第三章 图形的相似 复习课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

第三章 图形的相似 数学北师大版九年级上册 通过完成导学任务，请同学展示本章的知识结构图. 图形的相似 成比例的线段 定义 相似多边形 性质 比例的性质 相似三角形 平行线分线段成比例 黄金分割 位似图形 定义 作图方法 顶点坐标的变化规律 定义 判断方法 判定 性质 应用 基本事实 推论 判定 相似多边形 两条线段的比 成比例的线段 判断四条线段是否成比例的方法： 一排(排顺序)； 二算(算比值或乘积)； 三判(判断是否是成比例线段). 相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形. 相似多边形对应边的比叫作相似比. 相似多边形 相似多边形 全等多边形也是相似多边形，相似比为1. 判定相似多边形的条件： (1)边数相同；(2)角分别相等；(3)边成比例. 以上三个条件必须同时具备，缺一不可. 比例的性质 相似多边形 合比性质 等比性质 相似多边形 等比性质的使用条件是分母相加之和不为零，缺少这一条件不能直接使用，需要进行分类讨论. 探索三角形相似的条件 定义法 三角分别相等、三边成比例. 定理1 两角分别相等的两个三角形相似. 定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3 三边成比例的两个三角形相似. 当三角形内有平行于三角形一边的线段时，一定会有两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 探索三角形相似的条件 黄金分割 相似三角形判定定理的证明 定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例 在利用平行线分线段成比例解决问题时，必须是对应线段，线段位置要一一对应，不能颠倒位置. 相似三角形的性质 定理 相似三角形的对应角相等.相似三角形的对应边成比例. 定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 定理 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 相似三角形的性质 相似n边形的周长比等于相似比.相似n边形的面积比等于相似比的平方. 图形的位似 位似多边形 位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质. 图形的位似 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为| k |. 平面直角坐标系中的位似变化 k＞0时，位似的两个多边形位于位似中心的同侧； k＜0时，位似的两个多边形位于位似中心的两侧. 题型1 成比例的线段 题型2 比例的性质 题型3 相似多边形的性质 题型4 相似三角形的判定 题型5 黄金分割 题型6 平行线分线段成比例 题型7 相似三角形的性质 题型9 位似图形的性质 题型8 相似三角形的周长和面积 题型10 位似图形的作法 题型归纳·内容归纳 已知三条长度分别为3cm，6cm，9cm的线段，现添加一条线段a，使得这四条线段成比例，则线段a的长度为__________________. 18cm或2cm或4.5cm 题型1 成比例的线段 题型1 成比例的线段 已知三条线段，求第四条线段使四条线段成比例： 1. 没有规定线段顺序，必须分3种情况讨论； 2. 利用比例性质：外项之积=内项之积，列方程求解； 3. 求出的线段长度一定是正数，舍去负数解. D 题型2 比例的性质 根据相似多边形的性质，对应角相等，对应边成比例即可求解. 题型3 相似多边形的性质 A F B C E D A′ F′ B′ C′ E′ D′ 16 题型4 相似三角形的判定 A B C D E C 题型4 相似三角形的判定 A B C D E 判定两个三角形相似的思路： (1)已知一条边平行于另一三角形的一边，找相等的两个角； (2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边对应成比例； (3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边对应成比例； (4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例； (5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例(利用勾股定理可以转化成三边成比例). 题型4 相似三角形的判定 C 题型5 黄金分割 A C B 题型6 平行线分线段成比例 6 c b a A B D C F E 平行线分线段成比例应用技巧： 当l1∥l2∥l3，则有： 题型6 平行线分线段成比例 l2 m n F E D C B A l1 l3 题型7 相似三角形的性质 A B C D E 题型8 相似三角形的周长和面积 C 题型9 位似图形的性质 A B C D E F O B 题型10 位似图形的作法 y x O 2 8 4 6 10 2 8 6 4 A B C 3 A C B P D E ∟ F A B F C E H D 三国时期魏国数学家刘徽自撰的《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，专论测高望远.某兴趣小组想利用镜子(镜子的大小和厚度忽略不计)与皮尺测量松树AB的高度，因 大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距 离.于是借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图 所示的测量方案：测量者第一次把镜子水平放置在 C点，站在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子水平放置在D点，站在H点正好在镜子中看到树尖A，已知点B，C，F，D，H在水平地面的同一条直线上，所有点在同一平面内，AB⊥BH，EF⊥BH， A B C F D H G E GH⊥BH，测量者的眼睛距离地面1.7m，测量得CD=9m，CF=1.7m，DH=3.4m，请你求出松树AB的高. A B C F D H G E $