2.1 第2课时 余弦及特殊角的余弦值 导学案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

2.1 锐角的正弦和余弦 第2课时 余弦及特殊角的余弦值 【学习目标】 1. 类比正弦的定义得到余弦的定义，并能构造直角三角形求、、的余弦值. 2. 会根据正弦、余弦定义得到它们的关系并能够进行简单的计算. 3. 通过分析与讨论交流，提高观察、比较、分析和概括的能力. 【课前检测】 如图，则__________；__________. 【新知探究】 (1) 合作探究 问题1. 如下图所示， △ABC和△DEF都是直角三角形， 其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？ 结论：由此可得，在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的邻边与斜边的比值 ，与直角三角形的 无关． 2. 请写出余弦的定义及其表示方法 （1）余弦的定义：在直角三角形中，锐角A的 的比叫做角A的余弦 ，记作 .即 =. 3. 一起找找正弦与余弦之间关系，在中： 你发现了什么？ 4.求cos30°，cos45°，cos60°的值． 归纳： 30° 45° 60° sinɑ cosɑ 【基础演练】 1.计算： 2.在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8，AB=10.求 cos A，cos B ，sinA,sinB的值． 3. 已知，若，则 【综合提升】 4. 中，若，，是锐角，则的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5. 已知如图，在中，，，的面积为.求的值.A B C 2.1 第2课时 余弦及特殊角的余弦值 参考答案与解析 课前检测 题目：Rt△ABC，∠C=90°，求sinA，cosA。 解析：sinA=∠A对边/斜边；cosA=∠A邻边/斜边，代入边长计算。 新知探究 问题1：△ABC和△DEF都是直角三角形，∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，求证AC/AB=DF/DE。 证明：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF。 ∴AC/DF=AB/DE，变形得到AC/AB = DF/DE。 结论：在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的邻边与斜边的比值 是一个常数，与直角三角形的 大小 无关。 2.余弦的定义 （1）在直角三角形中，锐角A的 邻边与斜边 的比叫做角A的余弦，记作 cosA。即 cosA = ∠A的邻边 / 斜边。 3.正弦余弦的关系 Rt△ABC，∠C=90° 得到：sinA = cos(90°A)，cosA = sin(90°A)； 同一个锐角：sin²A + cos²A = 1。 4.特殊角余弦值 cos30°=，cos45°=，cos60°=。 归纳表格 | | 30° | 45° | 60° | | ------ | ----- | ------- | ------- | | sinα | | | | | cosα | | | | 基础演练 1.计算（示例） 例1：cos²30°+cos²45°+cos²60° 解：原式=。 例2：sin30°+cos60° =1。 2.在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8，AB=10.求 cos A，cos B ，sinA,sinB的值。 解：勾股 BC=√(10²8²)=6。 cosA=AC/AB=8/10=4/5； sinA=BC/AB=6/10=3/5。 cosB=BC/AB=6/10=3/5； sinB=AC/AB=8/10=4/5。 答：cosA=，cosB=，sinA=，sinB=。 3.已知α是锐角，若sinα=，则cosα= 。 解析：sin²α+cos²α=1，cos²α=19/25=16/25，α锐角，cosα=。 综合提升 4.△ABC中，|sinA√3/2|+(cosB1/2)²=0，A，B是锐角，则三角形形状（D） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：绝对值、平方非负，故sinA=√3/2，cosB=1/2。 A=60°，B=60°，∴∠C=60°，三个角都是60°，等边三角形，选D。 5.已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，△ABC面积4√3，求cosA的值。 解：S=1/2·AC·BC=4√3，1/2×4×BC=4√3，BC=2√3。 AB=√(4²+(2√3)²)=√28=2√7。 cosA=AC/AB=4/(2√7)=。 答：cosA=。 学科网（北京）股份有限公司 $