第10讲·实际问题与反比例函数·培优讲义 ·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第10讲·实际问题与反比例函数·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能识别实际问题中的反比例关系，建立y=模型 · 会解杠杆平衡、电路、压强等物理中的反比例问题 · 会解行程、工程、经济中的反比例问题 · 能由实际数据或条件确定k，求函数表达式 · 能结合实际问题求函数值、比较大小并解释意义 📚 知识梳理 ☆ 1.杠杆平衡问题 杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂 阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例 由实验数据验证：两量乘积为定值 列解析式后可求某一端的力或臂长 概念辨析例题：阻力为1200N，阻力臂为0.5m，动力臂为l（m），则动力F与l的关系式为（　　） 答案：F= 解析：F·l=1200×0.5=600，故F=（l>0），动力与动力臂成反比例。 ☆ 2.电路中的反比例关系 电压U一定时，电流I与电阻R成反比例：I= 由一组数据求电压U=IR，再写解析式 求某电阻下的电流：代入解析式 功率P=UI，电压一定时P与R成反比例 概念辨析例题：某蓄电池电压一定，用电器电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，当R=10时I=2，则当R=20时I=（　　） 答案：1A 解析：U=IR=20，解析式I=，R=20时I=1。 ☆ 3.压强、密度与气体问题 压强=，压力一定时压强与受力面积成反比例 密度=，质量一定时密度与体积成反比例 气体：温度不变时，压强与体积成反比例（玻意耳定律） 注意单位的统一与自变量范围的限制 概念辨析例题：物体对地面的压力为500N，受力面积为S(m2)，则压强p与S的关系为（　　） 答案：p= 解析：p==，S>0，压强与受力面积成反比例。 ☆ 4.行程问题 路程一定时，速度与时间成反比例：v= 由已知速度与时间求路程s=vt 求某速度下的时间：代入解析式 注意实际问题中速度、时间均为正数 概念辨析例题：甲、乙两地相距120km，汽车以v(km/h)行驶，所需时间t(h)与v的关系是（　　） 答案：t= 解析：t==，v>0，时间与速度成反比例。 ☆ 5.工程与经济问题 工程总量一定时，每天工作量与所需天数成反比例 商品需求量与价格成反比例关系 面积、体积等固定时，边长等量与另一边成反比例 列解析式后求具体值或解释实际意义 概念辨析例题：某项工程总量为6000亩，平均每天完成m亩，所需天数d与m的关系为（　　） 答案：d= 解析：总量=每天工作量×天数，d=，m>0。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 杠杆平衡 F1l1=F2l2 乘积为定值 电路 I= 电压一定 压强 p= 压力一定 密度 ρ= 质量一定 行程 v= 路程一定 工程 总量=效率×时间 总量一定 ⚠️ 核心考点 【考点1】杠杆与力学问题（第1-5题） · 杠杆平衡：动力×动力臂=阻力×阻力臂 · 阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例 · 由实验数据求k，再求具体值 1．（23-24九年级下·吉林长春·期中）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，不等式的应用，先根据图象确定，再根据阻力和阻力臂的关系得出不等关系，求出解集即可． 【详解】根据题意，得 ， 即， 解得． 故选：D． 2．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据阻力阻力臂动力动力臂，且杠杆左侧阻力与阻力臂都不变即可得到结论．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，阻力阻力臂动力动力臂，且阻力与阻力臂都不变， 右侧动力与动力臂满足为定值， 右侧力与力臂满足的函数关系是反比例函数关系， 故选：C． 3．（25-26八年级下·山西长治·期末）小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的． 【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 4．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力动力臂阻力阻力臂） 动力臂 … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 动力 … 300 150 100 a 60 … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为时，所需动力是______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．依据题意，根据表中信息可知动力臂与动力成反比例函数关系，选择利用反比例函数来解答即可得解． 【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设， 从表中取一个有序数对代入，得， ． ． 把代入， ． 故答案为：． 5．（2024·福建莆田·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂： 随的增大而减小； 关于的函数图象位于第一、第三象限；当为时，抙动石头至少需要的力；当抙动石头需要的力，至少为；上面四种说法正确的是_____．（只填序号） 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，由题意知，，则，根据反比例函数的图象与性质，反比例函数的实际应用对各说法进行判断即可，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：由题意知，则，， ∵， ∴随的增大而减小， 故正确，符合题意； 由题意知，关于的函数图象位于第一象限， 故错误，不符合题意； 当时，， 故正确，符合题意； 当时，， 故正确，符合题意； 故答案为：． 【考点2】电路与电学问题（第6-12题） · 电压一定：I=，由数据求U · 功率P=UI，电压一定时P与R成反比例 · 注意单位换算（A、Ω、V） 6．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 【答案】(1)500；50 (2) (3) 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】（1）将设备A的数据代入求出M的值，进而将设备B的数据代入即可求出a的值； （2）将分别代入，，进而求出总效率，根据即可求出所需时间； （3）根据题意列不等式求解，结合作答即可． 【详解】（1）解：将设备A的数据代入得：，解得：； 进而将设备B的数据代入得：； （2）解：当时，，， 总效率（件）， 所需时间． 答：所需时间为； （3）解：由题意，得， 解不等式，得， 结合，得． 答：环境温度（）的取值范围是． 7．（2025·山西临汾·三模）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流电压电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流电压电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案． 【详解】解：由表格数据可知，， 则电流与电阻的乘积恒为定值，即满足， 因此与的关系式为， 故选：B． 8．（2026·山东临沂·二模）护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．反比例函数的解析式为 B．该护眼台灯的电压为 C．若，则 D．当时， 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】设电流关于电阻的表达式为，利用待定系数法求出，然后逐项求解判断即可． 【详解】解：设电流关于电阻的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴该护眼台灯的电压为，故B错误； ∴反比例函数的解析式为，故A错误； 当时，， 解得， 由图象得，I随R的增大而减小， ∴若，则，故C正确； 当时，，故D错误． 9．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小； 故答案为：减小 10．（2024·浙江温州·二模）图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为___． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、跨学科综合等知识点，根据题意求得解析成为解题的关键． 设当为时的功率为P，则当为时的功率为，然后列方程组求得函数解析式，然后将代入计算即可． 【详解】解：设当为时的功率为P，则当为时的功率为, 由题意可得：， 解得：（舍弃负值） 所以， 当时，． 故答案为：． 11．（2026·山东东营·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据题意可知电流与电阻满足反比例函数关系，已知函数图象经过点，将点的横纵坐标分别作为和的值代入公式，即可求出电源电压的值． 【详解】解：由题意可知，与的函数关系式为 函数图象经过点， ∴将点代入得： 电源电压为． 12．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 【答案】(1) (2) 电阻 的值为 4 Ω 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的应用．熟练掌握电路中电流、电压、电阻的关系，是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式； （2）将代入函数关系式解出即可． 【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，且，当时，． ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为：； （2）解：当时，， 解得， 答：电阻R的值为． 【考点3】压强、密度与气体问题（第13-17题） · 压强=，密度= · 温度不变时压强与体积成反比例 · 由一组数据求k，再求目标量 13．（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 14．（23-24九年级上·河北·阶段检测）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    （1）h关于的函数解析式为______． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为______． 【答案】 0.8 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把代入解析式，解方程即可得到结论； （2）把代入，求得，于是得到结论． 【详解】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为， 把代入解析式，得， ∴h关于ρ的函数解析式为； （2）把代入，得， 解得：， 即，该液体的密度ρ为． 故答案为：；0.8． 15．（2025九年级·全国·专题练习）在对物体做功一定的情况下，力（单位：N）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如上图所示，点在其图象上． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 【答案】(1) (2)当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离为1.2m 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的性质是解题关键． （1）设，把P（4，3）代入求解即可； （2）把代入（1）中关系式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可设． 将代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得． 故当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离为1.2m． 16．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时，的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题考查了求反比例函数解析式以及反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，即可得出答案； （2）然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数， ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； （2）解：把代入得： ， 答：当时，的值为． 17．（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 【答案】(1)8 (2) (3)氧气的密度为 【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据代入，可求m； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入（2）中解析式可求结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． （3） 该容器的体积V为，． 答：氧气的密度为． 【考点4】行程与速度问题（第18-22题） · v=，由已知求s · 反比例关系验证：乘积为定值 · 实际中注意速度、时间的正数范围 18．（2025·广东肇庆·三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据待定系数法求出v与M的函数关系式，当时，求出对应v的值即可． 【详解】解：最快移动速度是载重后总质量的反比例函数， ∴设v与M的函数关系式为（k为常数，且）， 将，代入得：， ， ∴v与M的函数关系式为， 时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故选：D． 19．（24-25九年级上·山东泰安·期中）老李驾车从甲地到乙地，他以60千米/时的平均速度5小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度（千米/时）与时间（时）（）的函数关系式为________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】考查了根据实际问题列反比例函数关系式，清楚路程、速度、时间三者之间的关系对解答本题很重要．根据速度×时间=路程，可以求出甲地到乙地的路程；再根据行驶速度=路程÷时间，得到y与x的函数解析式． 【详解】解：由已知得：甲地到乙地的路程（千米），则 汽车的速度y（千米/时）与时间x（时）（）的函数关系式为：， 故答案为：． 20．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【答案】50 【知识点】实际问题与反比例函数 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 21．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为______千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为______． 【答案】 540 / 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列出y与t的函数解析式，由图象求出s即可； （2）根据，求出，再根据，得出v的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 甲、乙两地之间的距离为540千米， 故答案为：540； （2）小李计划在当天不超过到达乙地， ， ， 又， 汽车行驶的平均速度的范围为， 故答案为：． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东城的小李决定用骑行代替开车去梦想小镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间（单位：）成反比例关系．根据以往骑行两地的经验，的一些对应值如下表： 2 1.5 1.2 1 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，用式子表示小李骑行的平均速度与骑行时间的关系． (2)安全起见，骑行速度一般不超过．小李上午8：30从家出发，请判断他能否在上午9：10之前到达梦想小镇，并说明理由． 【答案】(1) (2) 小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇 理由：从上午8：30到上午9：10，用时40min，即h 当时， (km/h) 因为骑行速度一般不超过30km/h， 所以小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇 答：小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式。 （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论。 【详解】（1）（1）根据表中数据可知， 所以 答：用式子表示小李骑行的平均速度v与骑行时间t的关系为。 （2）略 【考点5】工程、经济与生活实际（第23-43题） · 总量=效率×时间，总量一定成反比例 · 需求量与价格成反比例 · 几何量固定时边长与另一边成反比例 · 综合实践题按题意分步建模求解 23．（2026·广西南宁·一模）《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少．现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C．当时，平均每人分到粮食12千克 D．这批粮食总量有500千克 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据题意可得平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，再结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少， ∴平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加，故A、B选项正确，不符合题意； 设该函数解析式为， ∵当时，， ∴， ∴该函数解析式为，这批粮食总量有600千克，故D选项错误，符合题意； 当时，，即当时，平均每人分到粮食12千克，故C选项正确，不符合题意； 24．（2024·广东佛山·模拟预测）在经济学上，通常可以用反比例函数来描述商品需求量与价格之间的关系．假设市场上某商品的需求量D与价格P之间的关系可以用（k是常数）来表示，当该商品价格为50元时，需求量为100件．若该商品价格控制在的范围内，那么需求量D的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求自变量的值或函数值、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，先求出反比例函数解析式，根据条件列出关于的不等式组，解出不等式组的解集即可． 【详解】解：当该商品价格为50元时，需求量为100件． ． 反比例函数解析式为， 当商品价格控制在的范围内时则有， 解得：， 故选：A． 25．（23-24九年级上·全国·单元测试）某三角形的面积为，它的一边长为，且此边上高为，则与之间的函数表达式为____． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键． 根据三角形面积公式列式即可． 【详解】解：由题意可得， ∴． 故答案为：． 26．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【详解】解：设， 将点代入得， 解得：， ， 当时，． 27．（25-26八年级下·上海静安·期末）在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据相互啮合齿轮每分钟转过的总齿数相等，建立与的等量关系，整理后即可得到关于的函数表达式． 【详解】解：大齿轮每分钟转过的总齿数为：， 小齿轮每分钟转过的总齿数为， 根据题意得：， 整理得， 由齿数的实际意义可知， 因此，关于的函数表达式为． 28．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 29．（2026·山西忻州·二模）根据生物学知识，生存资源总量固定，单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系．某生态培养瓶内营养总量固定，设微生物数量为x个，单个微生物平均获得y个营养单位．当单个微生物平均获得10个营养单位时，微生物总数为200个，若要保证单个微生物平均至少获得4个营养单位，则微生物总数最多为______个． 【答案】500 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系，设出反比例函数解析式，利用已知条件求出营养总量即比例系数，再根据单个微生物平均至少获得个营养单位的条件，求解微生物数量的最大值． 【详解】解： 与成反比例关系， 设． 把，代入解析式得：， 解得， 因此函数解析式为． 根据题意得， 即， 为微生物数量， ，不等式两边同乘得， 解得． 30．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 31．（2026·山西吕梁·二模）的信号强度与距离有函数关系，下表是科研人员调查以后得到的距离与信号强度相关数据： 距离 1 2 5 8 10 信号强度 400 200 80 50 40 当距离为时，信号强度为________． 【答案】100 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】观察发现：距离与信号强度的乘积为定值，即信号强度与距离成反比例关系，再利用待定系数法求得函数解析式，再将代入求函数值即可解答． 【详解】解：由题意可得：信号强度与距离成反比例关系， 设信号强度与距离的函数关系式为， 则， 所以信号强度与距离的函数关系式为， 当时，． 32．（2026·山西晋中·二模）某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 【答案】0.4 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数值 【分析】根据圆柱体积公式，已知储水量（体积）不变，因此可得反比例关系：． 【详解】解：由题意可知：，即． 当原底面积时，原高度； 当底面积变为时，新高度； 则当储水罐底面积由变为时，其高增加了． 33．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽 ，则底部直径的长为____． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵ ， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 34．（24-25八年级上·广东广州·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 (1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ (2)如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 【答案】(1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系，理由 设每天看页，需要天看完， ∵， ∴（或），与成反比例关系． 即每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系． (2)平均每天应看50页 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，成比例关系的判定． （1）根据乘积是定值，表示每天看的页数x与需要的天数y之间的数量关系即可求解； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时， （页）． 答：平均每天应看50页． 35．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为字/分，完成录入所需的时间为分钟. (1)求与之间的函数关系式； (2)当李杰录入文字的速度为100字/分，完成录入的时间为多少？ 【答案】(1) (2)完成录入所需的时间为16分钟 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题侧重考查关于反比例函数应用的题目，解答本题的关键是找出题目中的数量关系． （1）根据录入所需的时间1600录入文字的速度，即可解答； （2）将代入函数关系式，即可解答． 【详解】（1）由题意，得与之间的函数关系式为； （2）将字/分代入上式，得（分）， 答：完成录入所需的时间为16分钟． 36．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 【答案】反比例函数的表达式为，当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 设反比例函数的表达式为将代入求出解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将代入中，得， 解得， 反比例函数的表达式为， 令，则， 当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天． 37．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）春节期间燃放烟花爆竹是我国的传统习俗．经检测，烟花燃放后产生的有害气体浓度与扩散时间之间成反比例函数关系．当扩散5时，有害气体浓度为． (1)求关于的函数表达式； (2)按照环保标准，当有害气体浓度不高于时，对人体健康无危害，则至少需要扩散多长时间，对人体健康无危害？ 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】此题考查了反比例函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）求出当时的自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， ∵当扩散5时，有害气体浓度为． ∴， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）当时，，解得， 即至少需要扩散，对人体健康无危害． 38．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 【答案】(1)； (2)清理完这条河道一共需要6天． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， ∴所求函数解析式为； （2）解：当时，， ∴， 答：清理完这条河道一共需要6天． 39．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 【答案】(1) (2)第二天早上能驾车去上班， 由得， 当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为10小时， ， 第二天早上能驾车去上班． 【知识点】求一次函数解析式、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； （2）略 40．（24-25九年级上·辽宁营口·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．    (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1) (2) 能，理由：由得当时，， 从时到第二天早上点时间间距为10小时， ， 第二天早上能驾车去上班． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：依题意， 直线过，则设直线的解析式 把代入 解得 ∴， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； （2）略 41．（25-26九年级上·安徽池州·期末）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为 时，制冷启动，当温度降低到设定温度 时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到 时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度（单位：）及对应时间（单位：）的数据如表所示： 然后以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求第一个周期内关于的函数解析式； (3)当冰箱温度刚好达到 时，继续运行分钟，求此时冰箱内的温度． 【答案】(1) 如图所示． (2) (3)继续运行120分钟冰箱内的温度是 【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足的函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，设关于的函数解析式为 由题意知：解得： ∴当时，关于的函数解析式为 当时，设关于的函数解析式为   由题意知：，解得： 此时，关于的函数解析式为 当时，   解得： ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟 ∴ （3）解：当冰箱温度刚好达到 时，已运行了，继续运行，总共为 冰箱运行个周期零，当时， 继续运行分钟冰箱内的温度是 42．（24-25九年级上·山东淄博·期中）某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】(1) (2)乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、实际问题与反比例函数 【分析】此题主要考查了反比例函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． （1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式，再根据，即可解答； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 【考点6】温度、消毒与其它物理（第44-52题） · 温度与时间成反比例：乘积为定值 · 消毒、信号强度等按数据找反比例关系 · 分段理解题意，确定自变量范围 43．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知温度（单位：）与时间（单位：h）之间是反比例函数关系，其图象如图所示，则当温度时，时间应（   ） A．不小于 B．不大于 C．不小于 D．不大于 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，待定系数法求反比例函数解析式．根据题意设反比例函数表达式为，将图象中点代入中求出解析式，后根据图像性质即可得到本题答案． 【详解】解：设函数表达式为， ∵函数图象经过点， ∴，函数表达式为， ∴当时，， 故选：C． 44．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公园水上滑梯的侧面示意图，其中段可看成是双曲线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，其中四边形为矩形，，则两点之间的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】根据矩形的性质得到，，求得，设双曲线的解析式为，得到，于是得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点B的坐标为． 设双曲线的表达式为， ． 当时，，即， ． 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键． 45．（2026·广东佛山·三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 46．（22-23九年级上·山东泰安·期末）近视镜镜片焦距y（米）是镜片度数x（度）的某种函数，下表记录了一些数据： x（度） … 100 250 400 500 … y（米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … 利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为200度时，镜片焦距为（    ）米. A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键． 根据表格数据可得近视镜镜片的焦距（单位：米）与度数（单位：度）成反比例，依此即可求解；将代入解析式，求出即可． 【详解】解：根据表格数据可得，， 所以近视镜镜片的焦距（单位：米）与度数（单位：度）成反比例， 所以关于的函数关系式是． 将代入， 得． 故选：A． 47．（2025·河北沧州·模拟预测）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故A正确，不符合题意； B、当时，，故B正确，不符合题意； C、根据题意得，所以要增大y，应减小x，故C不正确，符合题意； D、根据题意得，所以x增大一倍，则y减少一半，故D正确，不符合题意， 故选：C． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）在对物体做功一定的情况下，力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是______m． 【答案】12 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：）成反比例函数关系， ∴设其函数关系式为， 将点代入得：， ∴这个反比例函数的解析式为， 把代入得：， 即当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是． 故答案为：12． 49．（2025·江苏南京·一模）已知近视眼镜镜片的焦距单位：是镜片度数单位：度的反比例函数，下表记录了一些数据： 度 利用表格中的数据推测：当镜片的度数为度时，镜片的焦距为__________精确到 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求出关于的函数关系式是解题的关键． 先根据表格数据求出关于的函数关系式，再代入求解． 【详解】解：根据表格数据可得，， ∴焦距y（单位：米）和度数x（单位：度）之间满足的关系为， 将代入关系式， 得， 故答案为：． 50．（2026·江苏扬州·二模）如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 ，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据反比例函数的性质可知随的增大而减小，再利用时，求出的取值范围，结合求的范围． 【详解】， 在自变量的取值范围中，随的增大而减小， 时，， ， ． 51．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入（1）中的解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设函数解析式为， 把，代入，得， 关于的函数解析式为； （2）解：把代入，则， 解得， 小孔到蜡烛的距离为． 52．（25-26八年级下·福建泉州·期末）制作古筝钢丝弦时，需保持琴弦材质、粗细、张力不变，琴弦振动频率（单位：）与弦长（单位：）成反比例．已知弦长时，振动频率为． (1)求与的函数关系式； (2)工匠裁剪两根琴弦，弦长分别为、，对应频率、．若，且，求两根弦长的长度． 【答案】(1)； (2)弦长、的长度分别为和． 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、实际问题与反比例函数 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设． 时，， ． 解得． 与的函数关系式为． （2） 解：∵弦长、，对应频率、，且， ，． ， ． 解得，． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：弦长、的长度分别为和． 💯 课后巩固 复习建议 · 识别反比例关系：两量乘积为定值 · 物理问题先找公式再建y=模型 · 由一组数据求k，再代入求目标量 · 注意自变量取值范围与实际意义 · 综合题按题意分步建模、逐步求解 【作业1】．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 【作业2】．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 【作业3】．（2024·广西南宁·二模）已知甲、乙两地相距40千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时），关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出反比例函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据路程时间速度可得，再变形可得． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 【作业4】．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 【作业5】．（2026·内蒙古通辽·二模）某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系式为，该函数图象位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据实际意义确定自变量和函数值的取值范围，即可判断图象所在象限． 【详解】解：∵已知函数关系式为，， ∴当时，， ∵横坐标和纵坐标都为正， ∴该函数图象上所有点都在第一象限 ∴该函数图象位于第一象限． 【作业6】．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，智慧小组设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： 1号 2号 3号 4号 5号 x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一个数据记录错了，请你判断这组数据对应的是（    ） A．2号 B．3号 C．5号 D．4号 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； 先由表格数据求出与的函数关系，再找出其中错误的一组即可． 【详解】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系， ∴设，则， ∴， 当时，， ∴其中有一组数据记录错了的是4号， 故选：D． 【作业7】．（24-25九年级上·吉林松原·期末）负责鱼菜共生系统建设的工程队平均每天的工作量（亩/天）与完成建设所需的时间（天）之间的函数图象如图所示，若该工程队每天最多建设0.5亩，则该工程队完成全部鱼菜共生系统的建设最快需要________天． 【答案】4 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象的点在反比例函数上，求出该函数解析式为，结合该工程队每天最多建设0.5亩，得出，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，先设该函数解析式为， ∵点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴该函数解析式为， ∵该工程队每天最多建设0.5亩， 得出， 解得， 故答案为：4 【作业8】．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与x的函数关系是_______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，根据矩形的面积公式得到y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为，另一边长为， ∴，即． 故答案为：． 【作业9】．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压________． 【答案】36 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出，即可得到答案． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为． 把代入中，得， 解得， 故答案为：36． 【作业10】．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示的机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_____．    【答案】6 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 答：当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：6． 【作业11】．（2026·江苏泰州·二模）某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 【答案】8 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据，代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴当时，． 【作业12】．（2024·广东清远·模拟预测）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式__________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设y与x的函数关系式为，把代入求解即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为． 将代入上式， 解得：， ∴． 故答案为：． 【作业13】．（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 【作业14】．（25-26九年级上·广西来宾·期中）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以千米/小时的平均速度用6小时到达目的地． (1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时公里，最低车速不得低于每小时公里，试问返程时间的范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数： （1）先计算甲乙两地的距离，根据路程不变得到速度与时间的函数关系式； （2）根据速度的范围计算返程时间． 【详解】（1）， 汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式：； （2）函数如图所示，，随的减小而增大， 当，， 当时，， ． 【作业15】．（23-24九年级上·广西百色·期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气体压强为时，求V的值．    【答案】当气球内的气压为时，气球的体积为2立方米． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式；再把代入解析式计算即可． 【详解】解：设P与V的函数关系式为：， 则， 解得， ∴函数关系式为． 将代入中， 得， 解得， ∴当气球内的气压为时，气球的体积为2立方米． 【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． (1)写出用电阻表示电流的函数表达式． (2)某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是多大？ (3)某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是多大？ (4)如果电路中有一滑动变阻器，怎样操作才能使电路中的电流I随电阻R的减小而逐渐增大？ 【答案】(1)（）． (2)． (3)． (4)减小滑动变阻器接入电路的电阻，可使电流随电阻的减小而逐渐增大． 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】（1）根据当电压一定时，电流与电阻成反比例列出函数表达式即可； （2）把代入函数表达式即可求出答案； （3）把代入函数表达式即可求出答案； （4）根据当电压一定时，电流与电阻成反比例进行解答即可． 【详解】（1）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． ∴（）； （2）解：当时，， 即某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是； （3）解：当时，，解得， 即某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是； （4）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例． ∴减小滑动变阻器接入电路的电阻，可使电流随电阻的减小而逐渐增大． 【作业17】．（2026·安徽马鞍山·三模）综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 【作业18】．（2026·山东临沂·一模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 【答案】(1)80 (2)①图象如下： ② (3)66 【知识点】用描点法画函数图象、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据表格数据，可以得出加热的阶段，水温y与时间x呈一次函数关系，由表格可知，每分钟水温上升，16分钟的时候为，，故20分钟的时候刚好； （2）①根据表格数据描点，再通过加热阶段和降温阶段分别是一次函数关系和类反比例关系，画出图象即可； ②根据表格数据，确定函数解析式即可； （3）由表格可知，每16分钟一循环，找到第一个16分钟中水温为时对应的时间，再通过循环确定第9次即可． 【详解】（1）解：由题意可知，阶段，为加热，且每分钟水温上升， 又， ∴20分钟时，对应的水温为，即； （2）解：①略 ②由表格，可知， ∴当时，， 由表格，可知，当，y是x的一次函数，由题意，， 设， 代入，得， ∴， ∴； （3）解：由表格和图象可知，每16分钟一循环， 在第一个16分钟，当和时，水温为， 故每个16分钟，有2次水温为，第9次为第5个16分钟的第1次， 此时（分钟）． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲·实际问题与反比例函数·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能识别实际问题中的反比例关系，建立y=模型 · 会解杠杆平衡、电路、压强等物理中的反比例问题 · 会解行程、工程、经济中的反比例问题 · 能由实际数据或条件确定k，求函数表达式 · 能结合实际问题求函数值、比较大小并解释意义 📚 知识梳理 ☆ 1.杠杆平衡问题 杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂 阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例 由实验数据验证：两量乘积为定值 列解析式后可求某一端的力或臂长 概念辨析例题：阻力为1200N，阻力臂为0.5m，动力臂为l（m），则动力F与l的关系式为（　　） 答案：F= 解析：F·l=1200×0.5=600，故F=（l>0），动力与动力臂成反比例。 ☆ 2.电路中的反比例关系 电压U一定时，电流I与电阻R成反比例：I= 由一组数据求电压U=IR，再写解析式 求某电阻下的电流：代入解析式 功率P=UI，电压一定时P与R成反比例 概念辨析例题：某蓄电池电压一定，用电器电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，当R=10时I=2，则当R=20时I=（　　） 答案：1A 解析：U=IR=20，解析式I=，R=20时I=1。 ☆ 3.压强、密度与气体问题 压强=，压力一定时压强与受力面积成反比例 密度=，质量一定时密度与体积成反比例 气体：温度不变时，压强与体积成反比例（玻意耳定律） 注意单位的统一与自变量范围的限制 概念辨析例题：物体对地面的压力为500N，受力面积为S(m2)，则压强p与S的关系为（　　） 答案：p= 解析：p==，S>0，压强与受力面积成反比例。 ☆ 4.行程问题 路程一定时，速度与时间成反比例：v= 由已知速度与时间求路程s=vt 求某速度下的时间：代入解析式 注意实际问题中速度、时间均为正数 概念辨析例题：甲、乙两地相距120km，汽车以v(km/h)行驶，所需时间t(h)与v的关系是（　　） 答案：t= 解析：t==，v>0，时间与速度成反比例。 ☆ 5.工程与经济问题 工程总量一定时，每天工作量与所需天数成反比例 商品需求量与价格成反比例关系 面积、体积等固定时，边长等量与另一边成反比例 列解析式后求具体值或解释实际意义 概念辨析例题：某项工程总量为6000亩，平均每天完成m亩，所需天数d与m的关系为（　　） 答案：d= 解析：总量=每天工作量×天数，d=，m>0。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 杠杆平衡 F1l1=F2l2 乘积为定值 电路 I= 电压一定 压强 p= 压力一定 密度 ρ= 质量一定 行程 v= 路程一定 工程 总量=效率×时间 总量一定 ⚠️ 核心考点 【考点1】杠杆与力学问题（第1-5题） · 杠杆平衡：动力×动力臂=阻力×阻力臂 · 阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例 · 由实验数据求k，再求具体值 1．（23-24九年级下·吉林长春·期中）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 3．（25-26八年级下·山西长治·期末）小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 4．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力动力臂阻力阻力臂） 动力臂 … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 动力 … 300 150 100 a 60 … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为时，所需动力是______． 5．（2024·福建莆田·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂： 随的增大而减小； 关于的函数图象位于第一、第三象限；当为时，抙动石头至少需要的力；当抙动石头需要的力，至少为；上面四种说法正确的是_____．（只填序号） 【考点2】电路与电学问题（第6-12题） · 电压一定：I=，由数据求U · 功率P=UI，电压一定时P与R成反比例 · 注意单位换算（A、Ω、V） 6．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 7．（2025·山西临汾·三模）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 8．（2026·山东临沂·二模）护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．反比例函数的解析式为 B．该护眼台灯的电压为 C．若，则 D．当时， 9．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 10．（2024·浙江温州·二模）图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为___． 11．（2026·山东东营·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 12．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 【考点3】压强、密度与气体问题（第13-17题） · 压强=，密度= · 温度不变时压强与体积成反比例 · 由一组数据求k，再求目标量 13．（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·河北·阶段检测）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    （1）h关于的函数解析式为______． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为______． 15．（2025九年级·全国·专题练习）在对物体做功一定的情况下，力（单位：N）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如上图所示，点在其图象上． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 16．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时，的值． 17．（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 【考点4】行程与速度问题（第18-22题） · v=，由已知求s · 反比例关系验证：乘积为定值 · 实际中注意速度、时间的正数范围 18．（2025·广东肇庆·三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 19．（24-25九年级上·山东泰安·期中）老李驾车从甲地到乙地，他以60千米/时的平均速度5小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度（千米/时）与时间（时）（）的函数关系式为________． 20．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 21．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为______千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为______． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东城的小李决定用骑行代替开车去梦想小镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间（单位：）成反比例关系．根据以往骑行两地的经验，的一些对应值如下表： 2 1.5 1.2 1 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，用式子表示小李骑行的平均速度与骑行时间的关系． (2)安全起见，骑行速度一般不超过．小李上午8：30从家出发，请判断他能否在上午9：10之前到达梦想小镇，并说明理由． 【考点5】工程、经济与生活实际（第23-43题） · 总量=效率×时间，总量一定成反比例 · 需求量与价格成反比例 · 几何量固定时边长与另一边成反比例 · 综合实践题按题意分步建模求解 23．（2026·广西南宁·一模）《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少．现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C．当时，平均每人分到粮食12千克 D．这批粮食总量有500千克 24．（2024·广东佛山·模拟预测）在经济学上，通常可以用反比例函数来描述商品需求量与价格之间的关系．假设市场上某商品的需求量D与价格P之间的关系可以用（k是常数）来表示，当该商品价格为50元时，需求量为100件．若该商品价格控制在的范围内，那么需求量D的范围为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·全国·单元测试）某三角形的面积为，它的一边长为，且此边上高为，则与之间的函数表达式为____． 26．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 27．（25-26八年级下·上海静安·期末）在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________． 28．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 29．（2026·山西忻州·二模）根据生物学知识，生存资源总量固定，单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系．某生态培养瓶内营养总量固定，设微生物数量为x个，单个微生物平均获得y个营养单位．当单个微生物平均获得10个营养单位时，微生物总数为200个，若要保证单个微生物平均至少获得4个营养单位，则微生物总数最多为______个． 30．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 31．（2026·山西吕梁·二模）的信号强度与距离有函数关系，下表是科研人员调查以后得到的距离与信号强度相关数据： 距离 1 2 5 8 10 信号强度 400 200 80 50 40 当距离为时，信号强度为________． 32．（2026·山西晋中·二模）某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 33．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽 ，则底部直径的长为____． 34．（24-25八年级上·广东广州·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 (1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ (2)如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 35．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为字/分，完成录入所需的时间为分钟. (1)求与之间的函数关系式； (2)当李杰录入文字的速度为100字/分，完成录入的时间为多少？ 36．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 37．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）春节期间燃放烟花爆竹是我国的传统习俗．经检测，烟花燃放后产生的有害气体浓度与扩散时间之间成反比例函数关系．当扩散5时，有害气体浓度为． (1)求关于的函数表达式； (2)按照环保标准，当有害气体浓度不高于时，对人体健康无危害，则至少需要扩散多长时间，对人体健康无危害？ 38．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 39．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 40．（24-25九年级上·辽宁营口·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．    (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 41．（25-26九年级上·安徽池州·期末）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为 时，制冷启动，当温度降低到设定温度 时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到 时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度（单位：）及对应时间（单位：）的数据如表所示： 然后以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求第一个周期内关于的函数解析式； (3)当冰箱温度刚好达到 时，继续运行分钟，求此时冰箱内的温度． 42．（24-25九年级上·山东淄博·期中）某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【考点6】温度、消毒与其它物理（第44-52题） · 温度与时间成反比例：乘积为定值 · 消毒、信号强度等按数据找反比例关系 · 分段理解题意，确定自变量范围 43．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知温度（单位：）与时间（单位：h）之间是反比例函数关系，其图象如图所示，则当温度时，时间应（   ） A．不小于 B．不大于 C．不小于 D．不大于 44．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公园水上滑梯的侧面示意图，其中段可看成是双曲线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，其中四边形为矩形，，则两点之间的水平距离为（   ） A． B． C． D． 45．（2026·广东佛山·三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 46．（22-23九年级上·山东泰安·期末）近视镜镜片焦距y（米）是镜片度数x（度）的某种函数，下表记录了一些数据： x（度） … 100 250 400 500 … y（米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … 利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为200度时，镜片焦距为（    ）米. A． B．1 C． D．2 47．（2025·河北沧州·模拟预测）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）在对物体做功一定的情况下，力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是______m． 49．（2025·江苏南京·一模）已知近视眼镜镜片的焦距单位：是镜片度数单位：度的反比例函数，下表记录了一些数据： 度 利用表格中的数据推测：当镜片的度数为度时，镜片的焦距为__________精确到 50．（2026·江苏扬州·二模）如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 ，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是________． 51．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 52．（25-26八年级下·福建泉州·期末）制作古筝钢丝弦时，需保持琴弦材质、粗细、张力不变，琴弦振动频率（单位：）与弦长（单位：）成反比例．已知弦长时，振动频率为． (1)求与的函数关系式； (2)工匠裁剪两根琴弦，弦长分别为、，对应频率、．若，且，求两根弦长的长度． 💯 课后巩固 复习建议 · 识别反比例关系：两量乘积为定值 · 物理问题先找公式再建y=模型 · 由一组数据求k，再代入求目标量 · 注意自变量取值范围与实际意义 · 综合题按题意分步建模、逐步求解 【作业1】．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 【作业2】．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 【作业3】．（2024·广西南宁·二模）已知甲、乙两地相距40千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时），关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 【作业5】．（2026·内蒙古通辽·二模）某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系式为，该函数图象位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【作业6】．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，智慧小组设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： 1号 2号 3号 4号 5号 x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一个数据记录错了，请你判断这组数据对应的是（    ） A．2号 B．3号 C．5号 D．4号 【作业7】．（24-25九年级上·吉林松原·期末）负责鱼菜共生系统建设的工程队平均每天的工作量（亩/天）与完成建设所需的时间（天）之间的函数图象如图所示，若该工程队每天最多建设0.5亩，则该工程队完成全部鱼菜共生系统的建设最快需要________天． 【作业8】．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与x的函数关系是_______． 【作业9】．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压________． 【作业10】．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示的机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_____．    【作业11】．（2026·江苏泰州·二模）某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 【作业12】．（2024·广东清远·模拟预测）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式__________． 【作业13】．（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【作业14】．（25-26九年级上·广西来宾·期中）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以千米/小时的平均速度用6小时到达目的地． (1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时公里，最低车速不得低于每小时公里，试问返程时间的范围是多少？ 【作业15】．（23-24九年级上·广西百色·期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气体压强为时，求V的值．    【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． (1)写出用电阻表示电流的函数表达式． (2)某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是多大？ (3)某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是多大？ (4)如果电路中有一滑动变阻器，怎样操作才能使电路中的电流I随电阻R的减小而逐渐增大？ 【作业17】．（2026·安徽马鞍山·三模）综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 【作业18】．（2026·山东临沂·一模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $