4.4 一次函数的应用 重难点检测 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

4.4 一次函数的应用 重难点检测2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 2．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 3．如图是一次函数的图象，则关于的一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线与轴交于点，直线上另外三点，，的横坐标依次为、1，2．分别过这些点作坐标轴的垂线，构成三个直角三角形，则图中阴影部分的面积之和是（    ） A．1 B． C． D．3 5．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 6．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 7．如图，A、B两地相距，有甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中、分别表示甲、乙两车离开A地的距离与行驶时间之间的函数关系，现有以下四个结论：①甲车的速度为，乙车的速度为；②乙车出发4小时后追上甲车；③乙车到达B地时，甲车离A地的距离为；④乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 8．某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 9．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量间有如下关系，下列说法中不正确的个数是（ ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 （1）y是x的函数，此函数的图像是条直线． （2）所挂物体的质量为时，弹簧长度为， （3）弹簧的长度增加，所挂物体质量增加， （4）弹簧不挂重物时的长度为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴的正半轴上，点的坐标为．第四象限内的点在正比例函数的图象上，且，将的图象向上平移得到的图象．若点落在长方形的内部（不含边界），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．某厂家对其生产的型汽车进行耗油量试验．试验中油箱中的剩余油量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示，与行驶时间（单位：）的关系如表所示．根据这些信息，此A型汽车在试验中的平均速度为________． 行驶时间 0 油箱剩余油量 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为______． 13．一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示，那么关于x的方程的解是_________． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 14．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x之间的关系式为___________． 15．神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 5 6 … 火箭速度 100 150 200 250 300 … 火箭发射后第13秒时火箭的速度是____________． 三、解答题 16．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 17．如图，直线分别交x轴、轴于点，，直线交轴于点，两直线交于点． (1)求直线与坐标轴围成的的面积． (2)求点的坐标和的面积． 18．甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 19．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 20．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到， ①求的面积． ②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D C D D C C B 1．【答案】D 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 2．【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．【答案】D 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据函数的图象得出一次函数与轴的交点坐标是，把坐标代入函数解析式，求出，再求出方程的解即可． 【详解】解：从图象可知：一次函数与轴的交点坐标是， 代入函数解析式得：， 解得：， 即， 当时，， 解得：， 即关于的一次方程的解是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，能求出一次函数的解析式是解此题的关键． 4．【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数与几何综合 【分析】利用一次函数图像上的点的坐标特征可求出点，，，的坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出图中阴影部分的面积之和． 【详解】当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， ∴点的坐标为． ∴图中阴影部分的面积之和 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特征以及三角形面积，利用一次函数图像上的点的坐标特征，求出点，，，的坐标是解本题的关键． 5．【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 6．【答案】D 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 7．【答案】D 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据速度、时间和路程的关系求解即可，本题考查了一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：甲的速度为， 乙的速度为，故①是正确的； 设乙用x小时追上甲，则， 解得，故②是正确的； 乙车到达B地的时间为， 此时甲距A的距离为，故③是正确的； ， ， ∴乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或， 故④是正确的； 故选：D． 8．【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格数据，弹簧长度与物体质量满足线性关系，据此逐一判断各说法的正确性，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：由表格数据可得，当每增加时，的值增加，即与之间存在线性关系，y是x的函数， 设函数为，代入，可得， 解得：， 即， 故其函数图象为线段，故说法（1）错误； 当时，，故说法（2）不正确； 由表格可得弹簧的长度增加，所挂物体质量增加，故说法（3）不正确； 由表格可得弹簧不挂重物时的长度为，故说法（4）正确； 故不正确的说法有（1）（2）和（3），共3个， 故选：C． 10．【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，函数图象平移的性质，解题的关键是掌握以上性质．过点作于点，交于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解，最后根据平移的性质即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得，（负值已舍）， ∴， ∴根据平移的性质得，， 故选：B． 11．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格内数据求出剩余油量与行驶时间之间的解析式即可知道剩余油量为时所经过的时间，此时可求得平均速度． 【详解】解：设剩余油量与行驶时间的解析式为， 将;代入得 ， 解得， 与的解析式为：， 当时， ， 解得； 根据剩余油量与行驶路程的函数图像可知， 当剩余油量为时，行驶的路程为500千米； 故汽车的速度为 ： 故答案为： ． 12．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．通过观察函数值表，当时，对应的值为，因此方程的解即为. 【详解】解：根据表格数据，当时，，即， 所以关于的方程的解是， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，掌握 根据实际数量关系列函数关系式 是解题的关键．根据题中所给条件求解即可． 【详解】解：由题意，初始体重为，每天减重，则x天后的体重． 故答案为：． 15．【答案】650 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】由速度随时间均匀变化可得与满足一次函数关系，求出函数解析式后代入对应t的值即可得到结果． 【详解】解：设函数表达式为， 将，和，代入表达式，得，解得， ∴与的函数表达式为， 当时，． 16．【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 17．【答案】(1) (2) ，面积为 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，一次函数与几何综合. （1）由函数解析式，求出与坐标轴的交点即可知道的底与高，即可求得面积； （2）点既在直线上，也在直线上，则可求得点坐标，求出与轴 的交点即可知道三角形的底边长以及底边上的高，进而求出面积. 【详解】（1）解：直线分别交轴、轴于点，， 当时， 解得； 当时， ， ， ， ． （2）解：点在直线上， 把点代入， 得， ∴． 直线交轴于点， 当时， ， 解得， ， . 18．【答案】(1)的函数关系式为，的函数关系式为； (2)出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据速度=路程÷时间求出甲、乙的速度，再由路程=速度×时间求出对应的函数关系式即可； （2）求出甲、乙相遇的时间，再根据图象可知何时甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离即可． 【详解】（1）解：甲的速度为， 则， 乙的速度为，则， ∴的函数关系式为，的函数关系式为； （2）解：当甲、乙相遇时，得， 解得， 根据图象，出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 19．【答案】(1) (2)小明家月的电费元 (3)该户月的用电量为 【知识点】函数解析式、梯度计价问题、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； （1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可； （3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：当时， ， 即； （2）解：当时，（元）， ∴小明家月的电费元； （3）解：当时，， 当时，， ， ∴该户月用电量属于第二档， 当时，，解得， ∴该户月的用电量为． 20．【答案】(1) 确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： (2)①；② 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、线段问题(轴对称综合题)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积，一次函数的应用． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）①利用割补法计算即可； ②根据轴对称的性质作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而可得 ，此时最小，再待定系数法求的解析式，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：根据和． （2）解：①． ②如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴ ∴ ，此时最小， 设直线的解析式为， 代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $