重庆市南岸区八年级数学上学期单元作业（人教版八年级上册第十七章）

第十七章 因式分解单元作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 第十七章 因式分解单元作业设计 学段学科 初中数学 适用年级 八年级上册 教材版本 人教版 对应内容 第十七章 因式分解 作业类型 单元作业（分层：A组·基础 / B组·能力 / C组·拓展） 完成时长 总时长 90 分钟（A 组约 25 分钟，B 组约 40 分钟，C 组约 25 分钟） 设计者 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 （1）课标要求 《义务教育数学课程标准（2022 年版）》在"数与代数"领域对"式"的运算提出明确学业要求： ①理解因式分解的意义，体会因式分解与整式乘法的互逆关系； ②掌握提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式），能熟练地将多项式分解因式； ③会用因式分解解决简单的代数化简与证明问题，发展运算能力和推理意识。 （2）教材地位 本章位于人教版八年级上册第十四章，是继"整式的乘除"之后的逆向运算内容，是后续学习分式、二次方程、函数等内容的重要基础，也是高中阶段多项式运算、因式定理的预备知识。 （3）本章核心内容与教学重难点 层次 具体内容 知识主线 因式分解的概念 → 提公因式法 → 公式法（平方差、完全平方）→ 分组分解与综合应用 核心1 因式分解的意义，与整式乘法的区别与联系 知识点2 提公因式法（系数最大公因数、字母最低次幂） 重难点 重点：提取公因式、套用公式；难点：符号处理、多步分解、整体与分组思想 2. 学情分析 本作业面向八年级上学期的学生，学生已具备整式乘法（同底数幂、幂的乘方、平方差与完全平方公式）的运算经验，但因式分解作为"逆向思维"内容，常出现以下典型问题： 维度 具体描述 已有基础 掌握整式乘法法则，能正确计算 (a+b)(a-b)、(a±b)²；具备基本的代数式化简能力。 现有困惑 ①分不清"因式分解"与"整式乘法"的运算方向；②提取公因式时系数与字母指数易遗漏；③平方差、完全平方公式使用条件混淆；④带负号或含括号整体分解时易错。 差异分析 基础较好的学生能自主套公式并尝试分组分解；中等学生停留在"照搬例题"层面，缺乏对公式结构的辨识；后进学生在公因式提取与符号处理上反复出错。 3. 设计意图 ①落实"双减"与新课标精神，控制单次作业总量在 90 分钟以内； ②采用 A/B/C 三层分层结构，对应"基础过关—能力进阶—思维拓展"，让不同学情学生都能"跳一跳够得着"； ③题目紧扣因式分解的两大主线（提取公因式、公式法），并适度融入"分组分解""简便计算""代数式求值""整除证明"等拓展类型，发展推理意识与运算能力； ④配套"作业目标—题目—评价—补救"四环节闭环设计，使作业可观察、可诊断、可补救。 三、作业目标 依据数学课程核心素养（运算能力、推理意识、模型观念、应用意识），结合本章教学重难点，设定以下四类作业目标： 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 G1 理解因式分解的概念，能辨与整式乘法等价的乘法乘法的区别与联系。 运算能力、推理意识 能判断一个整式变形是否属于因式分解；能识别公式的"型"与"项"对应关系。 能力运用 G2 会提取多项式的公因式，能熟练应用平方差、完全平方公式进行分解。 运算能力 对给定二项式 / 三项式，能在 2 步以内完成正确分解。 思维发展 G3 能综合运用多种方法（提取公因式+公式法、分组分解）解决较复杂问题；能运用因式分解进行简便计算与简单证明。 运算能力、推理意识 能自主选择方法、按"先提后套"顺序分解；能完成代数式化简与整除性证明。 情感态度 G4 体验逆向思维与结构化思考的价值，形成严谨规范的书写习惯。 应用意识、模型观念 答题过程条理清晰、步骤完整；主动反思"为何这样分解"。 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标 难度系数/分层建议 设计意图 参考答案与评价要点 1 选择题 判断四个整式变形中哪一个是因式分解 G1 ★ / A组 辨析概念，理解因式分解必须化为"乘积"形式 参考答案：D（a²−b²=(a+b)(a−b) 把一个多项式化为几个整式乘积的形式） 评价要点：关键点：判断是否"化为乘积形式" 2 选择题 判断多项式 6x³y²−9x²y³z 的公因式 G2 ★ / A组 强化公因式的"系数最大公因数+字母最低次幂"提取规则 参考答案：A（3x²y²） 评价要点：关键点：找系数最大公因数与字母最低次幂 3 填空题 提取公因式：ab+ac+ad G2 ★ / A组 最基础的提取公因式练习 参考答案：a(b+c+d) 评价要点：关键点：公因式正确提取 4 填空题 平方差公式分解：x²−4 G2 ★ / A组 标准平方差公式的直接应用 参考答案：(x+2)(x−2) 评价要点：关键点： a²−b²的识别 5 填空题 完全平方公式分解： 4x²+12xy+9y² G2 ★ / A组 含系数的完全平方公式辨识与应用 参考答案：(2x+3y)² 评价要点：关键点：完全平方公式三项对应 6 填空题 带负号的完全平方：−a²+4a−4 G2 ★ / A组 训练提取负公因式后再用公式，突破符号处理难点 参考答案：−(a−2)² 评价要点：关键点：先提"−"再配方，符号处理 7 填空题 提公因式+平方差：4x³−25x G2 ★★ / B组 先提公因式再用平方差公式，两步分解 参考答案：x(2x+5)(2x−5) 评价要点：关键点：先提公因式 → 再用平方差 8 填空题 平方差：4a²b²−9 G2 ★★ / B组 含系数的平方差公式应用 参考答案：(2ab+3)(2ab−3) 评价要点：关键点：整体 (2ab) 作为平方差单元 9 填空题 提公因式+完全平方：2m³n−12m²n+18mn G2 ★★ / B组 系数含公因式与含变量字母综合处理 参考答案：2mn(m−3)² 评价要点：关键点：先提公因式 2mn → 完全平方 10 填空题 平方差公式（双）： 3x⁴−3y⁴ G2 ★★ / B组 四次方先化为平方差，再二次平方差，训练整体化思想 参考答案： 3(x²+y²)(x+y)(x−y) 评价要点：关键点： a²−b²=(a+b)(a−b) 连续两次使用 11 填空题 整体完全平方： 16(2a+b)²−9 G2 ★★ / B组 把 (2a+b) 视作"整体A"，灵活套用平方差公式 参考答案：(8a+4b+3)(8a+4b−3) 评价要点：关键点：将 (2a+b) 视作整体套平方差 12 填空题 简便计算： 2026²−2025×2027 G2 ★★ / B组 逆向应用平方差： n²−(n+1)(n−1)=1，感受因式分解化简 参考答案： 2026²−2025×2027 = 2026²−(2026−1)(2026+1) = 2026²−(2026²−1) = 1 评价要点：关键点：n²−(n−1)(n+1) 的逆向构造 13 填空题 分组+平方差： x²−y²+2x+1 G3 ★★★ / C组 前三项分组凑完全平方，再用平方差公式 参考答案：(x+1+y)(x+1−y) 评价要点：关键点：分组顺序与公式对应 14 填空题 （拓展）十字相乘： x²+5x+6 G3 ★★★ / C组 课标外拓展方法，二次三项式 x²+px+q 的十字相乘 参考答案：(x+2)(x+3) 评价要点：关键点：x²+5x+6 = (x+2)(x+3) 15 填空题 代数式求值：已知 a+b=2, ab=1, 求 a³b+2a²b²+ab³ G3 ★★★ / C组 提公因式+完全平方公式求值，体会代数结构 参考答案：ab(a+b)² = 1×2² = 4 评价要点：关键点：提公因式 + 完全平方代数求值 16 证明题 证明 −1 能被 31 整除 G3 ★★★ / C组 用平方差公式逐步分解，体现因式分解在数论中的应用 参考答案：−1 = ()²−1 = (+1)(−1) = (+1)(+1)(−1) = (+1)×33×31，能被 31 整除 评价要点：关键点：a²−b² 的逐层分解；=32, −1=31 分层完成说明 · A 组（★，全员必做）：所有学生须独立完成，作为基础过关的依据； · B 组（★★，建议必做）：中等及以上学生须完成；后进生在 A 组全部过关后选择性完成； · C 组（★★★，选做）：学有余力学生选做；其中第14 题为课标外拓展（十字相乘），供分层教学选用； · 标注说明：题号后标"（拓展）"者为课标外拓展方法（十字相乘、分组分解），供分层教学选用。 五、作业评价量表（分层 A/B/C 等级评价） 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 能清晰辨析因式分解与整式乘法的区别；公式使用条件全部正确。 基本能辨析概念，公式使用偶有小错。 概念辨析不清，公式使用条件混淆。 25% 能力运用 提取公因式与公式法运用熟练，分解过程完整规范。 多数题目能正确分解，个别步骤省略或小错。 提取公因式或公式应用错误较多，过程不完整。 35% 思维发展 对综合题能合理选择方法（分组、整体、简便计算），C 组拓展题正确完成。 能完成 B 组综合题，C 组题有思路但不够严谨。 综合题思路不清，多步分解中断。 30% 情感态度 主动反思方法、书写规范整洁、遇到困难积极尝试。 能按要求完成，书写较规范。 书写潦草、过程跳跃、被动应付。 10% 等级换算：各维度得分按权重加权求和，满分 100 分。 · 综合得分 ≥ 85：A（优秀） · 综合得分 70–84：B（良好） · 综合得分 < 70：C（待改进），启动下方分层补救练习。 六、分层补救练习（针对 C 等级及共性错误） 依据作业批改中暴露的共性问题，提供对应补救练习，供教师课后针对性辅导使用。 补救 1 ｜公因式提取（含系数与字母） ① 分解因式：5x²y−10xy² = __________． ② 分解因式：−3a²+6ab−9a = __________． ③ 分解因式：12x³y²+18x²y³−24x⁴y = __________． 参考答案：①5xy(x−2y)；②−3a(a−2b+3)；③6x²y(2xy+3y²−4x²)。 补救 2 ｜平方差公式（含整体代入） ① 分解因式：9(a+b)²−4(a−b)² = __________． ② 分解因式：(x+1)²−4x² = __________． ③ 计算简便：100²−99×101 = __________． 参考答案：①(5a+b)(a+5b)；②(3x+1)(1−x)；③100²−(100−1)(100+1)=1。 补救 3 ｜完全平方公式（含符号处理） ① 分解因式：−x²+2xy−y² = __________． ② 分解因式：4a²−4ab+b² = __________． ③ 分解因式：(a+b)²−4(a+b)+4 = __________． 参考答案：①−(x−y)²；②(2a−b)²；③(a+b−2)²。 补救 4 ｜综合（先提后套 / 分组分解） ① 分解因式：2x³−8x = __________． ② 分解因式：a²−b²+a+b = __________． ③ 分解因式：x⁴−5x²+4 = __________． 参考答案：①2x(x+2)(x−2)；②(a+b)(a−b+1)；③(x²−1)(x²−4)=(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)。 ✨ 七、作业实施使用建议 ① 发放顺序：先发 A 组，待 A 组 80% 以上学生完成后统一发放 B 组；C 组由学有余力学生自主选做； ② 时间分配：A 组约 25 分钟，B 组约 40 分钟，C 组约 25 分钟；教师可根据学情灵活调整； ③ 课堂反馈：作业完成后建议预留 10–15 分钟进行"易错题讲评"，重点讲 A 组第 6 题（符号处理）、B 组第 10/11 题（整体思想）、C 组第 14 题（十字相乘）； ④ 个性化辅导：依据"作业评价量表"得分，对 C 等级学生定向推送"分层补救练习"中对应模块； ⑤ 拓展使用：第 14 题（十字相乘）作为选学内容，可作为课后兴趣拓展或高中衔接，不作考试要求； ⑥ 错题本：建议要求学生将 C 组中第 13、15、16 题的解题过程整理进错题本，注明所用数学思想（分组思想、整体思想、数论应用）。 📌 八、作业预期效果 ① 知识层面：100% 学生能正确判断因式分解、提取公因式；85% 以上学生能熟练应用平方差与完全平方公式； ② 能力层面：B 组综合题完成率 ≥ 70%，学生能自主完成"先提后套"两步分解； ③ 思维层面：C 组拓展题（分组、十字相乘、代数式求值、整除证明）参与率 ≥ 30%，完成率 ≥ 60%； ④ 情感层面：学生在"简便计算 2026²−2025×2027"等题目中体验因式分解的实际价值，提升学习兴趣； ⑤ 评价层面：通过 A/B/C 分层评价表，实现"一作业一画像"，为后续针对性教学提供数据支撑。 九、具体作业内容 【使用说明】 1. A 组·基础过关（★，全员必做）； 2. B 组·能力进阶（★★，建议必做）； 3. C 组·思维拓展（★★★，选做）； 4. 标注说明：题号后标"（拓展）"者为课标外拓展方法（十字相乘、分组分解），供分层教学选用。 A 组｜基础过关（全员必做 ★） 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（　　） 　　A．3a(a+b)=3a²+3ab　　　　B．(a+2)(a−3)=a²−a−6 　 C．x²−2x+1=x(x−2)+1　　　D．a²−b²=(a+b)(a−b) 2．多项式 6x³y²−9x²y³z 的各项中都含有公因式（　　） 　　A．3x²y²　　B．3xy　　C．x²y²　　D．6x²y³ 3．因式分解：ab+ac+ad = __________． 4．因式分解：x²−4 = __________． 5．分解因式：4x²+12xy+9y² = __________． 6．分解因式：−a²+4a−4 = __________． B 组｜能力进阶（建议必做 ★★） 7．分解因式：4x³−25x = __________． 8．分解因式：4a²b²−9 = __________． 9．分解因式：2m³n−12m²n+18mn = __________． 10．因式分解：3x⁴−3y⁴ = __________． 11．分解因式：16(2a+b)²−9 = __________． 12．用因式分解简便计算：2026²−2025×2027 = __________． C 组｜思维拓展（选做 ★★★） 13．（拓展）分解因式：x²−y²+2x+1 = __________．（提示：分组先凑完全平方） 14．（拓展）分解因式 x²+5x+6 = __________．（提示：运用十字相乘法分解） 15．如果 a+b=2，ab=1，那么 a³b+2a²b²+ab³ 的值为 __________． 16．求证：2²⁰ −1 能被 31 整除． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解单元作业 · 答案与解析 一、作业答案与解析 A 组｜基础过关（全员必做 ★） 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（　　） 　　A．3a(a+b)=3a²+3ab　　　　B．(a+2)(a−3)=a²−a−6 　 C．x²−2x+1=x(x−2)+1　　　D．a²−b²=(a+b)(a−b) 【答案】D 【解析】因式分解的判定：整式乘法不是因式分解（A、B 都是）；C 右边没有完全分解为整式的乘积，形式不合规；D 符合「整式乘积 ←—→ 多项式」的要求，且方向正确（积→多项式）。故选 D。 2．多项式 6x³y²−9x²y³z 的各项中都含有公因式（　　） 　　A．3x²y²　　B．3xy　　C．x²y²　　D．6x²y³ 【答案】A（公因式 3x²y²） 【解析】提公因式要「系数取最小、字母取最低次、只在每项都有的字母中取」：系数 gcd(6,9)=3；x 取 min(3,2)=2 即 x²；y 取 min(2,3)=2 即 y²；z 仅第二项有，不取。故公因式为 3x²y²，选 A。 【易错提醒】D 项系数 6 取自最大项是错的；B 项 y 只取了 1 次方也是错的。 3．因式分解：ab+ac+ad = __________． 【答案】a(b+c+d) 【解析】三项都含 a，提 a 后括号内为 b+c+d，且已不能再分解，分解完成。 【易错提醒】提公因式后一定要检查括号内是否还能继续分解（本题不行）。 4．因式分解：x²−4 = __________． 【答案】(x+2)(x−2) 【解析】平方差公式 a²−b² = (a+b)(a−2)，其中 a = x，b = 2。 5．分解因式：4x²+12xy+9y² = __________． 【答案】(2x+3y)² 【解析】完全平方公式 a²+2ab+b²=(a+b)²：4x²=(2x)²，9y²=(3y)²，12xy=2·(2x)·(3y)，三者刚好匹配，故为 (2x+3y)²。 【易错提醒】12xy 中的系数 2 千万不能漏（应是 2·2x·3y）。 6．分解因式：−a²+4a−4 = __________． 【答案】−(a−2)² 【解析】首项为负，先提负号：−a²+4a−4 = −(a²−4a+4) = −(a−2)²。 【易错提醒】若直接套完全平方公式会得到 (−a+2)²=(a−2)²，结果漏掉外层负号。本类题统一处理：先提负号，再套公式。 B 组｜能力进阶（建议必做 ★★） 7．分解因式：4x³−25x = __________． 【答案】x(2x+5)(2x−5) 【解析】先提公因式 x：4x³−25x = x(4x²−25) = x(2x)²−5² = x(2x+5)(2x−5)。 【易错提醒】「先提后套」的典型：提公因式后括号内出现平方差，再套平方差公式。 8．分解因式：4a²b²−9 = __________． 【答案】(2ab+3)(2ab−3) 【解析】把 2ab 看作整体：4a²b²=(2ab)²，9=3²，直接套平方差公式。 【易错提醒】核心思想是「整体代入」：把 2ab 当成 a，把 3 当成 b。 9．分解因式：2m³n−12m²n+18mn = __________． 【答案】2mn(m−3)² 【解析】先提公因式 2mn：2m³n−12m²n+18mn = 2mn(m²−6m+9) = 2mn(m−3)²。 【易错提醒】提公因式后括号内为完全平方式，再套公式。 10．因式分解：3x⁴−3y⁴ = __________． 【答案】3(x+y)(x−y)(x²+y²) 【解析】先提公因式 3，再两次用平方差公式：3x⁴−3y⁴ = 3(x⁴−y⁴) = 3(x²+y²)(x²−y²) = 3(x²+y²)(x+y)(x−y)。 【易错提醒】x⁴−y⁴ 是「两次平方差」模型，连续分解到不能再分；x²+y² 在实数范围内不能再分。 11．分解因式：16(2a+b)²−9 = __________． 【答案】(8a+4b+3)(8a+4b−3) 【解析】把 4(2a+b) 看作整体：16(2a+b)²−9 = [4(2a+b)]²−3² = (4(2a+b)+3)(4(2a+b)−3) = (8a+4b+3)(8a+4b−3)。 【易错提醒】展开 4(2a+b)=8a+4b 后再相加/减，别漏项。 12．用因式分解简便计算：2026²−2025×2027 = __________． 【答案】1 【解析】设 n = 2026，则 2025 = n−1，2027 = n+1：2026²−2025×2027 = n²−(n−1)(n+1) = n²−(n²−1) = 1。 【易错提醒】遇到形如 n²−(n−1)(n+1) 或 (n−1)(n+1)−n²，平方差公式立得 n²−(n²−1)=1。这是因式分解的实际应用价值——简便计算。 C 组｜思维拓展（选做 ★★★） 13．（拓展）分解因式：x²−y²+2x+1 = __________．（提示：分组先凑完全平方） 【答案】(x+y+1)(x−y+1) 【解析】分组先凑完全平方，再套平方差：x²−y²+2x+1 = (x²+2x+1)−y² = (x+1)²−y² = (x+y+1)(x−y+1)。 【易错提醒】「分组分解法」：关键发现 x²+2x+1 是 (x+1)²，与 y² 配合得平方差。分组原则：组内能因式分解、组间能用公式。 14．（拓展）分解因式 x²+5x+6 = __________．（提示：运用十字相乘法分解） 【答案】(x+2)(x+3) 【解析】十字相乘法：把常数项 6 拆成两数之积，使两数之和 = 5。6 = 2×3，且 2+3 = 5 ✓。故 x²+5x+6 = (x+2)(x+3)。 【易错提醒】十字相乘是 x²+(a+b)x+ab 型因式分解的通用快捷法：把 a、b 拆为两数乘积且两数之和等于一次项系数。课标外拓展。 15．如果 a+b=2，ab=1，那么 a³b+2a²b²+ab³ 的值为 __________． 【答案】4 【解析】先分解所求代数式，再代入：a³b+2a²b²+ab³ = ab(a²+2ab+b²) = ab(a+b)²。代入 a+b=2，ab=1：= 1 × 2² = 4。 【易错提醒】整体思想：先因式分解再整体代入，避开逐项展开。 16．求证：2²⁰ −1 能被 31 整除． 【证明】 【解析】由平方差公式，2²⁰−1 = (2¹⁰)²−1² = (2¹⁰−1)(2¹⁰+1) = (2¹⁰−1)×1025。再分解2¹⁰−1：2¹⁰−1 = (2⁵)²−1² = (2⁵−1)(2⁵+1) = 31 × 33。因此2²⁰−1 = 31 × 33 × 1025，其中 31 是因数之一，故 2²⁰−1 能被 31 整除。　∎ 【方法点拨】整除性证明的常用思路：把待证因数凑成平方差 (或立方差等) 的因式。本题中先把2²⁰拆为 (2⁵)⁴ → (2¹⁰)²，连续两次用平方差即可「逼出」31 = 2⁵−1。 其中 31 是因数之一，故 2²⁰−1 能被 31 整除。　∎ 二、分层补救练习答案与解析 补救 1｜公因式提取（含系数与字母） ① 分解因式：5x²y−10xy² = __________． 【答案】5xy(x−2y) 【解析】系数 gcd(5,10)=5；x 取 x；y 取 y；括号内：(5x²y−10xy²)÷(5xy) = x−2y。 ② 分解因式：−3a²+6ab−9a = __________． 【答案】−3a(a−2b+3) 【解析】首项已含负号，优先把负号也提到公因式中：公因式取 −3a，则括号内 = (−3a²+6ab−9a)÷(−3a) = a−2b+3。 【易错提醒】若只提 3a 会得到 3a(−a+2b−3)，虽然也对，但首项带负号不美观，通常约定「首项不带负号」。 ③ 分解因式：12x³y²+18x²y³−24x⁴y = __________． 【答案】6x²y(2xy+3y²−4x²) 【解析】系数 gcd(12,18,24)=6；x 取 min(3,2,4)=2 即 x²；y 取 min(2,3,1)=1 即 y；括号内依次为 2xy、3y²、−4x²。注意第三项 24x⁴y 中 x⁴ 是 4 次方，y 只 1 次，提取后 x 剩 4−2=2 次、y 剩 1−1=0 次，故 −4x²。 补救 2｜平方差公式（含整体代入） ① 分解因式：9(a+b)²−4(a−b)² = __________． 【答案】(5a+b)(a+5b) 【解析】把 (a+b)、(a−b) 看作整体： 　　9(a+b)²−4(a−b)² = [3(a+b)]²−[2(a−b)]² 　　= [3(a+b)+2(a−b)]·[3(a+b)−2(a−b)] 　　= (3a+3b+2a−2b)(3a+3b−2a+2b) = (5a+b)(a+5b)。 ② 分解因式：(x+1)²−4x² = __________． 【答案】(3x+1)(1−x) 【解析】把 (x+1)、2x 看作整体： 　　(x+1)²−4x² = (x+1)²−(2x)² = (x+1+2x)(x+1−2x) = (3x+1)(1−x)。 ③ 计算简便：100²−99×101 = __________． 【答案】1 【解析】把 100、99、101 用平方差拼起来： 　　100²−99×101 = 100²−(100−1)(100+1) = 100²−(100²−1) = 1。 补救 3｜完全平方公式（含符号处理） ① 分解因式：−x²+2xy−y² = __________． 【答案】−(x−y)² 【解析】首项为负，先提负号： 　　−x²+2xy−y² = −(x²−2xy+y²) = −(x−y)²。 【易错提醒】如果直接套 a²−2ab+b²=(a−b)² 会得到 (x−y)² 漏掉外层负号，是典型错解。 ② 分解因式：4a²−4ab+b² = __________． 【答案】(2a−b)² 【解析】4a²=(2a)²，b²=b²，4ab=2·(2a)·b，三项匹配 a²−2ab+b² 结构（注意 中间项是负的），故 = (2a−b)²。 ③ 分解因式：(a+b)²−4(a+b)+4 = __________． 【答案】(a+b−2)² 【解析】把 (a+b) 看作整体，原式 = (a+b)²−2·(a+b)·2+2² = ((a+b)−2)² = (a+b−2)²。 【方法点拨】本题与 B 组 11 题呼应，都是「整体代入 + 完全平方」的组合。 补救 4｜综合（先提后套 / 分组分解） ① 分解因式：2x³−8x = __________． 【答案】2x(x+2)(x−2) 【解析】先提公因式 2x：2x³−8x = 2x(x²−4)；再对 x²−4 用平方差：= 2x(x+2)(x−2)。 ② 分解因式：a²−b²+a+b = __________．【答案】(a+b)(a−b+1) 【解析】采用分组： 　　a²−b²+a+b = (a²−b²)+(a+b) = (a+b)(a−b)+(a+b) = (a+b)(a−b+1)。 【方法点拨】前两项一组用平方差，后两项一组是公因式 (a+b)，分组后提公因式 (a+b)。这是「分组分解法」的标准应用。 ③ 分解因式：x⁴−5x²+4 = __________． 【答案】(x+1)(x−1)(x+2)(x−2) 【解析】把 x⁴−5x²+4 看作 x² 的「十字相乘」： 　　设 y=x²，则 y²−5y+4 = (y−1)(y−4)。 回代：x⁴−5x²+4 = (x²−1)(x²−4) = (x+1)(x−1)(x+2)(x−2)。 【方法点拨】形如 x⁴±Ax²+B 的双二次式，先当作 y 的二次式分解，再回代 y=x²。 三、易错提醒（重点讲评建议） 1. A 组第 2 题（公因式判断）：系数取最大、字母取最低次、只取每项都有的字母。常见错选 D（取最大项的系数 6）。 2. A 组第 6 题（符号处理）：首项为负的完全平方式，先提负号再套公式，否则漏外层负号。 3. B 组第 10 题（连续平方差）：x⁴−y⁴ 要两次平方差，分到 x²+y² 就停（实数范围内不可再分）。 4. B 组第 11 题（整体代入）：把 4(2a+b) 看作整体后再用平方差；展开 8a+4b 时别漏项。 5. C 组第 14 题（十字相乘）：把常数项拆成两数乘积，使两数之和等于一次项系数。 6. C 组第 16 题（整除证明）：用平方差 / 立方差「逼出」目标因数；本题需先用 (2⁵)²−1²→(2⁵−1)=31。 —— 完 —— ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $