专题03 直线和圆及其方程（考点清单，知识导图+16个考点清单+题型解读）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题03 直线和圆及其方程（考点清单，知识导图+16个考点清单+题型解读） 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 1、我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 2、斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 3、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： 知识点03：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 知识点04：两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 知识点05：直线的方程 1、直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 2、直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 3、直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 4、直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 5、直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 知识点06：直线系方程 1、平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2、垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 知识点07：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 知识点08：距离公式 1、两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 2、点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 3、两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 知识点09：圆 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 6、圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 7、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点10：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点11：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点12：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点13：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 知识点14：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点15：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点16：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 【例1】（单选题）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（单选题）（23-24高二上·山西运城·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·甘肃武威·阶段练习）经过点的直线斜率为，则实数等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】（单选题）（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式2-4】（单选题）（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】6．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二：直线的方程】 【例1】（单选题）（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（单选题）（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（单选题）（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-5】（单选题）（2024高二·全国·专题练习）对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 【变式2-6】（单选题）（22-23高二下·江苏盐城·开学考试）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好过点，则入射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-7】（单选题）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型三：直线的平行与垂直】 【例1】（单选题）（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）已知两直线和，若，则（    ） A． B．8 C． D．2 【变式2-1】（单选题）（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-4】（单选题）（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知过点和的直线为，直线为，直线为．若，，则实数的值为（    ） A． B． C．0 D．8 【题型四：直线中的距离公式及其应用】 【例1】（单选题）（22-23高二下·河北石家庄·期末）点到直线的距离等于（    ） A．10 B．7 C．5 D．2 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）两条平行直线和之间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）到直线的距离为的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·吉林·阶段练习）若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【变式2-4】（单选题）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D．3 【题型五：直线中的对称问题】 【例1】（单选题）（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点关于直线对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（单选题）（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式2-3】（单选题）（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型六：直线中的最值（范围）问题】 【例1】（单选题）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（单选题）（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型七：圆的方程】 【例1】（单选题）（23-24高二下·全国·随堂练习）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【变式2-1】（单选题）（23-24高二下·全国·课堂例题）若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示的曲线是半径为的圆，则该圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-4】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型八：直线与圆的位置关系】 【例1】（单选题）（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 【变式2-1】（单选题）（22-23高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（单选题）（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【题型九：直线与圆的位置关系中的参数问题】 【例1】（单选题）（青海省名校联盟2024-2025学年高三上学期教学质量联合检测数学试题）已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式2-1】（单选题）（2024·西藏林芝·模拟预测）直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【变式2-4】（单选题）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【题型十：直线与圆的位置关系中的距离问题】 【例1】（单选题）（2022·贵州·模拟预测）已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式2-1】（单选题）（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式2-2】（单选题）（22-23高二上·北京·阶段练习）设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（单选题）（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型十一：圆与圆的位置关系】 【例1】（单选题）（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【变式2-1】（单选题）（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·四川南充·阶段练习）圆和圆，则这两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【变式2-3】（单选题）（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【变式2-4】（单选题）（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）设，圆与圆的位置关系不可能是（    ） A．相切 B．相交 C．内切或内含 D．外切或相离 【题型十二：圆与圆的位置关系中的参数问题】 【例1】（单选题）（23-24高二上·四川达州·阶段练习）已知圆与圆相内切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·安徽宿州·期中）若圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（单选题）（23-24高三下·云南·阶段练习）已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型十三：公共弦与公切线问题】 【例1】（单选题）（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（单选题）（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（单选题）（23-24高三上·吉林·阶段练习）两圆与的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2-3】（单选题）（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线和圆及其方程（考点清单，知识导图+16个考点清单+题型解读） 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 1、我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 2、斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 3、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： 知识点03：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 知识点04：两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 知识点05：直线的方程 1、直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 2、直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 3、直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 4、直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 5、直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 知识点06：直线系方程 1、平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2、垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 知识点07：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 知识点08：距离公式 1、两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 2、点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 3、两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 知识点09：圆 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 6、圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 7、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点10：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点11：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点12：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点13：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 知识点14：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点15：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点16：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 【例1】（单选题）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点坐标可求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果. 【详解】由可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，所以. 故选：D 【变式2-1】（单选题）（23-24高二上·山西运城·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率建立方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，故. 故选：B. 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·甘肃武威·阶段练习）经过点的直线斜率为，则实数等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】应用两点求斜率列式求参即可. 【详解】因为点， 所以斜率 可得. 故选：C. 【变式2-3】（单选题）（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率. 【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为； ②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为. 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 【变式2-4】（单选题）（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，结合图象可得答案. 【详解】在上的图象如图所示， 由图可知，当时， 倾斜角的取值范围为. 故选：C. 【变式2-5】（单选题）（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形及斜率定义可得答案. 【详解】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负， 当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正， 当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在O点时，直线l的斜率不存在. 综上，直线l的斜率的取值范围是. 故选：C      【题型二：直线的方程】 【例1】（单选题）（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为． 故选：A． 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为，化简得. 故选：D 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方向向量得到直线斜率，再用点斜式计算即可. 【详解】由题可得．又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：C. 【变式2-3】（单选题）（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用斜率计算公式可得：，线段的中点为，即可得出线段的垂直平分线的方程． 【详解】 ，线段的中点为， 线段的垂直平分线的方程是，化为：， 故选：A． 【变式2-4】（单选题）（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 【变式2-5】（单选题）（2024高二·全国·专题练习）对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 【答案】C 【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可. 【详解】对A,直线方程为，斜率为，一定存在，故A正确； 对B，，所以直线过点，故B正确； 对C，时斜率为，倾斜角为，故C错误； 对D，时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故D正确. 故选：C． 【变式2-6】（单选题）（22-23高二下·江苏盐城·开学考试）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好过点，则入射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点关于直线对称，求出关于轴对称点，后运用光线反射规律，结合两点式方程，求出入射光线方程即可. 【详解】运用点关于直线对称，求出关于轴对称点，与在同一条直线上， 运用两点式得到入射光线所在的直线方程为，整理得. 则入射光线所在的直线方程为. 故选：A. 【变式2-7】（单选题）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 【题型三：直线的平行与垂直】 【例1】（单选题）（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）已知两直线和，若，则（    ） A． B．8 C． D．2 【答案】A 【分析】依据当两直线平行时有计算出的值即可得解. 【详解】由题可知， . 故选：A. 【变式2-1】（单选题）（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线斜率为， 所以要求直线斜率为，故直线方程为，即. 故选：D 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式2-4】（单选题）（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知过点和的直线为，直线为，直线为．若，，则实数的值为（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等,两直线垂直，斜率之积等于，分别求得的值，可得的值. 【详解】由题意可得:直线为的斜率为，直线的斜率为，且， ∴，求得. 由于直线的斜率为；，， ∴，求得. ∴. 故选：A. 【题型四：直线中的距离公式及其应用】 【例1】（单选题）（22-23高二下·河北石家庄·期末）点到直线的距离等于（    ） A．10 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由直线垂直于轴，即可求解. 【详解】因为直线垂直于轴， 所以点到直线的距离为. 故选：B 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）两条平行直线和之间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算直接得解. 【详解】由题意知，两平行直线方程可变形为：， 所以此两平行直线之间的距离为. 故选：B 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）到直线的距离为的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，然后根据点到直线的距离公式列式，将选项代入验证即可. 【详解】设到直线距离为的点的坐标为， 则由点到直线的距离公式得，解得或. 选项中符合条件的点为. 故选：C 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·吉林·阶段练习）若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 【变式2-4】（单选题）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先利用平行直线的关系求出参数，然后利用两平行直线的距离公式计算距离即可. 【详解】因为和互相平行， 所以，解得， 所以直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：A 【题型五：直线中的对称问题】 【例1】（单选题）（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点关于直线对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据中点在对称直线上及与对称直线垂直列方程求解. 【详解】设，则，解得，. 故选：B 【变式2-1】（单选题）（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【变式2-3】（单选题）（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得点关于直线l的对称点的坐标，则即为的最小值. 【详解】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 【题型六：直线中的最值（范围）问题】 【例1】（单选题）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线对称的点为，则，由两点间距离公式计算，可得答案. 【详解】由已知，设关于直线的对称点为， 则解得，即， 所以． 故选：B. 故选：A 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可看成是两点连线的斜率，数形结合求解. 【详解】可以看成是线段上的点与点连线的斜率， 如图，易求得，， 所以得取值范围为. 故选：C. 【变式2-4】（单选题）（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将变形为，再根据其几何意义数形结合转化为直线上动点到直线同侧两定点的距离之和，然后利用对称转化为异侧两点之间距离最短可求最小值. 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 【题型七：圆的方程】 【例1】（单选题）（23-24高二下·全国·随堂练习）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解. 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 【变式2-1】（单选题）（23-24高二下·全国·课堂例题）若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 故圆心坐标为. 故选：A. 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为. 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 故选:C. 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示的曲线是半径为的圆，则该圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由半径确定圆心坐标，再由两点距离公式即可求解 【详解】方程为，其圆心为， 半径为，解得或. 当时，圆心到坐标原点的距离为； 当时，圆心到坐标原点的距离为. 故选:C 【变式2-4】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程. 【详解】由，得， 令，则， 即直线恒过定点， 则圆的方程为，即， 故选：D. 【题型八：直线与圆的位置关系】 【例1】（单选题）（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，进而得到结论. 【详解】圆心到直线的距离为， 故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆C的圆心. 故选：C 【变式2-1】（单选题）（22-23高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【分析】是以为圆心为半径的圆，根据圆心到轴的距离可判断. 【详解】因为是以为圆心为半径的圆， 圆心到轴为， 所以与轴关系是相离. 故选：C 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 【变式2-3】（单选题）（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，利用垂径定理可求得，继而求出圆的半径，写出圆的方程. 【详解】    如图，过点作于，依题意，,因,故， 从而，圆的半径为：, 故所求圆的方程为：，即. 故选：A. 【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离的表达式，再由在圆外，求出，与的关系，进而求出 与的关系，判断出直线与圆的位置关系． 【详解】因为点在圆外，所以可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：A． 【题型九：直线与圆的位置关系中的参数问题】 【例1】（单选题）（青海省名校联盟2024-2025学年高三上学期教学质量联合检测数学试题）已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得. 故选：D. 【变式2-1】（单选题）（2024·西藏林芝·模拟预测）直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂径定理结合点到直线距离列等式求解即可. 【详解】由题意知圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离小于半径可得； 【详解】圆的标准方程是， 圆心， 由题得， 解得． 故选：D. 【变式2-3】（单选题）（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案. 【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过时，， 如图，直线与曲线恰有1个交点，则或. 故选：D. 【变式2-4】（单选题）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，设出直线方程，再由点到直线的距离公式求解即可； 【详解】圆的圆心为， 设直线的方程为，，即， 因为圆心与直线上一动点之间距离的最小值为， 即，整理可得，解得或（舍去）， 故选：B. 【题型十：直线与圆的位置关系中的距离问题】 【例1】（单选题）（2022·贵州·模拟预测）已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据直线方程确定所过的定点，再由定点与圆心的距离即可得圆心C到直线l的最大距离. 【详解】由直线l得：，则直线l恒过定点， 由圆，则圆心， 故圆心C到直线l的最大距离. 故选：A 【变式2-1】（单选题）（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】原点在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径. 【详解】圆，即，圆心坐标，半径为1， 直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1， 原点在圆上，所以原点到直线距离的最大值为. 故选：B 【变式2-2】（单选题）（22-23高二上·北京·阶段练习）设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，利用三角形的面积，将面积的最值小问题转化为点到直线的距离的最小值可求答案． 【详解】由圆的标准方程为， 则圆心坐标为，半径， 则的面积， 要使的面积的最小，则最小，又， 即最小即可，此时最小值为圆心到直线的距离， ， 即的面积的最小值为． 故选：C． 【变式2-3】（单选题）（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的轨迹方程，再将转化为的长度，根据图形求得共线时最小，求出最小值即可. 【详解】设， 由，得，化简整理得， 故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ， 设，则, 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解. 【详解】 因为圆：的标准方程为； 圆：的标准方程为： 所以和的圆心坐标分别为、，半径，， 所以直线的斜率，而直线的斜率为1 所以直线与直线垂直，如图， 所以当与和共线时最小，此时， 又此时，， 所以最小值为. 故选：C 【题型十一：圆与圆的位置关系】 【例1】（单选题）（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】分别考虑上两点和与的位置关系，即可推知两圆的位置关系. 【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 【变式2-1】（单选题）（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·四川南充·阶段练习）圆和圆，则这两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【答案】C 【分析】求出圆心距与半径的和差比较可得． 【详解】由已知两圆心坐标分别为，半径分别为1，6， ，两圆内切． 故选：C． 【变式2-3】（单选题）（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解. 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 【变式2-4】（单选题）（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）设，圆与圆的位置关系不可能是（    ） A．相切 B．相交 C．内切或内含 D．外切或相离 【答案】C 【分析】 根据圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为，且， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，，， 所以当，即时，两圆外切； 当， 即时，两圆外离； 当，即时，两圆相交 由于，所以两圆不可能：内切或内含. 故选：C 【题型十二：圆与圆的位置关系中的参数问题】 【例1】（单选题）（23-24高二上·四川达州·阶段练习）已知圆与圆相内切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】圆的圆心及半径为：， 圆可化为：， 则其圆心及半径为：，在圆的外面， 因为圆与圆相内切，所以，即，解得. 故选：B. 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【答案】D 【分析】运用圆心距和两圆半径的关系判断位置关系，分内切外切讨论，计算即可 【详解】圆的圆心为、半径为，圆的圆心为、半径为3，则两圆的圆心距； 当圆与圆内切时，，解得； 当圆与圆外切时，，解得． 故选：D. 【变式2-2】（单选题）（23-24高二上·安徽宿州·期中）若圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，， 则， 因为圆C与圆O有公共点， 所以，即， 解得. 故选：A. 【变式2-3】（单选题）（23-24高三下·云南·阶段练习）已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点A为圆心，半径为2作圆，根据点既在圆上，也在圆上，根据两圆有公共点的条件列不等式即可求的取值范围. 【详解】由，则点P在圆上， 又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)， 两圆半径分别为2、1， 所以， 所以. 故选：A． 【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可． 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【题型十三：公共弦与公切线问题】 【例1】（单选题）（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 【变式2-1】（单选题）（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 【变式2-2】（单选题）（23-24高三上·吉林·阶段练习）两圆与的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距离，然后判断两圆的位置关系，从而可求得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为4， 所以圆心距． 又，所以两圆相交，所以公切线只有2条． 故选：B 【变式2-3】（单选题）（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 【变式2-4】（单选题）（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$