第3讲·全等三角形及其性质·培优讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第3讲·全等三角形及其性质·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 第3讲·全等三角形及其性质·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解全等图形与全等三角形的概念 · 掌握全等三角形的对应边、对应角性质 · 会根据全等关系求角、求边长与周长 · 能识别动点运动中的全等情形 · 会利用全等性质进行简单证明 📚 知识梳理 ☆ 1.全等图形与全等三角形 能够完全重合的两个图形是全等图形 全等图形大小、形状完全相同 全等三角形：对应边相等、对应角相等 记法：△ABC≌△DEF，对应顶点写在对应位置 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　） 答案：全等三角形对应边相等、对应角相等 解析：全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等。 ☆ 2.全等三角形的性质 对应边相等：AB=DE、BC=EF、AC=DF 对应角相等：∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F 周长相等、面积相等 对应线段（中线、高、角平分线）相等 概念辨析例题：△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，则∠F=（　　） 答案：60° 解析：∠C=180°-50°-70°=60°，∠F=∠C=60°。 ☆ 3.周长与线段计算 全等三角形周长相等 对应边相等可求未知边长 由全等关系建立等式求值 注意对应关系：顶点对应确定对应边 概念辨析例题：△ABC≌△DEF，AB=5，BC=7，AC=9，则△DEF的周长为（　　） 答案：21 解析：周长相等，5+7+9=21。 ☆ 4.全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL） SSS：三边分别相等 SAS：两边及夹角分别相等 ASA、AAS：两角及一边分别相等 HL：斜边与一条直角边分别相等（直角三角形） 概念辨析例题：已知AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） 答案：SAS 解析：两边及夹角分别相等，用SAS判定。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等图形 能完全重合 大小形状相同 对应边 AB=DE等 按对应顶点找 对应角 ∠A=∠D等 按对应顶点找 全等性质 周长面积相等 对应线段相等 判定依据 SSS/SAS/ASA/AAS/HL 注意夹角、对应 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等图形的概念与识别（第1-4题） · 能完全重合即全等 · 判断图形全等看大小形状 · 数全等三角形对数要有序 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【知识点】图形类规律探索、全等三角形的概念 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 2．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与_________对应；B与______对应；C与_______对应；D与_______对应． 【答案】 M P Q N 【知识点】图形的全等 【分析】本题主要考查了全等形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等形，按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查，熟练掌握全等形的识别是解决此题的关键． 【详解】由全等形的概念可知： A是三个三角形，与M对应； B是一个三角形和两个直角梯形，与P对应； C是一个三角形和两个四边形，与Q对应； D是两个三角形和一个四边形，与N对应 故答案为：M，P，Q，N． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 【答案】/ 【知识点】图形的全等 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 【答案】②④⑤ 【知识点】图形的全等 【分析】本题主要考查了全等形的定义与性质，掌握完全重合的两个图形是全等形成为解题的关键． 根据全等图形的定义和性质逐个判断即可． 【详解】解：①形状相同，大小相等的图形是全等形，错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确． 所以，正确的说法有②④⑤． 故答案为：②④⑤． 【考点2】全等三角形的性质（对应角）（第5-20题） · 对应角相等求角 · 内角和180°辅助 · 注意顶点对应关系 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键； 根据全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】∵，，是对应顶点， ∴对应角为与，与，与；对应边为与，与，与． A．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； B．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； C．与是对应边，不是，错误，故本选项符合题意； D．与是对应边，正确，故本选项不符合题意； 故选C． 7．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】根据得到，利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 9．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图的两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质和三角形内角和作答即可． 【详解】解：第一个三角形的另一个角为， ∵如图的两个全等三角形，是边a、c的夹角， ∴， 故选：C． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，点在边上，与交于点，，．下列角中，与互补的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的补角、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，补角的定义，根据得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与互补， ∴与互补． 故选：C 11．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵和是对应角． ∴， 故选：C． 12．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵， ， 在中，，， ． 故选：D 13．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由垂直可知，，进而得出，再由全等三角形的性质，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 14．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．不正确的是_________．（填序号） 【答案】④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用．由，可得，，，而，可得，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 故结论①正确，结论④不正确； ∵， ∴， ∴，，结论②正确； ∴， ∴，结论③正确； 故答案为：④． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，则______． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差关系求得的长即可． 【详解】解：， ． 又， ． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，图中的两个三角形全等，则______°． 【答案】55 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等．根据全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：根据左图可知，边a、c夹角为， ∵两个三角形全等， ∴． 故答案为：55． 17．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，已知，，，，则_____． 【答案】/100度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质可得，再求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】， ， ，， ， ． 故答案为： 18．（25-26八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为____________． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点在同一条直线上 ∴的度数为 故答案为：． 19．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，，若，，求的度数． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到，进而证明，求出即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即 ， ． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，写出其中相等的角． 【答案】，，， 【知识点】全等三角形的性质 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴. 【考点3】周长与线段计算（第21-32题） · 对应边相等求边长 · 周长相等 · 由全等建立等式 21．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 22．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：C． 23．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 【答案】12 【知识点】全等三角形的性质 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，，进而得的周长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴的周长． 24．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，和是对应角， ， ，求线段的长度．    【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质可得，进而求得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 25．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点，求的长． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵， ， ． 26．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，点A，C，D，B在一条直线上，，，，求的长． 【答案】 【知识点】线段的和与差、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质（对应边相等），运用直接推理思想．解题关键是利用全等三角形对应边相等得出，再结合线段的和差关系计算；易错点是对线段之间的位置关系判断错误，导致的计算式列错． 首先根据，由全等三角形对应边相等得．其次观察图形，，代入，最后计算得． 【详解】解：，，， ， ． 27．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． (1)的度数为________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是： （1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 28．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，点在上，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等，是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，再根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 29．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知，，，，求的度数和的长． 【答案】， 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形对应边相等、全等三角形对应角相等的性质、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据全等三角形对应角相等即可求出，全等三角形对应边相等可得，再根据线段的和差可得即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ，即， ， 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，求的度数与DH的长． 【答案】； 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质． 由全等三角形的性质推出，，而，即可求出的长，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 31．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，三点在同一条直线上， 的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及梯形面积的计算，解题的关键是利用全等三角形的性质得出对应边相等，再结合勾股定理和梯形面积公式进行求解． （1）根据全等三角形的性质得到，因为的周长为30 ，进而得出的长； （2）先求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形面积公式计算面积． 【详解】（1）解： ， ， 的周长为 ； （2）解： ， ， ， 答：梯形的面积为． 32．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，，且，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ． 【考点4】全等三角形与动点（第33-43题） · 用时间t表示线段长 · 分类讨论对应关系 · 列方程求速度或时间 33．（21-22八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 34．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，， ， ， ∵四边形是矩形， ， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当时，， ， ； ②当时，， ，， ，， 的值为2或， 故选：D． 35．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，关键是要考虑到分两种全等的情况．分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间． 【详解】解：由题意得，设米，则米，米， （1）当时， 则， 即， 解得：； （2）当时， 则米， 此时所用时间x为10秒， 而米，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，与全等． 答案：A． 36．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当__________时，． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据当点在射线上时，当点在的反向延长线上时，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】， ，，，， 如图，当点在射线上时，在上，， ，， ， ． 如图，当点在的反向延长线上时，，， ，， ， ． 综上所述，当或时，， 故答案为：或． 37．（24-25七年级下·江西赣州·阶段检测）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为_______． 【答案】或或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，，， ∴点重合，点在点右侧， 此时，， ∴， 解得：； 当时，， 当点在点左侧时， 此时，， ∴， 解得：； 当点在点右侧时， 此时，， ∴， 解得：； 综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 38．（24-25八年级上·四川广安·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为_______，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 39．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，，点是的中点，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，当点的运动速度为_________时，可以与全等． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论；分与，利用全等三角形的性质求出点E运动时间，即可求得点F运动速度，从而完成求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵D为中点， ∴， 当时，则，， ∴E为中点， ∴， ∴点E运动时间为； ∵， ∴， ∴点F的运动速度为； 当时，则，, ∴， ∴点E的运动时间为：， ∵， ∴， ∴点F的运动速度为； 综上，当点F的运动速度为或时，可以与全等． 故答案为：或． 40．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，为顶点的三角形与全等时，t的值为_______． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查一元一次方程与几何图形的关系，全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是关键． 根据题意，分别用含t的式子表示出，结合全等三角形的性质，分类讨论，正确列式求解即可． 【详解】解：，，点P以的速度沿向终点E运动， ∴点从的运动时间为，点从的运动时间为，共用时， 点以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动， ∴点从的运动时间为， 设运动时间为， 如图所示，当时，点在上，点在上，则， ∴， 根据题意，时，， ∴， 解得，； 当时，点在上，点从点第一次返回点，则， 根据题意，时，， ∴， 解得，； 当时，点在上，点从点第二次返回点，则， 根据题意，时，， ∴， 解得，； 综上所述，当以P，C，为顶点的三角形与全等时，t的值为或或， 故答案为：或或． 41．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】设秒时，和全等，则米，米，米，再分两种情况：①，②，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：设秒时，和全等，则米，米， ∵米， ∴米， ∵射线，射线， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； 综上，线段的长度为32米或60米． 42．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时，___________s． 【答案】1或或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 43．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【考点5】全等三角形的判定与证明（第44-52题） · 判定依据：SSS/SAS/ASA/AAS/HL · 证明全等后利用性质 · 平移、折叠构造全等 44．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，三顶点均在坐标轴上，若要使，则满足条件的点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形性质，平面直角坐标系中两点之间的水平距离和竖直距离，是解题的关键． 根据全等三角形性质，得，设，由 ，得点A与B、C的水平距离为4，点D与点C、B的水平距离为，得，解得，，A与B的竖直距离为2，C与D的竖直距离为，令，解方程，即得点坐标． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵， ∴点A与B、C的水平距离为，点D与C、B的水平距离为， ∴， ∴， ∴，， ∵A与B的竖直距离为，C与D的竖直距离为， ∴， ∴， ∴，或， ∵在B、C的纵坐标之间， ∴不合，舍去， ∴满足条件的点坐标是或． 故选：C． 45．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，将直角三角形沿方向平移一定距离得到三角形，若，，，则图中阴影部分面积为________． 【答案】34 【知识点】全等三角形的性质、图形的平移、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移性质、全等性质及图形面积等知识，根据平移性质得到，结合全等性质及图形，数形结合表示出，代值求解即可得到答案，数形结合表示出阴影部分面积是梯形的面积是解决问题的关键． 【详解】解：将直角三角形沿方向平移一定距离得到三角形， ， ，， ；； ， 故答案为：． 46．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有________对． 【答案】66 【知识点】图形类规律探索、全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 47．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连接，，是的角平分线，是的高线．若，则的度数为_________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形的性质 【分析】由全等三角形性质得出及的度数；在 中求出，利用角平分线定义求出；在中求出 ，利用邻补角求出，最后求和． 【详解】 解： ， ，， ， ，即， ， ， 在中，， 是的角平分线，点在边上， ， 是 的高线， ，即， 在中，， 点在上， ， ． 48．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知点A，B的坐标分别为，，以A、B、P三点为顶点的三角形与全等，则符合条件点P的坐标为___________ 【答案】或或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，由题意可得，，再结合全等三角形的性质，分两种情况，结合图象，即可得出答案，关键是正确确定A、B的位置，画出． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∵以A、B、P三点为顶点的三角形与全等， ∴如图所示： ， 当时，此时，点的坐标为， 当时，此时，点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 49．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：； (2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴； (2)当中时，． 【知识点】两直线平行内错角相等、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理和平行线的性质和判定． （1）根据全等三角形的性质得出，，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】（1）略； （2）解：猜想，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴当是直角三角形时，． 50．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，，，，． (1)求的长． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；三角形的内角和等于是解决问题的关键． （1）由全等三角形的性质得，然后根据可得出答案； （2）由全等三角形的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2），，， ，， ． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是．将这四个顶点的横坐标都减去3，同时纵坐标都加1，分别得到点．请在图中画出四边形，它与平行四边形有什么关系？ 【答案】 四边形如图所示： 全等 【知识点】图形的全等、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了平移的性质． 先根据坐标变化画出图形，再根据图形作答即可． 【详解】∵平行四边形四个顶点的坐标分别是．将这四个顶点的横坐标都减去3，同时纵坐标都加1，分别得到点， 可知四边形与平行四边形全等． 52．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； (2)6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 全等图形能完全重合 · 对应边相等、对应角相等 · 周长面积相等 · 判定依据SSS/SAS/ASA/AAS/HL · 动点问题用t表示线段 【作业1】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列各组图形中，不是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查的是全等形的识别．根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，B、C、D选项的两个图形都可以完全重合， ∴B、C、D选项的两个图形都是全等图形， A选项中两个图形不可能完全重合， ∴它们不是全等形． 故选：A． 【作业2】．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 【作业3】．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形的周长相等，面积不一定相等 B．全等三角形的对应角相等，对应边不一定相等 C．全等三角形的面积相等，对应边也相等 D．全等三角形的对应边相等，但对应角不一定相等 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质；全等三角形的对应边相等、对应角相等，因此周长和面积都相等，根据此判断各选项. 【详解】解：根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等、对应角相等，其周长和面积也必然相等. 故A、B、D不符合题意，只有C符合题意. 故选：C. 【作业4】．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，解决此类边长对应问题时，需先确定明确的对应边，再对剩余边进行分类讨论． 由于两个三角形全等，且第二个三角形中有一条边为3，因此这条边必须与第一个三角形中的边3对应，剩余两边对应第一个三角形中的5和7，有两种对应情况，分别解方程组求和，再计算． 【详解】解：两个三角形全等，且第二个三角形有一边为3， 此边必与第一个三角形的边3对应， 情况一：且， 相加得， ，代入得， ； 情况二：且， 相加得， ，代入得， ； 或． 故选：． 【作业5】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∴，选项C错误，符合题意， 故选：C. 【作业6】．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，、、、．若四边形四边形，则______． 【答案】4 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查全等形的性质，掌握全等形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【作业7】．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，，则的周长等于________． 【答案】13 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故答案为：13． 【作业8】．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，若，则长度为___________． 【答案】6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．关键是掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【作业9】．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ． 【答案】20 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 【作业10】．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知与全等，，，，则的长为___________． 【答案】7或8 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据与全等，且，所以进行分类讨论，当，则；当，则，即可作答． 【详解】解：∵与全等，， ∴当，则； 当，则， 综上：的长为7或8， 故答案为：7或8 【作业11】．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，点D，E在的边上，，其中B ，C为对应顶点，D，E为对应顶点，写出一个正确的结论为______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得，则，故． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一个三角形的三条边的长分别是，另一个三角形的三条边的长分别是．若这两个三角形全等，则的值分别是______． 【答案】，或， 【知识点】加减消元法、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解二元一次方程组，掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用全等三角形对应边相等列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：由题意得，或， 解得或， ∴的值分别是，或，， 故答案为：，或，． 【作业13】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）若，则______________． 【答案】80 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 先根据可得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案是：80． 【作业14】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：略． 【作业15】．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 【答案】 ．证明如下： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【知识点】两直线平行内错角相等、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线性质，根据，得出结合平行线的性质得，则因为，得，即可作答． 【详解】略 【作业16】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，点在边上，，连结．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质．根据全等三角形的性质，可得，再由平行线的性质可得，即可求证． 【详解】略 【作业17】．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)三角形的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出______个三角形与全等； 【答案】(1) 根据题意，画图如下： 则即为所求． (2)3 (3)3 【知识点】全等三角形的概念、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了画轴对称图形，构造全等三角形，分割法计算三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质，三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据轴对称的定义去构图即可． （2）运用分割法计算． （3）利用对称法、构造平行四边形法和同侧共边全等法构造即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得 ． 故答案为：3． （3）解：利用轴对称法、构造平行四边形法，确定全等三角形如下： 共有3个， 故答案为：3． 【作业18】．（25-26七年级上·全国·课后作业）把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据折叠，得到，得到，利用平角的定义和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲·全等三角形及其性质·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解全等图形与全等三角形的概念 · 掌握全等三角形的对应边、对应角性质 · 会根据全等关系求角、求边长与周长 · 能识别动点运动中的全等情形 · 会利用全等性质进行简单证明 📚 知识梳理 ☆ 1.全等图形与全等三角形 能够完全重合的两个图形是全等图形 全等图形大小、形状完全相同 全等三角形：对应边相等、对应角相等 记法：△ABC≌△DEF，对应顶点写在对应位置 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　） 答案：全等三角形对应边相等、对应角相等 解析：全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等。 ☆ 2.全等三角形的性质 对应边相等：AB=DE、BC=EF、AC=DF 对应角相等：∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F 周长相等、面积相等 对应线段（中线、高、角平分线）相等 概念辨析例题：△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，则∠F=（　　） 答案：60° 解析：∠C=180°-50°-70°=60°，∠F=∠C=60°。 ☆ 3.周长与线段计算 全等三角形周长相等 对应边相等可求未知边长 由全等关系建立等式求值 注意对应关系：顶点对应确定对应边 概念辨析例题：△ABC≌△DEF，AB=5，BC=7，AC=9，则△DEF的周长为（　　） 答案：21 解析：周长相等，5+7+9=21。 ☆ 4.全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL） SSS：三边分别相等 SAS：两边及夹角分别相等 ASA、AAS：两角及一边分别相等 HL：斜边与一条直角边分别相等（直角三角形） 概念辨析例题：已知AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） 答案：SAS 解析：两边及夹角分别相等，用SAS判定。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等图形 能完全重合 大小形状相同 对应边 AB=DE等 按对应顶点找 对应角 ∠A=∠D等 按对应顶点找 全等性质 周长面积相等 对应线段相等 判定依据 SSS/SAS/ASA/AAS/HL 注意夹角、对应 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等图形的概念与识别（第1-4题） · 能完全重合即全等 · 判断图形全等看大小形状 · 数全等三角形对数要有序 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 2．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与_________对应；B与______对应；C与_______对应；D与_______对应． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 【考点2】全等三角形的性质（对应角）（第5-20题） · 对应角相等求角 · 内角和180°辅助 · 注意顶点对应关系 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 7．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 9．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图的两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，点在边上，与交于点，，．下列角中，与互补的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．不正确的是_________．（填序号） 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，则______． 16．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，图中的两个三角形全等，则______°． 17．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，已知，，，，则_____． 18．（25-26八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为____________． 19．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，，若，，求的度数． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，写出其中相等的角． 【考点3】周长与线段计算（第21-32题） · 对应边相等求边长 · 周长相等 · 由全等建立等式 21．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 22．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 24．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，和是对应角， ， ，求线段的长度．    25．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点，求的长． 26．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，点A，C，D，B在一条直线上，，，，求的长． 27．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． (1)的度数为________； (2)求的度数． 28．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，点在上，，求的度数． 29．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知，，，，求的度数和的长． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，求的度数与DH的长． 31．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，三点在同一条直线上， 的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 32．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，，且，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【考点4】全等三角形与动点（第33-43题） · 用时间t表示线段长 · 分类讨论对应关系 · 列方程求速度或时间 33．（21-22八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 34．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 35．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 36．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当__________时，． 37．（24-25七年级下·江西赣州·阶段检测）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为_______． 38．（24-25八年级上·四川广安·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为_______，可以使与全等． 39．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，，点是的中点，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，当点的运动速度为_________时，可以与全等． 40．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，为顶点的三角形与全等时，t的值为_______． 41．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 42．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时，___________s． 43．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【考点5】全等三角形的判定与证明（第44-52题） · 判定依据：SSS/SAS/ASA/AAS/HL · 证明全等后利用性质 · 平移、折叠构造全等 44．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，三顶点均在坐标轴上，若要使，则满足条件的点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 45．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，将直角三角形沿方向平移一定距离得到三角形，若，，，则图中阴影部分面积为________． 46．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有________对． 47．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连接，，是的角平分线，是的高线．若，则的度数为_________． 48．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知点A，B的坐标分别为，，以A、B、P三点为顶点的三角形与全等，则符合条件点P的坐标为___________ 49．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：； (2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 50．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，，，，． (1)求的长． (2)求的度数． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是．将这四个顶点的横坐标都减去3，同时纵坐标都加1，分别得到点．请在图中画出四边形，它与平行四边形有什么关系？ 52．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 全等图形能完全重合 · 对应边相等、对应角相等 · 周长面积相等 · 判定依据SSS/SAS/ASA/AAS/HL · 动点问题用t表示线段 【作业1】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列各组图形中，不是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形的周长相等，面积不一定相等 B．全等三角形的对应角相等，对应边不一定相等 C．全等三角形的面积相等，对应边也相等 D．全等三角形的对应边相等，但对应角不一定相等 【作业4】．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 【作业5】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，、、、．若四边形四边形，则______． 【作业7】．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，，则的周长等于________． 【作业8】．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，若，则长度为___________． 【作业9】．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ． 【作业10】．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知与全等，，，，则的长为___________． 【作业11】．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，点D，E在的边上，，其中B ，C为对应顶点，D，E为对应顶点，写出一个正确的结论为______． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一个三角形的三条边的长分别是，另一个三角形的三条边的长分别是．若这两个三角形全等，则的值分别是______． 【作业13】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）若，则______________． 【作业14】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【作业15】．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 【作业16】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，点在边上，，连结．求证：． 【作业17】．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)三角形的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出______个三角形与全等； 【作业18】．（25-26七年级上·全国·课后作业）把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $