3.3一元二次方程根的判别式（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

分层作业 3.3一元二次方程根的判别式 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断不含参数的一元二次方程的根的情况 题型02 判断含参数的一元二次方程的根的情况 题型03 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围 题型04 证明一元二次方程的根的情况 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 判断不含参数的一元二次方程的根的情况题型01 1.（25-26九年级上·四川成都·期中）一元二次方程根的情况是（    ）． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．通过计算判别式的值，判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，   ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2.（2025·广东珠海·一模）一元二次方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．先将原方程化为一般式，再根据根的判别式求解即可． 【详解】解：原方程化为， 则， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 3.（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．把，，代入进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4.（25-26八年级下·山东青岛·期末）一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 5.（24-25八年级下·山东青岛·期中）下列方程无实数根的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分别求出各选项对应的一元二次方程判别式，根据结果判断即可．解题的关键是掌握一元二次方程有实数根需满足． 【详解】解：A．∵， ∴，，， ∵， ∴方程无实数根，故此选项符合题意； B．∵ ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； D．∵， 整理得：， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意． 故选：A． 6.（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 判断含参数的一元二次方程的根的情况题型02 1.（25-26九年级上·山西大同·期中）关于的一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式公式，结合方程中系数的取值，分析判别式的符号，进而判断方程实数根的情况． 【详解】， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 2.（25-26九年级上·山西朔州·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算判别式并分析其符号，判断根的情况． 【详解】解：判别式， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3.关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 4.（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 5.（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围题型03 1.（25-26八年级下·广东广州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 2.（25-26八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根. 对本题而言， ，解得． 3.（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 4.（25-26九年级上·天津南开·期中）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式， 一次函数的性质，先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 5.（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知方程 (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）根据方程根的判别式大于或等于0列出不等式，解不等式即可； （2）将代入方程可得一个关于的一元二次方程，解方程，结合（1）的取值范围即可得． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴方程根的判别式， 解得． （2）解：∵方程的一个根为， ∴，即， 解得或，均符合题意， 即的值为0或． 6.（25-26八年级下·山东烟台·期末）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 7.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． 8.（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围． (2)若且k为整数，求方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． （2）解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 证明一元二次方程的根的情况题型04 1.（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】 证明：∵， ， 即，                             ∴无论取何值，方程总有实数根． 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是做题的关键． 根据一元二次方程根的判别式符号与方程根的情况的关系，即可证明． 【详解】略 2.（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 【答案】 证明：∵， 又∵恒成立， ∴， ∴不论m取何值，方程都有实数根． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并证明其始终非负是解题的关键． 首先通过计算判别式，再证明其始终非负从而得出方程总有实数根． 【详解】略 3.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 【答案】(1) 证明： ， 不论取何值，方程总有两个实数根； (2)，此时方程的根为 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程； （1）由根的判别式，可证出：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）由关于的方程有两个相等的实数根，可得出根的判别式，解之可得出的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 将代入原方程得：， 即 解得：， 的值为，此时方程的根为． 4.（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根； (2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵无论m取何值时，， ∴无论m取何值时，， 即无论m取何值时，方程总有实数根； (2) 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解方程，根据一元二次方程根的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，则，即可得出无论m取何值时，方程总有实数根； （2）先整理得，故，因为方程有一个根为负数，则，解得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程有一个根为负数， ∴， ∴， 解得． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) 证明： ∵无论k取何值， ∴ ∴无论k取何值，此方程总有实数根； (2)10 【分析】（1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两个相等的实数根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． 【详解】（1）略； （2）解： 由（1）得， ①当时，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴把代入， 得， 整理得 ∴ ∴ ∵， ∴不能构成三角形，舍去 ②当或时，即方程有一个根， ∴ 解得：， 方程化为， 解得， 即三边为4，4，2，能构成三角形， 则周长， ∴这个等腰三角形的周长是10． 1.（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）对于实数m、n定义运算“☆”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算法则列出方程，再由根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2.已知k为实数，关于x的方程为． (1)判断方程有无实数根． (2)当方程的根和k都是有理数时，请直接写出其中k的两个值和相应方程的根． 【答案】(1) 解： 整理为，其中，，；； ∵， ∴，故方程总有两个不相等的实数根． (2)时，，;时，，（答案不唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式应用及有理数根的求解，解题的关键是将方程化为一般形式，正确计算判别式判断根的情况，再结合判别式为完全平方数的条件确定有理数及对应根． （1）将方程化为一般形式，计算判别式并配方，根据判别式恒正判断方程总有两个不相等实数根； （2）令判别式为完全平方数，选取有理数代入方程，求解得相应有理数根． 【详解】（1）略 （2）解：由为完全平方数，取有理数计算： ①当时，方程为，因式分解得， 解得，； ②当时，方程为，求根得，． （答案不唯一，合理即可） 3.（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 4.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 【详解】略 5.（25-26九年级上·江西上饶·期末）我们规定：对于任意实数有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)10 (2)且 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意求值即可； （2）根据一元二次方程的判别式得，解题即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， 此方程有两个实数根， ， 解得且． 6.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 1.已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，为直角三角形，并求出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，的面积为；当时，的面积为 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，计算判别式的值证明其恒大于0，即可证明结论； （2）根据方程，可解出，，对斜边的长度进行分类讨论，根据勾股定理求出的值，最终求出面积即可． 【详解】（1）解：在方程中， ，，， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解： ， ， ， ∴，， 即的两条边的长度为、， 若为直角三角形， ∵，故可能为斜边，也可能为斜边， ①当为斜边时，，即，且，即， 且， 化简得， 解得（舍去）或， 则，， 故直角边为和， 的面积为； ②当为斜边时，，即， 且， 解得， 则，， 故直角边为和， 的面积为； 综上，当时，的面积为；当时，的面积为． 2.（25-26八年级下·山东潍坊·期末）关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 3.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 1．（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 2．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3.（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.3一元二次方程根的判别式 目录 A组巩固过关 题型01判断不含参数的一元二次方程的根的情况 题型02判断含参数的一元二次方程的根的情况 题型03由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围 题型04证明一元二次方程的根的情况 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 判断不含参数的一元二次方程的根的情况 1.(25-26九年级上四川成都期中)一元二次方程3x2+8x-3=0根的情况是(). A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.(2025广东珠海一模)一元二次方程3x2+10=2x2+8x根的情况是(） A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.有一个实 数根 3.(25-26九年级上内蒙古呼和浩特·期末)一元二次方程x2-3x+1=0根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 4.(25-26八年级下山东青岛期末)一元二次方程5x2-3V2x+1=0根的情况为() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C,有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根 5.(24-25八年级下山东青岛期中)下列方程无实数根的是() A.x2-3x+5=0 B.2x2+4x+1=0 C.V5x2+6x=0 D.(x-2)}=3 6.(25-26八年级下·河北张家口期末)解一元二次方程x2-4x=5时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 琪琪同学 x2-4x=5 a=1,b=-4,c=5 x(x-4)=5 ∴.b2-4ac=16-20=-4<0 x=1或x-4=5 原方程无实数根 x=1,x2=9 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法，琪琪同学的解法 (填 “正确”或“错误”)； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：4x(2x+1)=3(2x+1). 题型02 判断含参数的一元二次方程的根的情况 1.(25-26九年级上山西大同期中)关于x的一元二次方程2x2-bx-3=0的实数根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数与实数b的取值有关 2.(25-26九年级上山西朔州期中)关于x的一元二次方程2r+(2m-3)x-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 3关于x的方程x+(m+3)x+m+2=0,则方程根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个实数根 D.无法确定 4.(2526八年级下山东期末)己知一次函数y=x+b(k≠0)的图象不过第三象限，则方程 bx2-2x+k=0的根的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 5.(25-26八年级下-江苏南京期末)己知关于x的一元二次方程am+bx+c=0(a≠0)，下列说法中正确的 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个数有() ①若b=0,则方程总有实数根；②若b2=4ac,则方程有两个相等的实数根； ③若a=b=c,则方程无实数根；④若b=a+c,则方程总有实数根. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型03 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围 1.(25-26八年级下广东广州期末)关于x的一元二次方程x+6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的 取值范围是() A.m≥9 B.m<9 C.m=9 D.m<6 2.(25-26八年级下山东泰安期末)关于x的一元二次方程x+4x-k=0有两个相等的实数根，则k的值是 () A.2 B.4 C.-4 D.-16 3.(25-26八年级下山东东营期末)已知关于x的方程a2+4x-2=0有两个实数根，则a的取值范围是 () A.a≥-2 B.a>-2 C.a≥-2且a≠0 D.a≤2且a≠0 4.(25-26九年级上天津南开期中)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0无实数根，则一次函数 y=x+m的图象一定不经过(） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(25-26八年级下河北张家口期末)已知方程x2+5x-k=0 (1)若方程有实数根，求k的取值范围； (2)若方程的一个根为k,求的值 6.(25-26八年级下山东烟台期末)新运算：a*b=a2-2a-3b,例如：3*5=32-2×3-3×5=-12.若 关于x的方程x*m=5有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求m的取值范围： (2)当m=7时，用配方法解此方程， 7.(2526八年级下江苏苏州期末)已知关于x的一元二次方程-2(k-1)x+k2=0 (1)若x=-2是方程的一个根，求k的值； (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围. 8.(25-26九年级上江西南昌期中)已知x,x2是关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k-2=0的两个不 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)若k<0且k为整数，求方程的根. 颗型04 证明一元二次方程的根的情况 1.(25-26九年级上甘肃兰州期末)已知关于x的一元二次方程r-(m+3列x+3m=0,求证：无论m取何 值，方程总有实数根 2.(24-25九年级上湖南邵阳期中)已知关于x的一元二次方程r+(m-3)x-m+2=0,求证：不论m取 何值，该方程都有实数根 3.(25-26九年级上江苏扬州期中)关于x的方程3x2+(m+3)x+m=0」 (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根： (2)若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根. 4.(25-26九年级上江苏无锡期中)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2m-4=0, (1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根： (2)若方程有一个根为负数，求的取值范围. 5.(24-25八年级下-浙江温州期中)己知关于x的方程x2-(2k+)x+4k-2=0 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根。 (2)若等腰△ABC的一边长4为4，另两边b,C的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长. B组 能力进阶 1.(25-26九年级上陕西咸阳期中)对于实数m、n定义运算“☆”为m☆n=m2-4+mn,例如： 1☆2=12-4+1×2=-1，则关于x的方程x☆3=0的根的情况，下列说法正确的是（) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.已知k为实数，关于x的方程为x+(k+2)x+2k=1 (1)判断方程有无实数根。 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当方程的根和k都是有理数时，请直接写出其中k的两个值和相应方程的根。 3.(25-26八年级下北京期末)己知关于x的方程mx2-(2m+2)x+m+2=0 (1)求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根 (2)若关于x的方程mx2-(2m+2)x+m+2=0根均为正整数，求整数m的值. 4.(25-26八年级下福建福州期末)已知关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0(m≠0)有两个相等的实 数根.求证：m-n+4是非负数。 5.(2526九年级上江西上饶期末)我们规定：对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[cd]=ac-bd,其中等式 右边是通常的乘法和减法运算，如：[，3]*[2,4=1×2-3×4=-10 1)求[4，-3]*[-2,6]的值： (2)已知关于x的方程[2x,x-*[mx+,小=0有两个实数根，求m的取值范围. 6.(25-26八年级下安徽安庆期末)已知关于x的一元二次方程x2-2a+2a-1=0,其中a为实数. (1)求证：一元二次方程x2-2ac+2a-1=0有实数根： (2)设一元二次方程x2-2a+2a-1=0的一个实数根为￥.若-2<x<1,求a的取值范围. C组 思维拔高 1已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程 x2-(2k+3)x+K2+3k+2=0的两个实数根. (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)当k为何值时，△ABC为直角三角形，并求出△ABC的面积 2.(25-26八年级下山东潍坊期末)关于x的代数式a心2+bx+C(a≠0)，若存在实数n,使得 am2+bn+c=n2,则称n为这个代数式的等根值. (1)代数式3x2-2x的等根值为- (2)已知关于x的代数式2x2+c-k-3 ①求证：无论k取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知x=-1是此代数式的一个等根值，求k的值和这个代数式的另一个等根值 3.(25-26八年级下湖南长沙期末)定义：方程a2+brx+c=0(ac≠0)与方程cx2+bx+a=0互为“换位 5/6 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程”.如一元二次方程2x2-3x-1=0的“换位方程”是-x2-3x+2=0.已知关于x的一元二次方程①： x2+(2m+)x+m-2=0,其中m≠2. (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x,求这个公共根及m的值. 拓展 链接中考 1.(2026山东济南中考真题)若关于x的方程x2-4x-m=0有实数根，则实数m的取值范围是（) A.m≤4 B.m<4 C.m≥-4 D.m>-4 2.(2026浙江中考真题)关于x的一元二次方程x2+bx-1=0的实数根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 3.(2024山东潍坊中考真题)已知关于x的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0,其中m,n满足 m-2n=3,关于该方程根的情况，下列判断正确的是() A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 616函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.3一元二次方程根的判别式 参考答案 ● A组 巩固过关 颗型01 判断不含参数的一元二次方程的根的情况 1.A 2.C3.A4A5.A 6.【详解】(1)解：乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴.嘉嘉由x(x-4)=5得到x=1或x-4=5是错误的： 因x2-4x=5化为一般式是x2-4x-5=0, .a=1,b=-4,c=-5, ∴琪琪同学的解法错误： (2)解：4x(2x+1)=3(2x+1) 移项得：4x(2x+1)-3(2x+)=0 提取公因式得：(4x-3)(2x+1)=0. .4x-3=0或2x+1=0, 3 1 ∴x= 4 2· 颗型02 判断含参数的一元二次方程的根的情况 1.B2.A3.C4.D5.C 颗型03 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围 1.B2.C3.C4.D 5.【详解】(1)解：：方程x2+5x-k=0有实数根， .方程根的判别式△=52-4×1×(-k)=25+4k≥0， 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解物6≥孕 (2)解：方程x2+5x-k=0的一个根为k, k2+5k-k=0,即k2+4k=0, 解得k=0或k=-4,均符合题意， 即k的值为0或4。 6.【详解】(1)解：根据新定义，方程x*m=5整理为：x2-2x-3m=5,即x2-2x-3m-5=0, :此方程有两个不相等的实数根， .△=(-2)2-4×1×(-3m-5)=12m+24>0,解得：m>-2, ,m的取值范围为m>-2」 (2)解：当m=7时，方程x*7=5整理为：x2-2x-3×7=5,即x2-2x=26, .x2-2x+1=26+1, (x-12=27, x-1=t27, x=33+1,x2=-35+1 7.【详解】(1)解：一元二次方程x2-2(k-1)x+2=0, ∴判别式△=[-2k-1-4x1xk2 =4k2-2k+1)-42 =-8k+4, :x=-2是方程2-2(k-)x+2=0的一个根， .(-2)2-2(k-1)×(-2)+k2=0,即k2+4k=0, ∴k=0或k=-4: 当k=0时，△=4>0，方程有解，符合题意； 当k=-4时，△=36>0，方程有解，符合题意： (2)解：方程有两个实数根， .△≥0， .-8k+4≥0， 1 解得k≤2： 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.【详解】(1)解：：关于x的一元二次方程x2-2x+2-k-2=0有两个不相等的实数根， ·△=(-2k)}2-4×1×k2-k-2)=4k+8>0, 解得，k>-2」 (2)解：：k<0且k为整数，且k>-2, .-2<k<0, ∴整数k的值为-1， 当k=-1时，原方程可化为：x2+2x=0, (x+2)=0」 解得，七=0，x2=-2 颗型04 证明一元二次方程的根的情况 1.证明：△=[-(m+3)订-4x1x3m, △=m2+6m+9-12m=m2-6m+9=(m-3}2≥0， 即4≥0， .无论m取何值，方程总有实数根。 2.证明：：△=(m-3}2-4×1x(m+2)=m2-6m+9+4m-8=m2-2m+1=(m-1)2, 又：(m-1)≥0恒成立， .4≥0. ∴.不论取何值，方程都有实数根。 3.(1) 证明：△=(m+3)2-4×3×m =m2+6m+9-12m =m2-6m+9 =(m-3)2≥0. ∴.不论m取何值，方程总有两个实数根： (2)解：关于x的方程3x+(m+3)x+m=0有两个相等的实数根， 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△=(m-3)2=0. 解得：m=m2=3 将m=3代入原方程得：3x2+6x+3=0, 即3(x+1)2=0 解得：=x2=-1, 六m的值为3，此时方程的根为=为= 4.【详解】(1)证明：，x2+mx-2m-4=0, .△=m2-4×1×(-2m-4)=m2+8m+16=(m+4)}2, 无论m取何值时，(m+4)}≥0， ∴.无论m取何值时，△≥0， 即无论取何值时，方程总有实数根： (2)解：x2+mx-2m-4=0, .x2+mx-2(m+2)=(x-2)(x+m+2)=0, 解得x=2,x32=-m-2, 方程有一个根为负数， .-m-2<0, .-m<2, 解得m>-2」 5.【详解】(1)证明：△=[-(2k+)-4×1x(4k-2) =4k2+4k+1-16k+8 =4k2-12k+9 =(2k-3)月 ,无论k取何值，(2k-3)'≥0 ∴.△=(2k-3)}2≥0 ,无论k取何值，此方程总有实数根： (2)解：由(1)得△=(2k-3}2, 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当b=C时，即方程有两个相等的实数根， .△=(2k-3=0 解得=， 3 把k =2代入x2-(2k+1)x+4k-2=0, r-2+小+4x22-0, 整理得x2-4x+4=0 ∴.(x-2}=0 .x=2 2+2=4, ∴.不能构成三角形，舍去 ②当b=a=4或c=a=4时，即方程x-(2k+l)x+4k-2=0有-个根x=4, :.16-(2k+1)×4+4k-2=0 解得：k=5 2 方程化为x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0, 解得x=2,龙2=4 即三边为4,4,2，能构成三角形， 则周长=4+4+2=10 .这个等腰三角形的周长是10. B组 能力进阶 1.A 2.【详解】(1)解：x2+(k+2)x+2k=1 整理为x2+(k+2)x+(2k-l)=0,其中a=1,b=k+2,c=2k-1: △=(k+2)2-4(2k-1)=K2+4k+4-8k+4=(k-2)2+4: (k-2)2≥0. 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “△≥4>0，故方程总有两个不相等的实数根 (2)解：由△=化-2+4为完全平方数，取有理数k计算： ①当k=2时，方程为x2+4x+3=0,因式分解得(x+1x+3)=0, 解得x=-1,3=-3: 5 ②当k=2时，方程为×+2x=0,求根得5=0，与= 2 2 (答案不唯一，合理即可) 3.【详解】(1)证明：当m=0时，原方程为-2x+2=0,解得x=1,原方程有实数根： 当m≠0时△=[-(2m+2]-4m(m+2)=4m2+8m+4-4m2-8m=4>0, ∴此方程有两个不相等的实数根， .无论m取任何实数时，方程恒有实数根： (2)解：当m=0时，由(1)知x=1为正整数，符合题意： 当m≠0时，解方程m2-(2m+2x+m+2=0,得=m+2 m 12 mx2=1 原方程的根均为正整数，m为整数， 、m=1或2，对应的x=3或=2均符合题意， 综上，整数m的值为0或1或2. 4.证明：~关于x的一元二次方程mxr2+2x+1=0(m≠0)有两个相等的实数根， .△=b2-4ac=(2n2-4×m×1=4n2-4m=0, .n2=m, ·m-n+4是非负数。 5.【详解】(1)解：[4，-3]*[-2，=4×(-2)-(-3)×6=10： 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：[2x,x-]*[mx+1, =2x(mr+1)）-(x-l） =2mx2+x+1=0, :此方程有两个实数根， 2m≠0 ∴. △=1-8m≥0' 解得m≤g且m≠0· 6.【详解】(1))证明：：△=(-2a2-4x1×(2a-)=4a-8a+4=4(a2-2a+1=4(a-)2≥0， ∴一元二次方程x2-2+2a-1=0有实数根. (2)解：，x2-2a+2a-1=0, :.[x-(2a-](x-l)=0, .x=2a-1,x2=1, .-2<2a-1<-1, 1 解得2<a<0. C组 思维拔高 1.【详解】1)解：在方程x2-(2k+3列x+k2+3k+2=0中， a=1,b=-(2k+3),c=k2+3k+2, :.b2-4ac=(2k+3)}2-4(k2+3k+2=4k2+12k+9-4k2-12k-8=1>0, “无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)解：x2-(2k+3)x+2+3k+2=0 x2-(2k+3)x+(k+2)(k+I)=0, (x-k-2)(x-k-1)=0. .x=k+2,x2=k+1. 即△ABC的两条边的长度为k+1、k+2, 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若△ABC为直角三角形， ,k+2>k+1,故可能5为斜边，也可能k+2为斜边， ①当5为斜边时，5>k+2,即3>k,且k+1+k+2>5,即k>1, 且52=(k+2)2+(k+1)2, 化简得k2+3k-10=0, 解得k=-5(舍去)或k=2, 则k+1=3,k+2=4, 故直角边为3和4， △ABC的面积为2×3×4=6： ②当k+2为斜边时，5<k+2,即3<k, 且(k+2=52+(k+1)2, 解得k=1」 则k+1=12,k+2=13, 故直角边为12和5， △ABC的面积为2×12x5=30, 综上，当k=2时，△ABC的面积为6；当k=11时，△ABC的面积为30 2.【详解】(1)由题可得3x2-2x=x2, 整理得2x2-2x=0, 2x(x-1)=0 解得x=0,x32=1 (2)①令2x2+x-k-3=x2整理得：x2+-k-3=0 因为△=K2-4(-k-3) =k2+4k+12 =k2+4k+4+8 =(k+2)+8≥8 即A>0, 所以2x2+ax-k-3=x2有两个不相等的根， 即代数式2x2+kc-k-3总有两个不相等的等根值 8110 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②由题意得2×(-1)2-k-k-3=(-12 解得：k=-1 将k=-1代入2x2+-k-3=x2 得2x2-x+1-3=x2 即：x2-x-2=0 解得：=2，x2=-1 所以，该代数式的另一个等根值为2. 3.【详解】(1)解：在方程x+(2m+l)x+m-2=0中，a=1,c=m-2, ∴.方程①的“换位方程”为(m-2)x2+(2m+1)x+1=0 (2)解：当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有 △=(2m+12-4(m-2)=4m2+9>0, ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根。 (3)解：方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x, .x2+(2m+)x+m-2=0,(m-2)x2+(2m+1)x。+1=0, ∴.(m-3)x6+3-m=0. .(m-36-=0, 当m=3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， .x2-1=0 解得：x=1或，=1， 当x=-1时，代入方程①得，(-1)}2-(2m+1)+m-2=0, 解得：m=-2; 当=1时，代入方程①得，1+(2m+1)+m-2=0, 解得：m=0 拓展 链接中考 1.C2.A3.C 9110 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10/10