第三章 圆 基础过关自测卷 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第三章 圆基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 2．下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【答案】D 【详解】解：A、圆中最长的弦为直径，而直径有无数条，原说法错误； B、半圆是弧，原说法错误； C、长度相等的两段弧不一定是等弧，原说法错误； D、圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确． 3．如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 4．如图，点，，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得． 5．如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据在同圆中，同弧所对圆心角相等，得，根据直径所对圆周角是直角，得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， 是的直径， ， ， 故选：D ． 6．如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径所对圆周角等于，得到，进而得到，再根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接， 是半圆O的直径， ， ， ， ， ． 7．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”．大意为：如图，现有圆柱形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来（沿横截面）测得深度为1寸，锯长为1尺（1尺＝10寸），问木材的直径是多少？经计算，木材的直径为（    ）寸． A． B．10 C．13 D．26 【答案】D 【分析】设圆柱形木材的圆心为，连接，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆柱形木材的圆心为，连接， 如图所示：由题意知： ， 则寸， 设圆柱形木材的半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 则圆柱形木材的直径为26寸． 8．制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式．根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）． 【详解】解：该中心线的展直长度为， 故选：B． 9．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 10．如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据翻折的对称性，得出和是等边三角形，再利用三角形全等将求阴影部分的面积转化为求扇形的面积，最终求出答案． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵点C为弧的中点， ∴， 又∵弧沿弦翻折恰好过圆心O点， ∴点关于对称，所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即和是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【答案】内 【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在内． 12．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长是． 13．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【答案】相交 【详解】解： 的直径为， 的半径， 圆心与直线的距离， ， 直线与的位置关系是相交． 14．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． (1)作圆心和的中点． (2)连接，交于点，若，，求的半径． 【答案】(1)如图，点和点即为所求， (2) 【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，的垂直平分线与的交点即为点； （2）连接，由垂径定理的逆定理可得，，使用勾股定理计算出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知，点是的中点， ∴， ∴， 在中，． 16．如图，圆锥的高，底面圆的半径，则该圆锥的侧面积为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积等于． 先由勾股定理求解母线长，再由圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：由题意得，圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为， 答：圆锥的侧面积为． 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2) 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 点旋转到点的过程中线段扫过的面积为： ． 18．如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：连接． 是的两条切线， ，， ． ，四边形的内角和为， 在四边形中，． ， ， ． 19．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 20．如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； (2)5 【分析】（1）如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论； （2）如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图，连接，过点作于， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 的半径长为5． 21．材料的疏水性 “荷风拂八桂，藕香满壮乡”，南宁宾阳是广西荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部”，这说明荷叶具备优良的疏水特性，疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气－液界线的切线与固－液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径（），求出的度数，进而求出接触角的度数（如图2）． (1)请探索图2中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由； (2)已知，，求出接触角的度数，结果保留整数；（参考数据：） (3)在（2）条件下，求水珠弯曲弧边的弧长（结果保留）； 【创新思考】 (4)结合本题情境与数学知识，请写出一条能够增强荷叶疏水效果的合理设想． 【答案】(1)解：，理由如下： 连接，则， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ (2) (3) (4)增大接触角，可以增强疏水效果（答案不唯一） 【分析】（1）连接，则，然后可得，则有，进而问题可求解； （2）由勾股定理可得，然后可得，则有，进而问题可求解； （3）由（1）知，，然后可得，进而根据弧长公式可进行求解； （4）根据合理作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 在中，， ， ， ， ， ， 由（1）知； （3）解：由（1）知，， ∴， ， ∴， ∴的弧长为：． （4）答：开放性答案（合理即可）；示例：①增大接触角，可以增强疏水效果；②减小水珠与荷叶的接触面积，疏水效果更好；③叶片表面越平整光滑，疏水能力越强． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 3．如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 4．如图，点，，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 7．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”．大意为：如图，现有圆柱形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来（沿横截面）测得深度为1寸，锯长为1尺（1尺＝10寸），问木材的直径是多少？经计算，木材的直径为（    ）寸． A． B．10 C．13 D．26 8．制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 9．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 10．如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 12．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 13．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 14．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． (1)作圆心和的中点． (2)连接，交于点，若，，求的半径． 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 18．如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 19．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 20．如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 21．材料的疏水性 “荷风拂八桂，藕香满壮乡”，南宁宾阳是广西荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部”，这说明荷叶具备优良的疏水特性，疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气－液界线的切线与固－液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径（），求出的度数，进而求出接触角的度数（如图2）． (1)请探索图2中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由； (2)已知，，求出接触角的度数，结果保留整数；（参考数据：） (3)在（2）条件下，求水珠弯曲弧边的弧长（结果保留）； 【创新思考】 (4)结合本题情境与数学知识，请写出一条能够增强荷叶疏水效果的合理设想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $