第4讲·全等三角形的判定·培优讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第4讲·全等三角形的判定·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握SSS判定并会应用 · 掌握SAS判定及夹角条件 · 掌握ASA与AAS判定 · 掌握HL判定（直角三角形） · 会用尺规作全等三角形并进行证明 📚 知识梳理 ☆ 1.SSS（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等 只要三边确定，三角形形状唯一确定 SSS常用于证明线段相等 尺规作三角形依据SSS 概念辨析例题：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） 答案：SSS 解析：三边分别相等，用SSS判定。 ☆ 2.SAS（边角边） 两边及夹角分别相等的两个三角形全等 夹角必须是两边的夹角 两边及其中一边的对角不能判定（SSA反例） SAS常用于证明角相等、线段相等 概念辨析例题：AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） 答案：SAS 解析：两边及夹角分别相等，用SAS判定。 ☆ 3.ASA与AAS ASA：两角及夹边分别相等 AAS：两角及其中一角的对边分别相等 两个角相等时第三个角也相等 碎玻璃配三角形问题常用ASA 概念辨析例题：∠B=∠E，∠C=∠F，BC=EF，判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） 答案：ASA 解析：两角及夹边分别相等，用ASA判定。 ☆ 4.HL（斜边直角边） 直角三角形中斜边和一条直角边分别相等则全等 HL是直角三角形特有的判定方法 注意必须先判定直角三角形 HL常用于角平分线、垂线段问题 概念辨析例题：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则判定依据是（　　） 答案：HL 解析：斜边和一条直角边分别相等，用HL判定。 📋 知识总结表 判定方法 条件 注意事项 SSS 三边分别相等 三边确定三角形唯一 SAS 两边及夹角相等 夹角必须是两边夹角 ASA 两角及夹边相等 夹边在两角之间 AAS 两角及一边相等 边为其中一角的对边 HL 斜边+一直角边 仅限直角三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】SSS判定及其应用（第1-10题） · 三边相等直接判定 · SSS测距离、作角 · 由SSS证明角相等 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图是解题关键．根据作一个角等于已知角可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由题意可知，，则选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，则选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴，则选项B正确，不符合题意； 假设正确，则， ∴， 又∵， ∴，但根据已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即选项A错误，符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为__________． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—作相等的角，解题的关键是熟练掌握作相等角的步骤． 根据尺规作图的步骤得出，即可求解． 【详解】解：通过尺规作图可知， ， 又， ， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，用尺规作的依据是__________． 【答案】全等三角形的对应角相等 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作法得：，，， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：全等三角形的对应角相等． 4．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，，要利用“SSS”得到，需要增加的一个条件是________． 【答案】（或） 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等，由此即可判断． 【详解】解： 利用“SSS”得到，还需， 也可以得出， 故答案为：（或） 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定：SSS． 5．（15-16七年级下·江苏·期末）如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论：_________（填序号）． 【答案】选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据，可知由①②④，可得出，由全等三角形的对应角相等可得出③，根据，可知由②③④，可得出，由全等三角形的对应边相等可得出①． 【详解】解：选择①②④，得出③， 在和中， ， ∴， ∴， 选择②③④，得出①， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 6．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为__________． 【答案】2 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可． 【详解】解：∵为，的中点， ∴,，又， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴，解得， ∴， 故答案为：2． 7．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）用尺规作图．如图，以点B为顶点，射线为一边，在外再作一个角，使其等于． 【答案】 解：如图所示，即为所求； 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，以B为圆心，以任意长为半径画弧分别交于E、F，再以F为圆心，以的长为半径交圆B于点G，作射线，则即为所求． 【详解】略 8．（24-25七年级下·广东清远·期中）尺规作图：已知，，求作：直线，使经过点，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，作，则即为所求， 理由：∵， ∴， ∴即为所求． 【知识点】内错角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角、过直线外一点作已知直线的平行线 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定，作即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 9．（24-25六年级下·山东淄博·期中）（1）如图1，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为______． （2）如图2，已知直线l外有一点P，过点P求作一条直线m，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说出两直线平行的理由． 【答案】（1）； （2）如图，直线m即为所求作． ∵， ∴． 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作一个角等于已知角． （1）根据作图得出，求出即可； （2）过点P作直线，交直线于点F，以点P为角的顶点，为角的一条边，在下方作，则即为所求作的直线m． 【详解】（1）解：由尺规作图可知，， ∵， ∴． （2）略 10．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）用尺规作图：已知：如图，线段及．求作：，使，，． 【答案】 如图，为所求． 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查尺规作三角形，先作一个角，再以为圆心为半径画弧，交于，交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则，，最后连接即可得到满足要求的． 【详解】略 【考点2】SAS判定及其应用（第11-15题） · 两边及夹角相等 · 注意SSA反例 · 添加条件补齐SAS 11．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，则可利用证明，由全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵和的长度相等，是它们的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 12．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，，以A为顶点，为腰在第三象限作等腰，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及作出辅助线构造全等三角形． 过点作轴于点，易证，根据全等三角形的性质可得，，继而即可求解． 【详解】如图所示，过点作轴于点， ∵，， 则， 在和中， ∴（AAS）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）直线经过等腰直角三角形的直角顶点，且，分别过和作于点，于点，若，，则的长为________． 【答案】3或13/13或3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．先根据题意画出图形，然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】是经过等腰直角三角形直角顶点的直线，所在存在如图所示的四种情况：   ，， 只有图（1）和图（2）符合题意． 如图（1），点是直角三角形的顶点， ， ． 于点，于点， ， ， ． 在和中， ， ，， ． 如图（2），点是直角三角形的顶点， ， ． 于点，于点， ， ， ． 在和中， ，， ． 综上，的长为13或3． 14．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，，平分，点D、E分别为线段、上的动点，则的最小值是_______． 【答案】6 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可以解答本题． 【详解】解：如图所示，作于点F，在上取一点，使，连接 、， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且与重合时，最小，最小值是， ∴， 故答案为：6． 15．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则______（用，表示） 【答案】/ 【知识点】两点之间线段最短、两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 【考点3】ASA与AAS判定（第16-24题） · 两角确定第三角 · 夹边与对边区分 · 实际测量用ASA 16．（24-25八年级上·吉林白城·阶段检测）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明是解题的关键．根据题意得出，再根据证明，即可利用全等三角形的性质得解． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故选：A 17．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据，，再根据对顶角相等，利用证明即可． 【详解】解：由题意，得，， 在与中， ∴， ∴， ∴小开这样判断的依据是． 故选：D． 18．（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图，一块玻璃碎成如图所示的四块，聪明的小强同学只带了第4块去玻璃店，就能配成与原来一样大小的三角形，那么这两块三角形玻璃完全一样的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据“配成与原来一样大小的三角形”，分析第4块玻璃碎与原来的三角形存在哪些角、哪些边相等，即可作答． 【详解】解：依题意，∵聪明的小强同学只带了第4块去玻璃店， ∴第4块玻璃碎与原来的三角形存在两个角、夹边相等， 那么这两块三角形玻璃完全一样的依据是， 故选：B 19．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，他带其中的一块去玻璃店，配了一块与原来一样大小的三角形玻璃．他带的是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键在于掌握判定定理．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的. 故选：B． 20．（23-24八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) ，理由如下： 由（）得：， ∴， ∵， ∴． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】（）首先利用证明，根据性质可得，再由角度和差即可求证； （）根据全等三角形对应角相等求出，由三角形外角的性质可得； 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 21．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，，，分别是和的平分线，且交于点．求证： ． 【答案】 证明：如图所示，在上截取，连接． ， ． 是的平分线，是的平分线， ，． ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理． 在上截取，连接，先通过“截长法”将线段转化为线段与的和，再通过三角形全等证明即可． 【详解】略 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，，且，试问与有什么关系？为什么？ 【答案】 且． 理由：因为， 所以， 所以， 即． 在和中， ， 所以， 所以． 在中， ， 在中， ， 因为， （对顶角相等）， 所以， 所以，即． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再根据三角形内角和得到． 【详解】略 23．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：如图，在中，，，交于点，于点，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴． 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查同角的余角相等，全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 由，，得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得到，，进而即可证明． 【详解】略 24．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，, ， ． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】先通过已知条件证明和全等，再利用全等三角形的性质得出结论即可． 【详解】略． 【考点4】HL判定（直角三角形）（第25-32题） · 先判直角三角形 · 斜边+一直角边 · 角平分线、垂线构造HL 25．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等角的余角相等，根据等角的余角相等得到，再证明得到即可求解，利用全等三角形的性质求解线段长是解题的关键． 【详解】解： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 26．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图所示，于B，，，若，，则____，____． 【答案】 2 10 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了两个直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，得到，即可通过线段的和差求得答案． 【详解】解：， ， ，， ， ， ，． 故答案为：2；10． 27．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则__________． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质． 由“”可证，可得，由角的数量关系可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴ (）， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作于H，延长至E，使，连接，利用AAS证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：过点B作于H，延长至E，使，连接， ， ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 29．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为_______． 【答案】24 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂直证明，然后利用全等三角形的性质可得，，从而利用等量代换进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：24． 30．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】先得出，又平分，，则有，然后通过线段的和与差得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的长为． 31．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，垂足为点，点在上，连接，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，得，运用证明，即可得出． 【详解】略 32．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E    (1)如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明： (2)如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系 【答案】(1) 证明：，， ， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握利用证明三角形全等是解本题的关键． （1）先证明，再利用证明即可； （2）由，可得， 证明，可得，，从而可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：，； 理由：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 【考点5】尺规作图与判定综合（第33-40题） · SSS作三角形 · SAS作三角形 · 按痕迹判断作图依据 33．（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据全等三角形的判定对选项进行判定即可求解； 【详解】解：A、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故A选项正确，不符合题意； B、如图 由作图痕迹可得，，，， ， 故B选项正确，不符合题意； C、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故C选项正确，不符合题意； D、如图： 由作图痕迹可得，，，， 不能得出与全等， 故D选项不正确，符合题意； 故选：D 34．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．解决下列问题，    （1）如图1，若，，且，则________； （2）如图2，延长至，使．若，，，则线段的长为________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理的内容是解题关键． （1）证即可求解；（2）证得，；再证即可求解． 【详解】解：（1），，，， . （2），，， ， ，， . 又， ， ， 即. 在和中， ， . ， . 又，， . 故答案为：①；② 35．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为_______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，从而得到重叠部分四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和均是等腰直角三角形， ∴，， ∵点M是斜边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积． 故答案为： 36．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为__________． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（25-26八年级上·山东临沂·期中）风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：． 【答案】 解：依题意，在和中， ． ， ． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先理解题意，运用方式证明，故，又因为，则，即可作答． 【详解】略 38．（24-25七年级下·江西赣州·阶段检测）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小圣想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，小圣测得C，D之间的距离为，请你帮小圣求出锥形瓶底面的内径的长． 【答案】锥形瓶内部底面的内径的长是 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质．根据定理和全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意，得，． ∵与是对顶角， ∴． ∴． ∴． 即锥形瓶内部底面的内径的长是． 39．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】 证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】略 40．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ． (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质． （1）根据，直接证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 是的一个外角， ， ． 【考点6】全等综合探究（第41-52题） · 动点问题用t表示线段 · 折叠、翻折构造全等 · 数全等三角形对数要有序 41．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则的周长为（   ） A．19 B．20 C．18 D．17 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，；求出线段的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴的周长， 故选：A． 42．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，，与相交于点．，．点从点出发，沿方向以的速度运动，同时点从点出发，沿方向以的速度运动，当点回到点时，，两点同时停止运动，连接，当线段经过点时，点的运动时间为______．（  ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证 ，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故选：D． 43．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，直线m，n，l分别经过正方形的顶点A、B、C，且，直线n与交于点E，若m与n之间的距离是3，n与l之间的距离是4，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、求角的正弦值 【分析】过点B作直线m于Q，的延长线交直线l于F，则直线n，直线l，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点B作直线m于Q，的延长线交直线l于F，如图所示：    ∵， ∴直线n，直线l， ∴， ∴， ∵若m与n之间的距离是3，n与l之间的距离是4， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解平行线间的距离，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 44．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（    ）时，与全等． A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分情况讨论． 首先根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为，设运动时间为t，则，，，然后表示出，，，然后根据题意分两种情况讨论：和，然后分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为， 设运动时间为t，则，， ∴，， ∵ ∴ ∴当时 ∴， ∴， ∴， ∴当时 ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为5时，与全等． 故选：C． 45．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，连接，先证明，得到，从而推出当三点共线且时最小，即此时最小，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时最小，即此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，， 同理可得，则， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故选：D． 46．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由，得，因为，，所以，则．可判断①正确；由折叠得，，则，所以，可判断②正确；所以，推导出，可根据“”证明，可判断③正确；延长交于点，可证明，得，再证明，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； 延长至，沿着折叠与重合，交于点， ，， ， ， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， （）， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， 故④正确． 故选：A． 【点睛】此题重点考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、同角的余角相等、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 47．（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在中，平分，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，已知，则的度数为____________． 【答案】/110度 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． 由平分得到，由作图可得，即可证明，得到，再根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 由作图可得， 而， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 48．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知，为的中点，若，，则___________． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得出，再根据对顶角相等得到，证明，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 49．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和___________． 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案． 【详解】标记角度如下： ∵在等腰中，，， ∴与等高，底边比值为 ∴与的面积比为， ∵的面积为18 ∴的面积为6，的面积为12， ∵,即， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴与的面积相等， ∴， 故答案为：12． 50．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为_____． 【答案】①②④ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分、， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的是①②④个． 故答案为：①②④． 51．（2023·上海·模拟预测）如果两个不全等的等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．设一对合同三角形的底角分别为和，那么______________．（用的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等，则腰上的高相等，分两种情况讨论：这两个三角形都是锐角或钝角三角形；两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，分别求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等， ∴腰上的高相等， 可分两种情况讨论： ①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，如下图， 则有，，，， 在和中， ， ∴ ， ∴， ， 即有； 此时两个等腰三角形全等，不符合题意； ②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，如下图， 则有，，，， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 此时两个等腰三角形不全等，符合题意． 故答案为：． 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知：在四边形ABCD中，BD平分，，求AD与DC的数量关系． 【特例分析】（1）如图①，当时，AD与DC的数量关系是________________． 【问题解决】（2）如图②，当时，AD与CD存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）； （2）．理由如下： 如图，过点分别作于点E，交BA的延长线于点， ． 平分， ． 在和中， ， ． ，， ． 在和中， ， ． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据、可得，根据平分得到，再根据证明，即可得到结论； （2）过点分别作于点E，交BA的延长线于点，先通过证明，根据全等三角形的性质得到，再通过等角的补角相等证明，通过证明，即可求解． 【详解】解：（1） 【提示】、， ． 平分， ． 在和中， ∴， ∴． （2） 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · SSS三边确定唯一 · SAS注意夹角 · SSA不能判定 · HL仅限直角三角形 · 尺规作图保留痕迹 【作业1】．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，，则能直接判断的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握证明全等是解题的关键；根据证明即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：． 【作业2】．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”求解即可． 【详解】解：∵，，为中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 综上所述，全等三角形共有5对， 故选：C ． 【作业3】．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，与中，，，，但与显然不全等，这说明（   ） A．两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形不一定全等 D．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】∵与中，，，， 但与显然不全等， ∴这说明两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：B． 【作业4】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由图形可知为公共边，则可再加一组对边相等即可． 【详解】解：，，用“”证明， 还需添加的一组边相等，即， 故选：． 【作业5】．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【知识点】尺规作图——作三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 【作业6】．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，将沿直线翻折，点C与点D重合，点E在上，则全等三角形有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了翻折变换、全等三角形的判定和性质，直接利用翻折可得，再根全等三角形的判定与性质分析得出答案． 【详解】∵将沿直线翻折，点C与点D重合， ∴， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， 则图中的全等三角形共有3组． 故选：C． 【作业7】．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________. 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”所需要的条件即可得到答案． 【详解】解：和有一条公共直角边， 根据“”证明，应添加的直接条件是． 故答案为：． 【作业8】．（25-26八年级上·吉林四平·阶段检测）如图，，、、三点共线，若，则__________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；先根据证明，然后根据全等三角形的性质可得∠，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【作业9】．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，已知，垂足为B，，，若，，则_____． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 【作业10】．（18-19八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，把两根钢条、的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具，若测得，则该内槽的宽为______． 【答案】/厘米 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的应用．对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．本题让我们了解测量两点之间的距离，只要符合全等三角形的条件之一，得出即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图， 点分别是、的中点， ，． 在和中， ． ． 故答案为：． 【作业11】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键； 根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是． 【详解】解：在中， ∵，， ∴若以“”判定，需添加的条件是； 故答案为：． 【作业12】．（15-16八年级上·江苏·期末）如图，，，，垂足分别为点C，D．若，则_______． 【答案】/35度 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了直角三角形判定以及角平分线的定义，熟知直角三角形判定是解题的关键．根据条件利用判定证得，利用全等三角形的性质可得，然后计算即可获解． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【作业13】．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是__________． 【答案】（或者） 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据直角三角形全等的判定定理“”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故若要用“”证明，则需要添加的一个条件是（或者）， 故答案为：（或者）． 【作业14】．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，点在的边上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由平行条件可得，再由已知即可证明，由全等的对应边相等即可得证． 【详解】略． 【作业15】．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】利用即可得证． 【详解】略 【作业16】．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，点在边上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【知识点】两直线平行同位角相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得到，再利用证即可求解． 【详解】略 【作业17】．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，点在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)连接和，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， ， 平行于． (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）先证明，得到后，得到对应补角相等后即可证平行； （2）证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：． ， ， ． 【作业18】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：， ， 即． 在和中， ； (2) ， ， ． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据已知由等式的性质得到三角形的边相等，这样条件符合了，可得三角形全等； （2）根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲·全等三角形的判定·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握SSS判定并会应用 · 掌握SAS判定及夹角条件 · 掌握ASA与AAS判定 · 掌握HL判定（直角三角形） · 会用尺规作全等三角形并进行证明 📚 知识梳理 ☆ 1.SSS（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等 只要三边确定，三角形形状唯一确定 SSS常用于证明线段相等 尺规作三角形依据SSS 概念辨析例题：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） 答案：SSS 解析：三边分别相等，用SSS判定。 ☆ 2.SAS（边角边） 两边及夹角分别相等的两个三角形全等 夹角必须是两边的夹角 两边及其中一边的对角不能判定（SSA反例） SAS常用于证明角相等、线段相等 概念辨析例题：AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） 答案：SAS 解析：两边及夹角分别相等，用SAS判定。 ☆ 3.ASA与AAS ASA：两角及夹边分别相等 AAS：两角及其中一角的对边分别相等 两个角相等时第三个角也相等 碎玻璃配三角形问题常用ASA 概念辨析例题：∠B=∠E，∠C=∠F，BC=EF，判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） 答案：ASA 解析：两角及夹边分别相等，用ASA判定。 ☆ 4.HL（斜边直角边） 直角三角形中斜边和一条直角边分别相等则全等 HL是直角三角形特有的判定方法 注意必须先判定直角三角形 HL常用于角平分线、垂线段问题 概念辨析例题：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则判定依据是（　　） 答案：HL 解析：斜边和一条直角边分别相等，用HL判定。 📋 知识总结表 判定方法 条件 注意事项 SSS 三边分别相等 三边确定三角形唯一 SAS 两边及夹角相等 夹角必须是两边夹角 ASA 两角及夹边相等 夹边在两角之间 AAS 两角及一边相等 边为其中一角的对边 HL 斜边+一直角边 仅限直角三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】SSS判定及其应用（第1-10题） · 三边相等直接判定 · SSS测距离、作角 · 由SSS证明角相等 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为__________． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，用尺规作的依据是__________． 4．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，，要利用“SSS”得到，需要增加的一个条件是________． 5．（15-16七年级下·江苏·期末）如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论：_________（填序号）． 6．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为__________． 7．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）用尺规作图．如图，以点B为顶点，射线为一边，在外再作一个角，使其等于． 8．（24-25七年级下·广东清远·期中）尺规作图：已知，，求作：直线，使经过点，且．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（24-25六年级下·山东淄博·期中）（1）如图1，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为______． （2）如图2，已知直线l外有一点P，过点P求作一条直线m，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说出两直线平行的理由． 10．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）用尺规作图：已知：如图，线段及．求作：，使，，． 【考点2】SAS判定及其应用（第11-15题） · 两边及夹角相等 · 注意SSA反例 · 添加条件补齐SAS 11．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 12．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，，以A为顶点，为腰在第三象限作等腰，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）直线经过等腰直角三角形的直角顶点，且，分别过和作于点，于点，若，，则的长为________． 14．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，，平分，点D、E分别为线段、上的动点，则的最小值是_______． 15．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则______（用，表示） 【考点3】ASA与AAS判定（第16-24题） · 两角确定第三角 · 夹边与对边区分 · 实际测量用ASA 16．（24-25八年级上·吉林白城·阶段检测）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（    ）    A． B． C． D． 18．（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图，一块玻璃碎成如图所示的四块，聪明的小强同学只带了第4块去玻璃店，就能配成与原来一样大小的三角形，那么这两块三角形玻璃完全一样的依据是（    ）    A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，他带其中的一块去玻璃店，配了一块与原来一样大小的三角形玻璃．他带的是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 20．（23-24八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 21．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，，，分别是和的平分线，且交于点．求证： ． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，，且，试问与有什么关系？为什么？ 23．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：如图，在中，，，交于点，于点，．求证：． 24．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，．求证：． 【考点4】HL判定（直角三角形）（第25-32题） · 先判直角三角形 · 斜边+一直角边 · 角平分线、垂线构造HL 25．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A．4 B．5 C．6 D．7 26．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图所示，于B，，，若，，则____，____． 27．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则__________． 28．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是______． 29．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为_______． 30．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． 31．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，垂足为点，点在上，连接，，．求证：． 32．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E    (1)如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明： (2)如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系 【考点5】尺规作图与判定综合（第33-40题） · SSS作三角形 · SAS作三角形 · 按痕迹判断作图依据 33．（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．解决下列问题，    （1）如图1，若，，且，则________； （2）如图2，延长至，使．若，，，则线段的长为________． 35．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为_______． 36．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为__________． 37．（25-26八年级上·山东临沂·期中）风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：． 38．（24-25七年级下·江西赣州·阶段检测）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小圣想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，小圣测得C，D之间的距离为，请你帮小圣求出锥形瓶底面的内径的长． 39．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 40．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【考点6】全等综合探究（第41-52题） · 动点问题用t表示线段 · 折叠、翻折构造全等 · 数全等三角形对数要有序 41．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则的周长为（   ） A．19 B．20 C．18 D．17 42．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，，与相交于点．，．点从点出发，沿方向以的速度运动，同时点从点出发，沿方向以的速度运动，当点回到点时，，两点同时停止运动，连接，当线段经过点时，点的运动时间为______．（  ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 43．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，直线m，n，l分别经过正方形的顶点A、B、C，且，直线n与交于点E，若m与n之间的距离是3，n与l之间的距离是4，则的值为（    ）    A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（    ）时，与全等． A．3 B．4 C．5 D．3或5 45．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 46．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 47．（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在中，平分，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，已知，则的度数为____________． 48．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知，为的中点，若，，则___________． 49．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和___________． 50．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为_____． 51．（2023·上海·模拟预测）如果两个不全等的等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．设一对合同三角形的底角分别为和，那么______________．（用的代数式表示） 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知：在四边形ABCD中，BD平分，，求AD与DC的数量关系． 【特例分析】（1）如图①，当时，AD与DC的数量关系是________________． 【问题解决】（2）如图②，当时，AD与CD存在怎样的数量关系？请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · SSS三边确定唯一 · SAS注意夹角 · SSA不能判定 · HL仅限直角三角形 · 尺规作图保留痕迹 【作业1】．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，，则能直接判断的理由是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【作业3】．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，与中，，，，但与显然不全等，这说明（   ） A．两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形不一定全等 D．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 【作业4】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【作业6】．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，将沿直线翻折，点C与点D重合，点E在上，则全等三角形有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【作业7】．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________. 【作业8】．（25-26八年级上·吉林四平·阶段检测）如图，，、、三点共线，若，则__________． 【作业9】．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，已知，垂足为B，，，若，，则_____． 【作业10】．（18-19八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，把两根钢条、的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具，若测得，则该内槽的宽为______． 【作业11】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    【作业12】．（15-16八年级上·江苏·期末）如图，，，，垂足分别为点C，D．若，则_______． 【作业13】．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是__________． 【作业14】．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，点在的边上，，，．求证：． 【作业15】．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【作业16】．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，点在边上，，，．求证：． 【作业17】．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，点在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)连接和，直接写出和之间的数量关系． 【作业18】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知，，． 求证： (1)； (2)． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $