第11讲·图形的旋转与中心对称·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第11讲·图形的旋转与中心对称·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解旋转的概念，掌握旋转的三要素与旋转的性质 · 会求关于原点对称的点的坐标 · 能识别中心对称图形，理解中心对称的性质 · 会按要求作旋转图形与中心对称图形 · 能综合运用旋转与中心对称解决几何与坐标问题 📚 知识梳理 ☆ 1.旋转的概念与性质 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 旋转不改变图形的大小和形状（全等变换） 对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角 对应线段相等、对应角相等 概念辨析例题：将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，若∠C=50°，则∠E=（　　） 答案：50° 解析：旋转是全等变换，△ABC≌△ADE，对应角相等，∠E=∠C=50°。 ☆ 2.关于原点对称的点的坐标 点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y) 横、纵坐标都变为相反数 关于原点对称的两个点连线过原点且被原点平分 常用于坐标平面内的对称计算 概念辨析例题：点A(3,-2)关于原点对称的点的坐标是（　　） 答案：(-3,2) 解析：关于原点对称，横纵坐标都取相反数：(3,-2)→(-3,2)。 ☆ 3.中心对称与中心对称图形 中心对称：两个图形绕某点旋转180°后互相重合 中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合 中心对称性质：对称点连线都经过对称中心且被平分 常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、圆等 概念辨析例题：下列图形中是中心对称图形的是（　　） 答案：平行四边形 解析：平行四边形绕对角线交点旋转180°后与自身重合，是中心对称图形；一般三角形、梯形不是。 ☆ 4.旋转作图 作旋转图形：确定旋转中心、方向、角度 找关键点（顶点），分别作出对应点 对应点作法：连接关键点与旋转中心，旋转给定角度、截取等长 格点作图：按坐标平移或旋转规律画点 概念辨析例题：将点A(2,3)绕原点顺时针旋转90°，则对应点坐标为（　　） 答案：(3,-2) 解析：绕原点顺时针旋转90°：横坐标变原纵坐标，纵坐标变原横坐标的相反数，即(x,y)→(y,-x)，(2,3)→(3,-2)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 旋转三要素 中心、方向、角 三要素缺一不可 旋转性质 全等变换 对应点到中心等距 原点对称 (x,y)→(-x,-y) 横纵坐标都变号 中心对称 旋转180°重合 对称点被中心平分 中心对称图形 旋转180°与自身重合 平行四边形、圆等 旋转90°坐标 (x,y)→(-y,x)或(y,-x) 看顺时针逆时针 ⚠️ 核心考点 【考点1】关于原点对称的点的坐标（第1-6题） · 原点对称：横纵坐标都取相反数 · 由对称点求参数：列方程解 · 结合平移、函数图象对称综合求坐标 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数即可解题． 【详解】解：∵ 若两点关于原点对称，则两点的横纵坐标分别互为相反数，已知， ∴ 点B的横坐标为，纵坐标为，即． 2．（25-26九年级上·河南信阳·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据“关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数”这一性质求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故选：B． 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查关于原点中心对称的点的坐标特征，对称点的横纵坐标均为原坐标的相反数．根据关于原点中心对称的点的坐标特征直接求解． 【详解】解：点的坐标是， 点关于原点中心对称的对称点的坐标是． 故选：A． 4．（25-26八年级下·湖南永州·期中）若点与点关于原点成中心对称，则________． 【答案】 5 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征列方程求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴，， 解得，， ∴． 5．（25-26八年级下·全国·周测）已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、已知两点关于原点对称求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，坐标与图形变化平移，一元一次不等式组的应用知识点，掌握关于原点对称的点的坐标特征和平移的坐标变化规律是解题的关键． 根据原点对称和平移的坐标变化规律，求出点的坐标，再根据第四象限点的坐标特征列出不等式组求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为 将点向右平移个单位，向下平移2个单位，得到点的坐标为，即， 由于点在第四象限，故有 解不等式 得； 解不等式 得 所以的取值范围是 故答案为：． 6．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）点绕点顺时针旋转的点的坐标是_________． 【答案】 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】设旋转中心为点，所求旋转后的点为，通过构造直角三角形，利用旋转的性质证明三角形全等，再结合坐标关系计算得到点的坐标． 【详解】解：设旋转中心，旋转后点的对应点为．过点作 轴，垂足为，过点作 轴，垂足为． 由旋转的性质可知，，，因此，，可得． 在和中， 所以． 由坐标可得，，， 因此，， 可得点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 【考点2】中心对称与中心对称图形（第7-17题） · 识别中心对称图形：旋转180°能否与自身重合 · 中心对称两图形：对称点连线过中心且被平分 · 结合矩形、菱形、平行四边形等图形性质解题 7．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形、求关于原点对称的点的坐标、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查菱形的对称性，菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形，通过题目可以发现A点和C点关于原点中心对称，可以直接计算出点C点的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点O为坐标原点， ∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴C点坐标为， 故选：B． 8．（2022·山东威海·模拟预测）下列四幅图案，在设计中用到了中心对称的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，，．若与关于点C成中心对称，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，解题的关键是掌握中心对称图形的性质． 根据，，可在平面直角坐标系中画出，再根据中心对称图形的定义可画出，结合图形即可直接读出的坐标． 【详解】解：如图，点的对应点的坐标为 故答案为： 10．（24-25九年级下·湖北黄石·开学考试）小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 【答案】/米 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中线对称的性质，掌握中线对称的性质是解题的关键． 根据中心对称得到小强家距离学校也是，由两点之间的距离的计算即可求解． 【详解】解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校， ∴小强家距离学校也是， ∴他们两家相距， 故答案为： ． 11．（24-25九年级上·四川德阳·期中）在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称图形的英文字母有________个． 【答案】 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐个判断即可得出答案． 【详解】解：在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称的英文字母有X、Z，共个， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 【答案】①⑤ 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念. 在平面内，若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形；在平面内，若把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形；根据两个概念逐一判断各图形即可． 【详解】解：①线段，沿线段的垂直平分线或线段所在直线折叠都能重合，是轴对称图形，绕线段中点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求； ②角，沿角平分线所在直线折叠能重合，是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ③等边三角形，是轴对称图形，旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ④平行四边形，绕对角线交点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，不存在直线使折叠后重合，不是轴对称图形，不符合要求； ⑤正六边形，有多条对称轴，是轴对称图形，绕中心旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求． 故答案为①⑤． 13．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知与关于点成中心对称，则的长是___________．    【答案】3 【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】直接利用中心对称的性质得出，的长，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：与关于点C成中心对称，， ，， ， ∴在中， , ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查成中心对称和勾股定理，解题的关键是掌握成中心对称的性质：对应边相等． 14．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中心对称图形．根据等腰三角形的性质可得，再由中心对称图形的性质可得，，，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在等腰三角形中，∵是底边的中线，， ∴， ∵与关于点 C 成中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： 15．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，矩形和矩形关于点成中心对称，已知，，则阴影部分的周长和是____． 【答案】48 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、成中心对称 【分析】本题考查中心对称，矩形的性质．勾股定理等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 利用勾股定理求出，可得使得周长为12，再利用中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， ∵矩形和矩形关于点成中心对称， ∴阴影部分中的四个直角三角形全等， ∴阴影部分的周长， 故答案为：48． 16．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知的顶点A在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与x轴平行且，若点A的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标与图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，注意分类讨论思想的应用． 根据平行四边形的性质得到，根据已知条件得到，或，由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论． 【详解】解：当B点在A点的右边时，如图1， ∵与x轴平行且，， ∴，即， ∵对角线的中点在坐标原点， ∴点A、C关于原点对称， ∵四边形为平行四边形， ∴点B、D关于原点对称， ∴； 当B点在A点的左边，如图2， 同理可得，则． 故点D的坐标为或． 故答案为：或． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你设计一个中心对称图案，并解释其中的含义． 【答案】设计四叶风车中心对称图案， 含义：象征乘风破浪，蓬勃向上，答案不唯一，符合中心对称要求即可． 【知识点】中心对称图形的识别、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】在平面内，将一个图形绕某一定点旋转，若旋转后的图形能与原图形重合，则该图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义设计四叶风车中心对称图案并写出含义即可． 【详解】解：略． 【考点3】旋转的性质（第18-34题） · 旋转是全等变换：对应边、对应角相等 · 旋转角=对应点与中心连线所成的角 · 求角度、边长：利用全等与旋转角关系 18．（25-26九年级上·内蒙古·期末）如图，E是正方形内一点，将绕点B顺时针旋转与重合，若，则EF长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据正方形的性质和旋转的性质得到是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， 绕点B顺时针旋转与重合， ，， 是等腰直角三角形， ， 故选：B． 19．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直角三角形，点、在直线上，将绕着点顺时针转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，…，按照此规律继续旋转，直到得到点，则（    ） A．674 B．8093 C．8097 D．8100 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，以及图形的规律问题，根据题意可知，旋转三次为一组，得到的长度依次增加，，，即可得出答案． 【详解】在中，， ，，， 将绕着点顺时针转到位置①，得到点，此时， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点， 此时， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，得到点， 此时， ∴旋转三次为一组， ， ． 故选：C． 20．（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转，得到，则的度数是_______． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】先根据旋转的性质，求得的度数，再根据，求得的度数即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针方向旋转得到， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 21．（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到．若，则旋转角的度数是____________．    【答案】/25度 【知识点】三线合一、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】由旋转的定义可得是旋转角，再根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的定义、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的定义可得是旋转角是解题的关键． 22．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则旋转角度为___________；的长为___________． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查旋转性质，涉及正方形性质及勾股定理，灵活运用旋转性质求解是解决问题的关键． 由正方形中，结合旋转性质得到，即可得到旋转角度为；由旋转性质得到，从而确定，即，求出，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，，则， 把绕点顺时针旋转到的位置， ， 则， 旋转角度为； 由旋转的性质可知，， ，即， 解得， 在中，，，，则由勾股定理可得； 故答案为：，． 23．（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 【答案】2 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∵，， ∴． 24．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质得出的度数，由旋转的性质得出，，结合点在上得出，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， 点落在线段上， ， ， 在中，由勾股定理得． 25．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点D是内一点，，将绕点A逆时针旋转，点D旋转至点E处，则______，______，______． 【答案】 / / 【知识点】根据旋转的性质求解、全等三角形的性质 【详解】解：∵，将绕点逆时针旋转，点旋转至点处， ∴点旋转至点处， ∴， ∴，． 26．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 【答案】5 【知识点】实数的混合运算、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 三、解答题 27．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转得到，其中，是对应点，若，求的度数． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：把绕点逆时针旋转恰好得到 ，， ． 28．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断的形状为__________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)等腰三角形 (2)的度数为 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质可推出结论； （2）根据旋转的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的形状为等腰三角形； （2）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 29．（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． (1)求的度数． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)15 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，由可证，可得，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，即可求解； （2）作，交延长线于点H，利用的外角得出边上的高，利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴． ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形． ∴； ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是直角三角形，． ∴． （2）作，交延长线于点H， ∵， ∴边上的高就是， ∴． 30．（25-26八年级上·辽宁丹东·开学考试）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【特殊情形，整体感知】 通过观察图1，线段与的数量关系是___________； (2)【转化应用，类比迁移】 在中，，，点O是直线上一动点（不与点C，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． 如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； (3)【积累经验，拓展延伸】 若，，直接选出此时对应的α与β的数量关系___________． A．      B．   C．      D． 【答案】(1) (2)①，理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②1 (3)ABC 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，证明，即可得出结果； （2）①在上截取，连接，推出，进而推出，证明，得到，角的和差关系，求出，即可得出结论； ②过点D作于点F，证明，得到，设，分割法求面积，列出方程进行求解即可； （3）分点在线段上，点在线段的延长线上，在的延长线上三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①略 ②过点D作于点F，则， ∵， ∴， 由旋转有， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∴，即点D到的距离为1； （3）解：分三种情况讨论： ①当点在线段上时， 由（2）①可知：， ∴， 即：； ②当点在线段的延长线上时， 由（2）②可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在的延长线上时，如图：作，连接， 与（1）同理可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：或或． 故选：ABC 31．（2024·北京东城·一模）在中，，，点、是边上的点，，连接，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于点． (1)如图①，当点与点重合时，直接写出与之间的数量关系； (2)如图②，当点与点不重合点在点的左侧时， ①补全图形； ②与在（1）中的数量关系是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，用等式表示线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①如图所示，即为所求； ②仍然成立， 证明如下： 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、利用勾股定理证明线段平方关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等等： （1）由三线合一定理可得，再由，得到三点共线，即可得到； （2）①根据题意画图即可；②过点A作于H，则，先证明，再证明，进而证明，得到，则，即； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，由勾股定理得，即可得到． 【详解】（1）解：∵在中，，，点D与点B重合，， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴； （2）①略 ②略 （3）解：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 32．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图（1），已知是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点A不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点，交线段于点．    (1)如图（1），猜想______； (2)如图（2），若当是锐角时，其他条件不变，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出你的猜想并加以证明． (3)如图（3），若，且，求的长． 【答案】(1) (2) ． 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出解答即可； （2）根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则，可证明，得到，然后利用三角形内角和定理可得到； （3）作于H，与（2）一样可证明，则，由，，易得，，则可判断为等腰直角三角形，所以，在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得，于是可计算出 ，所以． 【详解】（1）解：； 理由如下：   ∵，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）略 （3）作于H，如图3， 同理可得：，    ∴， ∵，， ∴，， ， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算等． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，连接，将绕点C按顺时针旋转后得． (1)补充完成图形； (2)若，试说明． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 证明：因为， ∴． 由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴． 【知识点】画旋转图形、根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键； （1）画出旋转后的即可； （2）由平行线的性质可得出，根据旋转的性质可知，，结合即可得出，再根据三角形内角和定理即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 34．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，有两个边长均为a的正方形与正方形，且正方形的顶点E为正方形两条对角线的交点． (1)试判断与的大小关系．当正方形绕点E旋转变化时，这种关系是否保持不变？ (2)如果正方形的边长为，（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给出证明． 【答案】(1)，保持不变 (2)解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 四边形与四边形都是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵当正方形绕点E旋转变化时， ∴虽然的大小发生了变化，但始终， 各正方形的边长，对角线始终没有变， ∴仍然成立， ∴保持不变． 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等即可得证，利用旋转的性质即可得出它们保持不变； （2）根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等即可得证，利用旋转的性质即可得出它们保持不变． 【详解】（1）解：，保持不变． 四边形与四边形都是正方形， ， ， ， 在和中， ， ； ∵当正方形绕点E旋转变化时， ∴虽然的大小发生了变化，但始终， 各正方形的边长，对角线始终没有变， ∴仍然成立， ∴保持不变． （2）略． 【考点4】旋转作图与坐标变换（第35-48题） · 绕原点旋转90°：顺时针(x,y)→(y,-x)，逆时针(x,y)→(-y,x) · 旋转180°：即原点对称(x,y)→(-x,-y) · 格点作图：先找关键点再画对应点 35．（2023·山东东营·模拟预测）如图．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的2倍，再绕原点O顺时针旋转得，则变换后的点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D．(6，4)或(-6，-4) 【答案】B 【知识点】求位似图形的对应坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】先根据位似图形的性质可得点A的对应点的横坐标和纵坐标都扩大2倍，再根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的2倍， ∴点A的对应点的坐标为，即． 再将绕原点O顺时针旋转得到， 所以点A的对应点的坐标为 36．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与旋转规律问题、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形性质，点的坐标，图形旋转性质等．先根据题意利用菱形性质求出点C的坐标，再根据旋转性质找出旋转规律，进而求出第18次旋转后点C的对应点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即， ∵菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转次为一个循环， ∴过点作轴，轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ∴第一次旋转后，点的对应点坐标为， 同理：第二次旋转后，点的对应点坐标为， 第三次旋转后，点的对应点坐标为， 第四次旋转后，点的对应点坐标为，此时回到了点C的初始位置， ∵， ∴第18次旋转后点C的对应点的坐标对应的坐标，即， 故选：C． 37．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】先把点向上平移2个单位得到，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为. 38．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、中心对称图形规律问题、点坐标规律探索 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 39．（24-25九年级上·山东青岛·开学考试）如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【知识点】画旋转图形、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图) 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．根据题意画出图形，即可可得结论． 【详解】解：如图，． 故答案为：． 40．（25-26八年级下·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标系中的旋转 【分析】由题意可先求出点的坐标，然后可得旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同，进而问题可求解． 【详解】解：过A作轴于E，过C作轴于F， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 因为， 所以每旋转四次点的位置循环出现． 因为余2， 所以旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同． 因为点且旋转2秒后的对应点与点关于原点对称， 所以旋转2秒后的对应点的坐标为， 则旋转2026秒后，点的对应点的坐标为． 41．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于所在直线对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求； 【知识点】画旋转图形、画轴对称图形 【分析】本题考查作轴对称图形，画旋转图形等． （1）根据题意过点作关于直线的对称点，连接和，即可得到本题答案； （2）根据题意将绕点分别画出的对应点，再连接，即可得出． 【详解】（1）如图所示，过点作关于直线的对称点，连接和． （2）如图所示，先画出点绕点逆时针旋转的对应点，再画出点绕点逆时针旋转的对应点，再连接，和． 42．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出； （2）在网格中画出绕点顺时针旋转之后得到的； （3）求的面积．    【答案】 （1）如答图，即为所作． （2）如答图，即为所作．    （3） 【知识点】画旋转图形、平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查图形旋转变换和平移变换，掌握图形变换性质是关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）． 43．（25-26九年级上·湖北·阶段检测）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【答案】(1) 作出绕点顺时针旋转得到的如图所示； (2) 作出关于点的中心对称的图形如图所示； 【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查图形的旋转与中心对称作图，核心是掌握“旋转时对应点到旋转中心的距离相等、夹角等于旋转角”以及“中心对称时对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分”的性质． （1）根据旋转的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形； （2）根据中心对称的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形． 【详解】（1）略 （2）略 44．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求，点的坐标为． 【知识点】画旋转图形、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、求绕原点旋转90度的点的坐标 【详解】（1）略 （2）略 45．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的，写出点坐标： (2)将绕原点O顺时针旋转，得到，写出点坐标． (3)在轴上找一点，使的和最小，写出P点坐标． 【答案】(1) 解：如图，即为所求： (2) 解：如图，即为所求， (3) 【知识点】画旋转图形、求关于原点对称的点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标、求一次函数解析式 【分析】本题考查图形的旋转变换作图，中心对称作图和轴对称性质，一次函数的性质，正确掌握作图的方法是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可求解； （2）根据旋转的性质作图即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点，即为所求点P，利用一次函数即可求解． 【详解】（1） 和关于原点O对称，， ； （2） 绕原点O顺时针旋转，得到，， （3）如图，作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点，即为所求点P， 此时的和最小， ， ， 设直线的函数为， 经过和， ，解得， ， 当时，，解得， 则． 46．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)请写出点C关于原点O对称的点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的（点B、C的对应点分别为点、），并写出点的坐标． 【答案】(1) (2)如图，即为所求，点的坐标为． 【知识点】画旋转图形、写出直角坐标系中点的坐标、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）根据关于原点对称的性质即可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为， ∴点C关于原点O对称的点的坐标为； （2）略 47．（23-24八年级上·山东东营·期末）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标； (3)可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 【答案】(1)如图所示，点的坐标为 ． (2)如图所示， ． (3)， 【知识点】平移(作图)、找旋转中心、旋转角、对应点、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称： （1）根据图形平移的性质分别求得点，，平移后的对应点，，，依次连接点，，即可． （2）分别求得点，，关于原点的对应点，，，依次连接点，，即可． （3）根据图形旋转的性质，连接和中任意两个对应点，线段的中点即为旋转中心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）可看作以点为旋转中心，旋转得到的． 故答案为：， 48．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)． 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标和线段长度间的关系，算术平方根的意义等知识，解决问题的关键是转化面积相等的条件． （1）根据平面直角坐标系的坐标特征，进而求得点坐标； （2）由三角形面积公式，求得的长，分为当点到O点之前和到O点之后进行分类讨论，进一步求得结果； （3）先由一次函数和求出M点坐标，由得出，进而求得点坐标． 【详解】（1）解： ，，且轴，轴， ； 故答案为：； （2）当点P 在线段BO上运动时， 由得， ， ， 当P、Q都未到达O点时 ∴ ∴或， 当P到达O点，Q点未达到O点时， 此时 综上所述：或或； （3）设点， ，，， 直线的解析式是：， ， ，且M在线段AB上 ∴ ∴ 解得∴ ， ， ， ∴， ． 【考点5】网格与图案设计（第49-60题） · 网格中按要求画旋转、对称图形 · 图案设计：理解基础图形旋转的规律（旋转角=360°÷个数） · 综合题（坐标、函数图象结合旋转）按步骤求解 49．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在明月山温汤旅游度假区的民宿设计中，工匠用正方形网格模拟温泉庭院地砖图案．如图，有三个小正方形代表的“温泉波纹”装饰被选定涂黑，现在要从剩余白色小正方形中选一个涂黑，让最终庭院地砖的黑色图案成为中心对称图形，则涂色方法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此涂色求解即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 50．（2026·河南平顶山·二模）如图，点A是双曲线在第二象限分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形的面积是12，则k的值为（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、求关于原点对称的点的坐标、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】先判断四边形是矩形，然后根据的几何意义求解即可. 【详解】解：∵点B，C，D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点 ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积是12， ∴， 解得． 又∵双曲线位于第二、四象限， ∴． ∴． 51．（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）学生甲错将P点的横坐标与纵坐标的次序颠倒，写成，学生乙错将Q点的坐标写成它关于x轴对称点的坐标，写成，则P点和Q点的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上答案都不对 【答案】B 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查点的坐标的知识，解题的关键是掌握关于轴、轴对称的点的坐标的特征； 首先根据题意表示出的正确坐标，注意关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；接下来根据关于坐标轴对称的点的坐标特征，即可求解； 【详解】解：由题意可得：P点的正确坐标为，Q点的正确坐标为， ∵关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴P点和Q点的位置关系是关于y轴对称； 52．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据反比例函数与正比例函数都关于原点对称，得到点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 53．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 【答案】1 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查的是中心对称图形的含义，在平面内，把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义可得答案． 【详解】解：如图， ∴再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，只有1种涂法， 故答案为： 54．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的图案是由一个基础图形绕中心旋转______次形成的． 【答案】3 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查图形的旋转，观察图案可知，整个图案由4个相同的基础图形组成．最初有1个基础图形，绕中心旋转形成新的图形，每旋转一次新增1个基础图形，进而可得出答案． 【详解】解：观察图案可知，整个图案由4个相同的基础图形组成．最初有1个基础图形，绕中心旋转形成新的图形，每旋转一次新增1个基础图形，那么旋转次数比基础图形的个数少 1，即旋转次数为次． 故答案为：3． 55．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，，，将绕点顺时针旋转，则点C对应点的坐标为__________． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、利用相似三角形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意画出图形，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，根据相似三角形的性质求出的大小即可得到答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， 将绕点顺时针旋转， 此时与重合， 轴，轴， ， 点A，B的坐标分别为，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 56．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为______． 【答案】70或250/250或70 【知识点】根据旋转的性质求解、内错角相等两直线平行、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的判定，三角形内角和定理．当时，或时，，画出图形，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当时，分两种情况： 当时，，此时； 当时，，此时； 故答案为：70或250． 57．（25-26八年级下·广东佛山·期中）平面直角坐标系中，，，． (1) 平移得，C 对应，画出； (2)画出关于原点 O 中心对称的，写出坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【知识点】平移(作图)、求关于原点对称的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】（1）根据平移的性质分别作出A，B，C的对应点，，，然后连线即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，然后连线即可，并由图得出坐标． 【详解】（1）解： 平移得，C 对应时， 先向左移3个单位长度，再向下移1个单位长度，此时，，，画图如图， 即为所求． （2）解：作出A，B，C关于原点的对应点，，，连线得即为所求，画图如下 由图可知，坐标是． 58．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式）、求关于原点对称的点的坐标 【分析】 本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，中心对称，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，得出，根据的面积为8，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴， ∴的函数解析式为； （2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C， ∴点C的坐标为， ∵过点A作轴交函数的图象于点B， ∴点B的坐标为， ∴， ∵的面积为8， ∴， 解得：． 59．（23-24八年级下·广东佛山·阶段检测）按要求画图． (1)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形． (2)连接、、，则的面积为________． 【答案】(1) 如图，即为所求； ； (2)9 【知识点】画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：的面积为． 故答案为：9． 60．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； (3) 【知识点】线段问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是正方形 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【详解】（1）解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）略 （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：    当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 💯 课后巩固 复习建议 · 旋转三要素与全等性质要牢记 · 原点对称坐标：横纵坐标都取相反数 · 旋转90°坐标变换分清顺时针与逆时针 · 中心对称图形识别：旋转180°与自身重合 · 作图题先找关键点，按规律画对应点 【作业1】．（2026九年级上·全国·专题练习）若点与点关于原点对称，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两点关于原点对称求参数、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的加减运算 【分析】直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出x，y的值即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 【作业2】．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）将绕顶点顺时针旋转得到，若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等，对应边相等，对应角相等，旋转角相等，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，旋转角， ∴，，，， 因此选项A，C，D结论正确，不符合题意； 选项B中不成立，结论错误，符合题意． 【作业3】．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】根据图形旋转的性质即可求得答案． 【详解】解：根据图形旋转的性质可知， ． 【作业4】．（26-27九年级上·全国·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 【作业5】．（25-26九年级上·新疆和田·期末）点关于原点对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、判断点所在的象限 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点成中心对称的两点的坐标之间的关系．熟知关于原点的对称点，纵坐标与横坐标变成相反数是解决问题的关键． 点关于原点对称时，坐标变为相反数，即的对称点为，再根据象限定义判断位置． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为, 又∵的横坐标小于，纵坐标小于, ∴该点在第三象限， 故选C． 【作业6】．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、内错角相等两直线平行、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，，进而可得，，由内错角相等两直线平行可得，由此可证得四边形是平行四边形，于是可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可得： ，，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，内错角相等两直线平行，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 【作业7】．（2026·内蒙古通辽·二模）将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（     ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【知识点】一次函数图象平移问题、求关于原点对称的点的坐标、求一次函数解析式 【分析】先求出平移后的函数解析式，再得到对称点坐标，代入解析式即可求解 【详解】解：∵ 将一次函数的图象向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得平移后的函数为， ∵ 点关于原点对称时，横纵坐标均为原坐标的相反数， ∴ 点关于原点的对称点坐标为， ∵ 对称点在平移后的函数图象上，将代入得 解得 【作业8】．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】由旋转的性质得，，，由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由旋转知，，，， ， ， ． 【作业9】．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，现将绕着顶点A顺时针旋转至处，其中点B，C的对应点分别为D，E，点D在内部，过E作于点F，若，，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握旋转的性质成为解题的关键． 根据旋转的性质得到，由角的和差可得，则，然后证明为等腰直角三角形，所以，再根据勾股定理可得，即可的长． 【详解】解：∵将绕着顶点A顺时针旋转至处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【作业10】．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 二、填空题 【作业11】．（第14讲中心对称（6个知识点 9个考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版））填空： （1）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． （2）点与点关于原点对称，则________． （3）点绕原点旋转后到达的位置是________． 【答案】 1 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、已知两点关于原点对称求参数 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．在平面直角坐标系中，任意点关于坐标轴、原点都存在对称点．关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数．如：点关于x轴的对称点为；关于y轴的对称点为，关于原点对称的点为． 【详解】解：（1）点与点关于原点对称， 点的坐标是， 故答案为：； （2）点与点关于原点对称， ，则， 故答案为：1； （3）点绕原点旋转后到达的位置与原来的点关于原点对称， 到达的位置是． 故答案为：． 【作业12】．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案为：B． 【作业13】．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）在美术字中，有些汉字是中心对称图形．请列举3个是中心对称图形的汉字：_____． 【答案】中，田，口（答案不唯一） 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查中心对称．根据中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合，判断汉字是否为中心对称图形． 【详解】解：中心对称图形是指绕图形中心点旋转180度后能与自身重合的图形．汉字“中”以中心点旋转180度后，形状不变；汉字“田”以中心点旋转180度后，结构完全重合；汉字“口”以中心点旋转180度后，也与原图一致．因此，这三个汉字都是中心对称图形． 故答案为：中，田，口． 【作业14】．（20-21九年级上·新疆·阶段检测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_． 【答案】36 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系，横、纵坐标均互为相反数，求出与的值，再计算乘方得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 【作业15】．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为_________． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解： ， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 【作业16】．（2023·河北唐山·一模）如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标________； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为______． 【答案】 【知识点】坐标与图形、判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． （1）画出图形，观察坐标系即可得点D坐标； （2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：（1）如图， 观察图象可知，点D的坐标为， 故答案为：； （2）点A与C对应，点B与D对应时，如图： 此时这个旋转中心的坐标为； 故答案为：． 【作业17】．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【知识点】格点作图题、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 【作业18】．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是___________． (3)已知为轴上一点．若的面积为6，直接写出点P的坐标___________． 【答案】(1) 解：如图，和所作； (2) (3)或 【知识点】平移(作图)、判断中心对称图形的对称中心、利用网格求三角形面积、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】题考查了画中心对称图形，平移作图找出对称中心坐标，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中心对称的性质，分别找到点，再依次连接得，然后根据平移的性质得点，再依次连接得，即可作答． （2）分别连接，它们经过点，则该点即为对称中心； （3）设点坐标为，再根据面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，与关于点成中心对称， ∴点的坐标为； 故答案为． （3）解：设点坐标为， 的面积为6， ， 解得，， 点坐标为或． 故答案为或． 【作业19】．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1) 解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） (2)18 【知识点】画两个图形的对称中心、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 【作业20】．（23-24九年级上·广东韶关·期中）已知点与关于原点对称，求a，b的值. 【答案】， 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列方程组求解即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， 解得， 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲·图形的旋转与中心对称·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解旋转的概念，掌握旋转的三要素与旋转的性质 · 会求关于原点对称的点的坐标 · 能识别中心对称图形，理解中心对称的性质 · 会按要求作旋转图形与中心对称图形 · 能综合运用旋转与中心对称解决几何与坐标问题 📚 知识梳理 ☆ 1.旋转的概念与性质 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 旋转不改变图形的大小和形状（全等变换） 对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角 对应线段相等、对应角相等 概念辨析例题：将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，若∠C=50°，则∠E=（　　） 答案：50° 解析：旋转是全等变换，△ABC≌△ADE，对应角相等，∠E=∠C=50°。 ☆ 2.关于原点对称的点的坐标 点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y) 横、纵坐标都变为相反数 关于原点对称的两个点连线过原点且被原点平分 常用于坐标平面内的对称计算 概念辨析例题：点A(3,-2)关于原点对称的点的坐标是（　　） 答案：(-3,2) 解析：关于原点对称，横纵坐标都取相反数：(3,-2)→(-3,2)。 ☆ 3.中心对称与中心对称图形 中心对称：两个图形绕某点旋转180°后互相重合 中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合 中心对称性质：对称点连线都经过对称中心且被平分 常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、圆等 概念辨析例题：下列图形中是中心对称图形的是（　　） 答案：平行四边形 解析：平行四边形绕对角线交点旋转180°后与自身重合，是中心对称图形；一般三角形、梯形不是。 ☆ 4.旋转作图 作旋转图形：确定旋转中心、方向、角度 找关键点（顶点），分别作出对应点 对应点作法：连接关键点与旋转中心，旋转给定角度、截取等长 格点作图：按坐标平移或旋转规律画点 概念辨析例题：将点A(2,3)绕原点顺时针旋转90°，则对应点坐标为（　　） 答案：(3,-2) 解析：绕原点顺时针旋转90°：横坐标变原纵坐标，纵坐标变原横坐标的相反数，即(x,y)→(y,-x)，(2,3)→(3,-2)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 旋转三要素 中心、方向、角 三要素缺一不可 旋转性质 全等变换 对应点到中心等距 原点对称 (x,y)→(-x,-y) 横纵坐标都变号 中心对称 旋转180°重合 对称点被中心平分 中心对称图形 旋转180°与自身重合 平行四边形、圆等 旋转90°坐标 (x,y)→(-y,x)或(y,-x) 看顺时针逆时针 ⚠️ 核心考点 【考点1】关于原点对称的点的坐标（第1-6题） · 原点对称：横纵坐标都取相反数 · 由对称点求参数：列方程解 · 结合平移、函数图象对称综合求坐标 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南信阳·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖南永州·期中）若点与点关于原点成中心对称，则________． 5．（25-26八年级下·全国·周测）已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是____________． 6．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）点绕点顺时针旋转的点的坐标是_________． 【考点2】中心对称与中心对称图形（第7-17题） · 识别中心对称图形：旋转180°能否与自身重合 · 中心对称两图形：对称点连线过中心且被平分 · 结合矩形、菱形、平行四边形等图形性质解题 7．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 8．（2022·山东威海·模拟预测）下列四幅图案，在设计中用到了中心对称的图形是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，，．若与关于点C成中心对称，则点A的对应点的坐标为________． 10．（24-25九年级下·湖北黄石·开学考试）小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 11．（24-25九年级上·四川德阳·期中）在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称图形的英文字母有________个． 12．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 13．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知与关于点成中心对称，则的长是___________．    14．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 15．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，矩形和矩形关于点成中心对称，已知，，则阴影部分的周长和是____． 16．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知的顶点A在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与x轴平行且，若点A的坐标为，则点D的坐标为______． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你设计一个中心对称图案，并解释其中的含义． 【考点3】旋转的性质（第18-34题） · 旋转是全等变换：对应边、对应角相等 · 旋转角=对应点与中心连线所成的角 · 求角度、边长：利用全等与旋转角关系 18．（25-26九年级上·内蒙古·期末）如图，E是正方形内一点，将绕点B顺时针旋转与重合，若，则EF长为（   ） A．2 B． C． D． 19．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直角三角形，点、在直线上，将绕着点顺时针转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，…，按照此规律继续旋转，直到得到点，则（    ） A．674 B．8093 C．8097 D．8100 20．（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转，得到，则的度数是_______． 21．（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到．若，则旋转角的度数是____________．    22．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则旋转角度为___________；的长为___________． 23．（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 24．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 25．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点D是内一点，，将绕点A逆时针旋转，点D旋转至点E处，则______，______，______． 26．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 三、解答题 27．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转得到，其中，是对应点，若，求的度数． 28．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断的形状为__________； (2)若，求的度数． 29．（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． (1)求的度数． (2)求的面积． 30．（25-26八年级上·辽宁丹东·开学考试）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【特殊情形，整体感知】 通过观察图1，线段与的数量关系是___________； (2)【转化应用，类比迁移】 在中，，，点O是直线上一动点（不与点C，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． 如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； (3)【积累经验，拓展延伸】 若，，直接选出此时对应的α与β的数量关系___________． A．      B．   C．      D． 31．（2024·北京东城·一模）在中，，，点、是边上的点，，连接，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于点． (1)如图①，当点与点重合时，直接写出与之间的数量关系； (2)如图②，当点与点不重合点在点的左侧时， ①补全图形； ②与在（1）中的数量关系是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，用等式表示线段、、的数量关系，并证明． 32．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图（1），已知是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点A不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点，交线段于点．    (1)如图（1），猜想______； (2)如图（2），若当是锐角时，其他条件不变，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出你的猜想并加以证明． (3)如图（3），若，且，求的长． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，连接，将绕点C按顺时针旋转后得． (1)补充完成图形； (2)若，试说明． 34．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，有两个边长均为a的正方形与正方形，且正方形的顶点E为正方形两条对角线的交点． (1)试判断与的大小关系．当正方形绕点E旋转变化时，这种关系是否保持不变？ (2)如果正方形的边长为，（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给出证明． 【考点4】旋转作图与坐标变换（第35-48题） · 绕原点旋转90°：顺时针(x,y)→(y,-x)，逆时针(x,y)→(-y,x) · 旋转180°：即原点对称(x,y)→(-x,-y) · 格点作图：先找关键点再画对应点 35．（2023·山东东营·模拟预测）如图．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的2倍，再绕原点O顺时针旋转得，则变换后的点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D．(6，4)或(-6，-4) 36．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 38．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·山东青岛·开学考试）如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，，则点A的对应点的坐标是______． 40．（25-26八年级下·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 41．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于所在直线对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 42．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出； （2）在网格中画出绕点顺时针旋转之后得到的； （3）求的面积．    43．（25-26九年级上·湖北·阶段检测）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 44．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 45．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的，写出点坐标： (2)将绕原点O顺时针旋转，得到，写出点坐标． (3)在轴上找一点，使的和最小，写出P点坐标． 46．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)请写出点C关于原点O对称的点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的（点B、C的对应点分别为点、），并写出点的坐标． 47．（23-24八年级上·山东东营·期末）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标； (3)可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 48．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【考点5】网格与图案设计（第49-60题） · 网格中按要求画旋转、对称图形 · 图案设计：理解基础图形旋转的规律（旋转角=360°÷个数） · 综合题（坐标、函数图象结合旋转）按步骤求解 49．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在明月山温汤旅游度假区的民宿设计中，工匠用正方形网格模拟温泉庭院地砖图案．如图，有三个小正方形代表的“温泉波纹”装饰被选定涂黑，现在要从剩余白色小正方形中选一个涂黑，让最终庭院地砖的黑色图案成为中心对称图形，则涂色方法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 50．（2026·河南平顶山·二模）如图，点A是双曲线在第二象限分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形的面积是12，则k的值为（     ） A． B．2 C．3 D． 51．（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）学生甲错将P点的横坐标与纵坐标的次序颠倒，写成，学生乙错将Q点的坐标写成它关于x轴对称点的坐标，写成，则P点和Q点的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上答案都不对 52．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，则点B的坐标为______． 53．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 54．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的图案是由一个基础图形绕中心旋转______次形成的． 55．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，，，将绕点顺时针旋转，则点C对应点的坐标为__________． 56．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为______． 57．（25-26八年级下·广东佛山·期中）平面直角坐标系中，，，． (1) 平移得，C 对应，画出； (2)画出关于原点 O 中心对称的，写出坐标． 58．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 59．（23-24八年级下·广东佛山·阶段检测）按要求画图． (1)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形． (2)连接、、，则的面积为________． 60．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 💯 课后巩固 复习建议 · 旋转三要素与全等性质要牢记 · 原点对称坐标：横纵坐标都取相反数 · 旋转90°坐标变换分清顺时针与逆时针 · 中心对称图形识别：旋转180°与自身重合 · 作图题先找关键点，按规律画对应点 【作业1】．（2026九年级上·全国·专题练习）若点与点关于原点对称，则等于（     ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）将绕顶点顺时针旋转得到，若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【作业4】．（26-27九年级上·全国·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 【作业5】．（25-26九年级上·新疆和田·期末）点关于原点对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【作业6】．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【作业7】．（2026·内蒙古通辽·二模）将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（     ） A． B．8 C． D．10 【作业8】．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【作业9】．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，现将绕着顶点A顺时针旋转至处，其中点B，C的对应点分别为D，E，点D在内部，过E作于点F，若，，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D．4 【作业10】．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 二、填空题 【作业11】．（第14讲中心对称（6个知识点 9个考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版））填空： （1）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． （2）点与点关于原点对称，则________． （3）点绕原点旋转后到达的位置是________． 【作业12】．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 【作业13】．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）在美术字中，有些汉字是中心对称图形．请列举3个是中心对称图形的汉字：_____． 【作业14】．（20-21九年级上·新疆·阶段检测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_． 【作业15】．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为_________． 【作业16】．（2023·河北唐山·一模）如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标________； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为______． 【作业17】．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【作业18】．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是___________． (3)已知为轴上一点．若的面积为6，直接写出点P的坐标___________． 【作业19】．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【作业20】．（23-24九年级上·广东韶关·期中）已知点与关于原点对称，求a，b的值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $