专题 27.3 实际问题与反比例函数 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题27.3 实际问题与反比例函数 知识点1：用反比例函数解决实际问题的一般步骤 　　1.审：审清题意，找出题目中的常量与变量，并厘清常量与变量之间的关系。 　　2.设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示。 　　3.列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 　　4.写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围。 　　5.解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题。 　　6.检：检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 　　7.答：写出实际问题的答案，保证解题的完整性。 知识点2：实际问题中常见的反比例关系 类型 关系 公式 路程型 当路程s一定时，时间t与平均速度v成反比例 （s是常数） 几何面积型（矩形） 当矩形面积S一定时，一边长a与该边的邻边长b成反比例 （S是常数） 几何面积型（三角形） 当三角形面积S一定时，一边a与该边上的高h成反比例 （S是常数） 物理做功型 当功W一定时，力F与物体在力F方向上移动的距离s成反比例 （W是常数） 物理压强型 当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例 （F是常数） 物理电学型 当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例 （U是常数） 工程型 当工作总量一定时，完成时间t与每天工作量成反比例 （W是常数） 　　1.识别反比例关系的本质：两个量的乘积为定值，即一个量增大时另一个量减小，且乘积不变。 　　2.列式时注意：公式中分母的量为自变量，分子的量对应的常数为比例系数k。 　　3.反比例关系对应的公式，是这类应用题的建模基础，应熟练记忆并会变形。 知识点3：实际问题中自变量的取值范围 　　1.反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但在实际问题中，要由具体情况与实际意义确定自变量的取值范围。 　　2.确定范围的一般依据：边长、时间、质量、路程等量必须为正数；某些量还有上下界要求（如速度不超限速、压强不超过安全值）。 　　3.在利用增减性解决取值范围问题时，要注意结合图象与函数性质，先明确k的正负，再确定y随x的变化趋势。 知识点4：由图表数据确定反比例函数模型 　　1.若问题中两个量的关系无法直接分析得出，可画出对应数据的散点图，观察图象特征，选择合适的函数模型。 　　2.若散点大致分布在一条双曲线上，可判定为反比例函数关系，再利用待定系数法确定解析式。 　　3.检验时，将多组数据代入解析式，若每组对应值之积相等（即为定值），则可判定为反比例关系。 【基础必考题型】 【题型1】实际问题中反比例函数关系式的建立 1.核心知识点 　　根据实际问题中的等量关系列反比例函数解析式；识别反比例关系的本质。 2.解题方法技巧 　　（1）找出题目中的常量（定值）与两个变量，判断哪两个量成反比例关系； 　　（2）由"乘积为定值"列出，再写成形式； （3）根据实际意义确定自变量的取值范围。 【例题1】.（26-27九年级上·北京·期中）已知某住宅小区要种植一个面积为的矩形草坪，草坪的长随宽的变化而变化，根据题意列函数表达式为___________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列反比例函数关系式，根据矩形面积公式，长与宽的乘积等于面积，从而写出函数表达式． 【详解】解：设草坪的长为，宽为，面积为平方米，根据题意，得 ， 因此，关于的函数表达式为 故答案为：． 【变式题1-1】.（2025九年级·全国·专题练习）某自来水公司计划新建一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（单位：）关于其深度h（单位：m）的函数解析式为__________________．若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的深度为_________m． 【答案】 5 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，弄清题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 根据长方体体积公式，容积等于底面积乘以深度，由此可得底面积关于深度的函数解析式；当给定长和宽时，先计算底面积，再利用体积公式求深度。 【详解】解：由长方体体积公式，体积 ，其中 ， 所以 ，解得 ． 当蓄水池的长为 ，宽为 时，底面积 ． 由 ，代入 ，， 得 ，解得 ． 故答案为：，． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在平均排水量为每小时立方米，那么将满池水排空所需要的时间为（小时），写出时间（小时）与之间的函数解析式：________．如果要在4小时内排完，那么平均每小时排水量至少为________立方米． 【答案】 12 【分析】先计算蓄水池总蓄水量，再根据总水量、每小时排水量、排空时间的关系推导函数解析式，最后根据要求的排空时间计算最低每小时排水量． 【详解】∵原排水管平均排水量为每小时立方米，小时可以排空满池水， ∴蓄水池的总蓄水量为立方米． 根据总蓄水量=每小时排水量×排空总时间，可得， 整理得与的函数解析式为． 若要在小时内排完，即满足， 代入解析式得， ∵为排水量，， ∴不等式两边同乘，不等号方向不变，可得， 解得， 即平均每小时排水量至少为立方米． 【变式题1-3】.（2025九年级·全国·专题练习）某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v关于t的函数解析式是__________________． （2）若要求在之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水_________． 【答案】 400 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确求出反比例函数表达式，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据题意得出解答即可； （2）当时，求出即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知：，即， ∴关于的函数表达式为； 故答案为：． （2）由（1）知，当时，随的增大而减小， 又当时， ， ∴要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水立方米． 故答案为：． 【题型2】实际问题中的反比例函数图象识别 1.核心知识点 　　反比例函数图象特征；实际问题中图象在第一象限一支及自变量的取值范围。 2.解题方法技巧 　　（1）实际问题中自变量与函数值通常都为正数，图象一般只取第一象限的一支； 　　（2）根据k的正负判断图象所在象限，结合实际问题排除不合理选项； （3）注意图象是否经过原点、是否与坐标轴相交等特征。 【例题2】.（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间成反比例关系，当时，．则y与x的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，灵活运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 设，根据当时，可求出k的值，即可得出y与x的函数图像，进而完成解答． 【详解】解：设， ∵时，， ∴， ∴，则y与x的函数图像大致是C． 故选：C． 【变式题2-1】.（2025·江苏扬州·二模）小明家预付500度电费，若平均每天用电m度，则能使用n天．则n与m的函数图象绘制正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的实际应用及函数图象的识别，解题的关键是根据实际问题列出函数关系式，并判断函数类型，进而确定其图象． 先根据已知条件得出与的函数关系式，再根据函数性质判断图象． 【详解】已知小明家预付500度电费，平均每天用电度，能使用天，因为总电量每天用电量使用天数，所以，变形可得． 在中，，且，所以其图象是在第一象限的双曲线， 故选：B． 【变式题2-2】.（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点从出发，沿运动，设，到的距离为，则与之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两个变量之间的关系，反比例函数的应用．依次判断点在线段和线段上随的变化情况即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为，由题知点到的距离为， 连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当在边上时， 由题意得，即，函数图象一段双曲线， 当在边上时，点到的距离为定值，即为常数函数，函数图象一线段， 观察图象，选项A符合题意， 故选：A． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 【题型3】由图象或图表求反比例函数解析式并求解 1.核心知识点 　　待定系数法求解析式；由已知点的坐标确定k；由函数值求自变量或反之。 2.解题方法技巧 　　（1）在图象（或图表）中找一组已知对应值，代入求k； 　　（2）写出解析式后，把已知的自变量（或函数值）代入，求出另一量； （3）注意结合实际意义确定取值的合理性。 【例题3】.（2026·广东茂名·二模）如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象过求出反比例函数的解析式，代入求出矫正治疗后近视眼度数，作差即可求出减少的度数． 【详解】解：设， 将代入，得， 解得， ∴， 将代入，得， （度） ∴近视眼镜减少的度数为300度． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（   ） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B．当时，甲醛检测仪会报警 C．当时，的阻值为 D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 【答案】 【详解】解：设， 将点代入得， 解得：， ， 当时，． 【变式题3-3】.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）化学实验室要配制一些氯化钠溶液，当溶质氯化钠的质量固定不变时，溶液的总质量（单位：）与溶质的质量分数成反比例函数，其函数图象如图所示．当溶液总质量时，质量分数为______%． 【答案】 5 【分析】先根据图象求出反比例函数关系式，再将代入关系式求出答案即可． 【详解】解：设溶液质量和溶质质量分数的函数关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴反比例函数关系式为， 当时，， 解得， 所以质量分数为％． 【培优高频题型】 【题型4】行程问题中反比例函数的应用 1.核心知识点 　　路程一定时速度与时间成反比例；利用增减性求速度或时间的取值范围。 2.解题方法技巧 　　（1）由路程=速度×时间，得（s为常量）； 　　（2）结合限速等实际条件确定速度（或时间）的取值范围； （3）利用反比例函数增减性，由时间的上界推出速度的下界。 【例题4】.（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【答案】4 【分析】由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：， ∴， ∴当时，则． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·陕西安康·期末）机器狗凭借灵活机动和视觉识别，已从实验室走向工业巡检、安防巡逻和应急救援等多元场景，突破人力与设备的应用空白．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量为时，它的最快移动速度为． (1)求V关于m的函数解析式； (2)若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 【答案】(1)与的解析式为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入反比例函数解析式中求出，即可求解． 【详解】（1）解：总质量时，它的最快移动速度为， ， 与的解析式为； （2）解：当时，， 机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为． 【变式题4-2】.（2026·天津河西·二模）已知小华家、社区超市、体育场依次在同一条直线上，超市离小华家，体育场离小华家．小华从家出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到超市，在超市停留后，用了匀速散步返回家．下面图中表示时间，表示离小华家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 10 30 55 小华离家的距离 ②填空：小华从体育场到超市的速度为__________； ③当时，请直接写出小华离开家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小华从家出发时，小华的妈妈也从家出发匀速步行直接去超市，如果妈妈到达超市时正好遇到小华也在超市，那么妈妈速度（单位：）的数值应该是在什么范围内？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①，，；②；③； (2) 【分析】（1）①根据路程、速度、时间的关系以及图像即可解答；②根据路程、速度、时间的关系作答即可；③当时，直接根据图像写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）如图：设小华的妈妈的速度为v，则小华妈妈的路程为，由题意可得，，即；再根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 小华离开家的时间 1 10 30 55 小华离家的距离 ②小华从体育场到超市的速度为； ②当时，由函数图像可得：； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得，解得， ∴； 综上，当时，小华离开家的距离关于时间的函数解析式． （2）解：如图：设小华的妈妈的速度为v，则小华妈妈的路程为， ∵妈妈到达超市时正好遇到小华也在超市， ∴，， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，速度v有最大值；当时，速度v有最小值； ∴妈妈速度（单位：）的数值取值范围为． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度v（单位：天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)运输公司原有100辆卡车，每天共可运送土石方．运送40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少应增加多少辆卡车？ 【答案】(1)与成反比例函数关系，函数解析式为（）． (2)公司至少应增加20辆卡车． 【分析】（1）根据运送总量、速度、时间的等量关系推导函数表达式，根据函数解析式即可判断与成反比例函数关系； （2）先计算剩余土石方量，结合剩余时间要求，列不等式求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得，土石方总量为， ∵ 运送总量 = 平均运送速度 × 运送时间， ∴， ∴， 即v是t的反比例函数． （2）解：设公司应增加x辆卡车． 每辆卡车每天运送土石方量为（/天）， 运送40天后剩余土石方量为． ∵ 剩余任务需在50天内完成， ∴ ， 解得． 答：公司至少应增加20辆卡车． 【题型5】工程问题中反比例函数的应用 1.核心知识点 　　工作总量一定时工作量与时间的反比例关系；工程进度与工期计算。 2.解题方法技巧 　　（1）由工作总量=每天工作量×天数，得反比例关系式； 　　（2）已知每天工作量求时间，或已知时间求每天工作量，直接代入； （3）涉及工期提前、效率提高等问题时，先求原解析式，再比较两种方案。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）工人师傅要在刚刚浇注过的水平水泥地面上进行作业，为了不破坏地面，常常要在地面上铺垫一些木板．某工人的重力是，不计木板的重力． (1)写出用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式． (2)如果此工人站立时双脚与地面的接触面积约是，那么他对地面的压强约是多大？ (3)如果木板的面积是，此工人站在木板上对地面的压强是多大？ (4)为什么工人师傅铺垫木板后，地面就不容易被破坏？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 铺垫木板后，工人对地面的压力大小不变，受力面积增大. 根据，压力一定时，受力面积越大，压强越小，因此地面不容易被破坏. 【分析】（1）根据压强、受力面积、压力之间的关系得到用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式； （2）将工人站立时双脚与地面的接触面积代入函数关系式即可求出压强； （3）把木板的面积代入函数关系式即可求出工人站在木板上时对地面的压强； （4）因为铺垫木板后，工人对地面的压力大小不变，受力面积增大，根据压强与受力面积之间的函数关系式即可解释地面不容易被破坏的原因． 【详解】（1）解：根据压强、受力面积、压力之间的关系可得：， 用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式为； （2）解：当工人站立时双脚与地面的接触面积约是， 工人对地面的压强为； （3）解：当工人站在面积为的木板上时， 对地面的压强是； （4）解：铺垫木板后，工人对地面的压力大小不变，受力面积增大， 根据，压力一定时，受力面积越大，压强越小， 地面不容易被破坏. 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某电子公司接到了生产4000个计算机零部件的订单，请写出生产这批零部件所需时间与每小时生产零部件数量n（个）之间的函数关系式． 【答案】生产这批零部件所需时间与每小时生产零部件数量的函数关系式为（为正整数）． 【详解】解：∵总数量每小时生产的零件数时间， ∴， 变形： ， 答：函数关系式为（为正整数）． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了． (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 【答案】(1) (2)至少要卸载货物 【分析】（1）先求出总的货物重量，再由货物总量求解即可； （2）令，代入（1）中所求函数解得，结合反比例函数中与的关系分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知货物总量为，则， 起重机平均卸载速度与卸载完所有货物的总时间之间的函数关系为； （2）解：把代入可得， 对于函数，当时，越大、越小， 要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载货物． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）学校食堂一次性购买了大米． (1)这些大米能够使用的天数m与食堂平均每天的用米量n（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果食堂平均每天使用大米，那么至少多少天后，食堂需再购买大米？ 【答案】(1) 与成反比例函数关系，函数关系式为（） (2) 至少12天 【分析】（1）根据总大米质量=每天用米量×使用天数，推导与的函数关系； （2）结合每天用米量的取值范围，利用反比例函数的增减性求使用天数的最小值． 【详解】（1）解： （1）由题意得，总大米质量为， ， 整理得（）， ∴ 是的反比例函数； （2）解：∵ ， 且中，当时，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最小值， （天） 答：至少12天后，食堂需再购买大米． 【题型6】物理力学、电学中的反比例函数应用 1.核心知识点 　　压强与受力面积、电流与电阻、力与距离的反比例关系；跨学科综合应用。 2.解题方法技巧 　　（1）识别物理公式中的反比例关系（如、）； 　　（2）利用已知数据求比例系数，建立解析式； （3）结合安全条件（压强不超过、电流范围）求变量的取值范围。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ 【答案】(1) (2) (3) (4) ①这些气体的体积增大时，密度变小；②． 【分析】（1）根据题意，结合密度公式可得函数表达式为； （2）把代入函数表达式求解即可； （3）把代入函数表达式求解即可； （4）根据列表，描点，连线即可画出函数图像；①根据函数图像即可解答；②根据图像以及反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，即函数表达式为． （2）解：当时，． 答：当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为． （3）解：当时，，解得：． 答：要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为的储气罐． （4）解：函数的图像是反比例函数在第一象限的一支， 列表： V …… 1 2 3 4 5 6 7 …… …… 7 1 …… 描点，连线如下： ①∵在第一象限，V增大，ρ减小， ∴这些气体的体积增大时，密度变小； ②∵容积不超过2m3，即， 当时，，且V越小，ρ越大， ∴，即把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度的范围为． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 【答案】(1)，其属于反比例函数 (2) 【分析】（1）根据小孔成像原理，蜡烛与像是平行的，易得，由对应高的比等于对应边的比，即，即可得相应反比例函数． （2）不小于5即，结合图象和反比例函数性质可得． 【详解】（1）解：由题意得， ， 根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得 ， 将代入上式得： ， 整理得， 即，属于反比例函数． （2）． 因为, 所以随增大而减小， 要使, 由函数图象得． 【变式题6-2】.（2026·河南三门峡·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）之间的关系式是：，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求电阻的值． (2)电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压． (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），请直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】（1）待定系数法先求出函数解析式，然后将，代入求值即可； （2）根据公式，代入求值即可； （3）根据一次函数和反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：由图3可知，可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系，设， 把，代入解析式得：， 解得， ∴， 当时，； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知，， 代入解析式，可得：， 解得：； （3）解：由（2）知电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 此时取得最大值为； 当时，取得最小值，最小值为， 此时取得最小值为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取得最小值2时，取得最大值， 把代入得：， 解得：， 所以该电子秤所称物品质量的最大值为． 【变式题6-3】.（2026·宁夏银川·二模）电风扇是我们生活的常用电器，数学小组的一名学生在使用电风扇时，突然产生一个疑问：为什么电风扇的风速可以调节？好奇的他进行了探究，发现与电风扇的实际功率有关．由物理学中的公式和可知，实际功率的大小是由电阻的大小决定的．于是他将滑动变阻器和电风扇串联，通过调整滑动变阻器的电阻，改变电风扇的风速．实验测得数据如下： 总电阻 15 12 9 6 3 电流强度 0.4 0.5 0.7 1 2 (1)数学老师指出：该学生测量的数据大部分都是正确的，个别有误差．你能发现哪几组数据有误吗？说说你的理由． (2)求I关于R的函数表达式； (3)如果将电阻调大，电风扇的风速将发生什么变化？ (4)如果电风扇的电阻为，电路中滑动变阻器的电阻控制在到（包括5，15）时，电路中电流应该控制什么范围？ 【答案】(1) 这一组数据有误 (2) (3)风速变小 (4) 【分析】（1）将表格中的数据代入，分别求出的值，再进行比较即可得出有误的数据； （2）把代入可得解； （3）根据反比例函数的性质可得结论； （4）先求出总电阻的取值范围，再判断电路中电流的范围即可． 【详解】（1）解：由变形得，电路电压为定值，因此所有正确数据的乘积都相等. 计算各组的值： ； ； ； ；； 只有这一组的乘积不等于6，因此该组数据有误； （2）解：由上述计算可得定值电压，代入可得：； （3）解：函数中，，当时，随的增大而减小. 电阻调大后电流减小，电风扇实际功率减小，因此风速变小； （4）解：由题意可知，总电阻电风扇电阻滑动变阻器电阻. 已知电风扇电阻为，滑动变阻器电阻范围为，因此总电阻范围为： ，即， 因为中随增大而减小，代入端点得： 当时，； 当时，； 因此电路中电流的范围为． 【题型7】经济生活中的反比例函数应用 1.核心知识点 　　销售总额（或总预算）一定时销量与单价成反比例；利润与定价问题。 2.解题方法技巧 　　（1）由总价=单价×数量（或总预算=单价×数量）列反比例关系； 　　（2）已知单价求销量，或已知销量求单价，直接代入解析式； （3）结合利润、预算等约束条件求取值范围的取舍。 【例题7】.（25-26九年级下·全国·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为______元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【答案】300 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先求解，再由，再解方程并检验即可； 【详解】解：由题中表格数据，得， ∴， 由题意，得， 把代入，得， 解得， 经检验，是该方程的根， 所以其售价应定为300元/双． 故答案为：. 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)y与x有怎样的函数关系？ (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【答案】(1) 与是反比例函数关系，解析式为（，且为正整数） (2) 0.6万元 (3) 24个月 【分析】（1） 根据“月还款额还款月数余款总额”，即可解答； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）根据反比例函数的性质即可解答； 【详解】（1）解：根据题意，需要结清的余款为万元， 则， 整理得，根据题干要求36个月内结清余款，因此自变量的取值范围是，且为正整数， 故与是反比例函数关系，解析式为（，且为正整数）. （2）解：把代入函数，可得， 即每月还款万元； （3）解：5000元万元， 令，整理得，解得：， 根据题意， ∴，因此至少需要24个月结清余款． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 【答案】(1) (2)当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元 (3)此时店铺的一袋茉莉香茶为60元 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的应用、一元一次方程的实际应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）首先设销售利润为，根据题意即可得到，再结合当增大时，减少，即可得到当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）首先根据降雪量为8毫米时得到原售价为44元，再设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，根据题意即可得到，进而即可求解出此时店铺的一袋茉莉香茶的价钱． 【详解】（1）解：设， 将和代入，得，解得：， ∴； （2）解：设销售利润为， ∴由题意可得，， ∵， ∴当增大时，减少， ∴当时，取最大值，最大值为元， ∴当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）解：当降雪量为8毫米时，原售价为44元， ∵在进行“买三送一”活动时，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴购买了15袋，赠送了5袋， 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元， ∴由题意可得，，解得：， ∴此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 【变式题7-3】.（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 【压轴素养题型】 【题型8】表格类数据确定反比例函数并应用 1.核心知识点 　　由表格数据判断函数类型；用待定系数法求解析式；由解析式解决问题。 2.解题方法技巧 　　（1）先检验多组数据对应值之积是否相等，判断是否为反比例关系； 　　（2）选取一组数据代入求k，写出解析式； （3）将所求自变量或函数值代入解析式计算，注意结合实际。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）探究 某物理实验小组研究气体的压强p（单位：）与体积V（单位：）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据如表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 体积 20 18 16 14 12 10 压强 100 112 123 145 163 201 回顾“探究”，回答以下问题： (1)表中的有些数对只能近似满足函数解析式（），即如图中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ (2)结合“探究”和问题（1）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤． 【答案】(1)以往所学函数，变量对应值都精确满足解析式，对应点全部在函数图像上；本题是实验采集的实际数据，存在实验误差，数据仅近似符合函数关系，点不会完全落在函数图像上，函数是用来近似刻画变量的变化规律的 (2)建立函数模型解决实际问题一般步骤： ①收集实际问题中的变量对应数据； ②画出散点图，观察散点分布，判断变量间函数类型； ③确定函数模型，求出函数解析式； ④检验模型，看解析式和实际数据的吻合程度； ⑤利用这个函数模型分析、预测实际问题 【分析】（1）对比理论函数与实际实验数据的差别，理论题的数据严格满足式子，实际实验存在误差，只能近似符合函数； （2）按照本题从采集实验数据，画散点图，选函数类型，求解析式，检验，应用的完整流程，归纳建立函数模型的通用步骤． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-1】.（26-27九年级上·北京西城·开学考试）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，，，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.07 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，请画出函数，的图象； (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为________，丙香料的香气强度约为________；（结果均保留两位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”）； ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为________． 【答案】(1)如图所示，即为函数，的图象 (2) (3)①丙；②乙，60 【分析】（1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）直接根据图象作答即可； （3）①②根据图象直接作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知： 当放置时，甲香料的香气强度约为；丙香料的香气强度约为； （3）解：①由图象可知，当放置时，该时刻起主要作用的香料为丙； ②由图象可知，当时，； 时，甲最大，时长为； 时，； 时，乙最大，时长为； 时，丙最大，时长为， ∴总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长y/cm 1 2 3 4 5 宽x/cm 2 1 (1)把表格补充完整，并把表中的8个点在如图所示平面直角坐标系中描出来，顺次连接； (2)设矩形的长为y（单位：cm），宽为x（单位：cm），求出这条曲线对应的函数表达式（不用写自变量的取值范围） (3)若点，是该函数图象上的两个点，且，试说明：． 【答案】(1) 补全表格： 长 1 2 3 4 5 6 8 10 宽 10 5 2 1 如图所示： (2) (3)，， 随的增大而减小， ∴当时，． 【分析】（1）因为所有矩形面积相等，所以先根据已知的一组长和宽计算矩形面积，再利用面积=长×宽的公式，代入已知的长计算对应宽，代入已知的宽计算对应长，补充完整表格．以x为横坐标、y为纵坐标，将表格中的8组数值对应的点在坐标系中描出，再顺次连接各点． （2）由矩形面积公式得，可得函数表达式． （3）利用反比例函数的增减性，结合该函数的比例系数k的符号，即可说明的结论． 【详解】（1）解：∵8个矩形面积相等，从已知的长、宽，可得矩形面积为， 即， 当时，； 当时，； 当时，​； 当时，； 当​时，； 当时，； 当时，． 据此补全空白： 补充后宽行从左到右依次为：；长行最后三个空白依次为：． 描点连线：在坐标系中描出，顺次连接得到第一象限内的反比例函数曲线． （2）解：由矩形面积公式得， 可得函数表达式：​． （3）略 【变式题8-3】.（2026·北京·模拟预测）某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为___________； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)14 (2)① ②；③ 【分析】（1）根据同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系，设，代入一组数据求出k即可； （2）①根据乙测试组的实验数据，描点连线，即可画出乙测试组实验的函数图象； ②由乙测试组实验图象，即可得出孔径为6.5mm的水龙头放出7L水所用的时间； ③在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，即可推断出甲组同学实验中所用水龙头的孔径． 【详解】（1）解：∵同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系， ∴设， 当时，， 将其代入中， 即， 解得， 故， 当时，， 故甲测试组放水时放出的水量为； （2）①乙测试组实验的函数图象如下： ②由乙测试组实验图象可知，孔径为的水龙头放出水所用的时间约为； ③当时，将其代入中，可得．在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径约为． 【题型9】分段函数综合（一次/二次函数与反比例函数） 1.核心知识点 　　分段函数模型；一次/二次函数与反比例函数图象组合；求某范围内的函数值或时长。 2.解题方法技巧 　　（1）按图象分段，先分别确定各段的函数解析式及自变量的取值范围； 　　（2）对于"温度不低于""利润达到"等问题，利用对应段的函数关系列式求解； 　　（3）求满足条件的时长，常转化为解不等式并结合图象确定区间。 【例题9】.（25-26八年级下·山东济南·期末）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 【变式题9-1】.（2026·河南·模拟预测）打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【答案】(1)（）；（） (2)10 (3)25.1 【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为与，再结合图象找出其经过的点，最后利用待定系数法求解即可； （2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出与时的自变量取值，再作差求解即可； （3）设第二次煅烧时的函数解析式为，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到，再结合图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当时，自变量的值，即可解题． 【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系， 设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点， 即，解得， 即（）， 第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系， 设此时函数解析式为， 由图象可知，该函数经过点，即，解得， 即（）； （2）解：当时，，解得：， 当时，， （）， 所以第一次锻造操作的时长是10； （3）解：每次煅烧温度上升的速度相同， 设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为， 由题意得，即函数解析式为，此函数经过点， 代入可得，， ，即， 当时，， 所以第二次开始锻造的时间约为第25.1． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)，A点对应的指标值为20 (2) 解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； （2）略 易错点 1、忘记写自变量的取值范围，或取值范围只考虑解析式而忽略实际意义。 2、判断反比例关系时只看"一个增大另一个减小"，忽略"乘积为定值"这一本质。 3、列解析式时把比例系数k误当成已知数，或在待定系数时代入错误的数据组。 4、在求取值范围时未结合k的正负确定增减方向，导致大小关系判断错误。 5、分段函数综合题中，未先确认自变量落在哪一段，直接套用错误的函数解析式。 重点 1、掌握用反比例函数解决实际问题的一般步骤（审设列写解检答），会建模求解。 2、掌握行程、工程、几何面积、物理压强、电流等常见反比例关系及其解析式。 3、能由图象或表格数据确定反比例函数模型，并结合增减性解决取值范围问题。 难点 1、正确确定实际问题中自变量的取值范围，并利用增减性求解取值范围。 2、分段函数综合题中一次函数与反比例函数的衔接与区间划分。 3、跨学科、方案设计等综合实践题中的建模、约束条件分析与结果合理性检验。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【答案】C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 2．（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 3．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 二、填空题 4．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【答案】50 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间（分钟）是潜水深度（米）的反比例函数．当潜水深度为米时，气瓶可用时间为分钟．为保证安全，要求气瓶可用时间不少于分钟，则潜水深度最大为______米． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据 列出不等式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，把，代入得， ， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由题意得， ∴ ， 解得 ， ∴潜水深度最大为米． 6．（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当时，此时的值即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ， 反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为． 三、解答题 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某地区的人口为x，水资源总量为18亿立方米，水资源人均占有量为． (1)写出用x表示W的函数表达式． (2)如果该地区的人口为900万，那么该地区的水资源人均占有量为多少立方米？ 【答案】(1) （） (2) 200立方米 【分析】（1）根据水资源人均占有量等于水资源总量除以人口总数解答； （2）将代入关系式，求出解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：当时，（立方米）， 所以该地区的水资源人均占有量为200立方米． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． (1)写出用电阻表示电流的函数表达式． (2)某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是多大？ (3)某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是多大？ (4)如果电路中有一滑动变阻器，怎样操作才能使电路中的电流I随电阻R的减小而逐渐增大？ 【答案】(1)（）． (2)． (3)． (4)减小滑动变阻器接入电路的电阻，可使电流随电阻的减小而逐渐增大． 【分析】（1）根据当电压一定时，电流与电阻成反比例列出函数表达式即可； （2）把代入函数表达式即可求出答案； （3）把代入函数表达式即可求出答案； （4）根据当电压一定时，电流与电阻成反比例进行解答即可． 【详解】（1）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． ∴（）； （2）解：当时，， 即某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是； （3）解：当时，，解得， 即某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是； （4）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例． ∴减小滑动变阻器接入电路的电阻，可使电流随电阻的减小而逐渐增大． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个重的物体放在地面上． (1)写出用这块物体的受力面积表示它对地面的压强的函数表达式． (2)画出这个函数的图象． (3)如果这个物体是长方体形的，长、宽、高分别为，和，求放置方式不同时，这个物体对地面的压强分别是多大．（结果保留整数） 【答案】(1) (2)函数图象如下： (3)放置方式不同时，对地面的压强分别约为，， 【分析】（1）根据题意得出函数表达式即可； （2）列表，描点，连线，作出函数图象即可； （3）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：列表： 3 5 6 10 10 6 5 3 描点，连线，作出函数图象：略 （3）解：①底面： ②底面： ③底面： 10．（2026·北京·模拟预测）小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)720 (3)15 (4)是定值，比值为 【分析】(1)根据表格数据描点、连线即可． (2) 观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，将代入求值． (3) 分别令和，求出对应的弦长，再求差． (4) 由代入两个反比例函数表达式，化简后判断与的比值是否为定值． 【详解】（1）由数据表验证： 解： ， 与成反比例关系，， 在坐标系中描点、、、、、、、、， 用光滑曲线依次连接各点，得到的图象． （2）解：观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，， 当cm时， （Hz）， 琴弦1的振动频率为． （3）解：由数据表验证：， ， 当Hz时，（cm）， 当Hz时，（cm）， （cm）， 即琴弦2与琴弦1的长度之差为． （4）解：设琴弦1的长度为，琴弦2的长度为， 由题意：， ， ， 琴弦1与琴弦2的长度之比为定值，比值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.3 实际问题与反比例函数 知识点1：用反比例函数解决实际问题的一般步骤 　　1.审：审清题意，找出题目中的常量与变量，并厘清常量与变量之间的关系。 　　2.设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示。 　　3.列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 　　4.写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围。 　　5.解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题。 　　6.检：检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 　　7.答：写出实际问题的答案，保证解题的完整性。 知识点2：实际问题中常见的反比例关系 类型 关系 公式 路程型 当路程s一定时，时间t与平均速度v成反比例 （s是常数） 几何面积型（矩形） 当矩形面积S一定时，一边长a与该边的邻边长b成反比例 （S是常数） 几何面积型（三角形） 当三角形面积S一定时，一边a与该边上的高h成反比例 （S是常数） 物理做功型 当功W一定时，力F与物体在力F方向上移动的距离s成反比例 （W是常数） 物理压强型 当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例 （F是常数） 物理电学型 当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例 （U是常数） 工程型 当工作总量一定时，完成时间t与每天工作量成反比例 （W是常数） 　　1.识别反比例关系的本质：两个量的乘积为定值，即一个量增大时另一个量减小，且乘积不变。 　　2.列式时注意：公式中分母的量为自变量，分子的量对应的常数为比例系数k。 　　3.反比例关系对应的公式，是这类应用题的建模基础，应熟练记忆并会变形。 知识点3：实际问题中自变量的取值范围 　　1.反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但在实际问题中，要由具体情况与实际意义确定自变量的取值范围。 　　2.确定范围的一般依据：边长、时间、质量、路程等量必须为正数；某些量还有上下界要求（如速度不超限速、压强不超过安全值）。 　　3.在利用增减性解决取值范围问题时，要注意结合图象与函数性质，先明确k的正负，再确定y随x的变化趋势。 知识点4：由图表数据确定反比例函数模型 　　1.若问题中两个量的关系无法直接分析得出，可画出对应数据的散点图，观察图象特征，选择合适的函数模型。 　　2.若散点大致分布在一条双曲线上，可判定为反比例函数关系，再利用待定系数法确定解析式。 　　3.检验时，将多组数据代入解析式，若每组对应值之积相等（即为定值），则可判定为反比例关系。 【基础必考题型】 【题型1】实际问题中反比例函数关系式的建立 1.核心知识点 　　根据实际问题中的等量关系列反比例函数解析式；识别反比例关系的本质。 2.解题方法技巧 　　（1）找出题目中的常量（定值）与两个变量，判断哪两个量成反比例关系； 　　（2）由"乘积为定值"列出，再写成形式； （3）根据实际意义确定自变量的取值范围。 【例题1】.（26-27九年级上·北京·期中）已知某住宅小区要种植一个面积为的矩形草坪，草坪的长随宽的变化而变化，根据题意列函数表达式为___________________． 【变式题1-1】.（2025九年级·全国·专题练习）某自来水公司计划新建一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（单位：）关于其深度h（单位：m）的函数解析式为__________________．若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的深度为_________m． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在平均排水量为每小时立方米，那么将满池水排空所需要的时间为（小时），写出时间（小时）与之间的函数解析式：________．如果要在4小时内排完，那么平均每小时排水量至少为________立方米． 【变式题1-3】.（2025九年级·全国·专题练习）某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v关于t的函数解析式是__________________． （2）若要求在之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水_________． 【题型2】实际问题中的反比例函数图象识别 1.核心知识点 　　反比例函数图象特征；实际问题中图象在第一象限一支及自变量的取值范围。 2.解题方法技巧 　　（1）实际问题中自变量与函数值通常都为正数，图象一般只取第一象限的一支； 　　（2）根据k的正负判断图象所在象限，结合实际问题排除不合理选项； （3）注意图象是否经过原点、是否与坐标轴相交等特征。 【例题2】.（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间成反比例关系，当时，．则y与x的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2025·江苏扬州·二模）小明家预付500度电费，若平均每天用电m度，则能使用n天．则n与m的函数图象绘制正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点从出发，沿运动，设，到的距离为，则与之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【题型3】由图象或图表求反比例函数解析式并求解 1.核心知识点 　　待定系数法求解析式；由已知点的坐标确定k；由函数值求自变量或反之。 2.解题方法技巧 　　（1）在图象（或图表）中找一组已知对应值，代入求k； 　　（2）写出解析式后，把已知的自变量（或函数值）代入，求出另一量； （3）注意结合实际意义确定取值的合理性。 【例题3】.（2026·广东茂名·二模）如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（   ） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B．当时，甲醛检测仪会报警 C．当时，的阻值为 D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【变式题3-2】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 【变式题3-3】.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）化学实验室要配制一些氯化钠溶液，当溶质氯化钠的质量固定不变时，溶液的总质量（单位：）与溶质的质量分数成反比例函数，其函数图象如图所示．当溶液总质量时，质量分数为______%． 【培优高频题型】 【题型4】行程问题中反比例函数的应用 1.核心知识点 　　路程一定时速度与时间成反比例；利用增减性求速度或时间的取值范围。 2.解题方法技巧 　　（1）由路程=速度×时间，得（s为常量）； 　　（2）结合限速等实际条件确定速度（或时间）的取值范围； （3）利用反比例函数增减性，由时间的上界推出速度的下界。 【例题4】.（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·陕西安康·期末）机器狗凭借灵活机动和视觉识别，已从实验室走向工业巡检、安防巡逻和应急救援等多元场景，突破人力与设备的应用空白．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量为时，它的最快移动速度为． (1)求V关于m的函数解析式； (2)若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 【变式题4-2】.（2026·天津河西·二模）已知小华家、社区超市、体育场依次在同一条直线上，超市离小华家，体育场离小华家．小华从家出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到超市，在超市停留后，用了匀速散步返回家．下面图中表示时间，表示离小华家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 10 30 55 小华离家的距离 ②填空：小华从体育场到超市的速度为__________； ③当时，请直接写出小华离开家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小华从家出发时，小华的妈妈也从家出发匀速步行直接去超市，如果妈妈到达超市时正好遇到小华也在超市，那么妈妈速度（单位：）的数值应该是在什么范围内？（直接写出结果即可） 小华离开家的时间 1 10 30 55 小华离家的距离 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度v（单位：天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)运输公司原有100辆卡车，每天共可运送土石方．运送40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少应增加多少辆卡车？ 【题型5】工程问题中反比例函数的应用 1.核心知识点 　　工作总量一定时工作量与时间的反比例关系；工程进度与工期计算。 2.解题方法技巧 　　（1）由工作总量=每天工作量×天数，得反比例关系式； 　　（2）已知每天工作量求时间，或已知时间求每天工作量，直接代入； （3）涉及工期提前、效率提高等问题时，先求原解析式，再比较两种方案。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）工人师傅要在刚刚浇注过的水平水泥地面上进行作业，为了不破坏地面，常常要在地面上铺垫一些木板．某工人的重力是，不计木板的重力． (1)写出用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式． (2)如果此工人站立时双脚与地面的接触面积约是，那么他对地面的压强约是多大？ (3)如果木板的面积是，此工人站在木板上对地面的压强是多大？ (4)为什么工人师傅铺垫木板后，地面就不容易被破坏？请说明理由． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某电子公司接到了生产4000个计算机零部件的订单，请写出生产这批零部件所需时间与每小时生产零部件数量n（个）之间的函数关系式． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了． (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）学校食堂一次性购买了大米． (1)这些大米能够使用的天数m与食堂平均每天的用米量n（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果食堂平均每天使用大米，那么至少多少天后，食堂需再购买大米？ 【题型6】物理力学、电学中的反比例函数应用 1.核心知识点 　　压强与受力面积、电流与电阻、力与距离的反比例关系；跨学科综合应用。 2.解题方法技巧 　　（1）识别物理公式中的反比例关系（如、）； 　　（2）利用已知数据求比例系数，建立解析式； （3）结合安全条件（压强不超过、电流范围）求变量的取值范围。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ V …… 1 2 3 4 5 6 7 …… …… 7 1 …… 【变式题6-1】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 【变式题6-2】.（2026·河南三门峡·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）之间的关系式是：，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求电阻的值． (2)电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压． (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），请直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 【变式题6-3】.（2026·宁夏银川·二模）电风扇是我们生活的常用电器，数学小组的一名学生在使用电风扇时，突然产生一个疑问：为什么电风扇的风速可以调节？好奇的他进行了探究，发现与电风扇的实际功率有关．由物理学中的公式和可知，实际功率的大小是由电阻的大小决定的．于是他将滑动变阻器和电风扇串联，通过调整滑动变阻器的电阻，改变电风扇的风速．实验测得数据如下： 总电阻 15 12 9 6 3 电流强度 0.4 0.5 0.7 1 2 (1)数学老师指出：该学生测量的数据大部分都是正确的，个别有误差．你能发现哪几组数据有误吗？说说你的理由． (2)求I关于R的函数表达式； (3)如果将电阻调大，电风扇的风速将发生什么变化？ (4)如果电风扇的电阻为，电路中滑动变阻器的电阻控制在到（包括5，15）时，电路中电流应该控制什么范围？ 【题型7】经济生活中的反比例函数应用 1.核心知识点 　　销售总额（或总预算）一定时销量与单价成反比例；利润与定价问题。 2.解题方法技巧 　　（1）由总价=单价×数量（或总预算=单价×数量）列反比例关系； 　　（2）已知单价求销量，或已知销量求单价，直接代入解析式； （3）结合利润、预算等约束条件求取值范围的取舍。 【例题7】.（25-26九年级下·全国·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为______元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)y与x有怎样的函数关系？ (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【变式题7-2】.（25-26九年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 【变式题7-3】.（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【压轴素养题型】 【题型8】表格类数据确定反比例函数并应用 1.核心知识点 　　由表格数据判断函数类型；用待定系数法求解析式；由解析式解决问题。 2.解题方法技巧 　　（1）先检验多组数据对应值之积是否相等，判断是否为反比例关系； 　　（2）选取一组数据代入求k，写出解析式； （3）将所求自变量或函数值代入解析式计算，注意结合实际。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）探究 某物理实验小组研究气体的压强p（单位：）与体积V（单位：）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据如表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 体积 20 18 16 14 12 10 压强 100 112 123 145 163 201 回顾“探究”，回答以下问题： (1)表中的有些数对只能近似满足函数解析式（），即如图中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ (2)结合“探究”和问题（1）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·北京西城·开学考试）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，，，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.07 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，请画出函数，的图象； (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为________，丙香料的香气强度约为________；（结果均保留两位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”）； ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为________． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长y/cm 1 2 3 4 5 宽x/cm 2 1 (1)把表格补充完整，并把表中的8个点在如图所示平面直角坐标系中描出来，顺次连接； (2)设矩形的长为y（单位：cm），宽为x（单位：cm），求出这条曲线对应的函数表达式（不用写自变量的取值范围） (3)若点，是该函数图象上的两个点，且，试说明：． 【变式题8-3】.（2026·北京·模拟预测）某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为___________； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． 【题型9】分段函数综合（一次/二次函数与反比例函数） 1.核心知识点 　　分段函数模型；一次/二次函数与反比例函数图象组合；求某范围内的函数值或时长。 2.解题方法技巧 　　（1）按图象分段，先分别确定各段的函数解析式及自变量的取值范围； 　　（2）对于"温度不低于""利润达到"等问题，利用对应段的函数关系列式求解； 　　（3）求满足条件的时长，常转化为解不等式并结合图象确定区间。 【例题9】.（25-26八年级下·山东济南·期末）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【变式题9-1】.（2026·河南·模拟预测）打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 易错点 1、忘记写自变量的取值范围，或取值范围只考虑解析式而忽略实际意义。 2、判断反比例关系时只看"一个增大另一个减小"，忽略"乘积为定值"这一本质。 3、列解析式时把比例系数k误当成已知数，或在待定系数时代入错误的数据组。 4、在求取值范围时未结合k的正负确定增减方向，导致大小关系判断错误。 5、分段函数综合题中，未先确认自变量落在哪一段，直接套用错误的函数解析式。 重点 1、掌握用反比例函数解决实际问题的一般步骤（审设列写解检答），会建模求解。 2、掌握行程、工程、几何面积、物理压强、电流等常见反比例关系及其解析式。 3、能由图象或表格数据确定反比例函数模型，并结合增减性解决取值范围问题。 难点 1、正确确定实际问题中自变量的取值范围，并利用增减性求解取值范围。 2、分段函数综合题中一次函数与反比例函数的衔接与区间划分。 3、跨学科、方案设计等综合实践题中的建模、约束条件分析与结果合理性检验。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 2．（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 二、填空题 4．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间（分钟）是潜水深度（米）的反比例函数．当潜水深度为米时，气瓶可用时间为分钟．为保证安全，要求气瓶可用时间不少于分钟，则潜水深度最大为______米． 6．（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 三、解答题 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某地区的人口为x，水资源总量为18亿立方米，水资源人均占有量为． (1)写出用x表示W的函数表达式． (2)如果该地区的人口为900万，那么该地区的水资源人均占有量为多少立方米？ 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． (1)写出用电阻表示电流的函数表达式． (2)某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是多大？ (3)某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是多大？ (4)如果电路中有一滑动变阻器，怎样操作才能使电路中的电流I随电阻R的减小而逐渐增大？ 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个重的物体放在地面上． (1)写出用这块物体的受力面积表示它对地面的压强的函数表达式． (2)画出这个函数的图象． (3)如果这个物体是长方体形的，长、宽、高分别为，和，求放置方式不同时，这个物体对地面的压强分别是多大．（结果保留整数） 3 5 6 10 10 6 5 3 10．（2026·北京·模拟预测）小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $