第一章空间向量与立体几何（期中知识清单）高二数学上学期人教B版

第一章 空间向量与立体几何　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 空间向量及其运算 1.1 空间向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量），向量的大小也称为向量的模（或长度）。 可以用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向。有向线段不带箭头的端点称为向量的始点（或起点），带箭头的端点称为向量的终点。有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向。始点为 终点为 的向量，记为 ，向量的模用 表示。还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如 、、 来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母来表示向量，此时，向量 的模也用 或 来表示。 始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的。零向量在印刷时，通常用 表示；书写时，用 表示。零向量的模为 ，即 。 模等于 的向量称为单位向量。因此， 是单位向量的充要条件是 。 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，向量 和 相等，记作 。 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行。通常规定零向量与任意向量平行。两个向量 和 平行，记作 ，两个向量平行也称为两个向量共线。 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面。空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面。 示例：平行六面体 中，； 表示线段 的长度。 注意：空间向量是平面向量的推广，只要去掉”在平面内”的限制，平面向量中有关向量的概念与约定就都可以原封不动地推广到空间中。 1.2 空间向量的加法运算 给定两个向量 、，任取一点 ，作 ，，作出向量 ，则 是向量 与 的和（也称为 为向量 与 的和向量）。向量 与 的和向量记作 ，因此 当向量 与 不共线时，、、 正好能构成一个三角形，因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。 空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量 、，在空间中任取一点 ，作 ，，以 、 为邻边作一个平行四边形 ，作出向量 ，则 不难看出，空间向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意的向量 、、，都有 为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量。特别地，三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量。 图1：向量加法的三角形法则 示例：；长方体 中，。 1.3 空间向量的线性运算 任意两个空间向量总是共面的，因此可以用类似平面向量中的方法来定义两个空间向量的减法运算、数乘运算。 在空间中任取一点 ，作 ，，作出向量 ，则向量 就是向量 与 的差（也称 为向量 与 的差向量），即 当 与 不共线时，向量 、、 正好能构成一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则。 同平面中的情形一样，给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量 的相反向量记作 ，因此， 的相反向量是 ，而且 。因为零向量的始点与终点相同，所以 。 空间向量的减法也可以看成向量的加法，即 ，也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量。 给定一个实数 与任意一个空间向量 ，规定它们的乘积是一个空间向量，记作 ，其中： （1）当 且 时， 的模为 ，而且 的方向：①当 时，与 的方向相同；②当 时，与 的方向相反。 （2）当 或 时，。 上述实数 与空间向量 相乘的运算简称为数乘向量。数乘向量的定义说明，如果存在实数 ，使得 ，则 。而且，如果存在实数 ，使得 ，则 与 平行且有公共点 ，从而 ，， 三点一定共线。 对于实数 与 ，向量 与 ，有如下运算律： 同平面向量一样，空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算。 示例：，；正方体 中，。 1.4 空间向量的数量积 给定两个非零向量 、，任选一点 ，作 ，，则大小在 内的 称为 与 的夹角，记作 。如果 ，则称 与 垂直，记作 ；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都垂直。 空间中两个非零向量的数量积（也称为内积）定义为 规定零向量与任意向量的数量积为 。 给定空间向量 和空间中的直线 （或平面 ），过 的始点和终点分别作直线 （或平面 ）的垂线，假设垂足为 ，，则向量 称为 在直线 （或平面 ）上的投影。 两个向量数量积的几何意义与投影有关： 与 的数量积等于 在 上的投影的数量与 的长度的乘积；特别地， 与单位向量 的数量积等于 在 上的投影的数量。 空间向量的数量积具有以下性质： 编号 性质 （1） 的充要条件是 （2） （3） （4） （5） （交换律） （6） （分配律） 示例：；若 ，，，则 。 注意：两个向量的数量积的结果是一个实数，不是一个向量。 2. 空间向量基本定理 2.1 共面向量定理 共线向量基本定理：如果 且 ，则存在唯一的实数 ，使得 。 平面向量基本定理：如果平面内两个向量 与 不共线，则对该平面内任意一个向量 ，存在唯一的实数对 ，使得 。 可以看出，共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立。 共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，则向量 、、 共面的充要条件是，存在唯一的实数对 ，使 由共面向量定理还可得到判断空间中四点是否共面的方法：如果 ，， 三点不共线，则点 在平面 内的充要条件是，存在唯一的实数对 ，使 示例：若 ，则 ，， 共面，从而 ，，， 四点共面。 2.2 空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果空间中的三个向量 、、 不共面，那么对空间中的任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 表达式 一般称为向量 、、 的线性组合或线性表达式。 如果三个向量 、、 不共面，则它们的线性组合 能生成所有的空间向量，因此，空间中不共面的三个向量 、、 组成的集合 常称为空间向量的一组基底。此时，、、 都称为基向量；如果 ，则称 为 在基底 下的分解式。 图2：空间向量基本定理 示例：平行六面体 中，设 ，，，则 ，。 3. 空间向量的坐标与空间直角坐标系 3.1 空间中向量的坐标 如果空间向量的基底 中，，， 都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解。如果 ，则称有序实数组 为向量 的坐标，记作 ，其中 ，， 都称为 的坐标分量。 示例： 的坐标为 ； 的坐标为 ；。 3.2 空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量 ， 满足 ，，则空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等，且向量运算与坐标的关系如下： 运算 坐标表示 相等 ，， 加法 数乘 数量积 模 夹角余弦 示例：， 时，，，。 3.3 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 当 时， 的充要条件是存在实数 ，使得 ，即 ，即 ，，。更进一步，当 的每一个坐标分量都不为零时，有 的充要条件是 ，即 示例：， 满足 ，故 ；， 满足 ，故 。 3.4 空间直角坐标系 为了刻画空间中点的位置，可以按照如下方式建立空间直角坐标系：在空间中任意选定一点 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系 ，然后过 作一条与 平面垂直的 轴。这样建立的空间直角坐标系记作 。 在空间直角坐标系 中， 轴、 轴、 轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为 平面、 平面、 平面， 轴的正方向一般按照如下方式确定：在 轴的正半轴看 平面， 轴的正半轴绕 点沿逆时针方向旋转 能与 轴的正半轴重合。 在平面内画空间直角坐标系 时，一般把 轴、 轴画成水平放置， 轴正方向与 轴正方向夹角为 （或 ）， 轴与 轴（或 轴）垂直。 图3：空间直角坐标系的画法 这样一来，空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间有了一一对应关系，空间一点 的位置完全由有序实数组 确定，因此将 称为点 的坐标，记作 。此时，，， 都称为点 的坐标分量，且 称为点 的横坐标（或 坐标）， 称为点 的纵坐标（或 坐标）， 称为点 的竖坐标（或 坐标）。 三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限。按逆时针方向，在坐标平面 的上方，分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在 平面的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限。根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为 。 示例：棱长为 的正方体 中，以 为原点，、、 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，则 ，，。 注意：如果指定空间中的单位向量 ，， 的始点都在原点 ，且它们的方向分别与 轴、 轴、 轴的正方向相同，则 是单位正交基底，且向量 的坐标与 点的坐标相同，即 。 3.5 空间向量坐标的应用 设 ， 为空间直角坐标系中的两点，则 即空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。因此得到空间直角坐标系中两点之间的距离公式： 设线段 的中点为 ，则 的坐标为 这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式。 示例：，， 时，，，故 ，， 三点共线。 4. 空间中的点、直线与空间向量 4.1 空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点 ，那么空间中任意一点 的位置，都可以由向量 唯一确定，此时， 通常称为点 的位置向量。特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定。 4.2 空间中的直线与空间向量 一般地，如果 是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与 平行或重合，则称 为直线 的一个方向向量，此时，也称向量 与直线 平行，记作 。 按照空间中直线的方向向量的定义可知： （1）如果 ， 是直线 上两个不同的点，则 就是直线 的一个方向向量； （2）如果 是直线 的一个方向向量，则对任意的实数 ，空间向量 也是直线 的一个方向向量，而且直线 的任意两个方向向量都平行； （3）如果 为直线 的一个方向向量， 为直线 上一个已知的点，则对于直线 上任意一点 ，向量 一定与非零向量 平行，从而可知存在唯一的实数 ，使得 ，这就是说，空间中直线 的位置可由 和点 唯一确定； （4）如果 是直线 的一个方向向量， 是直线 的一个方向向量，则 的充要条件是 ，或 与 重合。 4.3 空间中两条直线所成的角 空间中两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小；两条异面直线 、 所成角的大小，等于两条相交直线 、 所成角的大小，其中 且 ；空间中两条平行直线所成角的大小规定为 。这就是说，空间中任意两条直线所成角（即它们之间的夹角）的大小都是确定的。特别地，当空间中两条直线 ， 所成角的大小为 时， 与 垂直，记作 。 设 ， 分别是空间中直线 ， 的方向向量，且 与 所成角的大小为 ，则 特别地， 示例：正方体 中，；。 注意：利用上述直线与直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系，可以方便地证明线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。 4.4 异面直线与空间向量 如果 与 异面，则 与 不可能平行；反之，如果 与 不平行，则 与 可能异面，也可能相交。也就是说， 与 不平行是 与 异面的必要不充分条件。 如果 ，，则 与 异面时，可知 ，， 是不共面的；反之，如果 ，， 不共面，则 与 是异面的。也就是说，，， 不共面是 与 异面的充要条件。 如果 与 是空间中两条异面直线，，，，，则称 为 与 的公垂线段。空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离。 5. 空间中的平面与空间向量 5.1 平面的法向量 如果 是空间中的一个平面， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与平面 垂直，则称 为平面 的一个法向量，此时，也称 与平面 垂直，记作 。 根据定义可知，平面的法向量有如下性质： （1）如果直线 垂直平面 ，则直线 的任意一个方向向量都是平面 的一个法向量； （2）如果 是平面 的一个法向量，则对任意的实数 ，空间向量 也是平面 的一个法向量，而且平面 的任意两个法向量都平行； （3）如果 为平面 的一个法向量， 为平面 上一个已知的点，则对于平面 上任意一点 ，向量 一定与向量 垂直，即 ，从而可知平面 的位置可由 和 唯一确定。 根据直线与平面垂直的判定定理可知：如果 ，， 是平面 内不共线的三点，非零空间向量 满足 ，，则 是平面 的一个法向量。根据这一结论，通过设未知数解方程组，即可求得平面的一个法向量。 借助平面的法向量可以讨论空间中的直线与平面、平面与平面的平行和垂直等： 位置关系 向量条件 ，或 ，或 与 重合 图4：平面的法向量 示例：长方体 中， 是平面 的一个法向量，也是平面 的一个法向量； 是平面 和平面 的一个法向量。 5.2 三垂线定理及其逆定理 已知空间中的平面 以及点 ，过 作 的垂线 ，设 与 相交于点 ，则 就是点 在平面 内的射影（也称为投影）。当 不是平面 内的点时，如果 的射影为 ，则 是平面 的一个法向量。 空间中，图形 上所有点在平面 内的射影所组成的集合 ，称为图形 在平面 内的射影。 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 示例：正方体 中， 在平面 内的射影为 ，又 ，所以由三垂线定理得 。 6. 直线与平面的夹角 6.1 直线与平面所成的角 先从特殊情况入手：如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为 ；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为 。 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角。引进了平面的斜线与平面所成的角之后，空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角。 图5：直线与平面所成的角 例如，如果直线 是平面 的一条斜线， 为斜足， 是直线 在平面 内的射影，则 就是直线 与平面 所成的角。 一般地，设 是平面 的一条斜线段， 为斜足， 为 在平面 内的射影，记 ，，，则 因为 ，所以 ，又 和 都是锐角，所以可得 。这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。 从上面还可以看出，当线段 所在的直线与平面 所成的角为 ，且 在平面 内的射影为 时，有 示例：经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等。 6.2 用空间向量求直线与平面的夹角 如果 是直线 的一个方向向量， 是平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成角的大小为 ，则 特别地， 7. 二面角 7.1 二面角及其度量 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。 在二面角 的棱上任取一点 ，以 为垂足，分别在半平面 和 内作垂直于棱的射线 和 ，则射线 和 所成的角称为二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角。 图6：二面角的平面角 书中约定，二面角及其平面角的大小不小于 ，不大于 。而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于 且不大于 的角的大小。这样约定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的。 7.2 用空间向量求二面角的大小 同前面一样，可以借助平面的法向量来研究平面与平面所成的角。如果 ， 分别是平面 ， 的一个法向量，设 与 所成角的大小为 ，则 特别地， 示例：四棱锥 中，求平面 与平面 所成角的正弦值时，可分别求两平面的法向量 ，，再由 计算。 8. 空间中的距离 8.1 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的还是这两个点连线的线段长。因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，所以可通过向量来求空间中两点之间的距离。 示例：平行六面体 中，，由 展开即可求得 。 8.2 点到直线的距离 给定空间中一条直线 及 外一点 ，因为 与 能确定一个平面，所以过 可以作直线 的一条垂线段，这条垂线段的长度称为点 到直线 的距离。点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度。 示例：点 是直线 外一点，若 是直线 的垂线段，则 的长度就是点 到直线 的距离，这一距离也等于 。 8.3 点到平面的距离 给定空间中一个平面 及 外一点 ，过 可以作平面 的一条垂线段，这条垂线段的长度称为点 到平面 的距离。点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度。 一般地，若 是平面 外一点， 是平面 内一点， 是平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离为 示例：若 是平面 的垂线段（即 为 在平面 内的射影），则平面 内不同于 的任意一点 ，一定满足 。 8.4 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离；当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离。一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段。显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长。 如果直线 与平面 平行， 是平面 的一个法向量，， 分别是 上和 内的点，则直线 与平面 之间的距离为 如果平面 与平面 平行， 是平面 的一个法向量（当然也是平面 的一个法向量）， 和 分别是平面 与平面 内的点，则平面 与平面 之间的距离为 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 中点向量公式 设 为空间中任意一点，则 为线段 中点的充要条件是 。 【使用提醒】 式中 ， 的始点必须是同一个点 ， 可任取，但一经选定就不能再变。 1.2 三角形重心的向量表示 设 为空间中任意一点， 为 的重心，则 ，且 。 1.3 三点共线的向量判定 ，， 三点共线的充要条件是存在实数 ，使 ；等价地，。 【使用提醒】 起点 可任取；两系数之和恒为 ，这是与四点共面结论的区别所在。 1.4 四点共面的向量判定 ，， 不共线时，点 在平面 内的充要条件是存在唯一的实数对 ，使 ；等价地，对任意一点 ，存在满足 的实数 ，，，使 。 【使用提醒】 记忆口诀”系数和为 则共面”；若 ，则 不在平面 内。 1.5 向量模的三角形不等式 对任意空间向量 ，，有 ，。如 ， 时，。 1.6 数量积与模的恒等变形 ；；；。 【使用提醒】 已知 求夹角时，先平方展开再回代，避免直接开方丢符号。 1.7 不建系求模的”基底展开法” 若 ，， 是不共面的向量且它们的长度与两两夹角都已知，则 的模由 求得。如 且两两夹角为 时，。 1.8 法向量的坐标速算（十字相减法） 设 是平面 的法向量，由 与 消元求解；若 ，，则可取 。如 ， 时，可取 。 【使用提醒】 速算式只给出一个法向量；检验时用 与 回代验证。 1.9 数量积的几何意义与投影数量 在 方向上的投影数量为 ； 与单位向量 的数量积 就等于 在 上的投影数量。 【使用提醒】 投影数量可正、可负、可为 ，与夹角是锐角、钝角、直角一一对应。 1.10 异面直线距离的向量求法 若 ， 分别是异面直线 ， 的方向向量，则同时与 ， 垂直的向量 与两直线的公垂线段平行，设 ，，则 与 的距离为 。 【使用提醒】 此处 由”设 ，解 与 “得到，不必先求出公垂线的位置。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 用基底表示向量的三步法 ① 选定一组不共面的基向量（常取从同一点出发的三条棱）；② 把目标向量放到某个三角形或平行四边形中，用加法、减法、数乘逐步”绕行”到基向量；③ 化简为 的形式。如平行六面体 中，。 2.2 建系求角与距离的通用流程 ① 寻找或构造两两垂直的三条棱（线），以交点为原点建立空间直角坐标系；② 写出各关键点的坐标，用”终点坐标减始点坐标”求向量坐标；③ 求需要的直线方向向量与平面法向量；④ 代入对应公式计算。如正方体、长方体、直棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥都便于直接建系。 2.3 求平面法向量的规范步骤 ① 在平面内找两个不共线的向量 ，；② 设 ，由 列方程组；③ 令其中一个未知数为 （或取便于计算的值）求出其余两个；④ 回代检验。 【使用提醒】 令特值时不可三个分量同时取 ；若某个未知数必须取 ，可改令另一个分量为 。 2.4 用向量证明平行与垂直 ① 线线平行：证两直线的方向向量共线（存在 使 ）；② 线线垂直：证 ；③ 线面平行：证 ，并说明直线不在平面内；④ 线面垂直：证 ；⑤ 面面平行：证 ；⑥ 面面垂直：证 。 2.5 用向量求线线角、线面角、二面角 ① 线线角：，先算向量的夹角余弦，再取绝对值；② 线面角：，先算方向向量与法向量夹角余弦的绝对值；③ 二面角：算出 后，结合图形判断二面角是锐角还是钝角，必要时取 。 2.6 求点到平面距离的步骤 ① 求平面的一个法向量 ；② 在平面内取一点 ，连接 与 得 ；③ 代入 。如正方体 中， 即说明 平面，此时 也就是直线 到该平面的距离。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 模的平方化 见模就平方，，把根式运算化为数量积运算 数量和向量的区分 是实数， 是向量；数量积不满足结合律， 由 不能约去 得到 垂直条件的坐标化 判断垂直只用 ，即 ，无需判断夹角 ， 满足 ，故 平行条件的坐标化 用 逐分量列式，不要用比例式（分母可能为 ） ， 满足 ，故平行 三轴两两垂直优先 出现直角、正棱柱、正棱锥的高等条件时，优先考虑建立空间直角坐标系；能建系就用坐标法，比基底法少绕弯 正方体中一切向量问题都可用坐标法 化简目标：化归到基底 把未知向量逐个”绕”到基底表示后再运算，避免中途比较向量大小 4. 常见考试模型 4.1 异面直线所成角模型 公式： 设两直线的方向向量为 ，，则 。 限定： 异面直线所成角 ，所以结果恒非负； 时两直线垂直。 示例： 如在三棱锥 中，，， 两两互相垂直，， 为 的中点，由 与 算得 ，故直线 与 所成角为 。 4.2 直线与平面所成角模型 公式： 设直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则 。 限定： 线面角 ；直线与平面平行或在平面内时为 ，垂直时为 。 示例： 如正方体中求 与平面 所成角，先求平面法向量 ，再由 得 。 4.3 二面角模型 公式： 设两平面的法向量为 ，，则二面角 或 ，且 。 限定： 必须先结合图形判断二面角是锐角还是钝角：法向量的方向（指向平面哪一侧）不同， 与 可能互补；可直接观察图形中二面角的张合判断。 示例： 如四棱锥 中求平面 与平面 所成角的正弦值，则由两法向量算出 。 4.4 空间距离模型 公式： 点 到平面 的距离 （， 为 的法向量）；异面直线 ， 的距离也用同一个式子，此时 同时垂直于两直线的方向向量。 限定： 直线与平面平行、两平面平行时的距离都可转化为点到平面的距离；公式中的绝对值不能漏， 的始点 只要在平面（或另一条直线）内即可。 示例： 如四棱锥 中求点 到平面 的距离，由 与平面 的法向量 算得 。 4.5 空间中的最值模型 公式： 把目标式化为关于某个比例系数 或某个坐标的二次式（或直接用 放缩）求最值。 限定： 注意 或坐标的取值限制（点在线段上时 ）；用 时须说明等号成立的条件。 示例： 如等边三角形 所在平面内一点 ，求 的最小值，可先取 的中点 化为 再配方求解。 【使用提醒】 用不等式放缩得到的最值，必须回代验证能否取到等号，取不到则该值不是最值。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略零向量，把”平行”直接画等号成”成比例” 典例：判断下列命题是否正确：若 ，则存在唯一的实数 ，使得 。 错解：正确。由平行向量的定义， 就是两个向量方向相同或相反，所以一定能写成 ，且这样的 是唯一的。 正解：错误。当 且 时，按规定零向量与任意向量都平行，但此时对任意实数 都有 ，找不到满足条件的 ；当 时，任意实数 都使 ， 并不唯一。所以只有 时命题才成立。 原因：忽略零向量的特殊性。教材中”方向相同或者相反的两个非零向量互相平行”针对的是非零向量，“零向量与任意向量平行”是额外的约定；数乘向量的结论 也以”存在实数 使 “为前提条件。学生把”平行”与”对应成比例”直接画等号，丢掉了 这一关键前提。纠正要点：凡用 判定或反求平行，先检验 ；作分母的向量也不能是零向量。 易错点 2：把数量积当普通乘法，误用结合律 典例：已知 ，， 是空间向量，判断 是否恒成立。 错解：恒成立。因为数的乘法满足结合律，所以可以把括号去掉，直接写成 。 正解：不一定成立。 是一个实数，设 ，则 是与 共线的向量；同理 是与 共线的向量。当 与 不共线且 时两者不相等。如取 ，，，则 ，而 。 原因：把实数的运算律错误地迁移到向量运算上。空间向量的数量积只满足交换律与分配律，不满足结合律；而且 这种写法本身没有意义—— 已经是实数，实数与向量的乘法与两个向量的数量积是两类不同的运算，不能混用。纠正要点：见到三个向量连乘，先算数量积确定哪一段是实数，再看剩下的是数乘向量，从而判断结果的共线对象。 易错点 3：求线面角误用余弦，丢掉绝对值 典例：已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，求直线 与平面 所成角的大小。 错解：直线与平面所成角就是方向向量与法向量的夹角，于是 ，所以 。 正解：线面角与方向向量、法向量的夹角互余，应先用 ，得 。 原因：概念理解错误。直线与平面所成的角是斜线与它在平面内射影所成的锐角，而法向量与方向向量的夹角是”方向向量与垂线方向的夹角”，二者互余而非相等；此外 也可以是钝角，所以必须取绝对值。学生只记住”“这一形式，把线线角的公式搬到了线面角上。纠正要点：三条公式要分清——线线角用 ，线面角用 ，二面角先算 再定锐钝。 易错点 4：二面角不做锐钝判断，直接取法向量夹角的余弦 典例：已知两个平面所成的二面角为钝角，两平面的法向量分别为 ，，且 ，求该二面角的余弦值。 错解：因为 ，所以该二面角的余弦值为 。 正解：由 得 。二面角的平面角与 相等或互补，因为已知该二面角为钝角，所以取补角，该二面角的余弦值为 。 原因：条件遗漏与作图意识不足。 或 都可能成立，取哪一个取决于两个法向量相对二面角的方向，必须结合图形判断。学生只记住”二面角的余弦等于法向量夹角的余弦”这一半结论，忽视了符号可能相反，遇到钝角二面角就出错。纠正要点：算出 后，先在图上画出两个法向量的方向，或直接观察题目中二面角是”锐二面角”还是”钝二面角”，再决定是否取补角。 易错点 5：建系时把不两两垂直的三条棱当作坐标轴 典例：正四面体 中，，有同学以 为原点，、、 为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，并写 ，，，判断这一建系是否正确。 错解：正确。因为 ，三条棱长度相等且从同一顶点出发，所以可以取它们为三条坐标轴。 正解：不正确。空间直角坐标系要求三条坐标轴两两垂直，而正四面体中从同一顶点出发的三条棱两两夹角均为 ，并不垂直，不能作为坐标轴。应取 的中点 ，以 为原点、 为 轴正方向、 为 轴正方向，再过 作垂直于底面 的直线为 轴；此时 ，，，，各点坐标须按实际位置逐一计算，不能把棱长直接当成坐标。 原因：概念理解错误。学生把”三条棱长度相等、从同一点出发”当成可以建系的理由，忽略了坐标轴两两垂直这一前提。建系不当会使后面所有坐标、法向量、夹角的计算全部失效，而且从图形上看不出错误，属于隐蔽性很强的失分点。纠正要点：建系前逐个确认所选三条直线是否两两垂直（或经平移后垂直）；正方体、长方体、直棱柱取共点三棱即可，正棱锥、正棱柱一般取底面中心或底边中点作为原点。 易错点 6：用向量证线面平行时漏掉”直线在平面外” 典例：正方体 的棱长为 ，， 分别是 与 的中点，求证： 平面 。 错解：以 为原点，、、 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，则 是平面 的一个法向量，又 ，所以 ，即 平面 。 正解：同上前半段得 ，即 ，而 平面 ，这只说明直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，此时 可能平行于该平面，也可能在该平面内。由图（或由 ， 的 坐标均为 ）可知 不在平面 内，所以 平面 。 原因：条件遗漏。向量条件”方向向量与法向量的数量积为 “对应的是”直线与平面平行或在平面内”两种位置关系，它无法把”线在面内”这种情形排除掉，而线面平行的判定定理明确要求直线在平面外。学生算完 就直接下结论，把必要条件当成了充分条件。纠正要点：凡用向量证线面平行，答话中必须补上”又直线不在平面内”；同样，证明面面平行时也要核对是否满足”一个平面内两条相交直线”等判定定理的全部条件。 学科网（北京）股份有限公司 $