精品解析：湖南衡阳市衡阳县滨江中学2026-2027学年九年级上学期数学9月阶段学情自测

九年级数学月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　） A. （x﹣1）2=4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2=16 D. （x+1）2=16 【答案】A 【解析】 【详解】移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4. 2. 二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点坐标求解即可． 【详解】∵二次函数与x轴交于点， 二次函数开口向上， ∴关于的不等式的解集是或． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当时，利用图象得出不等式解集是解题关键． 3. 将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线， ∵抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． 4. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用满足方程得出，代入原式简化，再根据根与系数关系求的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， 代入原式得： ， 又∵是方程的两个根， ∴， ∴ 原式． 故选：C． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用整体思想及因式分解法解一元二次方程，要注意本身是非负数的特征．把看作一个整体，解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍）， ∴． 故选：B． 6. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A. 3 B. C. 3或 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据判别式大于零求出k的取值范围；再根据根与系数的关系，将条件转化为关于k的方程，解出k的值，并验证是否满足取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 又∵，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴符合，不符合 故， 故选：A． 8. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 9. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，∴①正确； ∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间， ∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0， ∴4a+c＞2b，∴②错误； ∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0， ∴2a+2b+2c＜0， ∵b=2a， ∴3b，2c＜0，∴③正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1， ∴y=a﹣b+c的值最大， 即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c， ∴am2+bm+b＜a， 即m（am+b）+b＜a，∴④正确； 即正确的有3个， 故选B． 考点：二次函数图象与系数的关系 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 若抛物线（是常数）与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．由抛物线（是常数）与轴只有一个交点可得，方程的判别式为零，即可求解． 【详解】解：抛物线（是常数）与轴只有一个交点， 方程的判别式为零， ， 解得：， 故答案为：11． 12. 设，是一元二次方程的两根，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，利用根与系数的关系得到 ，并将 和 用一次项表示，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解： ， 是方程 的根， ，， 、是一元二次方程的根， ，， 整理可得：，， ， 又 ， ， 又 ， ， ， 原式 ． 故答案为：. 13. 已知抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则的最大值为____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题，将线段的最值问题转化为二次函数的最值问题是解决此题的关键．根据二次函数的解析式求出点B、C的坐标，设点D的坐标是，则点E的坐标是，用含x的式子表示出的长． 【详解】解：当时，可得：， 解得：，， ∵点A在点B左侧， ∴点B的坐标是， 当时，可得：， ∴点C的坐标是， 设直线的解析式是， 把点B的坐标，点C的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 设点D的坐标是，则点E的坐标是， ∴， ∵二次项系数为， ∴有最大值，最大值是． 故答案为：． 14. 对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，关键是明确题目意思，掌握一元二次方程的解法．由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 15. 已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【详解】解：如图所示： 当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）， 当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1； 当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即 解得， 所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 解一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 原方程移项得， 配方得， 开方得， 解得，． 【小问2详解】 原方程移项得， 因式分解得， 即或， 解得，． 17. 线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA. (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(－3，m)在该抛物线上，求△ABC的面积． 【答案】(1) y＝－(x＋1)2；(2)3． 【解析】 【详解】分析：（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积=梯形OBCD面积-三角形ACD面积-三角形AOB面积，求出即可． 本题解析： (1)依题意可知A(－1，0)．由OB＝OA，得B(0，－1)． 将点B(0，－1)代入y＝a(x＋1)2，得－1＝a(0＋1)2，解得a＝－1. 所以y＝－(x＋1)2. （2）过C作CD⊥x轴， 则S△ABC=S梯形OBCD-S△ACD-S△AOB=12×3×(4+1)-12×4×2-12×1×1=3． (2)将C(－3，m)代入y＝－(x＋1)2，得m＝－(－3＋1)2，即m＝－4.所以C(－3，－4)． 所以S△ABC＝＝×1×4＋×1×3－×1×1＝3. 点睛：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18. 我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请说明方程是倍根方程； （2）若是倍根方程，则____________； （3）若一元二次方程是倍根方程，则a，b，c的等量关系是________（直接写出结果）． 【答案】（1）见解析； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程可得，然后根据倍根方程可判断方程是倍根方程； （2）利用因式分解法解方程可得，，再利用倍根方程的定义得到n的值； （3）先根据倍根方程定义，设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系，即可求得解． 【小问1详解】 或， ∴，∴ ∴方程是倍根方程． 【小问2详解】 是倍根方程， ， 当 时，， 当 时， ， 或． 故答案为或． 【小问3详解】 ∵一元二次方程是倍根方程， ∴设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程解得定义，熟悉掌握相关关系是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线的顶点为 （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）点是线段上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，若，求点的坐标． 【答案】（1），顶点的坐标为； （2）． 【解析】 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）设点，则点，由，即可求解； 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，解一元二次方程和两点的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 由题意得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 ∵由（）得， 当时，， 解得：，， ∴点， 设点，则点， ∵， ∴， ∴（舍去），， ∴点． 20. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1） （2）404元 【解析】 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数研究电缆架设问题 素材 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱．每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以点为原点所在直线为轴，建立如图所示坐标系．电缆的最低点到轴的距离为米，点到坡面的铅直高度米，（于），经测量，斜坡的坡度为∶（即）． 素材 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面的铅直高度的最小值不小于米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． 完成以下任务 （1）求出下垂电缆（抛物线）的解析式； （2）上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 【答案】（1）； （2）不符合安全要求，理由见详解． 【解析】 【分析】(1)先根据坡度求出斜坡端点的坐标，进而确定右侧固定点的坐标，再结合最低点的已知条件，利用待定系数法求抛物线解析式． (2)用电缆的纵坐标减去坡面的纵坐标，得到铅直高度关于的二次函数，求其最小值并与13.5米比较即可判断． 【小问1详解】 解：由题意知为原点，米，在地面上， ， 米，斜坡坡度为，即， 米， 右侧地面点的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴斜坡所在直线的解析式为， 米且塔柱竖直， 右侧电缆固定点的坐标为， 最低点到轴的距离为30米， 点的横坐标为30， 此时坡面纵坐标为， 点到坡面的铅直高度米， 点的纵坐标为， 即， 设抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：设电缆上任一点到坡面的铅直高度为米， ， ， ， ， 当时，取得最小值13.25米， ， 上述电缆的架设不符合安全要求． 22. 在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． （1）若实数，满足，，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的取值范围． 【答案】（1）23或2 （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行解答即可． 【小问1详解】 、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． 【小问2详解】 将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形OCPQ是平行四边形，理由如下： ∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【解析】 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）略 （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　） A. （x﹣1）2=4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2=16 D. （x+1）2=16 2. 二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 3. 将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 6. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A. 3 B. C. 3或 D. 不存在 8. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 若抛物线（是常数）与轴只有一个交点，则的值为______． 12. 设，是一元二次方程的两根，则等于_______． 13. 已知抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则的最大值为____ ． 14. 对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 15. 已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 解一元二次方程： （1）； （2） 17. 线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA. (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(－3，m)在该抛物线上，求△ABC的面积． 18. 我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请说明方程是倍根方程； （2）若是倍根方程，则____________； （3）若一元二次方程是倍根方程，则a，b，c的等量关系是________（直接写出结果）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线的顶点为 （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）点是线段上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，若，求点的坐标． 20. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 21. 根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数研究电缆架设问题 素材 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱．每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以点为原点所在直线为轴，建立如图所示坐标系．电缆的最低点到轴的距离为米，点到坡面的铅直高度米，（于），经测量，斜坡的坡度为∶（即）． 素材 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面的铅直高度的最小值不小于米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． 完成以下任务 （1）求出下垂电缆（抛物线）的解析式； （2）上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 22. 在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． （1）若实数，满足，，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的取值范围． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $