1.4.2充要条件的教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 1.4.2充要条件 教科书 书 名：普通高中教科书数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.理解充要条件的意义，并能够进行判断； 2.能够对某些命题的充要条件进行证明，提升逻辑推理和数学分析的核心素养． 3.会求命题成立的充分条件、必要条件和充要条件，并能够根据不同的条件求参数的值或取值范围； 4.理解数学定义和充要条件的关系，培养数学抽象的核心素养. 教学内容 教学重点： 1.对充分条件、必要条件和充要条件进行判断和证明． 教学难点： 1.根据充分条件、必要条件或充要条件求参数的值或取值范围；充要条件与数学定义之间的关系． 教学过程 【情境引入】 情境：水是生命的源泉，那么“地球有水”与“人类生存”之间有怎样的关系呢？ 图中“开关闭合”与“灯泡亮”之间具有怎样的关系呢? 答：地球有水不一定能得出有人类生存，但是人类生存一定可以得出地球有水；开关闭合则灯泡一定亮，反过来不一定成立. 其实我国古代先哲对于“充分”与“必要”的也早有阐释，比如《墨经》有云：有之则必然，无之则未必不然；无之则必不然，有之则未必然.就是对充分、必要条件的解读. 回顾：你能回忆起上节课学习的充分、必要条件的定义吗？ 命题关系 “若，则”真 “若，则”假 推理关系 条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件 设计意图：通过生活实例，引出充要条件这一课题，培养学生学习的兴趣.并回顾旧知. 【一】充要条件 1、逆命题 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.写出下列命题的逆命题？ （1）命题“若x>1，则x>0”的逆命题是： (2)命题“正三角形都相似”的逆命题是： 答案：（1）若x>0，则x>1 ；（2）若三角形相似，则这些三角形是正三角形． 2、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作：. 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. 显然，如果是的充要条件，则也是的充要条件.概括地说，如果，那么与互为充要条件. 3、总结 条件 结论 能否推出 能否推出 与的关系 是的充分必要(充要)条件 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 是的既不充分也不必要条件 设计意图：通过具体的实例，引出充要条件的概念，强化学生对抽象概念的理解，培养学生数学抽象的核心素养. 【例1】下列各组命题中，p是q的什么条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：x或y是有理数，q：xy是有理数. 【解析】 （1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p是q的充分不必要条件. （2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，所以p是q的充要条件. （3）因为xy>0即x>0，y>0或x＜0，y＜0，p⇏q;当x>0，y>0可以得到xy>0，q⇒p；所以，所以p不是q的必要不充分条件. （4）是的既不充分也不必要条件 设计意图：通过具体的例题训练，帮助学生巩固所学知识，提高学生运用所学知识解决问题的能力。 【二】集合与条件的关系 从集合角度看充分、必要条件：设，，则： 与的关系 是的什么条件 是的充分条件 是的必要条件 是的充要条件 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 【例2】(多选）“│x│<3”的充分不必要条件是________． A.0<x<3 B.1<x<3 C.﹣3≤x≤3 D.﹣3<x<3 答案：AB 析：即_____是“│x│<3”的充分不必要条件． 析：即_____是“-3<x<3”的充分不必要条件． (2)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为　　　　　　. 答案　{m|0<m≤3} 解析　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3.又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 设计意图：及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑 反思感悟　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤： (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 【三】充要条件的证明 【例4】 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0. ∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0. 充分性：由ac<0.可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0 ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根. 综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 反思感悟　充要条件证明的思路 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. 【四】课堂总结 咱们这节课学习了哪些内容？是否完成了课前展示的学习目标？ 设计意图：学生自我小结，自由发表学习心得，能培养学生的语言表达能力和归纳概括能力，促使学生养成整理新知、加强系统反思的习惯．培养了学生善于总结，善于归纳的良好学习习惯。同时与课前的学习目标做到前后呼应。 【五】作业布置 分层完成作业单上相应板块的作业 学科网（北京）股份有限公司 $