江苏省2027届高考物理一轮复习讲义 专题06 共点力平衡

专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 专题06共点力平衡 2027年高考物理一轮复习 人教版(2019) 江苏专用 建议用时：70分钟 题量：39题 难度：★★★★☆ 版本：解析版 ●内容概览。 01 共点力静态平衡 考点一平衡条件与合成法 考点二正交分解法 考点三 力的三角形法 02 共点力动态平衡 考点四解析法与图解法 考点五相似三角形法与拉密定理 03 平衡中的临界与极值 考点六临界与极值问题 04 综合练习 |学习目标 1.理解共点力平衡的概念，明确平衡状态（静止或匀速直线运动），掌握共点力的平衡条件F合= 0,会用正交分解形式Fx=0、Fy=0处理平衡问题。 2.掌握静态平衡的合成法、正交分解法和力的三角形法，能根据力的个数和特点选择合适的方法求解 共点力。 3.理解动态平衡“化动为静”的思想，掌握解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理（正弦定理）和 辅助圆法，能分析变力的变化趋势及最小值。 4.理解平衡中的临界与极值问题，能利用恰好出现/恰好不出现”的临界条件和二次函数、三角函数 等数学方法求力的最大值或最小值。 5.能将共点力平衡条件应用于生产生活、工程技术、体育运动和科技前沿等真实情境，提升模型建构 与科学推理能力。 课标与考情 【课标要求】能用共点力的平衡条件分析生产生活中的问题。结合力的合成与分解，理解共点力平衡 的条件，能将较复杂的平衡问题转化为二力平衡或正交分解问题求解；通过分析动态平衡、临界与极 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第1页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 值问题，发展模型建构、科学推理和科学论证能力。 【考情分析】江苏高考物理采用自主命题（满分100分，考试时间75分钟）：单项选择题10题（每 题4分，共40分)；非选择题5题（含1道实验题和4道计算题，共60分）。共点力平衡是江苏高 考的高频考点，常以选择题出现，也常作为计算题的基础环节：静态平衡的合成法、正交分解法、力 的三角形法，动态平衡的解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理及辅助圆法，以及临界与极值问 题是核心内容；题目常结合生产生活、体育运动、交通运输、工程技术、机器人和低空经济等真实情 境，突出“化动为静”的几何分析。复习时要熟练掌握受力分析与几何作图，能判断各力的变化趋势和 临界条件。 思维导图 平衡状态：静止/匀速直线 平衡条件 合外力为零：F=0,F,=0 任一力与其余力等大反向 合成法（三力，两力垂直/等大） 静态平衡 正交分解（三力以上） 力的三角形：首尾相接封闭 共点力 平衡 解析法·图解法（一力方向不变） 动态平衡 相似三角形法（两力方向变） 拉密定理·辅助圆（夹角不变） 临界：恰好出现/恰好不出现 临界与极值 极值：力的最大/最小值 数学法：二次函数·三角函数 图1共点力平衡知识网络 考向一共点力静态平衡 本考向聚焦共点力的静态平衡。考查平衡状态与平衡条件、合成法、正交分解法和力的三角形法，常以生产生 活、体育运动、吊装支撑、机器人等真实情境为载体。 考点一平衡条件与合成法 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第2页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） |知识梳理 1.平衡状态 物体处于静止或匀速直线运动状态，称为平衡状态，其本质特征是加速度为零。注意“瞬时速度为零” 不等于平衡，如竖直上抛运动的最高点。 2.共点力的平衡条件 合外力为零：F合=0 (1)正交分解形式：Fx=0,F=0。 (2)若物体在某一方向上不受力或该方向合力为零，则该方向上保持平衡。 3.平衡条件的两个重要推论 (1)物体受n个共点力平衡时，其中任意一个力，与其余(n-1)个力的合力等大反向。 (2)三个不平行的力平衡时，这三个力的矢量首尾相接，必组成一个封闭的三角形。 4.合成法（三力平衡） (1)对于三力平衡，先把其中两个力按平行四边形定则合成，其合力与第三个力等大反向。 (2)当两力互相垂直或等大时，用合成法最简便。 F Fs 合成法：、F的合力F2与等大反向 图1合成法：F1、F2的合力与F3等大反向 项目 内容 适用/记忆点 平衡状态 静止或匀速直线运动 加速度为零，非“速度为零 平衡条件 F合=0 Fx=0,E,=0 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第3页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 项目 内容 适用/记忆点 推论一 任一力与其余力合力等大反向 受n个共点力平衡 推论二 三力首尾相接成封闭三角形 三个不平行力 合成法 先合两力，与第三力等大反向 三力、两力垂直/等大 重难诠释 平衡条件是合外力为零，不是“不受力”，也不是“速度为零”；瞬时速度为零（最高点）并不平衡。 合成法：三力平衡先合两力，合力与第三力等大反向，两力要按平行四边形定则。 记忆点：平衡看合力，三力先合两力”。 热点生活实例 科技前沿·人形机器人稳定站立与行走 近年来人形机器人（如“天工”、宇树H1/G1)快速发展。机器人站立或缓慢行走时，重力、地面支持 力与脚掌的摩擦力共同作用，合外力始终保持为零；迈出一步、单脚支撑的瞬间，靠调整重心与脚掌 摩擦维持平衡，这正是共点力平衡与临界摩擦的综合应用。 图机器人缓慢行走：每一时刻合外力均为零 ◆例题变式演练 【例题】如图甲所示为烤肠机，香肠可视为质量为的均匀圆柱体，静止在两根水平的平行金属杆中间， 其截面图如图乙所示。金属杆1、2的圆心与烤肠圆心的连线与竖直方向的夹角均为0，不计一切摩擦， 重力加速度为g。则金属杆1、2对烤肠的作用力的合力大小为() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第4页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 香肠 金属杆1 金属杆2 图甲 图乙 mg mg A. 2mg B.mg 2c0s8 D. 2tan0 【答案】B 【解答】解：对静止的烤肠受力分析可知 N N mg 两个金属杆的支持力的合力与重力等大、反向、共线，以维持烤肠的平衡状态，故两个金属杆对烤肠 的支持力的合力等于重力。故ACD错误，B正确。 故选：B。 【易错点】 平衡条件是“合外力为零”，不是“物体不受力”，也不是“速度为零”：静止要求合外力为 零，但瞬时速度为零的物体合外力不一定为零（如竖直上抛的最高点）。合成法用于三力平衡：先把 两力合成，其合力必须与第三力等大反向，即F合=0：两力合力要用平行四边形定则，不能直接相 加减。 【变式1】吃重庆火锅烫毛肚讲究“七上八下”。如图，用筷子夹着一片质量为的毛肚在空中竖直向 上做匀速运动时，筷子与竖直方向夹角为，与毛肚间的动摩擦因数为μ，若重力加速度为g,不计空 气阻力，则筷子对毛肚摩擦力的大小为() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第5页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） A.mg B.mgsin C.umgcos D.mgcose 【答案】D 【解答】解：毛肚在空中竖直向上做匀速运动，处于平衡状态，合力为零。对毛肚受力分析：毛肚受 到三个力：竖直向下的重力mg,筷子对毛肚的支持力N与摩擦力f,受力分析如图所示： 根据平衡条件，筷子对毛肚摩擦力的大小为f=mgcose0,故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式2】在工程领域起重机等机械的应用十分广泛。如图所示，用起重机竖直向上匀速吊起正方形混凝 土板ABCD,已知混凝土板质量为m,始终呈水平状态，四根钢索OA、OB、OC、OD长度相同且与 水平面之间的夹角均为45°，不计钢索所受重力。己知重力加速度为g,每根钢索所受的拉力大小为 1 V2 1 A.3mg B. 8 mg C.mg D. v? 4 mg 【答案】D 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第6页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【解答】解：正方形混凝土板受到四根绳子的拉力，由对称性可知，四根绳子沿水平方向分力的矢量 和为零，沿竖直方向的分力与正方形混凝土板的重力大小相等，方向相反，根据平衡条件有4Ts45° -mg 解得每根钢索所受的拉力大小T=三， 故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式3】我国的“四足机器狼”无人作战装备如图甲所示，其可远程操控、自主行动、灵活编组，实现 陆上有人、无人协同作战新突破。若将质量为m的“机器狼”静置于倾角为日的斜坡上，简化示意图 如图乙所示。已知“机器狼”与斜坡间的动摩擦因数为山，“机器狼”四足所受的摩擦力相同，重力 加速度为g,则“机器狼”单足所受摩擦力的大小为() 甲 乙 1 A.mgsine B.umgcos0 C. 4mgsine D. 4umgcos0 【答案】C 【解答】解：由题意“机器狼”静止于斜面上，沿斜面方向根据平衡条件，有4f=mgsint0 整理上式解得f=mgsint0,故ABD错误，C正确。 故选：C。 考点二 正交分解法 知识梳理 1.正交分解法 (1)把物体所受各力沿两个互相垂直的坐标轴分解，分别求x、y方向的合力，再令其分别为零。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第7页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） (2)平衡条件：F=0,F=0 2.坐标轴的选取 (1)原则上让尽可能多的力与坐标轴重合，使需要分解的力最少。 (2)常取水平、竖直方向；在斜面上常取沿斜面、垂直斜面方向。 3.正交分解的一般步骤 受力分析→建立坐标系→把各力分解到x、y轴→列Fx=0、y=0→联立求解。 4.方法选择 三力平衡、两力垂直或等大时用合成法：力的个数较多（三个以上）或方向较复杂时，用正交分解法 更稳妥。 ①建立坐标系（沿斜面、垂直斜面） ②分解重力，沿坐标轴列平衡方程 7777777777777 ×方向：∫=miy方向：N=mgs0 图2正交分解步骤：建立坐标系→分解重力→沿轴列平衡方程 方法 内容 适用/记忆点 合成法 先合两力、与第三力等大反向 三力、两力垂直/等大 正交分解 Fx=0,E=0 三个力以上 选轴 尽量多的力与轴重合 减少分解 常见选轴 水平、竖直 般情境 斜面选轴 沿斜面、垂直斜面 斜面情境 重难诠释 正交分解两个方向合力都要为零，不能只列一个方向；选轴使尽量多的力与轴重合。 sim、cos不要弄混，分力方向不能画反。 记忆点：“三力以上用正交，选轴让力尽量靠轴”。 ◆例题变式演练 【例题】在一个装修施工现场，工人师傅用两根轻质绳悬挂一块长方体板材。如图，轻质绳P的一端固 定在墙壁上，另一端系在长方体板材上，轻质绳Q的一端固定在地面上，另一端也系在长方体板材上， 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第8页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 板材处于静止状态。已知长方体板材的质量=21kg,P绳与竖直方向的夹角=37°，Q绳与竖直方 向的夹角B=53°，重力加速度大小g=10险，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则P绳对板材的拉力大小 为() A.210N B.420N C.480N D.600N 【答案】D 【解答】解：对长方体板材受力分析如图所示 Ymg P绳对板材的拉力大小为F1,根据平衡条件，在x方向有F1sima-F2sinB=0 在y方向有F1cosa-F2cosβ=mg 联立解得F1=600N。故ABC错误，D正确。 故选：D。 【易错点】 正交分解时两个方向合力都要为零，即F,=0,F,=0,不能只列一个方向：选轴应 使尽量多的力与轴重合，以减少分解；分力方向不能画反，F与x轴夹角为0时F=Fcos6,F= F sin0,sn、cos不要弄混。 【变式1】图甲为一小朋友正在放风筝，此时风筝平面与水平面的夹角为30°，细线与风筝的夹角为60 (如图乙所示)。已知风筝的质量m=1kg,该小朋友的质量M=40kg,重力加速度g=10%。若小朋 友和风筝均保持静止状态，则（) 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第9页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 60°C .30°1 pZ30.. 7777777777777777 图甲 图乙 A.地面对小朋友的摩擦力为5N B.地面对小朋友的摩擦力为15N C.地面对小朋友的支持力为395N D.地面对小朋友的支持力为500N 【答案】C 【解答】解：对风筝和小朋友受力分析，如图所示： 60°0 Ymg 30° 7P7777777777777777 Mg 对风筝，竖直方向根据平衡条件可得：Fcos30°=Tcos60°+mg 水平方向根据平衡条件可得：Fsin30°=Tsin60° 解得风筝线的拉力大小为：T=10N 对小朋友，水平方向根据平衡条件可得：f=Tcos30° 竖直方向根据平衡条件可得：Mg=N+Tsin30 解得：f=5V3N,N=395N,故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式2】如图所示，倾角为30°的固定粗糙斜面，质量为0.8kg的物块P与质量为0.3g的配重块Q通 过不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮连接。Q的下端与轻质弹簧相连，弹簧另一端固定在水平地面上， 弹簧的劲度系数k=200Nm。整个装置静止，此时弹簧伸长了2.5cm,重力加速度g取10受。则斜面 与物块P之间的作用力大小为() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第10页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 130 7777777777777 A.8N B.4v3N C.4N D.0 【答案】A 【解答】解：弹簧弹力F=kx=200N/m×2.5cm=5N,Go=mQg=0.3×10N=3N,Gp=mpg=0.8× 10N=8N,对P、Q受力分析如图所示： N T 对Q,由平衡条件可知T=F+GQ=5N+3N=8N, 对P,由平衡条件可知T=Gpsin30°+f,N=Gpcos:30°，则斜面与P之间的作用力Fp=√W2+f2,代 入数据可得F=8N,故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式3】装修工人将质量为的直角三角形置物架靠在竖直墙面上，置物架斜边与墙面夹角为。 工人用一个垂直于斜边BC的推力F按压置物架，使其保持静止状态。则墙面对置物架的摩擦力大小 为() B Q A.mg+Fsina B.mg+Fcosa C.Fcosa D.Fsina 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第11页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【答案】A 【解答】解：置物架保持静止状态，处于平衡状态。以置物架为研究对象，分析其受力。在竖直方向 上，置物架受到竖直向下的重力g、推力F以及墙面对其竖直向上的支持力N和静摩擦力￡，如图所 示： Q mg 由几何关系可知，推力F垂直于斜边BC,且斜边BC与竖直方向的夹角为，则推力F的方向与水平 方向的夹角为c,其沿竖直向下的分力大小为F,=Fsina 根据竖直方向受力平衡有f-mg+Fsina,故A正确，BCD错误。 故选：A。 考点三力的三角形法 知识梳理 1.力的三角形法 (1)三力平衡时，把三个力的矢量依次平移，使它们首尾相接，必组成一个封闭的力三角形。 (2)根据三角形的边角关系（正弦定理、三角函数），即可求各力的大小。 2.力三角形的意义 力三角形是各力矢量平移得到的，只表示力的大小和方向，不表示力的作用点，也不是物体的运动轨 迹。 3.正弦定理与拉密定理 （）力二角形中用正弦定理：品=品。=点 (2)力三角形中各角是三角形内角；拉密定理中各角是相邻两力的夹角，二者互为补角，s值相 同。 4.适用情形 三个力平衡、方向之间夹角关系清楚时（如节点、支架、绳杆），用力三角形法最直观。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第12页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） F F 三力共点 平移后首尾相接，组成封闭三角形 F3 图3三力首尾相接组成封闭三角形 项目 内容 记忆点 力三角形 三力首尾相接、封闭 三力平衡 力三角形意义 只表示大小、方向 不是运动轨迹 正弦定理 F 用三角形内角 sina sinB siny 拉密定理 用相邻力夹角 与内角互补，sin相同 适用情形 节点、支架、绳杆 夹角关系清楚 重难诠释 力三角形必须首尾相接、封闭；接成“箭头对箭头”就不是平衡。 力三角形不是运动轨迹，也不表示作用点。 记忆点：“三力平移首尾连，封闭三角即平衡”。 ◆例题•变式演练 【例题】如图所示，一质量为m的小球用一端固定在天花板上的轻弹簧和一端固定在竖直墙上的轻绳连 接。小球处于静止状态，轻绳与墙的夹角为74°，弹簧轴线与轻绳的夹角为37°，整个系统处于同一 竖直平面内。己知弹簧的劲度系数为k,重力加速度为g,sn37°-}cos37°-手。下列说法正确的 是() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第13页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 740 A. 轻绳的拉力大小为2mg mg B.轻绳的拉力大小为 mg C.弹簧的伸长量为 5k D.弹簧的伸长量为 mg 【答案】C 【解答】解：AB、小球静止时，受力分析如图所示： 74 37o 根据平衡条件结合图中几何关系可知：轻绳的拉力大小为T=g,弹簧的弹力大小为F= 2mgc0s37°= 8mg 5 故AB错误： CD.由胡克定律可知F=x,解得此时弹簧的伸长量为x=8m 5k ,故C正确，D错误。 故选：C。 【易错点】 力的三角形中三个力必须首尾相接（箭头接箭尾），三角形封闭才表示合力为零；若接 成“箭头对箭头”就不是平衡。矢量三角形只表示各力的大小和方向，不是物体的实际运动轨迹；“共点 辐射与“封闭三角形两种画法等价。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第14页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【变式1】用三根细线ā、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球处于静止 状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c与水平方向的夹角为30°。则细线b对小球2的拉力 大小为() 30 0530 A.G B.V3c D.V3G 2 【答案】A 【解答】解：将1与2两个小球作为整体进行受力分析，如图所示： 30 30 '2G 三力平衡可围成三角形，根据平衡条件可得：F=2Gsim30°=G 单独对球2受力分析，如图所示： F=G G 由于自身重力G与F大小相等，且夹角为120°，根据几何关系可得第三个力F=G,方向也与重力G 成120°，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式2】如图所示，光滑圆弧固定在水平地面上，圆心为0，圆弧最低点D与水平面相切，OD处竖 4 直放置一光滑挡板。现可视为质点的A、B两球通过轻杆连接，恰好静止于圆弧与挡板间。已知圆弧 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第15页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 径为R,杆长为3R,0A与竖直方向的夹角为30°，A、B两球的质量分别为m4、m2,圆弧对小 球A的支持力为F1,挡板对B球的支持力为FN2。下列说法正确的是() B A 7777777777777777777777 77777777777 A.m2=m B.m2=2m1 C.FN1:FN2=2:1 D.FN1:fN2=2:3 【答案】C 【解答】解：设杆对两球的作用力大小均为F,对A、B两球分别受力分析如图，由几何关系知△ OAB为等腰三角形，且两小角均为30°，对每个小球由平衡可知F=m1g,Fw1=√3m1g,F= 2m2g:FN2 V3m2g 可得m1=2m2,FN1:FN2=2:1 B m,8 D mg 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式3】如图为某兴趣小组制作的“互”字形木制模型正面图。模型分上下两部分，质量均为，并用 细线连接，其中细线1连接a、b两点，细线2连接c、d两点。当细线都绷紧时，整个模型竖直静止 在水平地面上。则下列说法正确的是() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第16页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） a ● b 777777777777777777777777 A.细线1对b无作用力 B.细线2对d无作用力 C.细线1对a的作用力大于对b的作用力 D.细线1对b的作用力大于细线2对c的作用力 【答案】D 【解答】解：AB、根据题意分析可知，细线提供沿细线的拉力，因为细线都绷紧，则细线1对b点的 拉力方向向上，细线2对d点的拉力方向向上，故AB错误： CD、根据题意分析可知，对模型上部分受力分析，根据受力平衡有F1=F2+g 可知细线1的拉力大于细线2的拉力，故C错误，D正确。 故选：D。 考向二共点力动态平衡 本考向聚焦共点力的动态平衡。考查解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理与辅助圆法，常以绳杆缓慢移 动、悬挂转动、工程构件、无人机吊运等情境为载体。 考点四 解析法与图解法 知识梳理 1.动态平衡 (1)控制某一量使物体缓慢变化，物体始终处于一系列平衡状态，叫动态平衡：基本思路是“化动为 静、静中求动”。 (2)“缓慢”表示每一时刻都可视为平衡，合外力为零。 2.解析法 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第17页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） (1)对物体受力分析，列出平衡条件方程，用三角函数表示各力与角度的关系，再由角度变化判断力 的变化。 (2)适用：能写出明确函数关系的情形。 3.图解法 (1)特征：一个力是恒力（大小、方向都不变，常为重力），另一个力方向不变，第三个力变化。 (2)从恒力末端沿“方向不变的力”的方向作射线，变力连接恒力始端与射线上的点、箭头指向恒力始 端；变力在与该射线垂直时最小。 4.图解法结论 变力F与“方向不变的力”垂直时，F取最小值；据此可判断力的变化趋势。 T方向不变 Fmin mg 变力F与方向不变的T垂直时，F最小 图4图解法：变力垂直时最小 方法 内容 适用/记忆点 动态平衡 系列平衡状态 缓慢、合外力为零 解析法 列方程、用三角函数 有明确函数关系 图解法 恒力+方向不变的力+变力 一力方向不变 最小值 变力垂直时最小 关键结论 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第18页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 方法 内容 适用/记忆点 作图要点 恒力大小方向不变 除变化量外一致 重难诠释 动态平衡缓慢即每时刻平衡，合外力为零。 图解法：变力在与方向不变的力垂直时最小，不是“方向不变时最小。 记忆点：“一力恒、一向定，变力垂直最省力”。 ◆例题变式演练 【例题】如图所示，一块铁板AB下吸附了一块小磁铁，现将铁板在竖直面内绕A点向上逆时针缓慢转 过一个小角度，磁铁始终未滑动，转动过程中，若磁铁对铁板的磁力方向始终垂直AB,大小保持不 变，关于磁铁的受力，下列说法正确的是() B A--50 A.受到铁板的弹力减小 B.受到铁板的摩擦力减小 C.受到铁板的作用力增大 D.受到的吸引力与重力的合力增大 【答案】D 【解答】解：AB、对磁铁受力分析如图所示： mg 将力正交分解，有F=mgcos+FN,F=gsin0,倾角0增大，吸引力F不变，则弹力F增大，摩擦力 F增大，故A、B错误； C、磁铁受到铁板的作用力与重力等大反向，大小不变，故C错误： D、 磁铁受到的吸引力和重力大小不变，日增大，两个力的夹角减小，则合力增大，故D正确。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第19页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 故选：D。 【易错点】 图解法适用于“一个力恒力、另一个力方向不变的情形；动态过程中变力不是在“力的方 向不变时最小，而是在变力与方向不变的力垂直时最小(mi)。各位置作图时恒力的大小、方向 都要保持不变，矢量三角形中除变化量外其余都应一致。 【变式1】如图所示，白板擦吸附在可大角度旋转的磁性白板正面，板擦与白板间有大小恒为F的磁力作 用，板擦与白板接触面动摩擦因数为μ，将白板由竖直缓慢转过60°且保持正面朝上，白板擦始终保 持相对静止。在旋转过程中，白板擦受到的摩擦力() 磁性白板擦 可旋转白板 A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.等于F 【答案】B 【解答】解：设白板与水平面的夹角为，板擦相对白板静止，静摩擦力沿板面向上，如图所示： mgsina mg Q 沿板面方向由共点力平衡条件得f-mgsina=0 所以静摩擦力大小为：f=mg$ia,旋转过程中a由90°减小到30°，静摩擦力一直减小，故B正 确，ACD错误。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第20页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 故选：B。 【变式2】如图所示是某运动员攀岩的情景示意图，通过用力拉手中的绳子使自己身体垂直岩壁缓慢竖直 上升，不考虑脚与岩壁的摩擦力，则绳子的拉力F和岩壁对人的支持力F、如何变化() A.F变大，N变大 B.F变大，FN不变 C.F变小，F变大 D.F变小，FN变小 【答案】A 【解答】解：设人的质量为，对人受力分析，人受绳子的拉力F和岩壁对人的支持力FN,F和FN以 及重力g可以构成封闭的矢量三角形，如下图所示： mg 根据平衡条件可得Fcosa=mg,Fsina=FN 可得F=mg cosa FN=mgtana 人缓慢竖直上升过程，a逐渐变大，则F变大，FN变大，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式3】如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处 于静止状态，现对B施加一水平向右的外力F,使B缓慢向右移动，该过程中A环始终保持静止状态， 则下列说法正确的是() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第21页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） A.A环对杆的摩擦力变小 B.杆对B环的摩擦力变大 C.杆对B环的作用力不变 D.细绳对A环的拉力变小 【答案】C 【解答】解：D、根据题意分析可知，对B施加外力F前，两细绳与竖直方向的夹角设为0，由对称 性可知两细绳上的拉力相等，设为FT,设书的重力为G。由竖直方向的平衡得2 Frcose0=G G 得FT=2c0s0 B缓慢向右移动后，日变大，cos0变小，故细绳对A环的拉力FT变大，故D错误： A、根据题意分析可知，A环受到的摩擦力A=Fc0s吃-0)=sn0=Zx8sn8- G tan6, B缓慢向右移动后，日变大，tan0变大，A环受到的摩擦力FA变大，由牛顿第三定律得 A环对杆的摩擦力FA'也变大，故A错误： B、根据腰意分析可知，B受到杆的支持力，=F0s0=28c0s0-受不变，B缓慢向右移动过 G 程中，B受到杆的滑动摩擦力=uw=·9= ,不变，故B错误： C、根据题意分析可知，杆对B环的作用力为FN和F合力，因FN和F大小和方向都不变，故它们的合力 大小和方向也不变，故C正确。 故选：C。 考点五 相似三角形法与拉密定理 知识梳理 1.相似三角形法 (1)特征：一个力是恒力（常为重力），两个变力的方向都随位置变化，且能找到与力三角形相似的 空间几何三角形。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第22页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） (2)力三角形与几何三角形相似，对应边成比例：是=是=急 2.拉密定理（正弦定理） (1)三个共点力平衡时，每个力与另外两个力夹角的正弦之比相等：点=品=焉 (2)适用：一个力恒定，两个变力方向都变，且两变力之间的夹角不变（或可由几何关系确定）。 3.辅助圆法 若恒力大小方向不变、两变力夹角恒定，则三个力的末端在同一圆周上，恒力为固定弦，可用辅助圆 判断两变力的变化。 4.方法选择 一力方向不变用图解法；两力方向都变且有几何关系用相似三角形：两力方向都变且夹角不变用拉密 定理或辅助圆。 A 宫 轻杆 铰链 mg 图5相似三角形：力三角形∽几何三角形 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第23页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） OB ● mg 图6辅助圆法：恒力为固定弦 方法 内容 适用/记忆点 相似三角形 希品会 两力方向变、有几何关系 拉密定理 F F2 F3 三力、两变力夹角不变 sina sinB =siny 辅助圆 恒力为固定弦 两变力夹角恒定 图解法 变力垂直时最小 一力方向不变 关键 对应边角不能找错 角是对角 重难诠释 相似三角形对应边不能找错；拉密的角是相邻力夹角，不是三角形内角。 辅助圆要求两变力夹角恒定，恒力为固定弦。 记忆点：“两力都变找相似，夹角不变用拉密”。 热点生活实例 低空经济·无人机吊运 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第24页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 随着“低空经济”发展，货运无人机已用于山区、农田吊运物资。无人机悬停吊运时，重力、绳的拉力 以及空气升力构成平衡；当吊绳角度改变，可借助力三角形或拉密定理分析拉力变化，这正是动态平 衡的实际应用。 图无人机悬停吊运：各力构成平衡 ◆例题变式演练 【例题】如图甲，野营三脚架由三根对称分布的细杆构成，炊具与食物通过轻绳悬挂在三脚架顶端。盛 取食物时，用光滑的铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆，如图乙所示。拉动吊绳过程中() 甲 乙 A.吊绳上的拉力变小 B.吊绳上的拉力变大 C.铁钩对绳的拉力变小 D.铁钩对绳的拉力变大 【答案】D 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第25页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【解答】解：AB、铁钩光滑，拉动吊绳过程中，炊具与食物处于平衡状态，故绳子的拉力等于炊具与 食物的重力，故大小不变，AB错误； CD、由题意，炊具处于动态平衡状态，绳上的力处处大小相等，设上、下段吊绳的拉力均为T,炊具 重力为G,则T=G 设上、下段吊绳的夹角为，铁钩对绳的拉力为F,根据平衡条件，上、下段吊绳拉力的合力等于铁 钩对绳的拉力为F 则F=2Tcos2=2Gcos2 铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆过程中，日从180°开始减小，则c0s增大，因此铁钩对绳的拉力F 变大，故C错误，D正确。 故选：D。 【易错点】 相似三角形法要求力三角形与空间几何三角形相似，对应边不能找错，比例为是 BC 急：拉密定理只适用于共点三力平衡，点一品=高，其中各角是相邻两力的夹角《对 角)，不要与三角形内角混淆；辅助圆法要求两变力夹角恒定，恒力为固定弦。 【变式1】如图所示，直杆AB倾斜固定在墙边，绕过动滑轮的轻绳C、D两端分别固定在直杆和竖直墙 面上，动滑轮下面吊着重物，将轻绳C端沿杆缓慢移动（重物不着地）或将轻绳D端沿墙面缓慢移动， 则下列判断正确的是() D C B A.轻绳C端沿杆向上缓慢移动，轻绳上张力减小 B.轻绳C端沿杆向下缓慢移动，轻绳上张力减小 C.轻绳D端沿墙面向上缓慢移动，轻绳上张力减小 D.轻绳D端沿墙面向下缓慢移动，轻绳上张力减小 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第26页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【答案】A 【解答】解：A、轻绳上各处张力大小相等，设滑轮两边轻绳间的夹角为0，则根据力的平衡可知 2Paos号-nmg 轻绳C端缓慢沿杆向上移动，滑轮两边轻绳间的夹角变小，cs指大，轻绳上的张力减小，A正确： B、结合上述选项分析所得，轻绳C端缓慢沿杆向下移动，滑轮两边轻绳间的夹角变大，0s号减小， 轻绳上的张力增大，B错误： CD、轻绳D端缓慢沿墙面向上或向下移动，绳长为1，C、D点水平距离为d,如图所示 ◇ C 根据几何关系可知c0sa-号 α不变，故滑轮两边轻绳间的夹角不变，则日不变，因此结合上述选项分析所得可知轻绳上的张力不 变，CD错误。 故选：A。 【变式2】为了助推本地文旅的发展，2025年，大同推出了大型行进情景式演艺项目《如梦大同》，如 甲图，演员们通过吊威亚在城墙上展现高超的表演技艺，为游客呈现了一场视觉盛宴！现将情景简化 如乙图，一根不可伸长的绳索（不计质量）一端系于演员腰间O点，另一端系于城墙上的固定P点， 该演员身体伸直，双脚蹬于城墙Q点，并保持平衡。已知∠OPQ=37°，∠OQP=45°，演员质量m =70kg,城墙对演员的作用力始终沿着身体，重力加速度g取10受，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下 列说法正确的是() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第27页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 绳索 城墙 甲 A.绳索对演员的拉力大小为400N B.城墙对演员的作用力大小为300N C.若保持Q点不动，将P点沿城墙缓慢上移稍许，绳索对演员的拉力大小一定增大 D.若保持Q点不动，将P点沿城墙缓慢下移稍许，城墙对演员的弹力大小一定增大 【答案】D 【解答】解：AB、对演员受力分析如图所示： 3> mg 将力正交分解，在水平方向有Fosin.37°=F1sin45°，在竖直方向有Focos.37°+F1cos45°=mg,代入 数据可得F。=500N,F=300V2N,故AB错误； C演员受力的矢量三角形和△OPQ相似，有”9-。=互 PQ OP 0Q 当Q点不动，将P点沿城墙缓慢上移稍许，即PQ增大，OP、OQ均不变，则F。、F均减小，故C错 误： D、同理可知当Q点不动，将P点沿城墙缓慢下移稍许，即PQ减小，OP、OQ均不变，则F增大，城 墙对演员的弹力大小FN=Fsi∠OQP,∠OQP增大，FN也一定增大，故D正确。 故选：D。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第28页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【变式3】如图，AO、BO为两根轻杆，一端A、B通过光滑铰链连接在水平地面，另一端在O点也通 过光滑铰链连接在一起，∠OAB=∠AOB=30°，两根杆在同一竖直平面内，现在对O点施加一力F, 初始时F沿水平方向，保证力F大小不变，顺时针缓慢旋转F直到竖直方向，AO杆、BO杆力的大小 分别记为F1、F2,下列说法正确的是() 309 A 0 A.F不断增大，F2不断减小 B.F不断减小，F2不断增大 C.F先增大后减小，F2先增大后减小 D.先减小后增大，F2先增大后减小 【答案】C 【解答】解：杆通过铰链连接，则杆的力沿杆的方向，且由于AB两点距离固定，在F转动的过程 中，O点不动，处于动态平衡。两杆方向固定，F1、F2方向固定，夹角∠AOB=30°为定值，外力F 绕0点顺时针旋转。由正弦定理知三及=P sinp sina sin300' 其中0从30°增加到120°、B从120° 变30°，F大小不变，所对应角度始终为30°，受力分析如图所示。 30° F2 F 力F大小不变，顺时针缓慢旋转F直到竖直方向，F1先增大后减小，F2先增大后减小。故C正确， ABD错误。 故选：C。 考向三 平衡中的临界与极值 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第29页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 本考向聚焦平衡中的临界与极值问题。考查临界状态分析、极值求解与自锁现象，常以滑轨、斜面、圆环、多 体多杆等“恰好/刚好情境为载体。 考点六临界与极值问题 知识梳理 1.临界问题 (1)当某一物理量变化时，物体的受力状态会发生“恰好出现”或“恰好不出现”的转折，这个转折状态 叫临界状态。 (2)关键词：“刚好/恰能/恰好，如绳刚好绷紧(T=0)、物体刚好滑动(f=N)、恰好不脱离 等。 2.极值问题 (1)在力的变化过程中，求某个力的最大值或最小值，叫极值问题。 (2)常用方法：图解法（变力垂直时最小）、解析法（二次函数、三角函数、均值不等式）。 3.解决临界极值的思路 (1)仔细分析临界条件，列临界方程并取等号： (2)对极值，先写出力的函数表达式，再用数学方法求极值，并结合物理约束检验。 4.摩擦角与自锁现象 摩擦角：接触面对物体的支持力与最大静摩擦力的合力（即接触面合力）与法线的夹角φ，满足 tanp=u;它是接触面的固有属性。 自锁：当外力（或接触面合力）与法线的夹角小于摩擦角φ（即合力落在摩擦锥内）时，无论外力多 大，物体都不会发生滑动，称为自锁。 斜面上物体靠自重静止（自锁）的条件为0≤o,即tan8≤u。 摩擦角p:tanp=h 斜面自锁：min≤mgcos0 7777777 即tn0≤H(0≤p) 图7摩擦角与自锁：合力落在摩擦锥内不滑动 类型 临界条件 方法/记忆点 绳绷紧 刚好绷紧，T=0 取等号 滑动 刚好滑动，f=N 临界摩擦 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第30页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 类型 临界条件 方法/记忆点 脱高 恰好不脱离，N=0 取等号 最小力 变力垂直时最小 图解法 自锁 tand≤u 0≤φ，摩擦锥内 数学极值 二次函数/三角函数 结合物理约束 重难诠释 临界关键词刚好/恰好”，要分清“恰好出现还是“恰好不出现”，并取等号。 极值要分清求哪个力的最大/最小值，数学解要结合物理约束检验。 记忆点：“临界取等号，极值找垂直，数学解要检验”。 ◆例题变式演练 【例题】在一次维修工作中，工人需要将重物提升至5楼。为防止重物在上升过程中碰撞阳台，工人采 用了如图所示的装置进行提升。图中0处安装有一个定滑轮，AB为一段动摩擦因数μ=0.75的滑轨， 其水平跨度为16m,竖直高度为12m。在提升过程中，绳子与滑轨之间的夹角为o（重物在A点时， a=5°)。工人通过拉动绳子，使质量为m的重物沿滑轨匀速上升。绳子质量、滑轮与绳子之间的摩 擦力均忽略不计。si37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为g,下列说法正确的是() 05 A 16m 12mg A.绳上的拉力大小为 20sina+15cosa B.滑轨对重物的支持力先增大后减小 C.绳上的拉力一直增大 D.当夹角a=37°时，绳上的拉力有最小值 【答案】D 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第31页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【解答】解：AB、由几何关系可知滑轨倾角0=37°，对重物受力分析如图所示： F N 0 mg 将力正交分解，有Fcosa=ngsin0+f,Fsina+N=mngcos0,又f=N,代入数据可得F= 24mg N=mgcos(a+370) 20cosa+15sina cosa+0.75sina 重物上升过程中Q逐渐增大，则支持力N一直减小，故AB错 误 CD、将F表达式整理可得F= 0.96mg c0s(a-37) ,当a=37°时，F最小，所以Q从5°逐渐增大时，F先减 小(<37°)后增大(>37°)，故C错误，D正确。 故选：D。 【易错点】 临界条件关键词是“刚好/恰好/恰能”，要弄清是“恰好出现”还是“恰好不出现”，并据此取 等号（如绳刚好绷紧T=0、刚好滑动=N);极值要分清求哪个力的最大还是最小值，常用变力垂 直时最小、三角函数或二次函数求解，并结合物理约束舍去不合理的数学解。 【变式1】如图所示，倾角为a=30°的斜面体固定在水平面上，质量为的物体放在斜面体上，现用 外力作用在物体上，使物体沿斜面体向上做匀速运动，已知物体与斜面体间的动摩擦因数为μ=号， 3 重力加速度为g,外力与斜面间的夹角为0，sn30°=0.5。下列说法正确的是() F A.物体轻轻地放在斜面体上，物体能沿斜面体下滑 B.0=0°时，外力的大小为1.2mg C.0=37°时，外力最小 D.外力的最小值为3m四 2 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第32页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【答案】D 【解答】解：A.物体放在斜面上时，重力沿斜面方向的分力ngsina=ngsin30°=0.5mg:将滑动摩 擦力等效为最大静摩擦力有mar=mgcosa=号m 3 mgcos30°=3 3 学mg·气=0.5mg,可知重力沿斜面 向下的分力大小等于斜面能提供的最大静摩擦力，物体受力平衡，保持静止状态，不会沿斜面下滑， 故A错误。 B.当0=0°时外力方向平行斜面向上，沿斜面方向根据平衡条件可得外力F=ngsina+ngcosa= 0.5mg+0.5mg=mg,故B错误。 CD.物体匀速上滑，沿斜面、垂直斜面分别列受力平衡。沿斜面方向有Fcos0=ngsina+N,垂直斜 面方向有N+Fsin0=mgcosa,联立可得F=mg(sinaucosa)。分母取最大值时F最小，由数学知识得 cosOtusin0 分母最大值出现在tan9=:-受即0=30：解得外力的最小值F-器-受， 23 ng,故C错误， D正确。 故选：D。 【变式2】如图所示，有一劲度系数为k、自然长度为2的橡皮筋，在橡皮筋上套有一光滑轻质小圆环， 将橡皮筋的两端固定于间距为2R的P、Q两点。现用外力F拉小圆环，使其沿以PQ连线的中点为圆 心、半径为R的圆周由P点缓慢移动到Q点。若橡皮筋的弹力大小满足胡克定律且一直在弹性限度内， 则在圆环移动过程中F的最大值为() A.(2-V2)kR B.2(W2-1)kR C.2(2-V2)kR D.4(W2-1)kR 【答案】C 【解答】解：小球移动到某位置时如图所示： F个 kx kX, 0 0 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第33页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 移动过程中两橡皮筋间的夹角恒为90°不变，对小环，由平衡条件可知F=√2kx,由几何关系可知橡 皮筋的伸长量x=2R(sin0+cosθ-1)， 则当0=45°时，F有最大值，代入数据可得F=2(2-√2)kR,故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式3】如图所示，三个质量均为m的相同的小物块A、B、C(可视为质点)静止在粗糙水平面上， 三个物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。三根等长的轻杆一端分别 通过光滑铰链连接在A、B、C上，另一端通过光滑铰链连接在O处，各杆与水平面间的夹角均为日。 现在O处上端连接一质量为M的平台，连接平台后三个物块恰好不发生滑动。则M与m之间的关系 式正确的是() 平台 A B A.M=3umtan utang 1-utane B.M=13utane 3μtan6 C.M=13utano using D.M=1-3μsim0 【答案】A 【解答】解：设每根杆对平台的弹力大小为F,根据对称性和平衡条件，对平台分析，竖直方向上有 3Fsin0=Mg 根据牛顿第三定律可知杆对物块的推力大小为F'=F=,M9 3sin0 对任意一个物块进行受力分析，物块受到重力g、地面的支持力N、杆沿杆向下的推力F和地面的静 摩擦力。竖直方向平衡，有N=mg十Fsn9=mg+学 水平方向平衡，有f=Fcos6=3tamd Mg 物块恰好不发生滑动，说明静摩擦力达到最大值，即「=N Mg 联立上述方程得 Mg =u(mg+ tan0 3 整理得M=3μmtan0+Mtan0 解得M= 3umtane 1-utan0' 故A项正确，BCD错误。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第34页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 故选：A。 大综合练习大 本部分精选15道选择题，覆盖本专题全部考点，请在规定时间内独立完成。 1.如图所示为圆心为O、半径为R、固定的光滑半球形碗的竖直截面图，碗口水平，一长为l=√3R的 轻杆两端连接质量为m1和m2的小球，分别静止在碗内的M、N两点，OD为竖直半径。己知m1>m2, ∠MOD=45°，两小球均可视为质点，则m1:m2为（) R D A.V3:1 B.(3+1):2 C.(3+2):1D.(3+2):2 【答案】B 【解答】解：设轻杆对两球的弹力大小为F。两球在碗内静止，受力平衡。 由几何关系可知，杆长l=V3R,碗半径为R,在△MON中，OM=ON=R,由余弦定理得(3R)2= R2+R2-2R2CosLMON 解得cos∠M0N=-元则∠MON=120 因为△MON为等腰三角形，所以∠OMN=∠ONM=30 已知∠M0D=45°，则∠NOD=120°-45°=75 根据平衡条件可得，M球沿碗的切线方向有m1gsi45°=Fcos(90°-30°)=Fcos60 N球沿切线方向有m2gsin75°=Fcos60 两式相除可得心 sin750 V2(V3+1) 4 V3+1 sim45° 即m1:m2=(3+1):2,故ACD错误，B正 m2 2 确。 故选：B。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第35页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 2.如图所示是家庭晾晒衣物常用的圆形晾衣篮，四根等长的布条一端等间距固定在晾衣篮边缘，另一端 系在挂钩上。若晾衣篮直径为60cm,每根布条的长度均为50cm,承受的最大拉力均为30N,不计晾 衣篮质量，重力加速度g取10，则篮中放置衣物的最大质量为() 50cm 60cm A.16kg B.9.6kg C.8kg D.7.2kg 【答案】B 【解答】解：晾衣篮直径为60cm,故半径r=30cm, 每根布条长度L=50cm。 设布条与竖直方向的夹角为0，布条为斜边，晾衣篮半径为水平直角边，由勾股定理可得布条对应的 竖直方向的高度h=V2-r2=V502-302cm=40cm 结合几何关系可得c06=生铝=08 当布条拉力达到所能承受的最大拉力Fmax=30N时，篮内衣物的质量达到最大值。 不计晾衣篮质量，四根布条拉力的竖直分力的合力与衣物的重力大小相等，有4 Fmaxcose0=g,可得 衣物最大质量m= 4mac0s6-4×30x0.8kg=9.6kg,故ACD错误，B正确。 10 故选：B。 3.为了保障用餐卫生，某餐厅将清洗干净后的碗放入消毒柜消毒后使用，其中，碗侧立放置在两个水平 固定的等高的光滑直杆、b中间，如图所示。碗可视作半径为R的半圆形，则下列表述正确的是 () 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第36页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 等老彩 中 Ob 甲 乙 A.若减小a、b间距，碗仍保持静止，碗的合力减小 B.若减小a、b间距，碗仍保持静止，a杆受到的弹力不变 C.若减小a、b间距，碗仍保持静止，b杆受到的弹力变小 D.若将半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，碗受到杆的作用力一定不变 【答案】C 【解答】解：A.碗维持竖直静止的平衡状态，碗的合力固定为0，不会随着a、b间距缩小出现合力 减小的变化，故A错误。 BC.对碗进行受力分析，如图所示： E G Ob 设b杆对碗的弹力E,与竖直方向形成的夹角为0，则E二Gtam8,马=c0。当a、b的间距被缩小 时，夹角0会随之变小，a杆受到的弹力F1减小，b杆受到的弹力F2减小，故B错误，C正确。 D.杆对碗的作用力与碗的重力等大反向，将半径更大的碗竖直放置于、b杆之间，未说明碗的质量 是否相同，所以碗受到杆的作用力可能变化，故D错误。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第37页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 故选：C。 4.如图所示，倾角为日=37°的斜面体固定在水平面上，物体P放在斜面体上，轻绳拴接在物体P上后 跨过定滑轮与轻绳CD系于C点，结点下端悬挂物体Q,系统平衡时轻绳CD沿水平方向，AB与斜面 体平行，BC与竖直方向的夹角为a=53°，己知sin37°=0.6，sim53°=0.8，重力加速度g取103。 一切摩擦均可忽略。则物体P、Q的质量之比为() B A C 70777777777777 回 A.25:9 B.5:3 C.25:16 D.5:4 【答案】A 【解答】解：对结点C受力分析：结点C受三个力：BC绳拉力T、CD绳水平拉力、重物的拉力，其 中重物对C点的拉力等于Q的重力mQg。已知BC与竖直方向夹角=53°，竖直方向平衡得 Tcosa=mog 解得BC段绳的拉力大小T-2器 对物体P受力分析，P静止在倾角0=37°的光滑斜面上，绳子AB与斜面平行，沿斜面方向由平衡条 件可得T=mpgsin0 可得T=0.6mpg 联立得mp:mQ=25:9,故A正确，BCD错误。 故选：A。 5.如图甲所示，某同学为研究不同大小的球与桶间的弹力，抽象出如图乙所示的模型：三个质量均为 的光滑匀质球A、B、C叠放在水平地面上的竖直圆筒内，三个球A、B、C的半径之比为4：3：3，B、 C之间恰好无挤压，三个球对桶侧壁的压力大小分别为F、F2、F3,已知重力加速度大小为g,则下列 关系正确的是() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第38页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 甲 乙 A.F2<mg B.F2=mg C.F2>F3 D.F>F3 【答案】A 【解答】解：AB、对B球研究，受力如图所示 B 0 mg A 结合平衡条件F2=mgtan0 代入数据可得E45mg<mg,故A正确，B错误 CD、对三球整体进行受力分析，水平方向有F1+F2=F3,故F3>F,F3>F2,故CD错误； 故选：A。 6.如图所示，半圆柱体固定放置在水平面上，两光滑的轻质定滑轮用轻杆固定在天花板上，且位于等高 位置，半圆柱体的圆心O位于左侧定滑轮的正下方，质量为的小球A和物体B用跨过定滑轮的轻 质细绳拴接，小球放在半圆柱体上，系统平衡时细绳与竖直方向的夹角为=30°，小球跟圆心的连 线与竖直方向的夹角为0=45°，小球可视为质点，不计小球与圆柱体之间的摩擦，重力加速度为g。 下列说法正确的是() LLLEEA2222222722224222 B 00 7777777777777777777777777777777 A.半圆柱体对小球的支持力为G+2, 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第39页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） B.物体B的质量为(3+1)m C.轻杆对右侧滑轮的作用力竖直向上 D.轻杆对左侧滑轮的作用力大小为(V3-1)mg 【答案】D 【解答】解：AB、根据题意分析可知，设物体B的质量为M,物体B所受拉力为F,则有F=Mg 对小球A受力分析，如图所示 mg mg FN F 由正弦定理得 in105°sin30°sin45° 解得w=62, 2mg,M=(V3-1)m,故AB错误； C、根据题意分析可知，右侧滑轮受两侧轻绳的拉力以及轻杆的作用力，由力的平衡条件可知两轻绳 作用力的合力与轻杆的作用力大小相等、方向相反，所以轻杆对右侧滑轮的作用力方向斜向右上方， 故C错误； D、根据题意分析可知，左侧滑轮受两侧轻绳的拉力以及轻杆的作用力，根据几何关系分析可知两侧 轻绳的夹角为120 由力的平衡条件可知两轻绳作用力的合力与轻杆的作用力大小相等、方向相反；又F=(3-1)mg 所以轻杆对左侧滑轮的作用力大小为2Fcos60°=(V3-1)mg,故D正确。 故选：D。 7.如图所示，长为√3的不可伸长的轻绳，穿过一光滑的轻圆环，两端固定在水平天花板上相距为1的P、 Q两点，轻圆环下悬吊一重为G的物块。现用一水平力F缓慢地拉圆环，当圆环两侧轻绳的夹角为日 =60°时，细绳的张力为T,则() G白 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第40页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） A.F=G B.F=3G 3 c. D.T=23G 3 【答案】B 【解答】解：以圆环为研究对象，受力如图所示： d 3 G白 圆环所受重物的拉力G及水平拉力F的合力与水平方向的夹角为a,则有：tana= 合力大小为：F合=√F2+G2 情景如图所示，P、Q两点沿垂直F合方向的距离：d=V3 lsina 而：sin2=原i .d 根据力的合成结合平衡条件可得：2Tc0s2-F分 联立并代入数据解得：F-号G,T=子G,枚B正确，ACD错误。 故选：B。 V3 8。如图所示，质量为m的物块静止在粗糙木板上，物块和木板间的动摩擦因数为3。在木板上施加一 个外力，使木板以左端和地面的接触点0为转轴，逆时针缓慢转过90°。该过程中物块始终未脱离木 板，木板和地面未发生相对滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。该过程中物块所受摩擦力的大小「 与木板和地面夹角日的图像可能正确的是() 于个 mg mg 2 π0 6 B. 6 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第41页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） mg mg 6 【答案】B 【解答】解：整个过程分为静摩擦力和滑动摩擦力两个阶段。当物块刚好要滑动时，由平衡条件有 mgsin=umgcos0 可得am0=化=号则0=30°-名 0≤0≤阶段，物块受到的是静摩擦力。木板缓慢转动，物块静止，受力平衡，则静摩擦力等于重力 沿斜面向下的分力，即f=mgsin0 个 0≤阶段，日大于30°后，物块开始滑动，静摩擦力变为滑动摩擦力，大小为三N三mc00 所以图像先为正弦曲线的一部分，后为余弦曲线的一部分，故ACD错误，B正确。 故选：B。 9.如图所示，用一根轻绳将红辣椒穿起来，悬挂在墙面凸出的光滑的钉子上，两侧轻绳之间的夹角为0。 己知轻绳中的张力大小为F,两侧轻绳对钉子作用力的合力大小为F2。忽略辣椒与墙面间的作用，若 辣椒总质量不变，缩短轻绳并使夹角日增大，则() A.B=2R,sm号R,不变 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第42页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） B.月=2Rcos2F变小 C.F=2Fsin号，B变小 D.B=2Rcos2F2不变 【答案】D 0 【解答】解：设辣椒的总重力为mg,对辣椒受力分析，由平衡条件可知2Rcos2=mg, 对轻绳和辣椒整体受力分析，钉子对轻绳的合力与辣椒的重力二力平衡，相互作用力等大反向，有F2 =mg, 代入数据可得B-2R,c0s号 当夹角日增大时，由于辣椒的总重力g不变，可得F2不变、F 增大，故ABC错误，D正确。 故选：D。 10.如图所示，两个相同的木模质量均为m,靠三根竖直细线连接，在水平面上按一个“互”字型静置， 上方木模呈现悬浮效果，这是利用了建筑学中的“张拉整体”(Tensegrity)结构原理。图中长线a上 的张力F,短线b上张力为T、水平面所受压力F2满足() A.F<2mg B.<2,2=2m C.F2<2mg D.F=T,F2=2mg 【答案】B 【解答】解：对整体受力分析，整体受重力2ng和地面的支持力FN,由平衡条件可得：Fv=2g,根 据牛顿第三定律可知，水平面所受压力的大小为：F2=FN=2g,方向竖直向下： 对上方木模受力分析，受重力mg、短线拉力T和两根长线拉力2F1,由平衡条件可得：T=g+2F1 解得：5=T-g<,故B正确，ACD错误。 2 故选：B。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第43页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 11.班级文艺晚会上，同学们在教室里挂上了红灯笼。如图所示，四个灯笼相同，AB、BC、CD、DE四 根轻绳的长度也相同，绳的悬点A、E在同一水平杆上。下列说法正确的是() A E B D A.AB绳与DE绳的拉力相同 B.AB绳与BC绳拉力的竖直分量大小相等 C.AB绳的拉力大小可能为BC绳拉力大小的2.5倍 D.BC绳与竖直方向夹角的正切值为AB绳与竖直方向夹角的正切值的2倍 【答案】D 【解答】解：A.设每个灯笼的质量为，重力加速度为g。设AB绳与竖直方向夹角为a,BC绳与 竖直方向夹角为B。由对称性可知，DE绳与竖直方向夹角也为a,CD绳与竖直方向夹角也为B,且 AB与DE拉力大小相等，BC与CD拉力大小相等。 对节点C受力分析，竖直方向上2 TBccosβ=2mg 解得TBccosβ=mg 对节点B受力分析，竖直方向上TABCOSO=TBccosB+mg 将TBccosB=mg代入，得TABCOSO=2mg 水平方向上，B点受力平衡，有TABsina=Tecsinβ AB绳与DE绳的拉力大小相等，但方向不同，力是矢量，所以拉力不相同，故A错误： B.AB绳拉力的竖直分量为TABCOSO=2mg BC绳拉力的竖直分量为TBccosB-=mg 两者大小不相等，故B错误： D.TABsina-TBcsinB,TABcosa-2mg,TBccosB-mg 可得tana= TAnsinaTacsinB tanB= TBcsinB TacsinB TABcosa 2mg TBccosB mg 比较可知tanB=2tanc 即BC绳与竖直方向夹角的正切值为AB绳与竖直方向夹角的正切值的2倍，故D正确： 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第44页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） C.AB绳拉力满足TAB= 2mg cosQ BC绳拉力满足T3c=9 cosB 则TA胆-2cosE TBC cosa 因为tanβ=2tanc 且a,B均为锐角，所以B>o,则cosB<cosa,故AB绳的拉力大小可能为BC绳拉力大小比值 TAB TBC <2,故C错误。 故选：D。 12.如图所示，在竖直平面内用甲、乙两根筷子夹一个重为G的小球，两根筷子对小球弹力的作用点和 球心在同一竖直平面内，甲筷子倾斜，且与竖直方向的夹角为日(0°<0<90°)，乙筷子始终竖直。 在日缓慢变化过程中，小球始终保持静止，且筷子与小球间的摩擦忽略不计。下列说法正确的是 () 7 A.甲筷子对小球的弹力大小为F伊=ta G B.乙筷子对小球的弹力大小为FZ=而 G C.随着日缓慢减小，两根筷子对小球的弹力均增大 D.随着日缓慢减小，两根筷子对小球的合力将变大 【答案】C 【解答】解：AB、对小球受力分析如图所示： F甲 由平衡条件可得F甲= G G sing F2=tang' 故AB错误： 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第45页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） C、随着0缓慢减小，si0和tan0均减小，可知两根筷子对小球的弹力均增大，故C正确： D、小球始终保持静止，根据平衡条件可知小球所受的合力一直为零，则两根筷子对小球的合力大小 始终等于小球的重力，故D错误。 故选：C。 13.如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”型轻杆，轻绳ON的一端O固定在杆上， 中间某点M拴一小球，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的 夹角为(a=90°)，现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变，在OM由竖直被拉到水平的 过程，物块始终保持静止，则() -N 7777777777777777777 A.OM上的弹力先减小后增大 B.N上的弹力先增大后减小 C.此过程水平面对物块摩擦力最大时OM、MN两绳张力的大小相等 D.水平面对物块的支持力先增大后减小 【答案】C 【解答】解：AB、对小球受力分析，小球受向下的重G,OM的拉力T以及MN的拉力F作用，三个 力首尾相接构成直角三角形，若保持夹角不变，在0由竖直被拉到水平的过程，几何关系如图所 示： 由图示可知，OM上的弹力T一直减小，MN上的弹力一直增大，故AB错误； 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第46页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） CD、在缓慢拉起小球的过程中，保持OM与MN垂直(a=90°不变)，设OM与竖直向下方向的夹 角为p,对小球受力分析，由平衡条件可得OM段拉力为：T=mgcosp,MN段拉力为：F=gsinp, 对整体，由平衡条件可得：FN=(Mhm)g-Fsin,可得水平面对物块的支持力为：Fw=(M+ m)g-Fsinp=(M+m)g-ngsin2p,可知FN随p增大而一直减小，摩擦力为：f=Fcosop= mgsincos, 由数学知识可知，当f取得最大值时，p=45°，此时T、F大小相等，故C正确，D错 误。 故选：C。 14.如图所示，一半球固定在水平地面上，半球左侧面粗糙，右侧面光滑，0为球心。P、Q是两个质量 相同的小物块，物块Q受到水平向左的力F作用，两物块均在半球面上静止。P、Q所处位置与球心 O的连线与竖直方向的夹角分别为37°和53°，则P、Q对球面的压力大小之比为() P 37 531 71777777177117777777771117777777717 A.3:4 B.4:3 C.12:25 D.25:12 【答案】C 【解答】解：对P、Q受力分析，如图所示： 0 N 379 531 mmmimmn mg 777277777777777777777 0 mg 对物块P,根据平衡条件得N1=mgcos37=49 对物块Q,根据平衡条件得N2= -5四2 3 4mg 根据牛顿第三定律得P、Q对球面的压力大小之比 N压1= N1 5 12 N压2 5mg 25 故ABD错误，C正 N2 3 确。 故选：C。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第47页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 15.如图所示，矩形小黑板用轻绳悬挂在光滑的钉子上，黑板静止时，钉子两侧的轻绳与黑板上边的夹 角分别为和阝，且a>B,则下列说法正确的是() B A.左侧轻绳的拉力较大 B.右侧轻绳的拉力较大 C.轻绳对钉子的作用力方向竖直向下 D.轻绳对钉子的作用力方向斜向右下方 【答案】C 【解答】解：AB、同一条轻绳拉力大小相等，所以两边轻绳拉力一样大，故AB错误； CD、以黑板为研究对象，根据平衡条件可知两边轻绳的合外力与黑板的重力等大反向，所以轻绳对钉 子的作用力方向竖直向下，故C正确，D错误。 故选：C。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第48页专题06　共点力平衡　【江苏专用】 2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 专题06　共点力平衡 2027年高考物理一轮复习 人教版（2019）　江苏专用 建议用时：70 分钟 题量：39 题 难度：★★★★☆ 版本：原卷版 ● 内容概览 ● 01 　共点力静态平衡 　考点一　平衡条件与合成法 　考点二　正交分解法 　考点三　力的三角形法 02 　共点力动态平衡 　考点四　解析法与图解法 　考点五　相似三角形法与拉密定理 03 　平衡中的临界与极值 　考点六　临界与极值问题 04 　综合练习 ▎学习目标 1．理解共点力平衡的概念，明确平衡状态（静止或匀速直线运动），掌握共点力的平衡条件 F合＝0，会用正交分解形式 Fx＝0、Fy＝0 处理平衡问题。 2．掌握静态平衡的合成法、正交分解法和力的三角形法，能根据力的个数和特点选择合适的方法求解共点力。 3．理解动态平衡“化动为静”的思想，掌握解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理（正弦定理）和辅助圆法，能分析变力的变化趋势及最小值。 4．理解平衡中的临界与极值问题，能利用“恰好出现/恰好不出现”的临界条件和二次函数、三角函数等数学方法求力的最大值或最小值。 5．能将共点力平衡条件应用于生产生活、工程技术、体育运动和科技前沿等真实情境，提升模型建构与科学推理能力。 ▎课标与考情 【课标要求】能用共点力的平衡条件分析生产生活中的问题。结合力的合成与分解，理解共点力平衡的条件，能将较复杂的平衡问题转化为二力平衡或正交分解问题求解；通过分析动态平衡、临界与极值问题，发展模型建构、科学推理和科学论证能力。 【考情分析】江苏高考物理采用自主命题（满分100分，考试时间75分钟）：单项选择题10题（每题4分，共40分）；非选择题5题（含1道实验题和4道计算题，共60分）。共点力平衡是江苏高考的高频考点，常以选择题出现，也常作为计算题的基础环节：静态平衡的合成法、正交分解法、力的三角形法，动态平衡的解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理及辅助圆法，以及临界与极值问题是核心内容；题目常结合生产生活、体育运动、交通运输、工程技术、机器人和低空经济等真实情境，突出“化动为静”的几何分析。复习时要熟练掌握受力分析与几何作图，能判断各力的变化趋势和临界条件。 ▎思维导图 图1　共点力平衡知识网络 考向一　共点力静态平衡 本考向聚焦共点力的静态平衡。考查平衡状态与平衡条件、合成法、正交分解法和力的三角形法，常以生产生活、体育运动、吊装支撑、机器人等真实情境为载体。 考点一　平衡条件与合成法 ▎知识梳理 1．平衡状态 物体处于静止或匀速直线运动状态，称为平衡状态，其本质特征是加速度为零。注意“瞬时速度为零”不等于平衡，如竖直上抛运动的最高点。 2．共点力的平衡条件 合外力为零： （1）正交分解形式：。 （2）若物体在某一方向上不受力或该方向合力为零，则该方向上保持平衡。 3．平衡条件的两个重要推论 （1）物体受 n 个共点力平衡时，其中任意一个力，与其余（n−1）个力的合力等大反向。 （2）三个不平行的力平衡时，这三个力的矢量首尾相接，必组成一个封闭的三角形。 4．合成法（三力平衡） （1）对于三力平衡，先把其中两个力按平行四边形定则合成，其合力与第三个力等大反向。 （2）当两力互相垂直或等大时，用合成法最简便。 图1　合成法：、 的合力与 等大反向 项目 内容 适用 / 记忆点 平衡状态 静止或匀速直线运动 加速度为零，非“速度为零” 平衡条件 推论一 任一力与其余力合力等大反向 受 n 个共点力平衡 推论二 三力首尾相接成封闭三角形 三个不平行力 合成法 先合两力，与第三力等大反向 三力、两力垂直/等大 ▎重难诠释 平衡条件是合外力为零，不是“不受力”，也不是“速度为零”；瞬时速度为零（最高点）并不平衡。 合成法：三力平衡先合两力，合力与第三力等大反向，两力要按平行四边形定则。 记忆点：“平衡看合力，三力先合两力”。 ▎热点·生活实例 科技前沿·人形机器人稳定站立与行走 近年来人形机器人（如“天工”、宇树 H1/G1）快速发展。机器人站立或缓慢行走时，重力、地面支持力与脚掌的摩擦力共同作用，合外力始终保持为零；迈出一步、单脚支撑的瞬间，靠调整重心与脚掌摩擦维持平衡，这正是共点力平衡与临界摩擦的综合应用。 图　机器人缓慢行走：每一时刻合外力均为零 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图甲所示为烤肠机，香肠可视为质量为m的均匀圆柱体，静止在两根水平的平行金属杆中间，其截面图如图乙所示。金属杆1、2的圆心与烤肠圆心的连线与竖直方向的夹角均为θ，不计一切摩擦，重力加速度为g。则金属杆1、2对烤肠的作用力的合力大小为（　　） A． B．mg C． D． 【变式1】吃重庆火锅烫毛肚讲究“七上八下”。如图，用筷子夹着一片质量为m的毛肚在空中竖直向上做匀速运动时，筷子与竖直方向夹角为θ，与毛肚间的动摩擦因数为μ，若重力加速度为g，不计空气阻力，则筷子对毛肚摩擦力的大小为（　　） A．mg B．mgsinθ C．μmgcosθ D．mgcosθ 【变式2】在工程领域起重机等机械的应用十分广泛。如图所示，用起重机竖直向上匀速吊起正方形混凝土板ABCD，已知混凝土板质量为m，始终呈水平状态，四根钢索OA、OB、OC、OD长度相同且与水平面之间的夹角均为45°，不计钢索所受重力。已知重力加速度为g，每根钢索所受的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式3】我国的“四足机器狼”无人作战装备如图甲所示，其可远程操控、自主行动、灵活编组，实现陆上有人、无人协同作战新突破。若将质量为m的“机器狼”静置于倾角为θ的斜坡上，简化示意图如图乙所示。已知“机器狼”与斜坡间的动摩擦因数为μ，“机器狼”四足所受的摩擦力相同，重力加速度为g，则“机器狼”单足所受摩擦力的大小为（　　） A．mgsinθ B．μmgcosθ C． D． 考点二　正交分解法 ▎知识梳理 1．正交分解法 （1）把物体所受各力沿两个互相垂直的坐标轴分解，分别求 x、y 方向的合力，再令其分别为零。 （2）平衡条件： 2．坐标轴的选取 （1）原则上让尽可能多的力与坐标轴重合，使需要分解的力最少。 （2）常取水平、竖直方向；在斜面上常取沿斜面、垂直斜面方向。 3．正交分解的一般步骤 受力分析 → 建立坐标系 → 把各力分解到 x、y 轴 → 列 Fx＝0、Fy＝0 → 联立求解。 4．方法选择 三力平衡、两力垂直或等大时用合成法；力的个数较多（三个以上）或方向较复杂时，用正交分解法更稳妥。 图2　正交分解步骤：建立坐标系 → 分解重力 → 沿轴列平衡方程 方法 内容 适用 / 记忆点 合成法 先合两力、与第三力等大反向 三力、两力垂直/等大 正交分解 三个力以上 选轴 尽量多的力与轴重合 减少分解 常见选轴 水平、竖直 一般情境 斜面选轴 沿斜面、垂直斜面 斜面情境 ▎重难诠释 正交分解两个方向合力都要为零，不能只列一个方向；选轴使尽量多的力与轴重合。 sin、cos 不要弄混，分力方向不能画反。 记忆点：“三力以上用正交，选轴让力尽量靠轴”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】在一个装修施工现场，工人师傅用两根轻质绳悬挂一块长方体板材。如图，轻质绳P的一端固定在墙壁上，另一端系在长方体板材上，轻质绳Q的一端固定在地面上，另一端也系在长方体板材上，板材处于静止状态。已知长方体板材的质量m＝21kg，P绳与竖直方向的夹角α＝37°，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°，重力加速度大小g＝10，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则P绳对板材的拉力大小为（　　） A．210N B．420N C．480N D．600N 【变式1】图甲为一小朋友正在放风筝，此时风筝平面与水平面的夹角为30°，细线与风筝的夹角为60°（如图乙所示）。已知风筝的质量m＝1kg，该小朋友的质量M＝40kg，重力加速度g＝10。若小朋友和风筝均保持静止状态，则（　　） A．地面对小朋友的摩擦力为5N B．地面对小朋友的摩擦力为15N C．地面对小朋友的支持力为395N D．地面对小朋友的支持力为500N 【变式2】如图所示，倾角为30°的固定粗糙斜面，质量为0.8kg的物块P与质量为0.3kg的配重块Q通过不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮连接。Q的下端与轻质弹簧相连，弹簧另一端固定在水平地面上，弹簧的劲度系数k＝200N/m。整个装置静止，此时弹簧伸长了2.5cm，重力加速度g取10。则斜面与物块P之间的作用力大小为（　　） A．8N B．4N C．4N D．0 【变式3】装修工人将质量为m的直角三角形置物架靠在竖直墙面上，置物架斜边与墙面夹角为α。 工人用一个垂直于斜边BC的推力F按压置物架，使其保持静止状态。则墙面对置物架的摩擦力大小为（　　） A．mg+Fsinα B．mg+Fcosα C．Fcosα D．Fsinα 考点三　力的三角形法 ▎知识梳理 1．力的三角形法 （1）三力平衡时，把三个力的矢量依次平移，使它们首尾相接，必组成一个封闭的力三角形。 （2）根据三角形的边角关系（正弦定理、三角函数），即可求各力的大小。 2．力三角形的意义 力三角形是各力矢量平移得到的，只表示力的大小和方向，不表示力的作用点，也不是物体的运动轨迹。 3．正弦定理与拉密定理 （1）力三角形中用正弦定理： （2）力三角形中各角是三角形内角；拉密定理中各角是相邻两力的夹角，二者互为补角，sin 值相同。 4．适用情形 三个力平衡、方向之间夹角关系清楚时（如节点、支架、绳杆），用力三角形法最直观。 图3　三力首尾相接组成封闭三角形 项目 内容 记忆点 力三角形 三力首尾相接、封闭 三力平衡 力三角形意义 只表示大小、方向 不是运动轨迹 正弦定理 用三角形内角 拉密定理 用相邻力夹角 与内角互补，sin 相同 适用情形 节点、支架、绳杆 夹角关系清楚 ▎重难诠释 力三角形必须首尾相接、封闭；接成“箭头对箭头”就不是平衡。 力三角形不是运动轨迹，也不表示作用点。 记忆点：“三力平移首尾连，封闭三角即平衡”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，一质量为m的小球用一端固定在天花板上的轻弹簧和一端固定在竖直墙上的轻绳连接。小球处于静止状态，轻绳与墙的夹角为74°，弹簧轴线与轻绳的夹角为37°，整个系统处于同一竖直平面内。已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，，。下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力大小为2mg B．轻绳的拉力大小为 C．弹簧的伸长量为 D．弹簧的伸长量为 【变式1】用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c与水平方向的夹角为30°。则细线b对小球2的拉力大小为（　　） A．G B． C． D．G 【变式2】如图所示，光滑圆弧固定在水平地面上，圆心为O，圆弧最低点D与水平面相切，OD处竖直放置一光滑挡板。现可视为质点的A、B两球通过轻杆连接，恰好静止于圆弧与挡板间。已知圆弧半径为R，杆长为，OA与竖直方向的夹角为30°，A、B两球的质量分别为、，圆弧对小球A的支持力为，挡板对B球的支持力为。下列说法正确的是（　　） A．＝ B．＝2 C．：＝2：1 D．：＝2：3 【变式3】如图为某兴趣小组制作的“互”字形木制模型正面图。模型分上下两部分，质量均为m，并用细线连接，其中细线1连接a、b两点，细线2连接c、d两点。当细线都绷紧时，整个模型竖直静止在水平地面上。则下列说法正确的是（　　） A．细线1对b无作用力 B．细线2对d无作用力 C．细线1对a的作用力大于对b的作用力 D．细线1对b的作用力大于细线2对c的作用力 考向二　共点力动态平衡 本考向聚焦共点力的动态平衡。考查解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理与辅助圆法，常以绳杆缓慢移动、悬挂转动、工程构件、无人机吊运等情境为载体。 考点四　解析法与图解法 ▎知识梳理 1．动态平衡 （1）控制某一量使物体缓慢变化，物体始终处于一系列平衡状态，叫动态平衡；基本思路是“化动为静、静中求动”。 （2）“缓慢”表示每一时刻都可视为平衡，合外力为零。 2．解析法 （1）对物体受力分析，列出平衡条件方程，用三角函数表示各力与角度的关系，再由角度变化判断力的变化。 （2）适用：能写出明确函数关系的情形。 3．图解法 （1）特征：一个力是恒力（大小、方向都不变，常为重力），另一个力方向不变，第三个力变化。 （2）从恒力末端沿“方向不变的力”的方向作射线，变力连接恒力始端与射线上的点、箭头指向恒力始端；变力在与该射线垂直时最小。 4．图解法结论 变力 F 与“方向不变的力”垂直时，F 取最小值；据此可判断力的变化趋势。 图4　图解法：变力垂直时最小 方法 内容 适用 / 记忆点 动态平衡 一系列平衡状态 缓慢、合外力为零 解析法 列方程、用三角函数 有明确函数关系 图解法 恒力 + 方向不变的力 + 变力 一力方向不变 最小值 变力垂直时最小 关键结论 作图要点 恒力大小方向不变 除变化量外一致 ▎重难诠释 动态平衡“缓慢”即每时刻平衡，合外力为零。 图解法：变力在与方向不变的力垂直时最小，不是“方向不变”时最小。 记忆点：“一力恒、一向定，变力垂直最省力”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，一块铁板AB下吸附了一块小磁铁，现将铁板在竖直面内绕A点向上逆时针缓慢转过一个小角度，磁铁始终未滑动，转动过程中，若磁铁对铁板的磁力方向始终垂直AB，大小保持不变，关于磁铁的受力，下列说法正确的是（　　） A．受到铁板的弹力减小 B．受到铁板的摩擦力减小 C．受到铁板的作用力增大 D．受到的吸引力与重力的合力增大 【变式1】如图所示，白板擦吸附在可大角度旋转的磁性白板正面，板擦与白板间有大小恒为F的磁力作用，板擦与白板接触面动摩擦因数为µ，将白板由竖直缓慢转过60°且保持正面朝上，白板擦始终保持相对静止。在旋转过程中，白板擦受到的摩擦力（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．等于µF 【变式2】如图所示是某运动员攀岩的情景示意图，通过用力拉手中的绳子使自己身体垂直岩壁缓慢竖直上升，不考虑脚与岩壁的摩擦力，则绳子的拉力F和岩壁对人的支持力如何变化（　　） A．F变大，变大 B．F变大，不变 C．F变小，变大 D．F变小，变小 【变式3】如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态，现对B施加一水平向右的外力F，使B缓慢向右移动，该过程中A环始终保持静止状态，则下列说法正确的是（　　） A．A环对杆的摩擦力变小 B．杆对B环的摩擦力变大 C．杆对B环的作用力不变 D．细绳对A环的拉力变小 考点五　相似三角形法与拉密定理 ▎知识梳理 1．相似三角形法 （1）特征：一个力是恒力（常为重力），两个变力的方向都随位置变化，且能找到与力三角形相似的空间几何三角形。 （2）力三角形与几何三角形相似，对应边成比例： 2．拉密定理（正弦定理） （1）三个共点力平衡时，每个力与另外两个力夹角的正弦之比相等： （2）适用：一个力恒定，两个变力方向都变，且两变力之间的夹角不变（或可由几何关系确定）。 3．辅助圆法 若恒力大小方向不变、两变力夹角恒定，则三个力的末端在同一圆周上，恒力为固定弦，可用辅助圆判断两变力的变化。 4．方法选择 一力方向不变用图解法；两力方向都变且有几何关系用相似三角形；两力方向都变且夹角不变用拉密定理或辅助圆。 图5　相似三角形：力三角形 ∽ 几何三角形 图6　辅助圆法：恒力为固定弦 方法 内容 适用 / 记忆点 相似三角形 两力方向变、有几何关系 拉密定理 三力、两变力夹角不变 辅助圆 恒力为固定弦 两变力夹角恒定 图解法 变力垂直时最小 一力方向不变 关键 对应边/角不能找错 角是对角 ▎重难诠释 相似三角形对应边不能找错；拉密的角是相邻力夹角，不是三角形内角。 辅助圆要求两变力夹角恒定，恒力为固定弦。 记忆点：“两力都变找相似，夹角不变用拉密”。 ▎热点·生活实例 低空经济·无人机吊运 随着“低空经济”发展，货运无人机已用于山区、农田吊运物资。无人机悬停吊运时，重力、绳的拉力以及空气升力构成平衡；当吊绳角度改变，可借助力三角形或拉密定理分析拉力变化，这正是动态平衡的实际应用。 图　无人机悬停吊运：各力构成平衡 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图甲，野营三脚架由三根对称分布的细杆构成，炊具与食物通过轻绳悬挂在三脚架顶端。盛取食物时，用光滑的铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆，如图乙所示。拉动吊绳过程中（　　） A．吊绳上的拉力变小 B．吊绳上的拉力变大 C．铁钩对绳的拉力变小 D．铁钩对绳的拉力变大 【变式1】如图所示，直杆AB倾斜固定在墙边，绕过动滑轮的轻绳C、D两端分别固定在直杆和竖直墙面上，动滑轮下面吊着重物，将轻绳C端沿杆缓慢移动（重物不着地）或将轻绳D端沿墙面缓慢移动，则下列判断正确的是（　　） A．轻绳C端沿杆向上缓慢移动，轻绳上张力减小 B．轻绳C端沿杆向下缓慢移动，轻绳上张力减小 C．轻绳D端沿墙面向上缓慢移动，轻绳上张力减小 D．轻绳D端沿墙面向下缓慢移动，轻绳上张力减小 【变式2】为了助推本地文旅的发展，2025年，大同推出了大型行进情景式演艺项目《如梦大同》，如甲图，演员们通过吊威亚在城墙上展现高超的表演技艺，为游客呈现了一场视觉盛宴！现将情景简化如乙图，一根不可伸长的绳索（不计质量）一端系于演员腰间O点，另一端系于城墙上的固定P点，该演员身体伸直，双脚蹬于城墙Q点，并保持平衡。已知∠OPQ＝37°，∠OQP＝45°，演员质量m＝70kg，城墙对演员的作用力始终沿着身体，重力加速度g取10，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．绳索对演员的拉力大小为400N B．城墙对演员的作用力大小为300N C．若保持Q点不动，将P点沿城墙缓慢上移稍许，绳索对演员的拉力大小一定增大 D．若保持Q点不动，将P点沿城墙缓慢下移稍许，城墙对演员的弹力大小一定增大 【变式3】如图，AO、BO为两根轻杆，一端A、B通过光滑铰链连接在水平地面，另一端在O点也通过光滑铰链连接在一起，∠OAB＝∠AOB＝30°，两根杆在同一竖直平面内，现在对O点施加一力F，初始时F沿水平方向，保证力F大小不变，顺时针缓慢旋转F直到竖直方向，AO杆、BO杆力的大小分别记为、，下列说法正确的是（　　） A．不断增大，不断减小 B．不断减小，不断增大 C．先增大后减小，先增大后减小 D．先减小后增大，先增大后减小 考向三　平衡中的临界与极值 本考向聚焦平衡中的临界与极值问题。考查临界状态分析、极值求解与自锁现象，常以滑轨、斜面、圆环、多体多杆等“恰好 / 刚好”情境为载体。 考点六　临界与极值问题 ▎知识梳理 1．临界问题 （1）当某一物理量变化时，物体的受力状态会发生“恰好出现”或“恰好不出现”的转折，这个转折状态叫临界状态。 （2）关键词：“刚好 / 恰能 / 恰好”，如绳刚好绷紧（T＝0）、物体刚好滑动（f＝μN）、恰好不脱离等。 2．极值问题 （1）在力的变化过程中，求某个力的最大值或最小值，叫极值问题。 （2）常用方法：图解法（变力垂直时最小）、解析法（二次函数、三角函数、均值不等式）。 3．解决临界极值的思路 （1）仔细分析临界条件，列临界方程并取等号； （2）对极值，先写出力的函数表达式，再用数学方法求极值，并结合物理约束检验。 4．摩擦角与自锁现象 摩擦角：接触面对物体的支持力与最大静摩擦力的合力（即接触面合力）与法线的夹角 φ，满足；它是接触面的固有属性。 自锁：当外力（或接触面合力）与法线的夹角小于摩擦角 φ（即合力落在摩擦锥内）时，无论外力多大，物体都不会发生滑动，称为自锁。 斜面上物体靠自重静止（自锁）的条件为 θ ≤ φ，即。 图7　摩擦角与自锁：合力落在摩擦锥内不滑动 类型 临界条件 方法 / 记忆点 绳绷紧 刚好绷紧，T＝0 取等号 滑动 刚好滑动，f＝μN 临界摩擦 脱离 恰好不脱离，N＝0 取等号 最小力 变力垂直时最小 图解法 自锁 θ ≤ φ，摩擦锥内 数学极值 二次函数 / 三角函数 结合物理约束 ▎重难诠释 临界关键词“刚好 / 恰好”，要分清“恰好出现”还是“恰好不出现”，并取等号。 极值要分清求哪个力的最大/最小值，数学解要结合物理约束检验。 记忆点：“临界取等号，极值找垂直，数学解要检验”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】在一次维修工作中，工人需要将重物提升至5楼。为防止重物在上升过程中碰撞阳台，工人采用了如图所示的装置进行提升。图中O处安装有一个定滑轮，AB为一段动摩擦因数μ＝0.75的滑轨，其水平跨度为16m，竖直高度为12m。在提升过程中，绳子与滑轨之间的夹角为α（重物在A点时，α＝5°）。工人通过拉动绳子，使质量为m的重物沿滑轨匀速上升。绳子质量、滑轮与绳子之间的摩擦力均忽略不计。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．绳上的拉力大小为 B．滑轨对重物的支持力先增大后减小 C．绳上的拉力一直增大 D．当夹角α＝37°时，绳上的拉力有最小值 【变式1】如图所示，倾角为α＝30°的斜面体固定在水平面上，质量为m的物体放在斜面体上，现用一外力作用在物体上，使物体沿斜面体向上做匀速运动，已知物体与斜面体间的动摩擦因数为，重力加速度为g，外力与斜面间的夹角为θ，sin30°＝0.5。下列说法正确的是（　　） A．物体轻轻地放在斜面体上，物体能沿斜面体下滑 B．θ＝0°时，外力的大小为1.2mg C．θ＝37°时，外力最小 D．外力的最小值为 【变式2】如图所示，有一劲度系数为k、自然长度为2R的橡皮筋，在橡皮筋上套有一光滑轻质小圆环，将橡皮筋的两端固定于间距为2R的P、Q两点。现用外力F拉小圆环，使其沿以PQ连线的中点为圆心、半径为R的圆周由P点缓慢移动到Q点。若橡皮筋的弹力大小满足胡克定律且一直在弹性限度内，则在圆环移动过程中F的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，三个质量均为m的相同的小物块A、B、C（可视为质点）静止在粗糙水平面上，三个物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。三根等长的轻杆一端分别通过光滑铰链连接在A、B、C上，另一端通过光滑铰链连接在O处，各杆与水平面间的夹角均为θ。现在O处上端连接一质量为M的平台，连接平台后三个物块恰好不发生滑动。则M与m之间的关系式正确的是（　　） A． B． C． D． ★ 综合练习 ★ 本部分精选15道选择题，覆盖本专题全部考点，请在规定时间内独立完成。 1．如图所示为圆心为O、半径为R、固定的光滑半球形碗的竖直截面图，碗口水平，一长为的轻杆两端连接质量为和的小球，分别静止在碗内的M、N两点，OD为竖直半径。已知＞，∠MOD＝45°，两小球均可视为质点，则：为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示是家庭晾晒衣物常用的圆形晾衣篮，四根等长的布条一端等间距固定在晾衣篮边缘，另一端系在挂钩上。若晾衣篮直径为60cm，每根布条的长度均为50cm，承受的最大拉力均为30N，不计晾衣篮质量，重力加速度g取10，则篮中放置衣物的最大质量为（　　） A．16kg B．9.6kg C．8kg D．7.2kg 3．为了保障用餐卫生，某餐厅将清洗干净后的碗放入消毒柜消毒后使用，其中，碗侧立放置在两个水平固定的等高的光滑直杆a、b中间，如图所示。碗可视作半径为R的半圆形，则下列表述正确的是（　　） A．若减小a、b间距，碗仍保持静止，碗的合力减小 B．若减小a、b间距，碗仍保持静止，a杆受到的弹力不变 C．若减小a、b间距，碗仍保持静止，b杆受到的弹力变小 D．若将半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，碗受到杆的作用力一定不变 4．如图所示，倾角为θ＝37°的斜面体固定在水平面上，物体P放在斜面体上，轻绳拴接在物体P上后跨过定滑轮与轻绳CD系于C点，结点下端悬挂物体Q，系统平衡时轻绳CD沿水平方向，AB与斜面体平行，BC与竖直方向的夹角为α＝53°，已知sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，重力加速度g取10。一切摩擦均可忽略。则物体P、Q的质量之比为（　　） A．25：9 B．5：3 C．25：16 D．5：4 5．如图甲所示，某同学为研究不同大小的球与桶间的弹力，抽象出如图乙所示的模型：三个质量均为m的光滑匀质球A、B、C叠放在水平地面上的竖直圆筒内，三个球A、B、C的半径之比为4：3：3，B、C之间恰好无挤压，三个球对桶侧壁的压力大小分别为、、，已知重力加速度大小为g，则下列关系正确的是（　　） A．＜mg B．＝mg C．＞ D．＞ 6．如图所示，半圆柱体固定放置在水平面上，两光滑的轻质定滑轮用轻杆固定在天花板上，且位于等高位置，半圆柱体的圆心O位于左侧定滑轮的正下方，质量为m的小球A和物体B用跨过定滑轮的轻质细绳拴接，小球放在半圆柱体上，系统平衡时细绳与竖直方向的夹角为α＝30°，小球跟圆心的连线与竖直方向的夹角为θ＝45°，小球可视为质点，不计小球与圆柱体之间的摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．半圆柱体对小球的支持力为 B．物体B的质量为 C．轻杆对右侧滑轮的作用力竖直向上 D．轻杆对左侧滑轮的作用力大小为 7．如图所示，长为的不可伸长的轻绳，穿过一光滑的轻圆环，两端固定在水平天花板上相距为l的P、Q两点，轻圆环下悬吊一重为G的物块。现用一水平力F缓慢地拉圆环，当圆环两侧轻绳的夹角为θ＝60°时，细绳的张力为T，则（　　） A．F＝G B． C． D． 8．如图所示，质量为m的物块静止在粗糙木板上，物块和木板间的动摩擦因数为。在木板上施加一个外力，使木板以左端和地面的接触点O为转轴，逆时针缓慢转过90°。该过程中物块始终未脱离木板，木板和地面未发生相对滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。该过程中物块所受摩擦力的大小f与木板和地面夹角θ的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，用一根轻绳将红辣椒穿起来，悬挂在墙面凸出的光滑的钉子上，两侧轻绳之间的夹角为θ。已知轻绳中的张力大小为，两侧轻绳对钉子作用力的合力大小为。忽略辣椒与墙面间的作用，若辣椒总质量不变，缩短轻绳并使夹角θ增大，则（　　） A．，不变 B．，变小 C．，变小 D．，不变 10．如图所示，两个相同的木模质量均为m，靠三根竖直细线连接，在水平面上按一个“互”字型静置，上方木模呈现悬浮效果，这是利用了建筑学中的“张拉整体”（Tensegrity）结构原理。图中长线a上的张力，短线b上张力为T、水平面所受压力满足（　　） A．，＜2mg B．，＝2mg C．，＜2mg D．，＝2mg 11．班级文艺晚会上，同学们在教室里挂上了红灯笼。如图所示，四个灯笼相同，AB、BC、CD、DE四根轻绳的长度也相同，绳的悬点A、E在同一水平杆上。下列说法正确的是（　　） A．AB绳与DE绳的拉力相同 B．AB绳与BC绳拉力的竖直分量大小相等 C．AB绳的拉力大小可能为BC绳拉力大小的2.5倍 D．BC绳与竖直方向夹角的正切值为AB绳与竖直方向夹角的正切值的2倍 12．如图所示，在竖直平面内用甲、乙两根筷子夹一个重为G的小球，两根筷子对小球弹力的作用点和球心在同一竖直平面内，甲筷子倾斜，且与竖直方向的夹角为θ（0°＜θ＜90°），乙筷子始终竖直。在θ缓慢变化过程中，小球始终保持静止，且筷子与小球间的摩擦忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．甲筷子对小球的弹力大小为 B．乙筷子对小球的弹力大小为 C．随着θ缓慢减小，两根筷子对小球的弹力均增大 D．随着θ缓慢减小，两根筷子对小球的合力将变大 13．如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”型轻杆，轻绳ON的一端O固定在杆上，中间某点M拴一小球，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α＝90°），现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程，物块始终保持静止，则（　　） A．OM上的弹力先减小后增大 B．MN上的弹力先增大后减小 C．此过程水平面对物块摩擦力最大时OM、MN两绳张力的大小相等 D．水平面对物块的支持力先增大后减小 14．如图所示，一半球固定在水平地面上，半球左侧面粗糙，右侧面光滑，O为球心。P、Q是两个质量相同的小物块，物块Q受到水平向左的力F作用，两物块均在半球面上静止。P、Q所处位置与球心O的连线与竖直方向的夹角分别为37°和53°，则P、Q对球面的压力大小之比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．12：25 D．25：12 15．如图所示，矩形小黑板用轻绳悬挂在光滑的钉子上，黑板静止时，钉子两侧的轻绳与黑板上边的夹角分别为α和β，且α＞β，则下列说法正确的是（　　） A．左侧轻绳的拉力较大 B．右侧轻绳的拉力较大 C．轻绳对钉子的作用力方向竖直向下 D．轻绳对钉子的作用力方向斜向右下方 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）· 江苏专用 · 专题06 共点力平衡 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题06　共点力平衡　【江苏专用】 2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 专题06　共点力平衡 2027年高考物理一轮复习 人教版（2019）　江苏专用 建议用时：70 分钟 题量：39 题 难度：★★★★☆ 版本：解析版 ● 内容概览 ● 01 　共点力静态平衡 　考点一　平衡条件与合成法 　考点二　正交分解法 　考点三　力的三角形法 02 　共点力动态平衡 　考点四　解析法与图解法 　考点五　相似三角形法与拉密定理 03 　平衡中的临界与极值 　考点六　临界与极值问题 04 　综合练习 ▎学习目标 1．理解共点力平衡的概念，明确平衡状态（静止或匀速直线运动），掌握共点力的平衡条件 F合＝0，会用正交分解形式 Fx＝0、Fy＝0 处理平衡问题。 2．掌握静态平衡的合成法、正交分解法和力的三角形法，能根据力的个数和特点选择合适的方法求解共点力。 3．理解动态平衡“化动为静”的思想，掌握解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理（正弦定理）和辅助圆法，能分析变力的变化趋势及最小值。 4．理解平衡中的临界与极值问题，能利用“恰好出现/恰好不出现”的临界条件和二次函数、三角函数等数学方法求力的最大值或最小值。 5．能将共点力平衡条件应用于生产生活、工程技术、体育运动和科技前沿等真实情境，提升模型建构与科学推理能力。 ▎课标与考情 【课标要求】能用共点力的平衡条件分析生产生活中的问题。结合力的合成与分解，理解共点力平衡的条件，能将较复杂的平衡问题转化为二力平衡或正交分解问题求解；通过分析动态平衡、临界与极值问题，发展模型建构、科学推理和科学论证能力。 【考情分析】江苏高考物理采用自主命题（满分100分，考试时间75分钟）：单项选择题10题（每题4分，共40分）；非选择题5题（含1道实验题和4道计算题，共60分）。共点力平衡是江苏高考的高频考点，常以选择题出现，也常作为计算题的基础环节：静态平衡的合成法、正交分解法、力的三角形法，动态平衡的解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理及辅助圆法，以及临界与极值问题是核心内容；题目常结合生产生活、体育运动、交通运输、工程技术、机器人和低空经济等真实情境，突出“化动为静”的几何分析。复习时要熟练掌握受力分析与几何作图，能判断各力的变化趋势和临界条件。 ▎思维导图 图1　共点力平衡知识网络 考向一　共点力静态平衡 本考向聚焦共点力的静态平衡。考查平衡状态与平衡条件、合成法、正交分解法和力的三角形法，常以生产生活、体育运动、吊装支撑、机器人等真实情境为载体。 考点一　平衡条件与合成法 ▎知识梳理 1．平衡状态 物体处于静止或匀速直线运动状态，称为平衡状态，其本质特征是加速度为零。注意“瞬时速度为零”不等于平衡，如竖直上抛运动的最高点。 2．共点力的平衡条件 合外力为零： （1）正交分解形式：。 （2）若物体在某一方向上不受力或该方向合力为零，则该方向上保持平衡。 3．平衡条件的两个重要推论 （1）物体受 n 个共点力平衡时，其中任意一个力，与其余（n−1）个力的合力等大反向。 （2）三个不平行的力平衡时，这三个力的矢量首尾相接，必组成一个封闭的三角形。 4．合成法（三力平衡） （1）对于三力平衡，先把其中两个力按平行四边形定则合成，其合力与第三个力等大反向。 （2）当两力互相垂直或等大时，用合成法最简便。 图1　合成法：、 的合力与 等大反向 项目 内容 适用 / 记忆点 平衡状态 静止或匀速直线运动 加速度为零，非“速度为零” 平衡条件 推论一 任一力与其余力合力等大反向 受 n 个共点力平衡 推论二 三力首尾相接成封闭三角形 三个不平行力 合成法 先合两力，与第三力等大反向 三力、两力垂直/等大 ▎重难诠释 平衡条件是合外力为零，不是“不受力”，也不是“速度为零”；瞬时速度为零（最高点）并不平衡。 合成法：三力平衡先合两力，合力与第三力等大反向，两力要按平行四边形定则。 记忆点：“平衡看合力，三力先合两力”。 ▎热点·生活实例 科技前沿·人形机器人稳定站立与行走 近年来人形机器人（如“天工”、宇树 H1/G1）快速发展。机器人站立或缓慢行走时，重力、地面支持力与脚掌的摩擦力共同作用，合外力始终保持为零；迈出一步、单脚支撑的瞬间，靠调整重心与脚掌摩擦维持平衡，这正是共点力平衡与临界摩擦的综合应用。 图　机器人缓慢行走：每一时刻合外力均为零 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图甲所示为烤肠机，香肠可视为质量为m的均匀圆柱体，静止在两根水平的平行金属杆中间，其截面图如图乙所示。金属杆1、2的圆心与烤肠圆心的连线与竖直方向的夹角均为θ，不计一切摩擦，重力加速度为g。则金属杆1、2对烤肠的作用力的合力大小为（　　） A． B．mg C． D． 【答案】B 【解答】解：对静止的烤肠受力分析可知 两个金属杆的支持力的合力与重力等大、反向、共线，以维持烤肠的平衡状态，故两个金属杆对烤肠的支持力的合力等于重力。故ACD错误，B正确。 故选：B。 【易错点】　平衡条件是“合外力为零”，不是“物体不受力”，也不是“速度为零”：静止要求合外力为零，但瞬时速度为零的物体合外力不一定为零（如竖直上抛的最高点）。合成法用于三力平衡：先把两力合成，其合力必须与第三力等大反向，即 ；两力合力要用平行四边形定则，不能直接相加减。 【变式1】吃重庆火锅烫毛肚讲究“七上八下”。如图，用筷子夹着一片质量为m的毛肚在空中竖直向上做匀速运动时，筷子与竖直方向夹角为θ，与毛肚间的动摩擦因数为μ，若重力加速度为g，不计空气阻力，则筷子对毛肚摩擦力的大小为（　　） A．mg B．mgsinθ C．μmgcosθ D．mgcosθ 【答案】D 【解答】解：毛肚在空中竖直向上做匀速运动，处于平衡状态，合力为零。对毛肚受力分析：毛肚受到三个力：竖直向下的重力mg，筷子对毛肚的支持力N与摩擦力f，受力分析如图所示： 根据平衡条件，筷子对毛肚摩擦力的大小为f＝mgcosθ，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式2】在工程领域起重机等机械的应用十分广泛。如图所示，用起重机竖直向上匀速吊起正方形混凝土板ABCD，已知混凝土板质量为m，始终呈水平状态，四根钢索OA、OB、OC、OD长度相同且与水平面之间的夹角均为45°，不计钢索所受重力。已知重力加速度为g，每根钢索所受的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：正方形混凝土板受到四根绳子的拉力，由对称性可知，四根绳子沿水平方向分力的矢量和为零，沿竖直方向的分力与正方形混凝土板的重力大小相等，方向相反，根据平衡条件有4Tsin45°＝mg 解得每根钢索所受的拉力大小 故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式3】我国的“四足机器狼”无人作战装备如图甲所示，其可远程操控、自主行动、灵活编组，实现陆上有人、无人协同作战新突破。若将质量为m的“机器狼”静置于倾角为θ的斜坡上，简化示意图如图乙所示。已知“机器狼”与斜坡间的动摩擦因数为μ，“机器狼”四足所受的摩擦力相同，重力加速度为g，则“机器狼”单足所受摩擦力的大小为（　　） A．mgsinθ B．μmgcosθ C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意“机器狼”静止于斜面上，沿斜面方向根据平衡条件，有4f＝mgsinθ 整理上式解得，故ABD错误，C正确。 故选：C。 考点二　正交分解法 ▎知识梳理 1．正交分解法 （1）把物体所受各力沿两个互相垂直的坐标轴分解，分别求 x、y 方向的合力，再令其分别为零。 （2）平衡条件： 2．坐标轴的选取 （1）原则上让尽可能多的力与坐标轴重合，使需要分解的力最少。 （2）常取水平、竖直方向；在斜面上常取沿斜面、垂直斜面方向。 3．正交分解的一般步骤 受力分析 → 建立坐标系 → 把各力分解到 x、y 轴 → 列 Fx＝0、Fy＝0 → 联立求解。 4．方法选择 三力平衡、两力垂直或等大时用合成法；力的个数较多（三个以上）或方向较复杂时，用正交分解法更稳妥。 图2　正交分解步骤：建立坐标系 → 分解重力 → 沿轴列平衡方程 方法 内容 适用 / 记忆点 合成法 先合两力、与第三力等大反向 三力、两力垂直/等大 正交分解 三个力以上 选轴 尽量多的力与轴重合 减少分解 常见选轴 水平、竖直 一般情境 斜面选轴 沿斜面、垂直斜面 斜面情境 ▎重难诠释 正交分解两个方向合力都要为零，不能只列一个方向；选轴使尽量多的力与轴重合。 sin、cos 不要弄混，分力方向不能画反。 记忆点：“三力以上用正交，选轴让力尽量靠轴”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】在一个装修施工现场，工人师傅用两根轻质绳悬挂一块长方体板材。如图，轻质绳P的一端固定在墙壁上，另一端系在长方体板材上，轻质绳Q的一端固定在地面上，另一端也系在长方体板材上，板材处于静止状态。已知长方体板材的质量m＝21kg，P绳与竖直方向的夹角α＝37°，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°，重力加速度大小g＝10，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则P绳对板材的拉力大小为（　　） A．210N B．420N C．480N D．600N 【答案】D 【解答】解：对长方体板材受力分析如图所示 P绳对板材的拉力大小为，根据平衡条件，在x方向有sinα﹣sinβ＝0 在y方向有cosα﹣cosβ＝mg 联立解得＝600N。故ABC错误，D正确。 故选：D。 【易错点】　正交分解时两个方向合力都要为零，即 ，不能只列一个方向；选轴应使尽量多的力与轴重合，以减少分解；分力方向不能画反，F 与 x 轴夹角为 θ 时 ，，sin、cos 不要弄混。 【变式1】图甲为一小朋友正在放风筝，此时风筝平面与水平面的夹角为30°，细线与风筝的夹角为60°（如图乙所示）。已知风筝的质量m＝1kg，该小朋友的质量M＝40kg，重力加速度g＝10。若小朋友和风筝均保持静止状态，则（　　） A．地面对小朋友的摩擦力为5N B．地面对小朋友的摩擦力为15N C．地面对小朋友的支持力为395N D．地面对小朋友的支持力为500N 【答案】C 【解答】解：对风筝和小朋友受力分析，如图所示： 对风筝，竖直方向根据平衡条件可得：Fcos30°＝Tcos60°+mg 水平方向根据平衡条件可得：Fsin30°＝Tsin60° 解得风筝线的拉力大小为：T＝10N 对小朋友，水平方向根据平衡条件可得：f＝Tcos30° 竖直方向根据平衡条件可得：Mg＝N+Tsin30° 解得：，N＝395N，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式2】如图所示，倾角为30°的固定粗糙斜面，质量为0.8kg的物块P与质量为0.3kg的配重块Q通过不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮连接。Q的下端与轻质弹簧相连，弹簧另一端固定在水平地面上，弹簧的劲度系数k＝200N/m。整个装置静止，此时弹簧伸长了2.5cm，重力加速度g取10。则斜面与物块P之间的作用力大小为（　　） A．8N B．4N C．4N D．0 【答案】A 【解答】解：弹簧弹力F＝kx＝200N/m×2.5cm＝5N，＝g＝0.3×10N＝3N，＝g＝0.8×10N＝8N，对P、Q受力分析如图所示： 对Q，由平衡条件可知T＝F+＝5N+3N＝8N， 对P，由平衡条件可知T＝sin30°+f，N＝cos30°，则斜面与P之间的作用力，代入数据可得＝8N，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式3】装修工人将质量为m的直角三角形置物架靠在竖直墙面上，置物架斜边与墙面夹角为α。 工人用一个垂直于斜边BC的推力F按压置物架，使其保持静止状态。则墙面对置物架的摩擦力大小为（　　） A．mg+Fsinα B．mg+Fcosα C．Fcosα D．Fsinα 【答案】A 【解答】解：置物架保持静止状态，处于平衡状态。以置物架为研究对象，分析其受力。在竖直方向上，置物架受到竖直向下的重力mg、推力F以及墙面对其竖直向上的支持力N和静摩擦力f，如图所示： 由几何关系可知，推力F垂直于斜边BC，且斜边BC与竖直方向的夹角为α，则推力F的方向与水平方向的夹角为α，其沿竖直向下的分力大小为＝Fsinα 根据竖直方向受力平衡有f＝mg+Fsinα，故A正确，BCD错误。 故选：A。 考点三　力的三角形法 ▎知识梳理 1．力的三角形法 （1）三力平衡时，把三个力的矢量依次平移，使它们首尾相接，必组成一个封闭的力三角形。 （2）根据三角形的边角关系（正弦定理、三角函数），即可求各力的大小。 2．力三角形的意义 力三角形是各力矢量平移得到的，只表示力的大小和方向，不表示力的作用点，也不是物体的运动轨迹。 3．正弦定理与拉密定理 （1）力三角形中用正弦定理： （2）力三角形中各角是三角形内角；拉密定理中各角是相邻两力的夹角，二者互为补角，sin 值相同。 4．适用情形 三个力平衡、方向之间夹角关系清楚时（如节点、支架、绳杆），用力三角形法最直观。 图3　三力首尾相接组成封闭三角形 项目 内容 记忆点 力三角形 三力首尾相接、封闭 三力平衡 力三角形意义 只表示大小、方向 不是运动轨迹 正弦定理 用三角形内角 拉密定理 用相邻力夹角 与内角互补，sin 相同 适用情形 节点、支架、绳杆 夹角关系清楚 ▎重难诠释 力三角形必须首尾相接、封闭；接成“箭头对箭头”就不是平衡。 力三角形不是运动轨迹，也不表示作用点。 记忆点：“三力平移首尾连，封闭三角即平衡”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，一质量为m的小球用一端固定在天花板上的轻弹簧和一端固定在竖直墙上的轻绳连接。小球处于静止状态，轻绳与墙的夹角为74°，弹簧轴线与轻绳的夹角为37°，整个系统处于同一竖直平面内。已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，，。下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力大小为2mg B．轻绳的拉力大小为 C．弹簧的伸长量为 D．弹簧的伸长量为 【答案】C 【解答】解：AB、小球静止时，受力分析如图所示： 根据平衡条件结合图中几何关系可知：轻绳的拉力大小为T＝mg，弹簧的弹力大小为，故AB错误； CD．由胡克定律可知F＝kx，解得此时弹簧的伸长量为，故C正确，D错误。 故选：C。 【易错点】　力的三角形中三个力必须首尾相接（箭头接箭尾），三角形封闭才表示合力为零；若接成“箭头对箭头”就不是平衡。矢量三角形只表示各力的大小和方向，不是物体的实际运动轨迹；“共点辐射”与“封闭三角形”两种画法等价。 【变式1】用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c与水平方向的夹角为30°。则细线b对小球2的拉力大小为（　　） A．G B． C． D．G 【答案】A 【解答】解：将1与2两个小球作为整体进行受力分析，如图所示： 三力平衡可围成三角形，根据平衡条件可得：＝2Gsin30°＝G 单独对球2受力分析，如图所示： 由于自身重力G与大小相等，且夹角为120°，根据几何关系可得第三个力＝G，方向也与重力G成120°，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式2】如图所示，光滑圆弧固定在水平地面上，圆心为O，圆弧最低点D与水平面相切，OD处竖直放置一光滑挡板。现可视为质点的A、B两球通过轻杆连接，恰好静止于圆弧与挡板间。已知圆弧半径为R，杆长为，OA与竖直方向的夹角为30°，A、B两球的质量分别为、，圆弧对小球A的支持力为，挡板对B球的支持力为。下列说法正确的是（　　） A．＝ B．＝2 C．：＝2：1 D．：＝2：3 【答案】C 【解答】解：设杆对两球的作用力大小均为F，对A、B两球分别受力分析如图，由几何关系知△OAB为等腰三角形，且两小角均为30°，对每个小球由平衡可知F＝g，，F＝2g， 可得＝2，：＝2：1 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式3】如图为某兴趣小组制作的“互”字形木制模型正面图。模型分上下两部分，质量均为m，并用细线连接，其中细线1连接a、b两点，细线2连接c、d两点。当细线都绷紧时，整个模型竖直静止在水平地面上。则下列说法正确的是（　　） A．细线1对b无作用力 B．细线2对d无作用力 C．细线1对a的作用力大于对b的作用力 D．细线1对b的作用力大于细线2对c的作用力 【答案】D 【解答】解：AB、根据题意分析可知，细线提供沿细线的拉力，因为细线都绷紧，则细线1对b点的拉力方向向上，细线2对d点的拉力方向向上，故AB错误； CD、根据题意分析可知，对模型上部分受力分析，根据受力平衡有＝+mg 可知细线1的拉力大于细线2的拉力，故C错误，D正确。 故选：D。 考向二　共点力动态平衡 本考向聚焦共点力的动态平衡。考查解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理与辅助圆法，常以绳杆缓慢移动、悬挂转动、工程构件、无人机吊运等情境为载体。 考点四　解析法与图解法 ▎知识梳理 1．动态平衡 （1）控制某一量使物体缓慢变化，物体始终处于一系列平衡状态，叫动态平衡；基本思路是“化动为静、静中求动”。 （2）“缓慢”表示每一时刻都可视为平衡，合外力为零。 2．解析法 （1）对物体受力分析，列出平衡条件方程，用三角函数表示各力与角度的关系，再由角度变化判断力的变化。 （2）适用：能写出明确函数关系的情形。 3．图解法 （1）特征：一个力是恒力（大小、方向都不变，常为重力），另一个力方向不变，第三个力变化。 （2）从恒力末端沿“方向不变的力”的方向作射线，变力连接恒力始端与射线上的点、箭头指向恒力始端；变力在与该射线垂直时最小。 4．图解法结论 变力 F 与“方向不变的力”垂直时，F 取最小值；据此可判断力的变化趋势。 图4　图解法：变力垂直时最小 方法 内容 适用 / 记忆点 动态平衡 一系列平衡状态 缓慢、合外力为零 解析法 列方程、用三角函数 有明确函数关系 图解法 恒力 + 方向不变的力 + 变力 一力方向不变 最小值 变力垂直时最小 关键结论 作图要点 恒力大小方向不变 除变化量外一致 ▎重难诠释 动态平衡“缓慢”即每时刻平衡，合外力为零。 图解法：变力在与方向不变的力垂直时最小，不是“方向不变”时最小。 记忆点：“一力恒、一向定，变力垂直最省力”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，一块铁板AB下吸附了一块小磁铁，现将铁板在竖直面内绕A点向上逆时针缓慢转过一个小角度，磁铁始终未滑动，转动过程中，若磁铁对铁板的磁力方向始终垂直AB，大小保持不变，关于磁铁的受力，下列说法正确的是（　　） A．受到铁板的弹力减小 B．受到铁板的摩擦力减小 C．受到铁板的作用力增大 D．受到的吸引力与重力的合力增大 【答案】D 【解答】解：AB、对磁铁受力分析如图所示： 将力正交分解，有F＝mgcosθ+，＝mgsinθ，倾角θ增大，吸引力F不变，则弹力增大，摩擦力增大，故A、B错误； C、磁铁受到铁板的作用力与重力等大反向，大小不变，故C错误； D、磁铁受到的吸引力和重力大小不变，θ增大，两个力的夹角减小，则合力增大，故D正确。 故选：D。 【易错点】　图解法适用于“一个力恒力、另一个力方向不变”的情形；动态过程中变力不是在“力的方向不变”时最小，而是在变力与方向不变的力垂直时最小（Fmin）。各位置作图时恒力的大小、方向都要保持不变，矢量三角形中除变化量外其余都应一致。 【变式1】如图所示，白板擦吸附在可大角度旋转的磁性白板正面，板擦与白板间有大小恒为F的磁力作用，板擦与白板接触面动摩擦因数为µ，将白板由竖直缓慢转过60°且保持正面朝上，白板擦始终保持相对静止。在旋转过程中，白板擦受到的摩擦力（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．等于µF 【答案】B 【解答】解：设白板与水平面的夹角为α，板擦相对白板静止，静摩擦力沿板面向上，如图所示： 沿板面方向由共点力平衡条件得f﹣mgsinα＝0 所以静摩擦力大小为：f＝mgsinα，旋转过程中α由90°减小到30°，静摩擦力一直减小，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式2】如图所示是某运动员攀岩的情景示意图，通过用力拉手中的绳子使自己身体垂直岩壁缓慢竖直上升，不考虑脚与岩壁的摩擦力，则绳子的拉力F和岩壁对人的支持力如何变化（　　） A．F变大，变大 B．F变大，不变 C．F变小，变大 D．F变小，变小 【答案】A 【解答】解：设人的质量为m，对人受力分析，人受绳子的拉力F和岩壁对人的支持力，F和以及重力mg可以构成封闭的矢量三角形，如下图所示： 根据平衡条件可得Fcosα＝mg，Fsinα＝ 可得，＝mgtanα 人缓慢竖直上升过程，α逐渐变大，则F变大，变大，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式3】如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态，现对B施加一水平向右的外力F，使B缓慢向右移动，该过程中A环始终保持静止状态，则下列说法正确的是（　　） A．A环对杆的摩擦力变小 B．杆对B环的摩擦力变大 C．杆对B环的作用力不变 D．细绳对A环的拉力变小 【答案】C 【解答】解：D、根据题意分析可知，对B施加外力F前，两细绳与竖直方向的夹角设为θ，由对称性可知两细绳上的拉力相等，设为，设书的重力为G。由竖直方向的平衡得2cosθ＝G 得 B缓慢向右移动后，θ变大，cosθ变小，故细绳对A环的拉力变大，故D错误； A、根据题意分析可知，A环受到的摩擦力， B缓慢向右移动后，θ变大，tanθ变大，A环受到的摩擦力变大，由牛顿第三定律得 A环对杆的摩擦力′也变大，故A错误； B、根据题意分析可知，B受到杆的支持力，不变，B缓慢向右移动过程中，B受到杆的滑动摩擦力，不变，故B错误； C、根据题意分析可知，杆对B环的作用力为和合力，因和大小和方向都不变，故它们的合力大小和方向也不变，故C正确。 故选：C。 考点五　相似三角形法与拉密定理 ▎知识梳理 1．相似三角形法 （1）特征：一个力是恒力（常为重力），两个变力的方向都随位置变化，且能找到与力三角形相似的空间几何三角形。 （2）力三角形与几何三角形相似，对应边成比例： 2．拉密定理（正弦定理） （1）三个共点力平衡时，每个力与另外两个力夹角的正弦之比相等： （2）适用：一个力恒定，两个变力方向都变，且两变力之间的夹角不变（或可由几何关系确定）。 3．辅助圆法 若恒力大小方向不变、两变力夹角恒定，则三个力的末端在同一圆周上，恒力为固定弦，可用辅助圆判断两变力的变化。 4．方法选择 一力方向不变用图解法；两力方向都变且有几何关系用相似三角形；两力方向都变且夹角不变用拉密定理或辅助圆。 图5　相似三角形：力三角形 ∽ 几何三角形 图6　辅助圆法：恒力为固定弦 方法 内容 适用 / 记忆点 相似三角形 两力方向变、有几何关系 拉密定理 三力、两变力夹角不变 辅助圆 恒力为固定弦 两变力夹角恒定 图解法 变力垂直时最小 一力方向不变 关键 对应边/角不能找错 角是对角 ▎重难诠释 相似三角形对应边不能找错；拉密的角是相邻力夹角，不是三角形内角。 辅助圆要求两变力夹角恒定，恒力为固定弦。 记忆点：“两力都变找相似，夹角不变用拉密”。 ▎热点·生活实例 低空经济·无人机吊运 随着“低空经济”发展，货运无人机已用于山区、农田吊运物资。无人机悬停吊运时，重力、绳的拉力以及空气升力构成平衡；当吊绳角度改变，可借助力三角形或拉密定理分析拉力变化，这正是动态平衡的实际应用。 图　无人机悬停吊运：各力构成平衡 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图甲，野营三脚架由三根对称分布的细杆构成，炊具与食物通过轻绳悬挂在三脚架顶端。盛取食物时，用光滑的铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆，如图乙所示。拉动吊绳过程中（　　） A．吊绳上的拉力变小 B．吊绳上的拉力变大 C．铁钩对绳的拉力变小 D．铁钩对绳的拉力变大 【答案】D 【解答】解：AB、铁钩光滑，拉动吊绳过程中，炊具与食物处于平衡状态，故绳子的拉力等于炊具与食物的重力，故大小不变，AB错误； CD、由题意，炊具处于动态平衡状态，绳上的力处处大小相等，设上、下段吊绳的拉力均为T，炊具重力为G，则T＝G 设上、下段吊绳的夹角为θ，铁钩对绳的拉力为F，根据平衡条件，上、下段吊绳拉力的合力等于铁钩对绳的拉力为F 则 铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆过程中，θ从180°开始减小，则增大，因此铁钩对绳的拉力F变大，故C错误，D正确。 故选：D。 【易错点】　相似三角形法要求力三角形与空间几何三角形相似，对应边不能找错，比例为 ；拉密定理只适用于共点三力平衡，，其中各角是相邻两力的夹角（对角），不要与三角形内角混淆；辅助圆法要求两变力夹角恒定，恒力为固定弦。 【变式1】如图所示，直杆AB倾斜固定在墙边，绕过动滑轮的轻绳C、D两端分别固定在直杆和竖直墙面上，动滑轮下面吊着重物，将轻绳C端沿杆缓慢移动（重物不着地）或将轻绳D端沿墙面缓慢移动，则下列判断正确的是（　　） A．轻绳C端沿杆向上缓慢移动，轻绳上张力减小 B．轻绳C端沿杆向下缓慢移动，轻绳上张力减小 C．轻绳D端沿墙面向上缓慢移动，轻绳上张力减小 D．轻绳D端沿墙面向下缓慢移动，轻绳上张力减小 【答案】A 【解答】解：A、轻绳上各处张力大小相等，设滑轮两边轻绳间的夹角为θ，则根据力的平衡可知 轻绳C端缓慢沿杆向上移动，滑轮两边轻绳间的夹角变小，增大，轻绳上的张力减小，A正确； B、结合上述选项分析所得，轻绳C端缓慢沿杆向下移动，滑轮两边轻绳间的夹角变大，减小，轻绳上的张力增大，B错误； CD、轻绳D端缓慢沿墙面向上或向下移动，绳长为l，C、D点水平距离为d，如图所示 根据几何关系可知 α不变，故滑轮两边轻绳间的夹角不变，则θ不变，因此结合上述选项分析所得可知轻绳上的张力不变，CD错误。 故选：A。 【变式2】为了助推本地文旅的发展，2025年，大同推出了大型行进情景式演艺项目《如梦大同》，如甲图，演员们通过吊威亚在城墙上展现高超的表演技艺，为游客呈现了一场视觉盛宴！现将情景简化如乙图，一根不可伸长的绳索（不计质量）一端系于演员腰间O点，另一端系于城墙上的固定P点，该演员身体伸直，双脚蹬于城墙Q点，并保持平衡。已知∠OPQ＝37°，∠OQP＝45°，演员质量m＝70kg，城墙对演员的作用力始终沿着身体，重力加速度g取10，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．绳索对演员的拉力大小为400N B．城墙对演员的作用力大小为300N C．若保持Q点不动，将P点沿城墙缓慢上移稍许，绳索对演员的拉力大小一定增大 D．若保持Q点不动，将P点沿城墙缓慢下移稍许，城墙对演员的弹力大小一定增大 【答案】D 【解答】解：AB、对演员受力分析如图所示： 将力正交分解，在水平方向有sin37°＝sin45°，在竖直方向有cos37°+cos45°＝mg，代入数据可得＝500N，，故AB错误； C、演员受力的矢量三角形和△OPQ相似，有， 当Q点不动，将P点沿城墙缓慢上移稍许，即PQ增大，OP、OQ均不变，则、均减小，故C错误； D、同理可知当Q点不动，将P点沿城墙缓慢下移稍许，即PQ减小，OP、OQ均不变，则增大，城墙对演员的弹力大小＝sin∠OQP，∠OQP增大，也一定增大，故D正确。 故选：D。 【变式3】如图，AO、BO为两根轻杆，一端A、B通过光滑铰链连接在水平地面，另一端在O点也通过光滑铰链连接在一起，∠OAB＝∠AOB＝30°，两根杆在同一竖直平面内，现在对O点施加一力F，初始时F沿水平方向，保证力F大小不变，顺时针缓慢旋转F直到竖直方向，AO杆、BO杆力的大小分别记为、，下列说法正确的是（　　） A．不断增大，不断减小 B．不断减小，不断增大 C．先增大后减小，先增大后减小 D．先减小后增大，先增大后减小 【答案】C 【解答】解：杆通过铰链连接，则杆的力沿杆的方向，且由于AB两点距离固定，在F转动的过程中，O点不动，处于动态平衡。两杆方向固定，、方向固定，夹角∠AOB＝30°为定值，外力F绕O点顺时针旋转。由正弦定理知，其中α从30°增加到120°、β从120°变30°，F大小不变，所对应角度始终为30°，受力分析如图所示。 力F大小不变，顺时针缓慢旋转F直到竖直方向，先增大后减小，先增大后减小。故C正确，ABD错误。 故选：C。 考向三　平衡中的临界与极值 本考向聚焦平衡中的临界与极值问题。考查临界状态分析、极值求解与自锁现象，常以滑轨、斜面、圆环、多体多杆等“恰好 / 刚好”情境为载体。 考点六　临界与极值问题 ▎知识梳理 1．临界问题 （1）当某一物理量变化时，物体的受力状态会发生“恰好出现”或“恰好不出现”的转折，这个转折状态叫临界状态。 （2）关键词：“刚好 / 恰能 / 恰好”，如绳刚好绷紧（T＝0）、物体刚好滑动（f＝μN）、恰好不脱离等。 2．极值问题 （1）在力的变化过程中，求某个力的最大值或最小值，叫极值问题。 （2）常用方法：图解法（变力垂直时最小）、解析法（二次函数、三角函数、均值不等式）。 3．解决临界极值的思路 （1）仔细分析临界条件，列临界方程并取等号； （2）对极值，先写出力的函数表达式，再用数学方法求极值，并结合物理约束检验。 4．摩擦角与自锁现象 摩擦角：接触面对物体的支持力与最大静摩擦力的合力（即接触面合力）与法线的夹角 φ，满足；它是接触面的固有属性。 自锁：当外力（或接触面合力）与法线的夹角小于摩擦角 φ（即合力落在摩擦锥内）时，无论外力多大，物体都不会发生滑动，称为自锁。 斜面上物体靠自重静止（自锁）的条件为 θ ≤ φ，即。 图7　摩擦角与自锁：合力落在摩擦锥内不滑动 类型 临界条件 方法 / 记忆点 绳绷紧 刚好绷紧，T＝0 取等号 滑动 刚好滑动，f＝μN 临界摩擦 脱离 恰好不脱离，N＝0 取等号 最小力 变力垂直时最小 图解法 自锁 θ ≤ φ，摩擦锥内 数学极值 二次函数 / 三角函数 结合物理约束 ▎重难诠释 临界关键词“刚好 / 恰好”，要分清“恰好出现”还是“恰好不出现”，并取等号。 极值要分清求哪个力的最大/最小值，数学解要结合物理约束检验。 记忆点：“临界取等号，极值找垂直，数学解要检验”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】在一次维修工作中，工人需要将重物提升至5楼。为防止重物在上升过程中碰撞阳台，工人采用了如图所示的装置进行提升。图中O处安装有一个定滑轮，AB为一段动摩擦因数μ＝0.75的滑轨，其水平跨度为16m，竖直高度为12m。在提升过程中，绳子与滑轨之间的夹角为α（重物在A点时，α＝5°）。工人通过拉动绳子，使质量为m的重物沿滑轨匀速上升。绳子质量、滑轮与绳子之间的摩擦力均忽略不计。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．绳上的拉力大小为 B．滑轨对重物的支持力先增大后减小 C．绳上的拉力一直增大 D．当夹角α＝37°时，绳上的拉力有最小值 【答案】D 【解答】解：AB、由几何关系可知滑轨倾角θ＝37°，对重物受力分析如图所示： 将力正交分解，有Fcosα＝mgsinθ+f，Fsinα+N＝mgcosθ，又f＝μN，代入数据可得F，，重物上升过程中α逐渐增大，则支持力N一直减小，故AB错误； CD、将F表达式整理可得，当α＝37°时，F最小，所以α从5°逐渐增大时，F先减小（α＜37°）后增大（α＞37°），故C错误，D正确。 故选：D。 【易错点】　临界条件关键词是“刚好/恰好/恰能”，要弄清是“恰好出现”还是“恰好不出现”，并据此取等号（如绳刚好绷紧 T＝0、刚好滑动 f＝μN）；极值要分清求哪个力的最大还是最小值，常用变力垂直时最小、三角函数或二次函数求解，并结合物理约束舍去不合理的数学解。 【变式1】如图所示，倾角为α＝30°的斜面体固定在水平面上，质量为m的物体放在斜面体上，现用一外力作用在物体上，使物体沿斜面体向上做匀速运动，已知物体与斜面体间的动摩擦因数为，重力加速度为g，外力与斜面间的夹角为θ，sin30°＝0.5。下列说法正确的是（　　） A．物体轻轻地放在斜面体上，物体能沿斜面体下滑 B．θ＝0°时，外力的大小为1.2mg C．θ＝37°时，外力最小 D．外力的最小值为 【答案】D 【解答】解：A．物体放在斜面上时，重力沿斜面方向的分力mgsinα＝mgsin30°＝0.5mg；将滑动摩擦力等效为最大静摩擦力有，可知重力沿斜面向下的分力大小等于斜面能提供的最大静摩擦力，物体受力平衡，保持静止状态，不会沿斜面下滑，故A错误。 B．当θ＝0°时外力方向平行斜面向上，沿斜面方向根据平衡条件可得外力F＝mgsinα+μmgcosα＝0.5mg+0.5mg＝mg，故B错误。 CD．物体匀速上滑，沿斜面、垂直斜面分别列受力平衡。沿斜面方向有Fcosθ＝mgsinα+μN，垂直斜面方向有N+Fsinθ＝mgcosα，联立可得。分母取最大值时F最小，由数学知识得分母最大值出现在，即θ＝30°；解得外力的最小值，故C错误，D正确。 故选：D。 【变式2】如图所示，有一劲度系数为k、自然长度为2R的橡皮筋，在橡皮筋上套有一光滑轻质小圆环，将橡皮筋的两端固定于间距为2R的P、Q两点。现用外力F拉小圆环，使其沿以PQ连线的中点为圆心、半径为R的圆周由P点缓慢移动到Q点。若橡皮筋的弹力大小满足胡克定律且一直在弹性限度内，则在圆环移动过程中F的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：小球移动到某位置时如图所示： 移动过程中两橡皮筋间的夹角恒为90°不变，对小环，由平衡条件可知，由几何关系可知橡皮筋的伸长量x＝2R（sinθ+cosθ﹣1）， 则当θ＝45°时，F有最大值，代入数据可得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式3】如图所示，三个质量均为m的相同的小物块A、B、C（可视为质点）静止在粗糙水平面上，三个物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。三根等长的轻杆一端分别通过光滑铰链连接在A、B、C上，另一端通过光滑铰链连接在O处，各杆与水平面间的夹角均为θ。现在O处上端连接一质量为M的平台，连接平台后三个物块恰好不发生滑动。则M与m之间的关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设每根杆对平台的弹力大小为F，根据对称性和平衡条件，对平台分析，竖直方向上有3Fsinθ＝Mg 根据牛顿第三定律可知杆对物块的推力大小为 对任意一个物块进行受力分析，物块受到重力mg、地面的支持力N、杆沿杆向下的推力F和地面的静摩擦力f。竖直方向平衡，有 水平方向平衡，有 物块恰好不发生滑动，说明静摩擦力达到最大值，即f＝μN 联立上述方程得 整理得M＝3μmtanθ+μMtanθ 解得，故A项正确，BCD错误。 故选：A。 ★ 综合练习 ★ 本部分精选15道选择题，覆盖本专题全部考点，请在规定时间内独立完成。 1．如图所示为圆心为O、半径为R、固定的光滑半球形碗的竖直截面图，碗口水平，一长为的轻杆两端连接质量为和的小球，分别静止在碗内的M、N两点，OD为竖直半径。已知＞，∠MOD＝45°，两小球均可视为质点，则：为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设轻杆对两球的弹力大小为F。两球在碗内静止，受力平衡。 由几何关系可知，杆长，碗半径为R，在△MON中，OM＝ON＝R，由余弦定理得 解得，则∠MON＝120° 因为△MON为等腰三角形，所以∠OMN＝∠ONM＝30° 已知∠MOD＝45°，则∠NOD＝120°﹣45°＝75° 根据平衡条件可得，M球沿碗的切线方向有gsin45°＝Fcos（90°﹣30°）＝Fcos60° N球沿切线方向有gsin75°＝Fcos60° 两式相除可得，即，故ACD错误，B正确。 故选：B。 2．如图所示是家庭晾晒衣物常用的圆形晾衣篮，四根等长的布条一端等间距固定在晾衣篮边缘，另一端系在挂钩上。若晾衣篮直径为60cm，每根布条的长度均为50cm，承受的最大拉力均为30N，不计晾衣篮质量，重力加速度g取10，则篮中放置衣物的最大质量为（　　） A．16kg B．9.6kg C．8kg D．7.2kg 【答案】B 【解答】解：晾衣篮直径为60cm，故半径r＝30cm，每根布条长度L＝50cm。 设布条与竖直方向的夹角为θ，布条为斜边，晾衣篮半径为水平直角边，由勾股定理可得布条对应的竖直方向的高度 结合几何关系可得 当布条拉力达到所能承受的最大拉力＝30N时，篮内衣物的质量达到最大值。 不计晾衣篮质量，四根布条拉力的竖直分力的合力与衣物的重力大小相等，有4cosθ＝mg，可得衣物最大质量，故ACD错误，B正确。 故选：B。 3．为了保障用餐卫生，某餐厅将清洗干净后的碗放入消毒柜消毒后使用，其中，碗侧立放置在两个水平固定的等高的光滑直杆a、b中间，如图所示。碗可视作半径为R的半圆形，则下列表述正确的是（　　） A．若减小a、b间距，碗仍保持静止，碗的合力减小 B．若减小a、b间距，碗仍保持静止，a杆受到的弹力不变 C．若减小a、b间距，碗仍保持静止，b杆受到的弹力变小 D．若将半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，碗受到杆的作用力一定不变 【答案】C 【解答】解：A．碗维持竖直静止的平衡状态，碗的合力固定为0，不会随着a、b间距缩小出现合力减小的变化，故A错误。 BC．对碗进行受力分析，如图所示： 设b杆对碗的弹力与竖直方向形成的夹角为θ，则＝Gtanθ，。当a、b的间距被缩小时，夹角θ会随之变小，a杆受到的弹力减小，b杆受到的弹力减小，故B错误，C正确。 D．杆对碗的作用力与碗的重力等大反向，将半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，未说明碗的质量是否相同，所以碗受到杆的作用力可能变化，故D错误。 故选：C。 4．如图所示，倾角为θ＝37°的斜面体固定在水平面上，物体P放在斜面体上，轻绳拴接在物体P上后跨过定滑轮与轻绳CD系于C点，结点下端悬挂物体Q，系统平衡时轻绳CD沿水平方向，AB与斜面体平行，BC与竖直方向的夹角为α＝53°，已知sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，重力加速度g取10。一切摩擦均可忽略。则物体P、Q的质量之比为（　　） A．25：9 B．5：3 C．25：16 D．5：4 【答案】A 【解答】解：对结点C受力分析：结点C受三个力：BC绳拉力T、CD绳水平拉力、重物的拉力，其中重物对C点的拉力等于Q的重力g。已知BC与竖直方向夹角α＝53°，竖直方向平衡得 Tcosα＝g 解得BC段绳的拉力大小 对物体P受力分析，P静止在倾角θ＝37°的光滑斜面上，绳子AB与斜面平行，沿斜面方向由平衡条件可得T＝gsinθ 可得T＝0.6g 联立得：＝25：9，故A正确，BCD错误。 故选：A。 5．如图甲所示，某同学为研究不同大小的球与桶间的弹力，抽象出如图乙所示的模型：三个质量均为m的光滑匀质球A、B、C叠放在水平地面上的竖直圆筒内，三个球A、B、C的半径之比为4：3：3，B、C之间恰好无挤压，三个球对桶侧壁的压力大小分别为、、，已知重力加速度大小为g，则下列关系正确的是（　　） A．＜mg B．＝mg C．＞ D．＞ 【答案】A 【解答】解：AB、对B球研究，受力如图所示 结合平衡条件＝mgtanθ 代入数据可得，故A正确，B错误。 CD、对三球整体进行受力分析，水平方向有+＝，故＞，＞，故CD错误； 故选：A。 6．如图所示，半圆柱体固定放置在水平面上，两光滑的轻质定滑轮用轻杆固定在天花板上，且位于等高位置，半圆柱体的圆心O位于左侧定滑轮的正下方，质量为m的小球A和物体B用跨过定滑轮的轻质细绳拴接，小球放在半圆柱体上，系统平衡时细绳与竖直方向的夹角为α＝30°，小球跟圆心的连线与竖直方向的夹角为θ＝45°，小球可视为质点，不计小球与圆柱体之间的摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．半圆柱体对小球的支持力为 B．物体B的质量为 C．轻杆对右侧滑轮的作用力竖直向上 D．轻杆对左侧滑轮的作用力大小为 【答案】D 【解答】解：AB、根据题意分析可知，设物体B的质量为M，物体B所受拉力为F，则有F＝Mg 对小球A受力分析，如图所示 由正弦定理得 解得，，故AB错误； C、根据题意分析可知，右侧滑轮受两侧轻绳的拉力以及轻杆的作用力，由力的平衡条件可知两轻绳作用力的合力与轻杆的作用力大小相等、方向相反，所以轻杆对右侧滑轮的作用力方向斜向右上方，故C错误； D、根据题意分析可知，左侧滑轮受两侧轻绳的拉力以及轻杆的作用力，根据几何关系分析可知两侧轻绳的夹角为120° 由力的平衡条件可知两轻绳作用力的合力与轻杆的作用力大小相等、方向相反；又，所以轻杆对左侧滑轮的作用力大小为，故D正确。 故选：D。 7．如图所示，长为的不可伸长的轻绳，穿过一光滑的轻圆环，两端固定在水平天花板上相距为l的P、Q两点，轻圆环下悬吊一重为G的物块。现用一水平力F缓慢地拉圆环，当圆环两侧轻绳的夹角为θ＝60°时，细绳的张力为T，则（　　） A．F＝G B． C． D． 【答案】B 【解答】解：以圆环为研究对象，受力如图所示： 圆环所受重物的拉力G及水平拉力F的合力与水平方向的夹角为α，则有： 合力大小为： 情景如图所示，P、Q两点沿垂直方向的距离： 而： 根据力的合成结合平衡条件可得： 联立并代入数据解得：，，故B正确，ACD错误。 故选：B。 8．如图所示，质量为m的物块静止在粗糙木板上，物块和木板间的动摩擦因数为。在木板上施加一个外力，使木板以左端和地面的接触点O为转轴，逆时针缓慢转过90°。该过程中物块始终未脱离木板，木板和地面未发生相对滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。该过程中物块所受摩擦力的大小f与木板和地面夹角θ的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：整个过程分为静摩擦力和滑动摩擦力两个阶段。当物块刚好要滑动时，由平衡条件有mgsinθ＝μmgcosθ 可得，则 阶段，物块受到的是静摩擦力。木板缓慢转动，物块静止，受力平衡，则静摩擦力等于重力沿斜面向下的分力，即f＝mgsinθ 阶段，θ大于30°后，物块开始滑动，静摩擦力变为滑动摩擦力，大小为f＝μN＝μmgcosθ 所以图像先为正弦曲线的一部分，后为余弦曲线的一部分，故ACD错误，B正确。 故选：B。 9．如图所示，用一根轻绳将红辣椒穿起来，悬挂在墙面凸出的光滑的钉子上，两侧轻绳之间的夹角为θ。已知轻绳中的张力大小为，两侧轻绳对钉子作用力的合力大小为。忽略辣椒与墙面间的作用，若辣椒总质量不变，缩短轻绳并使夹角θ增大，则（　　） A．，不变 B．，变小 C．，变小 D．，不变 【答案】D 【解答】解：设辣椒的总重力为mg，对辣椒受力分析，由平衡条件可知， 对轻绳和辣椒整体受力分析，钉子对轻绳的合力与辣椒的重力二力平衡，相互作用力等大反向，有＝mg，代入数据可得，当夹角θ增大时，由于辣椒的总重力mg不变，可得不变、增大，故ABC错误，D正确。 故选：D。 10．如图所示，两个相同的木模质量均为m，靠三根竖直细线连接，在水平面上按一个“互”字型静置，上方木模呈现悬浮效果，这是利用了建筑学中的“张拉整体”（Tensegrity）结构原理。图中长线a上的张力，短线b上张力为T、水平面所受压力满足（　　） A．，＜2mg B．，＝2mg C．，＜2mg D．，＝2mg 【答案】B 【解答】解：对整体受力分析，整体受重力2mg和地面的支持力，由平衡条件可得：＝2mg，根据牛顿第三定律可知，水平面所受压力的大小为：＝＝2mg，方向竖直向下； 对上方木模受力分析，受重力mg、短线拉力T和两根长线拉力2，由平衡条件可得：T＝mg+2，解得：，故B正确，ACD错误。 故选：B。 11．班级文艺晚会上，同学们在教室里挂上了红灯笼。如图所示，四个灯笼相同，AB、BC、CD、DE四根轻绳的长度也相同，绳的悬点A、E在同一水平杆上。下列说法正确的是（　　） A．AB绳与DE绳的拉力相同 B．AB绳与BC绳拉力的竖直分量大小相等 C．AB绳的拉力大小可能为BC绳拉力大小的2.5倍 D．BC绳与竖直方向夹角的正切值为AB绳与竖直方向夹角的正切值的2倍 【答案】D 【解答】解：A．设每个灯笼的质量为m，重力加速度为g。设AB绳与竖直方向夹角为α，BC绳与竖直方向夹角为β。由对称性可知，DE绳与竖直方向夹角也为α，CD绳与竖直方向夹角也为β，且AB与DE拉力大小相等，BC与CD拉力大小相等。 对节点C受力分析，竖直方向上2cosβ＝2mg 解得cosβ＝mg 对节点B受力分析，竖直方向上cosα＝cosβ+mg 将cosβ＝mg代入，得cosα＝2mg 水平方向上，B点受力平衡，有sinα＝sinβ AB绳与DE绳的拉力大小相等，但方向不同，力是矢量，所以拉力不相同，故A错误； B．AB绳拉力的竖直分量为cosα＝2mg BC绳拉力的竖直分量为cosβ＝mg 两者大小不相等，故B错误； D．由sinα＝sinβ，cosα＝2mg，cosβ＝mg 可得， 比较可知tanβ＝2tanα 即BC绳与竖直方向夹角的正切值为AB绳与竖直方向夹角的正切值的2倍，故D正确； C．AB绳拉力满足 BC绳拉力满足 则 因为tanβ＝2tanα 且α，β均为锐角，所以β＞α，则cosβ＜cosα，故AB绳的拉力大小可能为BC绳拉力大小比值为，故C错误。 故选：D。 12．如图所示，在竖直平面内用甲、乙两根筷子夹一个重为G的小球，两根筷子对小球弹力的作用点和球心在同一竖直平面内，甲筷子倾斜，且与竖直方向的夹角为θ（0°＜θ＜90°），乙筷子始终竖直。在θ缓慢变化过程中，小球始终保持静止，且筷子与小球间的摩擦忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．甲筷子对小球的弹力大小为 B．乙筷子对小球的弹力大小为 C．随着θ缓慢减小，两根筷子对小球的弹力均增大 D．随着θ缓慢减小，两根筷子对小球的合力将变大 【答案】C 【解答】解：AB、对小球受力分析如图所示： 由平衡条件可得，，故AB错误； C、随着θ缓慢减小，sinθ和tanθ均减小，可知两根筷子对小球的弹力均增大，故C正确； D、小球始终保持静止，根据平衡条件可知小球所受的合力一直为零，则两根筷子对小球的合力大小始终等于小球的重力，故D错误。 故选：C。 13．如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”型轻杆，轻绳ON的一端O固定在杆上，中间某点M拴一小球，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α＝90°），现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程，物块始终保持静止，则（　　） A．OM上的弹力先减小后增大 B．MN上的弹力先增大后减小 C．此过程水平面对物块摩擦力最大时OM、MN两绳张力的大小相等 D．水平面对物块的支持力先增大后减小 【答案】C 【解答】解：AB、对小球受力分析，小球受向下的重G，OM的拉力T以及MN的拉力F作用，三个力首尾相接构成直角三角形，若保持夹角α不变，在O由竖直被拉到水平的过程，几何关系如图所示： 由图示可知，OM上的弹力T一直减小，MN上的弹力一直增大，故AB错误； CD、在缓慢拉起小球的过程中，保持OM与MN垂直（α＝90°不变），设OM与竖直向下方向的夹角为φ，对小球受力分析，由平衡条件可得OM段拉力为：T＝mgcosφ，MN段拉力为：F＝mgsinφ，对整体，由平衡条件可得：＝（M+m）g﹣Fsinφ，可得水平面对物块的支持力为：，可知随φ增大而一直减小，摩擦力为：f＝Fcosφ＝mgsinφcosφ，由数学知识可知，当f取得最大值时，φ＝45°，此时T、F大小相等，故C正确，D错误。 故选：C。 14．如图所示，一半球固定在水平地面上，半球左侧面粗糙，右侧面光滑，O为球心。P、Q是两个质量相同的小物块，物块Q受到水平向左的力F作用，两物块均在半球面上静止。P、Q所处位置与球心O的连线与竖直方向的夹角分别为37°和53°，则P、Q对球面的压力大小之比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．12：25 D．25：12 【答案】C 【解答】解：对P、Q受力分析，如图所示： 对物块P，根据平衡条件得 对物块Q，根据平衡条件得 根据牛顿第三定律得P、Q对球面的压力大小之比为，故ABD错误，C正确。 故选：C。 15．如图所示，矩形小黑板用轻绳悬挂在光滑的钉子上，黑板静止时，钉子两侧的轻绳与黑板上边的夹角分别为α和β，且α＞β，则下列说法正确的是（　　） A．左侧轻绳的拉力较大 B．右侧轻绳的拉力较大 C．轻绳对钉子的作用力方向竖直向下 D．轻绳对钉子的作用力方向斜向右下方 【答案】C 【解答】解：AB、同一条轻绳拉力大小相等，所以两边轻绳拉力一样大，故AB错误； CD、以黑板为研究对象，根据平衡条件可知两边轻绳的合外力与黑板的重力等大反向，所以轻绳对钉子的作用力方向竖直向下，故C正确，D错误。 故选：C。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）· 江苏专用 · 专题06 共点力平衡 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 专题06共点力平衡 2027年高考物理一轮复习 人教版(2019) 江苏专用 建议用时：70分钟 题量：39题 难度：★★★★☆ 版本：原卷版 ●内容概览。 01 共点力静态平衡 考点一平衡条件与合成法 考点二正交分解法 考点三 力的三角形法 02 共点力动态平衡 考点四解析法与图解法 考点五相似三角形法与拉密定理 03 平衡中的临界与极值 考点六临界与极值问题 04 综合练习 |学习目标 1.理解共点力平衡的概念，明确平衡状态（静止或匀速直线运动），掌握共点力的平衡条件F合= 0,会用正交分解形式Fx=0、Fy=0处理平衡问题。 2.掌握静态平衡的合成法、正交分解法和力的三角形法，能根据力的个数和特点选择合适的方法求解 共点力。 3.理解动态平衡“化动为静”的思想，掌握解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理（正弦定理）和 辅助圆法，能分析变力的变化趋势及最小值。 4.理解平衡中的临界与极值问题，能利用恰好出现/恰好不出现”的临界条件和二次函数、三角函数 等数学方法求力的最大值或最小值。 5.能将共点力平衡条件应用于生产生活、工程技术、体育运动和科技前沿等真实情境，提升模型建构 与科学推理能力。 课标与考情 【课标要求】能用共点力的平衡条件分析生产生活中的问题。结合力的合成与分解，理解共点力平衡 的条件，能将较复杂的平衡问题转化为二力平衡或正交分解问题求解；通过分析动态平衡、临界与极 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第1页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 值问题，发展模型建构、科学推理和科学论证能力。 【考情分析】江苏高考物理采用自主命题（满分100分，考试时间75分钟）：单项选择题10题（每 题4分，共40分)；非选择题5题（含1道实验题和4道计算题，共60分）。共点力平衡是江苏高 考的高频考点，常以选择题出现，也常作为计算题的基础环节：静态平衡的合成法、正交分解法、力 的三角形法，动态平衡的解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理及辅助圆法，以及临界与极值问 题是核心内容；题目常结合生产生活、体育运动、交通运输、工程技术、机器人和低空经济等真实情 境，突出“化动为静”的几何分析。复习时要熟练掌握受力分析与几何作图，能判断各力的变化趋势和 临界条件。 思维导图 平衡状态：静止/匀速直线 平衡条件 合外力为零：F=0,F,=0 任一力与其余力等大反向 合成法（三力，两力垂直/等大） 静态平衡 正交分解（三力以上） 力的三角形：首尾相接封闭 共点力 平衡 解析法·图解法（一力方向不变） 动态平衡 相似三角形法（两力方向变） 拉密定理·辅助圆（夹角不变） 临界：恰好出现/恰好不出现 临界与极值 极值：力的最大/最小值 数学法：二次函数·三角函数 图1共点力平衡知识网络 考向一共点力静态平衡 本考向聚焦共点力的静态平衡。考查平衡状态与平衡条件、合成法、正交分解法和力的三角形法，常以生产生 活、体育运动、吊装支撑、机器人等真实情境为载体。 考点一平衡条件与合成法 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第2页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） |知识梳理 1.平衡状态 物体处于静止或匀速直线运动状态，称为平衡状态，其本质特征是加速度为零。注意“瞬时速度为零” 不等于平衡，如竖直上抛运动的最高点。 2.共点力的平衡条件 合外力为零：F合=0 (1)正交分解形式：Fx=0,F=0。 (2)若物体在某一方向上不受力或该方向合力为零，则该方向上保持平衡。 3.平衡条件的两个重要推论 (1)物体受n个共点力平衡时，其中任意一个力，与其余(n-1)个力的合力等大反向。 (2)三个不平行的力平衡时，这三个力的矢量首尾相接，必组成一个封闭的三角形。 4.合成法（三力平衡） (1)对于三力平衡，先把其中两个力按平行四边形定则合成，其合力与第三个力等大反向。 (2)当两力互相垂直或等大时，用合成法最简便。 F Fs 合成法：、F的合力F2与等大反向 图1合成法：F1、F2的合力与F3等大反向 项目 内容 适用/记忆点 平衡状态 静止或匀速直线运动 加速度为零，非“速度为零 平衡条件 F合=0 Fx=0,E,=0 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第3页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 项目 内容 适用/记忆点 推论一 任一力与其余力合力等大反向 受n个共点力平衡 推论二 三力首尾相接成封闭三角形 三个不平行力 合成法 先合两力，与第三力等大反向 三力、两力垂直/等大 重难诠释 平衡条件是合外力为零，不是“不受力”，也不是“速度为零”；瞬时速度为零（最高点）并不平衡。 合成法：三力平衡先合两力，合力与第三力等大反向，两力要按平行四边形定则。 记忆点：平衡看合力，三力先合两力”。 热点生活实例 科技前沿·人形机器人稳定站立与行走 近年来人形机器人（如“天工”、宇树H1/G1)快速发展。机器人站立或缓慢行走时，重力、地面支持 力与脚掌的摩擦力共同作用，合外力始终保持为零；迈出一步、单脚支撑的瞬间，靠调整重心与脚掌 摩擦维持平衡，这正是共点力平衡与临界摩擦的综合应用。 图机器人缓慢行走：每一时刻合外力均为零 ◆例题变式演练 【例题】如图甲所示为烤肠机，香肠可视为质量为的均匀圆柱体，静止在两根水平的平行金属杆中间， 其截面图如图乙所示。金属杆1、2的圆心与烤肠圆心的连线与竖直方向的夹角均为0，不计一切摩擦， 重力加速度为g。则金属杆1、2对烤肠的作用力的合力大小为() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第4页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 香肠 金属杆1 金属杆2 图甲 图乙 2mg mg mg A. B.mg C. D. 2c0s8 2tan0 【变式】吃重庆火锅烫毛肚讲究“七上八下”。如图，用筷子夹着一片质量为m的毛肚在空中竖直向 上做匀速运动时，筷子与竖直方向夹角为日，与毛肚间的动摩擦因数为μ，若重力加速度为g,不计空 气阻力，则筷子对毛肚摩擦力的大小为() A.mg B.mgsin C.ungcose D.mgcose 【变式2】在工程领域起重机等机械的应用十分广泛。如图所示，用起重机竖直向上匀速吊起正方形混凝 土板ABCD,已知混凝土板质量为，始终呈水平状态，四根钢索OA、OB、OC、OD长度相同且与 水平面之间的夹角均为45°，不计钢索所受重力。已知重力加速度为g,每根钢索所受的拉力大小为 () 1 A. B. D. 岭 8 -mg C.mg 4 mg 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第5页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【变式3】我国的“四足机器狼”无人作战装备如图甲所示，其可远程操控、自主行动、灵活编组，实现 陆上有人、无人协同作战新突破。若将质量为的“机器狼”静置于倾角为0的斜坡上，简化示意图 如图乙所示。己知“机器狼”与斜坡间的动摩擦因数为山，“机器狼”四足所受的摩擦力相同，重力 加速度为g,则“机器狼”单足所受摩擦力的大小为() 0 i7 甲 乙 1 A.mgsine C. mgsin0 D. umgcos 考点二 正交分解法 |知识梳理 1.正交分解法 (1)把物体所受各力沿两个互相垂直的坐标轴分解，分别求x、y方向的合力，再令其分别为零。 (2)平衡条件：F=0,F=0 2.坐标轴的选取 (1)原则上让尽可能多的力与坐标轴重合，使需要分解的力最少。 (2)常取水平、竖直方向：在斜面上常取沿斜面、垂直斜面方向。 3.正交分解的一般步骤 受力分析→建立坐标系→把各力分解到x、y轴→列Fx=0、Fy=0→联立求解。 4.方法选择 三力平衡、两力垂直或等大时用合成法：力的个数较多（三个以上）或方向较复杂时，用正交分解法 更稳妥。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第6页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） ①建立坐标系（沿斜面.、垂直斜面） ②分解重力，沿坐标轴列平衡方程 ×方向：∫=mgin:y方向：N=ms0 图2正交分解步骤：建立坐标系→分解重力→沿轴列平衡方程 方法 内容 适用/记忆点 合成法 先合两力、与第三力等大反向 三力、两力垂直/等大 正交分解 Fx=0,F=0 三个力以上 选轴 尽量多的力与轴重合 减少分解 常见选轴 水平、竖直 般情境 斜面选轴 沿斜面、垂直斜面 斜面情境 重难诠释 正交分解两个方向合力都要为零，不能只列一个方向：选轴使尽量多的力与轴重合。 sn、cos不要弄混，分力方向不能画反。 记忆点：“三力以上用正交，选轴让力尽量靠轴”。 ·例题变式演练 【例题】在一个装修施工现场，工人师傅用两根轻质绳悬挂一块长方体板材。如图，轻质绳P的一端固 定在墙壁上，另一端系在长方体板材上，轻质绳Q的一端固定在地面上，另一端也系在长方体板材上， 板材处于静止状态。已知长方体板材的质量m=21kg,P绳与竖直方向的夹角=37°，Q绳与竖直方 向的夹角B=53°，重力加速度大小g=10受，si37°=0.6，cos37°=0.8，则P绳对板材的拉力大小 为() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第7页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） Q A.210N B.420N C.480N D.600N 【变式1】图甲为一小朋友正在放风筝，此时风筝平面与水平面的夹角为30°，细线与风筝的夹角为60° (如图乙所示)。已知风筝的质量m=1kg,该小朋友的质量M=40kg,重力加速度g=1。若小朋 友和风筝均保持静止状态，则() 60°0 302 300 图甲 图乙 A.地面对小朋友的摩擦力为5N B.地面对小朋友的摩擦力为15N C.地面对小朋友的支持力为395N D.地面对小朋友的支持力为500N 【变式2】如图所示，倾角为30°的固定粗糙斜面，质量为0.8kg的物块P与质量为0.3kg的配重块Q通 过不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮连接。Q的下端与轻质弹簧相连，弹簧另一端固定在水平地面上， 弹簧的劲度系数k=200Nm。整个装置静止，此时弹簧伸长了2.5cm,重力加速度g取10。则斜面 与物块P之间的作用力大小为() >30 7 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第8页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） A.8N B.4V3N C.4N D.0 【变式3】装修工人将质量为m的直角三角形置物架靠在竖直墙面上，置物架斜边与墙面夹角为。 工人用一个垂直于斜边BC的推力F按压置物架，使其保持静止状态。则墙面对置物架的摩擦力大小 为() B A.mg+Fsina B.mg+Fcosa C.Fcosa D.Fsina 考点三 力的三角形法 知识梳理 1.力的三角形法 (1)三力平衡时，把三个力的矢量依次平移，使它们首尾相接，必组成一个封闭的力三角形。 (2)根据三角形的边角关系（正弦定理、三角函数），即可求各力的大小。 2.力三角形的意义 力三角形是各力矢量平移得到的，只表示力的大小和方向，不表示力的作用点，也不是物体的运动轨 迹。 3.正弦定理与拉密定理 )力二角形中用正弦定理：品=品。=点 (2)力三角形中各角是三角形内角；拉密定理中各角是相邻两力的夹角，二者互为补角，$值相 同。 4.适用情形 三个力平衡、方向之间夹角关系清楚时（如节点、支架、绳杆），用力三角形法最直观。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第9页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） F F 三力共点 平移后首尾相接，组成封闭三角形 F3 图3三力首尾相接组成封闭三角形 项目 内容 记忆点 力三角形 三力首尾相接、封闭 三力平衡 力三角形意义 只表示大小、方向 不是运动轨迹 正弦定理 F 用三角形内角 sina sinB siny 拉密定理 用相邻力夹角 与内角互补，sin相同 适用情形 节点、支架、绳杆 夹角关系清楚 重难诠释 力三角形必须首尾相接、封闭；接成“箭头对箭头”就不是平衡。 力三角形不是运动轨迹，也不表示作用点。 记忆点：“三力平移首尾连，封闭三角即平衡”。 ◆例题•变式演练 【例题】如图所示，一质量为m的小球用一端固定在天花板上的轻弹簧和一端固定在竖直墙上的轻绳连 接。小球处于静止状态，轻绳与墙的夹角为74°，弹簧轴线与轻绳的夹角为37°，整个系统处于同一 竖直平面内。己知弹簧的劲度系数为k,重力加速度为g,sn37°-}cos37°-手。下列说法正确的 是() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第10页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 74° 30 A. 轻绳的拉力大小为2mg mg B.轻绳的拉力大小为 5 mg C.弹簧的伸长量为 5k mg D.弹簧的伸长量为 【变式1】用三根细线ā、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球处于静止 状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c与水平方向的夹角为30°。则细线b对小球2的拉力 大小为() Lillttl 30 2 030 A.G B.V3G D.V3G 2 【变式2】如图所示，光滑圆弧固定在水平地面上，圆心为O,圆弧最低点D与水平面相切，OD处竖 直放置一光滑挡板。现可视为质点的A、B两球通过轻杆连接，恰好静止于圆弧与挡板间。己知圆弧 平径为R,杆长为3R,OA与竖直方向的夹角为30°，A、B两球的质量分别为m4、m,圆弧对办 球A的支持力为FN1,挡板对B球的支持力为FN2。下列说法正确的是() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第11页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） B D 777777777777777777777777777777777777777T A.m2-m1 B.m2=2m1 C.FN1:fN2=2:1 D.FN1:FN2=2:3 【变式3】如图为某兴趣小组制作的“互”字形木制模型正面图。模型分上下两部分，质量均为m,并用 细线连接，其中细线1连接a、b两点，细线2连接c、d两点。当细线都绷紧时，整个模型竖直静止 在水平地面上。则下列说法正确的是( ) 2 b d ●】 A.细线1对b无作用力 B.细线2对d无作用力 C.细线1对a的作用力大于对b的作用力 D.细线1对b的作用力大于细线2对c的作用力 考向二共点力动态平衡 本考向聚焦共点力的动态平衡。考查解析法、图解法、相似三角形法、拉密定理与辅助圆法，常以绳杆缓慢移 动、悬挂转动、工程构件、无人机吊运等情境为载体。 考点四解析法与图解法 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第12页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） |知识梳理 1.动态平衡 (1)控制某一量使物体缓慢变化，物体始终处于一系列平衡状态，叫动态平衡：基本思路是“化动为 静、静中求动”。 (2)“缓慢”表示每一时刻都可视为平衡，合外力为零。 2.解析法 (1)对物体受力分析，列出平衡条件方程，用三角函数表示各力与角度的关系，再由角度变化判断力 的变化。 (2)适用：能写出明确函数关系的情形。 3.图解法 (1)特征：一个力是恒力（大小、方向都不变，常为重力），另一个力方向不变，第三个力变化。 (2)从恒力末端沿方向不变的力”的方向作射线，变力连接恒力始端与射线上的点、箭头指向恒力始 端：变力在与该射线垂直时最小。 4.图解法结论 变力F与“方向不变的力垂直时，F取最小值；据此可判断力的变化趋势。 T方向不变 mg 变力F与方向不变的T垂直时，F最小 图4图解法：变力垂直时最小 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第13页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 方法 内容 适用/记忆点 动态平衡 ·系列平衡状态 缓慢、合外力为零 解析法 列方程、用三角函数 有明确函数关系 图解法 恒力+方向不变的力+变力 一力方向不变 最小值 变力垂直时最小 关键结论 作图要点 恒力大小方向不变 除变化量外一致 重难诠释 动态平衡“缓慢”即每时刻平衡，合外力为零。 图解法：变力在与方向不变的力垂直时最小，不是“方向不变时最小。 记忆点：“一力恒、一向定，变力垂直最省力”。 ◆例题•变式演练 【例题】如图所示，一块铁板AB下吸附了一块小磁铁，现将铁板在竖直面内绕A点向上逆时针缓慢转 过一个小角度，磁铁始终未滑动，转动过程中，若磁铁对铁板的磁力方向始终垂直AB,大小保持不 变，关于磁铁的受力，下列说法正确的是() A--)0 A.受到铁板的弹力减小 B.受到铁板的摩擦力减小 C.受到铁板的作用力增大 D.受到的吸引力与重力的合力增大 【变式1】如图所示，白板擦吸附在可大角度旋转的磁性白板正面，板擦与白板间有大小恒为F的磁力作 用，板擦与白板接触面动摩擦因数为μ，将白板由竖直缓慢转过60°且保持正面朝上，白板擦始终保 持相对静止。在旋转过程中，白板擦受到的摩擦力() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第14页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 、磁性白板擦 可旋转白板 A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.等于F 【变式2】如图所示是某运动员攀岩的情景示意图，通过用力拉手中的绳子使自己身体垂直岩壁缓慢竖直 上升，不考虑脚与岩壁的摩擦力，则绳子的拉力F和岩壁对人的支持力F如何变化() A.F变大，F变大 B.F变大，FN不变 C.F变小，F变大 D.F变小，FN变小 【变式3】如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处 于静止状态，现对B施加一水平向右的外力F,使B缓慢向右移动，该过程中A环始终保持静止状态， 则下列说法正确的是() B 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第15页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） A.A环对杆的摩擦力变小 B.杆对B环的摩擦力变大 C.杆对B环的作用力不变 D.细绳对A环的拉力变小 考点五相似三角形法与拉密定理 知识梳理 1.相似三角形法 (1)特征：一个力是恒力（常为重力），两个变力的方向都随位置变化，且能找到与力三角形相似的 空间几何三角形。 (2)力三角形与几何三角形相似，对应边成比例：是=是=是 2.拉密定理（正弦定理） (1)三个共点力平衡时，每个力与另外两个为夹角的正弦之比相等：品=岳。=点 (2)适用：一个力恒定，两个变力方向都变，且两变力之间的夹角不变（或可由几何关系确定）。 3.辅助圆法 若恒力大小方向不变、两变力夹角恒定，则三个力的末端在同一圆周上，恒力为固定弦，可用辅助圆 判断两变力的变化。 4.方法选择 一力方向不变用图解法：两力方向都变且有几何关系用相似三角形：两力方向都变且夹角不变用拉密 定理或辅助圆。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第16页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） A F N B 轻杆个 铰链 mg 图5相似三角形：力三角形∽几何三角形 OB ● mg 图6辅助圆法：恒力为固定弦 方法 内容 适用/记忆点 相似三角形 两力方向变、有几何关系 AB BC CA 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第17页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 方法 内容 适用/记忆点 拉密定理 F F2 3 三力、两变力夹角不变 sina sinB siny 辅助圆 恒力为固定弦 两变力夹角恒定 图解法 变力垂直时最小 “力方向不变 关键 对应边/角不能找错 角是对角 重难诠释 相似三角形对应边不能找错：拉密的角是相邻力夹角，不是三角形内角。 辅助圆要求两变力夹角恒定，恒力为固定弦。 记忆点：“两力都变找相似，夹角不变用拉密”。 热点生活实例 低空经济·无人机吊运 随着“低空经济发展，货运无人机已用于山区、农田吊运物资。无人机悬停吊运时，重力、绳的拉力 以及空气升力构成平衡；当吊绳角度改变，可借助力三角形或拉密定理分析拉力变化，这正是动态平 衡的实际应用。 图无人机悬停吊运：各力构成平衡 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第18页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） ◆例题变式演练 【例题】如图甲，野营三脚架由三根对称分布的细杆构成，炊具与食物通过轻绳悬挂在三脚架顶端。盛 取食物时，用光滑的铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆，如图乙所示。拉动吊绳过程中() 甲 乙 A.吊绳上的拉力变小 B.吊绳上的拉力变大 C.铁钩对绳的拉力变小 D.铁钩对绳的拉力变大 【变式1】如图所示，直杆AB倾斜固定在墙边，绕过动滑轮的轻绳C、D两端分别固定在直杆和竖直墙 面上，动滑轮下面吊着重物，将轻绳C端沿杆缓慢移动（重物不着地）或将轻绳D端沿墙面缓慢移动， 则下列判断正确的是() D A.轻绳C端沿杆向上缓慢移动，轻绳上张力减小 B.轻绳C端沿杆向下缓慢移动，轻绳上张力减小 C.轻绳D端沿墙面向上缓慢移动，轻绳上张力减小 D.轻绳D端沿墙面向下缓慢移动，轻绳上张力减小 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第19页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 【变式2】为了助推本地文旅的发展，2025年，大同推出了大型行进情景式演艺项目《如梦大同》，如 甲图，演员们通过吊威亚在城墙上展现高超的表演技艺，为游客呈现了一场视觉盛宴！现将情景简化 如乙图，一根不可伸长的绳索（不计质量）一端系于演员腰间O点，另一端系于城墙上的固定P点， 该演员身体伸直，双脚蹬于城墙Q点，并保持平衡。已知∠OPQ=37°，∠OQP=45°，演员质量m =70kg,城墙对演员的作用力始终沿着身体，重力加速度g取10？，sn37°=0.6，cos37°=0.8。下 列说法正确的是() 绳索 城墙 甲 A.绳索对演员的拉力大小为400N B.城墙对演员的作用力大小为300N C.若保持Q点不动，将P点沿城墙缓慢上移稍许，绳索对演员的拉力大小一定增大 D.若保持Q点不动，将P点沿城墙缓慢下移稍许，城墙对演员的弹力大小一定增大 【变式3】如图，AO、BO为两根轻杆，一端A、B通过光滑铰链连接在水平地面，另一端在O点也通 过光滑铰链连接在一起，∠OAB=∠AOB=30°，两根杆在同一竖直平面内，现在对O点施加一力F, 初始时F沿水平方向，保证力F大小不变，顺时针缓慢旋转F直到竖直方向，AO杆、BO杆力的大小 分别记为F1、F2,下列说法正确的是() 30 30 A.F不断增大，F2不断减小 B.F不断减小，F2不断增大 C.F先增大后减小，F2先增大后减小 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第20页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） D.F先减小后增大，F2先增大后减小 考向三 平衡中的临界与极值 本考向聚焦平衡中的临界与极值问题。考查临界状态分析、极值求解与自锁现象，常以滑轨、斜面、圆环、多 体多杆等恰好/刚好情境为载体。 考点六临界与极值问题 知识梳理 1.临界问题 (1)当某一物理量变化时，物体的受力状态会发生“恰好出现”或“恰好不出现”的转折，这个转折状态 叫临界状态。 (2)关键词：“刚好/恰能/恰好”，如绳刚好绷紧(T=0)、物体刚好滑动(f=)、恰好不脱离 等。 2.极值问题 (1)在力的变化过程中，求某个力的最大值或最小值，叫极值问题。 (2)常用方法：图解法（变力垂直时最小）、解析法（二次函数、三角函数、均值不等式）。 3.解决临界极值的思路 (1)仔细分析临界条件，列临界方程并取等号： (2)对极值，先写出力的函数表达式，再用数学方法求极值，并结合物理约束检验。 4.摩擦角与自锁现象 摩擦角：接触面对物体的支持力与最大静摩擦力的合力（即接触面合力）与法线的夹角φ，满足 tanp=u;它是接触面的固有属性。 自锁：当外力（或接触面合力）与法线的夹角小于摩擦角φ（即合力落在摩擦锥内）时，无论外力多 大，物体都不会发生滑动，称为自锁。 斜面上物体靠自重静止（自锁）的条件为0≤p,即tan0≤u。 摩擦角p:tnp=r 斜面自锁：mgsin0≤mgcos0 即an0≤n(0≤p) 图7摩擦角与自锁：合力落在摩擦锥内不滑动 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第21页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 类型 临界条件 方法/记忆点 绳绷紧 刚好绷紧，T=0 取等号 滑动 刚好滑动，f=N 临界摩擦 脱离 恰好不脱离，N=0 取等号 最小力 变力垂直时最小 图解法 自锁 tand≤μ 0≤φ，摩擦锥内 数学极值 二次函数/三角函数 结合物理约束 重难诠释 临界关键词“刚好/恰好”，要分清恰好出现还是“恰好不出现”，并取等号。 极值要分清求哪个力的最大最小值，数学解要结合物理约束检验。 记忆点：“临界取等号，极值找垂直，数学解要检验”。 ◆例题变式演练 【例题】在一次维修工作中，工人需要将重物提升至5楼。为防止重物在上升过程中碰撞阳台，工人采 用了如图所示的装置进行提升。图中0处安装有一个定滑轮，AB为一段动摩擦因数μ=0.75的滑轨， 其水平跨度为16m,竖直高度为12m。在提升过程中，绳子与滑轨之间的夹角为Q（重物在A点时， a=5°)。工人通过拉动绳子，使质量为m的重物沿滑轨匀速上升。绳子质量、滑轮与绳子之间的摩 擦力均忽略不计。s37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为g,下列说法正确的是（) 0 B Q 16m A.绳上的拉力大小为 12mg 0sina+15cosa B.滑轨对重物的支持力先增大后减小 C.绳上的拉力一直增大 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第22页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） D.当夹角=37°时，绳上的拉力有最小值 【变式1】如图所示，倾角为α=30°的斜面体固定在水平面上，质量为m的物体放在斜面体上，现用 一外力作用在物体上，使物体沿斜面体向上做匀速运动，已知物体与斜面体间的动摩莽因数为一写 重力加速度为g,外力与斜面间的夹角为日，si30°=0.5。下列说法正确的是() F a A.物体轻轻地放在斜面体上，物体能沿斜面体下滑 B.0=0°时，外力的大小为1.2mg C.0=37°时，外力最小 D.外力的最小值为2 3mg 【变式2】如图所示，有一劲度系数为k、自然长度为2的橡皮筋，在橡皮筋上套有一光滑轻质小圆环， 将橡皮筋的两端固定于间距为2的P、Q两点。现用外力F拉小圆环，使其沿以PQ连线的中点为圆 心、半径为R的圆周由P点缓慢移动到Q点。若橡皮筋的弹力大小满足胡克定律且一直在弹性限度内， 则在圆环移动过程中F的最大值为() A.(2-V2)kR B.2(W2-1)kRC.2(2-V2)kRD.4(W2-1)kR 【变式3】如图所示，三个质量均为m的相同的小物块A、B、C(可视为质点)静止在粗糙水平面上， 三个物块与水平面间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。三根等长的轻杆一端分别 通过光滑铰链连接在A、B、C上，另一端通过光滑铰链连接在O处，各杆与水平面间的夹角均为6。 现在O处上端连接一质量为M的平台，连接平台后三个物块恰好不发生滑动。则M与m之间的关系 式正确的是() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第23页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 平台 A C B A.M- 3umtane utan0 1-utane B.M=13utane 3utan0 C.M=13utane usine D.M=13usine ★综合练习★ 本部分精选15道选择题，覆盖本专题全部考点，请在规定时间内独立完成。 1.如图所示为圆心为O、半径为R、固定的光滑半球形碗的竖直截面图，碗口水平，一长为l=√3的 轻杆两端连接质量为m1和m2的小球，分别静止在碗内的M、N两点，OD为竖直半径。己知m1>m2, ∠MOD=45°，两小球均可视为质点，则m1:m2为（) R M D A.3:1 B.(3+1):2 C.(3+2):1D.(3+2):2 2.如图所示是家庭晾晒衣物常用的圆形晾衣篮，四根等长的布条一端等间距固定在晾衣篮边缘，另一端 系在挂钩上。若晾衣篮直径为60cm,每根布条的长度均为50cm,承受的最大拉力均为30N,不计晾 衣篮质量，重力加速度g取10%，则篮中放置衣物的最大质量为() 50cm 60cm 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第24页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） A.16kg B.9.6kg C.8kg D.7.2kg 3.为了保障用餐卫生，某餐厅将清洗干净后的碗放入消毒柜消毒后使用，其中，碗侧立放置在两个水平 固定的等高的光滑直杆、b中间，如图所示。碗可视作半径为R的半圆形，则下列表述正确的是 () 国卷老彩 中 Ob 甲 乙 A.若减小a、b间距，碗仍保持静止，碗的合力减小 B.若减小a、b间距，碗仍保持静止，a杆受到的弹力不变 C.若减小a、b间距，碗仍保持静止，b杆受到的弹力变小 D.若将半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，碗受到杆的作用力一定不变 4.如图所示，倾角为日=37°的斜面体固定在水平面上，物体P放在斜面体上，轻绳拴接在物体P上后 跨过定滑轮与轻绳CD系于C点，结点下端悬挂物体Q,系统平衡时轻绳CD沿水平方向，AB与斜面 体平行，BC与竖直方向的夹角为=53°，己知sin37°=0.6，sin53°=0.8，重力加速度g取10。 一切摩擦均可忽略。则物体P、Q的质量之比为() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第25页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） B A 0 回 A.25:9 B.5:3 C.25:16 D.5:4 5.如图甲所示，某同学为研究不同大小的球与桶间的弹力，抽象出如图乙所示的模型：三个质量均为 的光滑匀质球A、B、C叠放在水平地面上的竖直圆筒内，三个球A、B、C的半径之比为4：3：3，B、 C之间恰好无挤压，三个球对桶侧壁的压力大小分别为F、F2、F3,己知重力加速度大小为g,则下列 关系正确的是() 甲 乙 A.F2<mg B.F2=mg C.F2>F3 D.F>F3 6.如图所示，半圆柱体固定放置在水平面上，两光滑的轻质定滑轮用轻杆固定在天花板上，且位于等高 位置，半圆柱体的圆心O位于左侧定滑轮的正下方，质量为的小球A和物体B用跨过定滑轮的轻 质细绳拴接，小球放在半圆柱体上，系统平衡时细绳与竖直方向的夹角为=30°，小球跟圆心的连 线与竖直方向的夹角为0=45°，小球可视为质点，不计小球与圆柱体之间的摩擦，重力加速度为g。 下列说法正确的是() 00 77777777777777Y7777777777777777 A.半圆柱体对小球的支持力为6+V 2 mg B.物体B的质量为(V5+1)m 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第26页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） C.轻杆对右侧滑轮的作用力竖直向上 D.轻杆对左侧滑轮的作用力大小为(3-1)mg 7.如图所示，长为3的不可伸长的轻绳，穿过一光滑的轻圆环，两端固定在水平天花板上相距为1的P、 Q两点，轻圆环下悬吊一重为G的物块。现用一水平力F缓慢地拉圆环，当圆环两侧轻绳的夹角为0 =60°时，细绳的张力为T,则() c A.F=G B.F=96 C.I-G D.T=23 ③ 8。如图所示，质量为m的物块静止在粗糙木板上，物块和木板间的动摩擦因数为兮。在木板上施加一 个外力，使木板以左端和地面的接触点0。为转轴，逆时针缓慢转过90°。该过程中物块始终未脱离木 板，木板和地面未发生相对滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。该过程中物块所受摩擦力的大小 与木板和地面夹角日的图像可能正确的是() f mg mg 2 2 π0 0 π A B 6 mg mg 2 2 D 6 2 9.如图所示，用一根轻绳将红辣椒穿起来，悬挂在墙面凸出的光滑的钉子上，两侧轻绳之间的夹角为日。 己知轻绳中的张力大小为F1,两侧轻绳对钉子作用力的合力大小为F2。忽略辣椒与墙面间的作用，若 辣椒总质量不变，缩短轻绳并使夹角日增大，则() 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第27页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 0 A.B=2Fsin2F不变 B.B=2Fc0s2F2变小 C.E=2 Fisin F变小 D.F=2Rcos2R,不变 10.如图所示，两个相同的木模质量均为，靠三根竖直细线连接，在水平面上按一个“互”字型静置， 上方木模呈现悬浮效果，这是利用了建筑学中的“张拉整体”(Tensegrity)结构原理。图中长线a上 的张力F,短线b上张力为T、水平面所受压力F2满足() A.FT.F.c2mg B.F<T,F2=2m8 C.F<T,Fa<2mg D.R=27,月=2ms 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第28页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 11.班级文艺晚会上，同学们在教室里挂上了红灯笼。如图所示，四个灯笼相同，AB、BC、CD、DE四 根轻绳的长度也相同，绳的悬点A、E在同一水平杆上。下列说法正确的是() A E B D A.AB绳与DE绳的拉力相同 B.AB绳与BC绳拉力的竖直分量大小相等 C.AB绳的拉力大小可能为BC绳拉力大小的2.5倍 D.BC绳与竖直方向夹角的正切值为AB绳与竖直方向夹角的正切值的2倍 12.如图所示，在竖直平面内用甲、乙两根筷子夹一个重为G的小球，两根筷子对小球弹力的作用点和 球心在同一竖直平面内，甲筷子倾斜，且与竖直方向的夹角为日(0°<日<90°)，乙筷子始终竖直。 在日缓慢变化过程中，小球始终保持静止，且筷子与小球间的摩擦忽略不计。下列说法正确的是 () A。甲秩子对小球的裤力大小为F你=品。 B.乙筷了对小球的养力大小为F2=品 C.随着日缓慢减小，两根筷子对小球的弹力均增大 D.随着0缓慢减小，两根筷子对小球的合力将变大 13.如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”型轻杆，轻绳ON的一端O固定在杆上， 中间某点M拴一小球，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第29页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 夹角为(a=90°)，现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的 过程，物块始终保持静止，则() -N 777777777777777777 A.OM上的弹力先减小后增大 B.MN上的弹力先增大后减小 C.此过程水平面对物块摩擦力最大时OM、MN两绳张力的大小相等 D.水平面对物块的支持力先增大后减小 14.如图所示，一半球固定在水平地面上，半球左侧面粗糙，右侧面光滑，O为球心。P、Q是两个质量 相同的小物块，物块Q受到水平向左的力F作用，两物块均在半球面上静止。P、Q所处位置与球心 O的连线与竖直方向的夹角分别为37°和53°，则P、Q对球面的压力大小之比为() 37 53 7777777771177T77777777777777777777777 0 A.3:4 B.4:3 C.12:25 D.25:12 15.如图所示，矩形小黑板用轻绳悬挂在光滑的钉子上，黑板静止时，钉子两侧的轻绳与黑板上边的夹 角分别为和B,且>阝，则下列说法正确的是() B 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·工苏专用·专题06共点力平衡第30页 专题06共点力平衡【江苏专用】2027年高考物理一轮复习（人教版2019） A.左侧轻绳的拉力较大 B.右侧轻绳的拉力较大 C.轻绳对钉子的作用力方向竖直向下 D.轻绳对钉子的作用力方向斜向右下方 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）·江苏专用·专题06共点力平衡第31页