精品解析：河南郑州外国语学校2026-2027学年高三上学期调研考试（二）数学试题

郑州外国语学校2027届高三调研考试（二） 数学 （120分钟 150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集为空集，即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：A 2. 若函数的零点所在区间为，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数与函数均为增函数, 所以函数为增函数, 因为,, 所以函数的零点所在区间为, 所以. 3. 使得“”成立的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以A选项不符合题意； 对于B选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以B选项不符合题意； 对于C选项，要求，可推出；但时，若， 则无意义，推不出，故是的充分不必要条件， 所以C选项符合题意； 对于D选项，取，满足，但不满足， 此时不能得出，所以D选项不符合题意． 4. 已知函数的定义域为，集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 所以， 又 所以． 5. 将方程对应的曲线绕原点逆时针旋转角后，所得曲线是一个函数的图像，则锐角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，根据函数的性质判断单调性，求出过点切线斜率，得出切线的倾斜角，即可求解． 【详解】，则， 又在上单调递增，，， 则曲线过点切线的斜率，倾斜角为， 则锐角的最大值为． 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用函数性质转化不等式求解的取值范围即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数， 对求导得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 又， 因此，故在上为单调递增函数， 因为等价于， 由奇函数性质得， 因为在上为单调递增函数，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 7. 若不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设． 当时，；当时，． 因为对定义域内的恒成立， 所以在上恒成立，且在上恒成立． 又是开口向上的二次函数，故必为的较大零点． 于是，整理得所以 因为的两根乘积为，所以另一根为 要使在上恒成立，需另一根不大于，即 同时，由于是较大零点，且两根乘积为，所以． 令则，且 由基本不等式得所以 当，即时取等，此时 代回可知的两根为和， 而，，满足在上成立，在上成立． 因此的最小值为. 8. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】已知式等价于，利用函数的单调性得，，相加后利用等号成立的条件求得值，从而可得结论. 【详解】，所以原等式化为， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，所以，即，当且仅当时取等号， 所以时，，，所以， 又已知条件为，所以，， 所以. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知命题，命题，且命题是的必要不充分条件，则（ ）． A. 是的充分不必要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 命题可以是“” D. 命题可以是“” 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A项，由，得或， 因为，所以p是q的充分不必要条件，故A正确； 对于B项，因为r是q的必要不充分条件，所以，， 由于，从而，且，所以p是r的充分不必要条件，故B正确； 对于C项，因为，所以命题r不能是“”，故C错误； 对于D项，因为或，但或， 所以命题r可以是“”，故D正确． 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用抽象函数的对称性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，因为为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，即A正确； 对于B项，易知， 所以，即， 所以的一个周期为4，即B正确； 对于C项，由条件及上述选项结论可知， 且， 所以，即C正确； 对于D项，若的图象关于点对称，则有， 而，显然矛盾，即D错误. 11. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对称性，将中替换为即可得到，进而判断选项A； 构造函数，通过导数判断函数单调性求得即可判断选项B； 将不等式变形，通过单调性将不等式转化为，参变分离后转化为最值问题， 构造函数后通过导数判断函数单调性求得最值即可判断选项C； 通过导数将表示为关于的函数，再通过导数判断函数单调性即可判断选项D. 【详解】选项A，由函数与的图像关于轴对称，将中替换为， 得，所以选项A正确; 选项B，设，则，当且仅当即时取等, 所以当时，单调递增，，即 所以选项B错误; 选项C，整理不等式得，即， 由在单调递增，得，即对恒成立; 令，当时，，所以在单调递增， ，故，解得，即的最大值为，所以选项C正确; 选项D，，， 当时，令，解得或且, 所以当时，;当时，. 所以的极小值点,代入得， 令，， 设，则，所以在单调递减， ，因此，所以在单调递增， 故，即. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合 ，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 13. 若对满足条件的任意实数恒成立，则实数的最大值是_______． 【答案】## 6.5 【解析】 【分析】利用基本不等式先求出的取值范围，换元之后将二元恒成立转化为单变量函数恒成立，分离参数，利用函数单调性求最值. 【详解】因为，由基本不等式得，代入得， 令，，所以，解得或， 因为，所以， 由对满足条件的恒成立得对恒成立， 即对恒成立， 令，在区间上单调递增， ， 要使得对恒成立，则 ， 所以的最大值是. 14. 若，，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】先利用对数换底公式，对原不等式进行整理变形，得到，求该函数的最小值，得到，构造函数，研究函数的单调性与最值，进而确定的值 【详解】因为，所以， 所以， 令，所以， 则当时，即在上单调递减， 所以当时，，矛盾，故. 时，，，单调递减；，，单调递增； 所以， 记，求导得， ，，单调递增；，，单调递减； 所以最大值为， 因此恒成立，仅当时满足要求， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求数列的通项公式． （2）数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 设等差数列公差为, 因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即， 联立，解得， 则. 【小问2详解】 略 16. 如图，四棱锥中，侧面底面，底面为平行四边形，，，，，． （1）求证：． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）取中点，连接，，由于，故， 由余弦定理可得，所以， 所以，又由于，所以平面，且平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）设为的中点，连接，，证明平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求平面和平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为侧面底面，，侧面底面， 所以底面.如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，  则，，，. 设平面的法向量为， 由得 取，得平面的一个法向量为．         设平面的法向量为， 由得 取，得平面的一个法向量为．     所以平面与平面夹角的余弦值为 ． 17. 甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为a，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻． （1）第二局乙获胜的概率； （2）若，求甲在四局以内赢得比赛的概率； （3）若，记游戏局数为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设第二局乙获胜为事件A，则有第一局甲进攻甲胜且第二局甲进攻乙胜，第一局甲进攻乙胜且第二局乙进攻乙胜两种情况，再根据独立事件乘法公式计算即可； （2）根据题意比赛可能进行三局或四局，求出对于概率，再相加即可. （3）根据题意比赛可能进行3,4,5局三种情况，求出对于概率，再计算期望，再利用基本不等式和二次函数性质可得最大值. 【小问1详解】 设第二局乙获胜的概率为， 则． 【小问2详解】 设比赛三局甲获胜的概率为，比赛四局甲获胜的概率为， 则， 代入，得甲在四局以内赢得比赛的概率. 【小问3详解】 若，则每局游戏中甲获胜的概率为，失败的概率为． 由题意，． 于是，利用， 因为，所以时，取得最大值． 18. 已知双曲线 （1），求双曲线的渐近线方程. （2）设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； （3）已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程的公式求解； （2）先根据双曲线方程得到顶点坐标，设点，表示出向量和，利用数量积公式得到与的关系，把点代入双曲线方程即可求解； （3）设直线斜率为，直线斜率为，把直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出点，同理以代可表示出点，代入斜率公式化简即可得斜率. 【小问1详解】 当时，双曲线的方程为， 则双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 由题意，设， 则，， 则，， 又点在双曲线上，则，化简得， 又所以； 【小问3详解】 将点代入双曲线方程得，解得：， 故双曲线方程为； 设直线斜率为，则直线斜率为 直线方程为，联立双曲线与直线: ， 其中 即且， 由韦达定理，则， 同理以代，则， 则，， 故. 19. 已知， （1）当时，证明：； （2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有. 【答案】（1）证明如下： ，，则，定义域为 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以当时. 所以得证. （2） （3）证明如下： 由（2）中结论， 有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立. 即对任意的，，变形可得， 分别令，，..，，可得，，……， 累加可得，证毕. 【解析】 【分析】（1）由已知，当时，，构造函数，利用导数可得恒成立，从而证得； （2）讨论的取值，分析的单调性，及在上的取值情况，可得对任意的，恒成立时的取值范围； （3）由（2）的结论，得，根据对数的运算性质，可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设. 若对任意的，恒成立，则恒成立. 又， 设，则，且有， （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，. 所以在单调递增，所以，所以恒成立； （iii）当，时，，则单调递增， 又，则必然存在一个，使得， 且有时，单调递减；时,，单调递增. 此时，不满足恒成立. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2027届高三调研考试（二） 数学 （120分钟 150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的零点所在区间为，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 使得“”成立的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，集合，，则（     ） A. B. C. D. 5. 将方程对应的曲线绕原点逆时针旋转角后，所得曲线是一个函数的图像，则锐角的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知命题，命题，且命题是的必要不充分条件，则（ ）． A. 是的充分不必要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 命题可以是“” D. 命题可以是“” 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 11. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合 ，，则__________． 13. 若对满足条件的任意实数恒成立，则实数的最大值是_______． 14. 若，，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求数列的通项公式． （2）数列的前项和为，求证：． 16. 如图，四棱锥中，侧面底面，底面为平行四边形，，，，，． （1）求证：． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为a，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻． （1）第二局乙获胜的概率； （2）若，求甲在四局以内赢得比赛的概率； （3）若，记游戏局数为，求的最大值． 18. 已知双曲线 （1），求双曲线的渐近线方程. （2）设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； （3）已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 19. 已知， （1）当时，证明：； （2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $