问题一次对照（图 8） 本节看起来题型很多，其实只有三类：看高度、看面积、看利润，再加上一类「抛物线形建筑」的读图题。把它们的设元、列式、范围和最值放在一张表里对照，就能看出它们共用的是同一套方法（图 8）。 图 8　三类问题对照表：最大高度、最大面积、最大利润（涨价、降价两种方案）与抛物线形建筑的设元、解析式、取值范围和最值 ★ 一句话看穿三类问题：都是「找到一个量用 表示 → 写出二次函数 → 定范围 → 配方求顶点」。不同的只是等量关系：高度题用题目给的运动关系式，面积题用「长 × 宽」，利润题用「单件利润 × 销量」，建筑题用「以某点为原点建系，把已知点代进去求 」。 2. 记忆与检查的两句口诀 第一句管「怎么想」：先设变量再列式，配方顶点找最值。第二句管「怎么查」：范围先定好，顶点回头看。前一句是主线，后一句是保险——每做完一道题，就用第二句把答案过一遍，能拦住绝大多数错误。 图 9　本节知识结构：一个模型（实际问题 → 二次函数 → 顶点 → 最值）、三类问题（最大高度、最大面积、最大利润、抛物线形建筑）、一个关键词（取值范围） 3. 解题模板：四步写全，一步不省 步骤 要写什么 本节的例子 ① 设 设自变量，并说明它的实际意义；把其余的量用含它的式子表示出来 设垂直于墙的边长为 m，则平行于墙的边长为 m ② 列 按等量关系写出二次函数解析式，并配方成顶点式 ③ 定 由实际意义和题目条件写出自变量取值范围，并说明顶点的位置 由 、 得 ，顶点 在范围内 ④ 答 写清「何时」「多少」，带上单位，必要时按题目要求取近似值 当 时面积最大，最大面积 十一、课后巩固 1. 教材 P51—P53 回顾（三题） 第 1 题（对应教材 P51 例1）　某运动员从跳台上起跳，她在空中的重心高度 （单位：m）与起跳后的时间 （单位：s）满足 。（1）起跳时她的重心高多少米？（2）她在空中的最大高度是多少（结果保留一位小数）？ 答案：（1）令 ，得 ，即起跳时重心高 m。（2） 开口向下，由 在运动过程内，代入得 。所以最大高度约为 m。 第 2 题（对应教材 P51—P52 例2）　用 m 长的篱笆借一面墙围矩形菜园，求菜园面积的最大值，并说明此时菜园的长和宽。 答案：设垂直于墙的边长为 m，则 ，。顶点 在范围内，最大面积 。此时垂直于墙的边长 m，平行于墙的边长 m。 第 3 题（对应教材 P52—P53 探究）　某商品进价 元，售价每件 元，每星期卖出 件。每涨价 元少卖 件；每降价 元多卖 件。怎样定价，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 答案：涨价方案 ，，最大利润 元（定价 元）；降价方案 ，，最大利润 元（定价 元）。因为 ，所以定价 元时利润最大，为 元。 2. 举一反三（自编四题） 第 4 题　用 m 长的篱笆借一面长 m 的墙围矩形菜园（篱笆只围三面，且平行于墙的边不能超过墙长）。求菜园面积的最大值。 答案：设垂直于墙的边长为 m，则 。由 得 ；又 得 ，所以 。顶点 在范围内，所以 时面积最大，最大面积为 。 第 5 题　条件同上，但墙长只有 m，其余不变。求菜园面积的最大值。 答案：。由 得 ，所以 。顶点 不在范围内，图象在这一段上下降，所以取左端点 ，得 。最大面积为 （此时平行于墙的边正好用尽墙长 m）。 第 6 题　某商品的进价为每件 元，售价为每件 元，每星期可卖出 件。市场调查反映：每涨价 元，每星期要少卖出 件。为了获得最大的每星期利润，应定价多少元？ 答案：设每件涨价 元，则单件利润 ，销量 ，。由 得 ，又 ，所以 。顶点 在范围内，所以定价 元时每星期利润最大，最大利润为 元。 第 7 题　一座抛物线形隧道的截面如图：隧道宽 m，最高点离地面 m。一辆宽 m、高 m 的货车能否通过？（提示：以隧道最高点为原点、对称轴为 轴建系。） 解　以最高点为原点、对称轴为 轴建系，车宽 m 意味着车「左右各占 m」。设隧道所在抛物线为 。隧道宽 m，半宽为 ；最高点离地面 m，隧道的底边在 处，所以抛物线经过点 。代入得 ，，所以 。 把车宽方向的位置 代入： 所以车顶最高处的位置（离地面 m 的高度带）与隧道对应位置的高度是 m。 因为 ，所以这辆货车能安全通过（且还有约 m 的余量）。 ★ 第 7 题的思路值得记住：「能不能通过」等价于「在车宽的边缘处，隧道的高度是否不低于车高」。这就是把实际判断翻译成求函数值、再比大小。 十二、技能自查 学完本节，请对照下面八项逐一自查。每一项都要能拿出具体例子来说明「我会」，而不是「我好像知道」。 序号 自查项目 具体要求 自评 1 设变量与列式 能说清设了哪个量为 ，并能把题目中的其他量都用含 的式子表示 □ 会　□ 待练 2 建立二次函数模型 能按等量关系写出 并化为一般式 □ 会　□ 待练 3 配方求顶点 能熟练把一般式配成 ，或直接用顶点公式 □ 会　□ 待练 4 确定自变量取值范围 能从「实际意义」「图形限制」「题目额外条件」三方面把范围写全 □ 会　□ 待练 5 判断顶点是否在范围内 能用一句「核心判断」说明最值取在顶点还是端点 □ 会　□ 待练 6 面积问题 能区分「篱笆三面」与「篱笆四面」，并会用「长 × 宽」列式 □ 会　□ 待练 7 利润问题 能写出「单件利润 × 销量」，会用涨价、降价两条路分别计算并比较 □ 会　□ 待练 8 抛物线形建筑 会选择恰当的坐标系，会用「经过某点代入求 」求解析式 □ 会　□ 待练 十三、知识追问 下面七个问题，请合上书本用自己的话回答。答不上来的，就回到前面相应的小节再读一遍。 ① 为什么解决实际问题要「先设变量」？如果换一个量设为 （例如把平行于墙的边长设为 ），答案会变吗？解析式会变吗？ ② 本节所有最大（小）值问题里， 几乎都是负数。这背后有什么实际含义？如果 ，会出现「最大值」还是「最小值」？ ③ 「取值范围」为什么不能由我们随意规定？请用篱笆题说明：如果允许 （ m 篱笆的情形），会出现什么问题？ ④ 在什么情况下，最值不在顶点处取得？此时应怎样快速找出最值？（提示：算端点、比大小） ⑤ 拱桥题中，若把坐标系的原点改放在水面与对称轴的交点，解析式会变成什么样？水面宽会变吗？这个事实说明了什么？ ⑥ 利润问题中，「每涨价 元少卖 件」与「每降价 元多卖 件」，这两个 和 分别出现在解析式的什么位置？它们是怎样影响开口大小的？ ⑦ 本节学的四步，与前面三节学的「二次函数的图象和性质」是什么关系？如果删掉前三节，本节还能学得下去吗？ 十四、本节在章中的位置与中考对接 1. 本节在章中的位置 章内课节 研究内容 与本节的联系 26.1 二次函数的概念 认识二次函数：一般式、判定、列关系式 本节列解析式时用它 26.2 二次函数的图象和性质 抛物线、开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值 本节求最值的所有工具都来自这一节 26.3 二次函数与一元二次方程 抛物线与 轴的公共点与方程的根；由图象看函数值的正负 本节在讨论「取值范围」时会用到「看图象说话」的经验 26.4 实际问题与二次函数（本节） 把实际问题翻译成二次函数：最大高度、最大面积、最大利润、抛物线形建筑 本章的落脚点：让二次函数去解决真实问题 阅读与思考 生活中的抛物线 抛物线在生活中的应用（教材 P56） 本节方法的拓展与延伸 数学活动（教材 P58） 用二次函数解决问题的小型活动 对包括本节在内全章方法的一次综合运用 从章内位置看，本节是第二十六章的终点站：前面三节都是在「认识」二次函数，只有本节在「使用」二次函数。所以本节题目的难度不在计算，而在读懂题意、建立模型、守住范围。 2. 中考对接 本节的题型在中考中稳定出现，多为 ★ ~ ★★★ 档次的综合题，常见四类：① 面积最值（含篱笆靠墙、图形围成、动点形成的面积，其中「墙长有限」「围栏有缺口」等条件是得分点）；② 销售利润最值（含涨价、降价、分段定价，有时会追加「单价为整数」的要求）；③ 抛物线形建筑（拱桥、隧道、喷泉、篮球轨迹），求高度、宽度或判断能否通过；④ 与一次函数、图象读图结合的综合题。这四类题的共同套路是：先设元列式，再定范围，然后配方求顶点，最后判断顶点是否可取而作答。阅卷时，「设、列、定、答」四步写全，才是满分答案。 3. 三个必背 ① 一个模型：实际问题 → 设变量、列二次函数 → 配方成顶点式 → 顶点即最值点 → 把答案放回实际情境里检验。 ② 三类问题：最大高度（）、最大面积（）、最大利润（ 与 ）、抛物线形建筑（）。它们共用的都是「配方 → 顶点 → 最值」。 ③ 一个关键词：取值范围。它来自实际意义、图形限制和题目的额外条件；定好范围后一定要回头看——顶点在范围内就在顶点取最值（如 ），不在就按增减性在端点取最值（如 ）。 4. 一句话总结 实际问题与二次函数，说到底只有两件事：把题目里的关系翻译成一个二次函数，再把它的顶点翻译回实际问题。翻译得准不准，看第 ① 步设得对不对；翻译得全不全，看第 ③ 步范围定得全不全。所以拿到一道题，先别急着配方——先问自己：我设的是哪个量？它的范围是什么？顶点够得着吗？把这三句话养成习惯，本节就没有难题。 学科网（北京）股份有限公司 $