广西柳州市鹿寨中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

鹿寨县鹿寨中学2027届高三数学10月考 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知空间中三个向量，，共面，则实数x的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，在上单调递增，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 6．若满足，当时，，则时，的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知P为棱长为1的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量E（单位：焦耳）与里氏震级M的对应关系为，则（ ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 10．如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥，则（ ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的体积是 11．已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，O为与的交点．则的长等于________________． 13．若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________________． 14．在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为________________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且． （1）求的面积； （2）若为的中线，且，判断的形状． 16．（15分）一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球． （1）求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； （2）记摸出的球的颜色种类为X，求X的分布列与期望． 17．（15分）已知双曲线（，）的右焦点为F，右顶点为A，O为坐标原点，且 （1）求C的方程； （2）过点F的直线l与C的右支交于M，N两点，记C的左顶点为B，证明：． 18．（17分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，为正三角形，平面，，，点T满足（）． （1）若时，求三棱锥的体积； （2）若平面过直线，且平面，平面与侧棱，分别交于点E，F．是否存在点T，使得平面与平面的夹角为？若存在，请说明点T的位置，并求此时的面积；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在定义域内为增函数，求a的取值范围； （3）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1 2 5 6 8 B Q D A D B B 9 10 11 12 13 14 ABD ACD BCD 6 [-3,5U{-4} √2 b,c_4 +2cos A=b2+c2=4+2bccos A 15.(1)cbbc 其中2 bccos A=b2+c2-a2,所以b2+c2=4+b2+c2-a2,a2=4, 解得a=2, sin 4=2sin(A+B) a=2sinc sin B 由正弦定理得b 又a=2,所以bsin C=1, sac-2 bsinC=)× 1 ×2×1=1 所以 2 (2)AM为△ABC的中线，a=2,故BM=CM=1, 1 Sac=l,故 SBM三SMABC 2 2 ∠BAM=45°，故2 AB-AMsin45°= 2,所以ABAM=V2, cos∠BAM=AB+AM2-BM2 在△ABM中，由余弦定理 2AB·AM 4B2+AM2-12 即 2W2 2,化简得AB2+AM2=3, 联立AB·AM=V2与AB+AM2=3得AB=1,AM=V2或AB=V2,AM=1, 若AB=1,AM=V2,此时BM2+AB2=AM2,BM=AB, △ABM为等腰直角三角形： 若AB=V2,AM=1,此时AM2+BM2=AB2,AM=BM, △ABM为等腰直角三角形： 综上，△ABM为等腰直角三角形 16,(1)由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和1个黄球 (或1个绿球)，可能为1个红球和2个绿球， C-1 其中摸出3个红球的概率为 35 CC4-12 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为 35 clci3 摸出1个红球和2个绿球的概率为 C35 1+12+3=16 故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为35'353535】 (2)由题可知，X的所有可能取值为1,2,3， p(X=0=己35 P(X=2)=CC+2CC_2 35 P(X=3)= CCC_12 C 35 则X的分布列为 X 了 1 2 1 35 35 35 (0=15+2x3×2 故 353535 x2、2 =1 17.(1) 3 (2) 解法一：证明：由题可知，1的斜率不为0， 可设1的方程为x=少+2，M(,片)，N(2,) x=y+2 x二5.可a(32-y+120+9=0 -10.+.2. 9 由题可知B(-1,0）,则BM=(G+1,y),B丽=(：+1，)】 BM·BN=(x+1)(x2+1)+yy2=(+3)(少，+3)+yy2, =+3+30+)+9=9+判369=0 312-13t2-1 所以BM⊥BN. 18.(1)(1)取AB的中点O,取BC的中点P,连接OS,OP,则OP/AC, 又AC⊥平面SAB，,则OP⊥平面SAB, 又OS,ABc平面SAB,则OP⊥OS,OP⊥AB, 所以以0为原点，直线OB,OP,OS分别为x,yz轴建立空间直角坐标系， 在Rt△ABC,由∠ABC=60°，BC=4, AB=BCcOs60-2,4C-BCsim602 OP-4C04-0B-81 2 2 在正三角形△SAB中，SA=SB=AB=2,则OS=VSB2-OB2=V3 所以0(0,0,0)，S0,0,).D(-3,23,0 又点T满足ST=SD(0<入<1)， 则7=20=3,25，).则73,25，V5+) 29 h=25 、3了，即点T到平面ABC的距离为”3， 所以三棱锥B-ATC的体积为 32 33 (2)连接EF,BT, 由平面C过直线BT,且E,F∈平面C,则平面BETF是平面C, 因为AC∥平面Q,平面BETF∩平面SAC=EF,所以ACIEF, 结合(1)的空间直角坐标系， 不妨设SE=uA,则SF=uSC,0<u≤1 又S0,05.4(-1,00).B,00).c(-123,0） 则亚=A(←h0-5-(40-v3.所u(-405-5 5F=4(1,25,-5)=(u25u5.所以F(4,2545-5. 所u8E=(u-l0,5-V5).BF=(-125m5-) m-BE=(-4-1)x+(3-54)z=0 设平面a的法向量为m=()则m:BF=(-4-)x+2V5uy+(5-V5)z=0 令x=5(0-川，则y=0,z=1+从，所以m=(5-V5u0,1+】 显然i=(0,0,1是平面ABCD的一条法向量， 2 又平面ABCD与平面C的夹角为6， cosr=m.列 1+4 5 2 则 6网 V3(1-42+(1+)2 1 整理得2-5u+2=(2u-0u-2)=0,解得H=2,或“=2c合去)， 3 .0 即点B,F分别为侧棱SC,SA的中点，且平面a的法向量为 2 又点T满足ST=SD(0<1<1), 结合1)有7(3,25，-3+5) 则BF=(3A-l,25,-5+5)】 又BTC平面C,则m⊥BT, :BT=3525352,35-N5+5=0A=月 所以 2222 ,解得 3 所以存在点T(T为SD的三等分点，且靠近S处)，使得平面ABCD与平面“的夹角为6. 节合，省AsC省4C=25,则F4C-6 在正三角形△SAB中，有SA=SB=AB=2,则 E=B-（ 2 又AC⊥平面SAB,ACIEF,则EF⊥平面SAB, 又BEC平面SAB,则EF⊥BE, 5wExr=方x5x5- 1 所以此时△BEF的面积为 19(1)当a=1时， )-2mx 因为 w-2+是t-2.0-242-00-20.00 所以曲线'=f(:)在点(Lf(》处的切线方程是y=0, =号4.》- (2)因为 c 专间--4-.94o上ae.上e 若8()20，即a≤8时，则x∈(0，+o),有8()≥0，∫'()20，则f()是增函数： *3009>8.日-8o-2*40 则8()有两个零点，记为x,七，不妨假设<， 则x∈(x,x),有8()<0，f()≤0，则f)在(，)上单调递减，不合题意： 所以a的取值范围是（-0,8]. （3)当a≤8时，由(2)可知，f(~是增函数，则f)在(0，+切)上至多一个零点： 当a>8时，由(2)可知，(x)在(0，)上单调递增，在(：，)上单调递减， 在：，+切)上单调递增。又因为<1<，且0=0， 所以f()>0.f()<0 .言1-a-4m0.o)-日0 又因为a u9.么上8有个 所以f(0)在区间(0,1，（，+o)各恰有一个零点，所以a的取值范围是（⑧，+）