2.3一元二次方程根的判别式（5大题型提分练）数学湘教版九年级上册

2.3 一元二次方程根的判别式 题型一 判断不含字母的一元二次方程根的情况 1、一元二次方程根的判别式的值为 ． 2、一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3、一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 4、下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 题型二 判断含字母的一元二次方程根的情况 5、关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 6、关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 7、若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 8、已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 题型三 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 9、若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 11、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 12、已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 13、已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 题型四 应用根的判别式证明方程根的情况 14、关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于0，求的取值范围． 15、已知关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根． 题型五 与根的判别式有关的新定义问题 16、定义新运算：，例如，则方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 17、新定义运算：，例如，则方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 18、对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 19、若关于x的方程（m为实数）在范围内有唯一实数根，则m的范围是（    ） A． B． C．和 D． 20、若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 21、已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22、已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 一元二次方程根的判别式 题型一 判断不含字母的一元二次方程根的情况 1、一元二次方程根的判别式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了根的判别式的确定，代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：4． 2、一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此对方程进行判断即可． 【详解】解：由题意得 ，，， ， 原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式确定方程根的个数问题，掌握根的判别式的意义是解题的关键． 3、一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键． 首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴有两个不相等的实数根． 故选：A． 4、下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根． 【详解】解：A选项，则A选项有两个不等实数根，不符合题意； B选项，则B选项有两个不等实数根，不符合题意； C选项方程的一般式为：，则，则C选项有两个不等实数根，不符合题意； D选项方程，则D选项没有实数根，符合题意． 故选：D． 题型二 判断含字母的一元二次方程根的情况 5、关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 6、关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据根的判别式的判断方程根的数量即可． 【详解】解：， 故方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的数量，能够熟练应用根的判别式是解决本题的关键． 7、若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】先计算出m的范围，判断出方程为二次方程，再计算判别式的范围即可得出答案． 【详解】解：由已知16m+2＜0，解得,即方程为二次方程， 判别式， ∵， ∴， ∴关于x的方程没有实数根； 故选：A． 【点睛】本题考查一次不等式的解法，二次方程根的判断，熟悉公式准确计算是解题的关键． 8、已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【答案】(1)有两个实数根，见解析 (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为，解得． ∴这个矩形对角线的长是5． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 题型三 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 9、若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程没有实数根，得到根的判别式列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围． 【详解】解：根据方程没有实数根，得到， 解得：． ∴实数k的取值范围是：． 故选：A． 10、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 11、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 12、已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了本题主要考查了一元二次方程根的判别式与实数根的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据方程有实数根，可得，带入数值求解即可． 【详解】解：当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 即， 化简可得， 当时，一元二次方程变为一元一次方程， 解得， 即当时，方程有实数根， 综上可得，的取值范围是， 故选． 13、已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 题型四 应用根的判别式证明方程根的情况 14、关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可， （2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可． 【详解】（1）解：， ， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， ， 方程有一根小于0， ， ． 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键． 15、已知关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)或3，当时，方程的解为；当时，方程的解为； 【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可解答； （2）令判别式等于5求得或3，然后分和两种情况，分别代入方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：令，则，解得：或3 当时，原方程可化为： ∴ ∴； 当时，原方程可化为： ∴ ∴； 综上，当时，方程的解为；当时，方程的解为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． 题型五 与根的判别式有关的新定义问题 16、定义新运算：，例如，则方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解． 【详解】方程化为， 一元二次方程化为一般式为， ， 方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键． 17、新定义运算：，例如，则方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】根据新定义，列出方程，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 18、对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∴， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 19、若关于x的方程（m为实数）在范围内有唯一实数根，则m的范围是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得，再解方程得，，接着根据题意列出不等式，然后分别解两不等式，从而得到取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 解得，， 当时，，此时， ∴，符合题意； 当时， 方程在的范围内有唯一实数根， ∴或， 解前一不等式组无解，解后一不等式组得， 综上所述，m的范围是和． 故选：C． 20、若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，根据题意得得，将代数式乘以4变形为，再进行判断即可 【详解】解：由题意，得， 而， ． ∴代数式的值一定是正数． 故选：B 21、已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 22、已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$