15.1.2线段的垂直平分线同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册15.1.2线段的垂直平分线同步练习 一、选择题 1．如图，直线PC是线段AB的垂直平分线，点P在直线PC上，若PA＝5，则PB的长为（　　） A．6　　B．5　　C．4　　D．3 图1 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则（　　） A．AB垂直平分CD　　B．CD垂直平分AB　　C．AB与CD互相垂直平分　　D．CD平分∠ACB 图2 3．下列语句正确的是（　　） A．若点P到线段AB两个端点的距离相等，则过点P的任意一条直线都垂直平分线段AB　　B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离不一定相等　　C．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上　　D．若两个点到线段AB两端点的距离分别相等，则这两个点确定的直线一定经过线段AB的端点 4．如图，已知线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN，则直线MN是（　　） A．线段AB的垂直平分线　　B．一个半径为定值的圆　　C．一条直线的平行线　　D．一个角等于已知角 图3 5．如图，三角形三边垂直平分线的交点称为三角形的外心。下列说法正确的是（　　） A．锐角三角形的外心在三角形外部　　B．直角三角形的外心在斜边的中点处　　C．钝角三角形的外心在三角形内部　　D．三角形的外心一定在三角形内部 图4 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，边AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数为（　　） A．18°　　B．30°　　C．45°　　D．36° 图5 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　） A．1对　　B．2对　　C．3对　　D．4对 图6 8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE。若△AEC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（　　） A．7　　B．14　　C．17　　D．20 图7 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交BC于点E，连接AE。若∠CAE＝45°，则∠B的度数为（　　） A．22.5°　　B．30°　　C．45°　　D．60° 图8 10．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE。若∠BAC＋∠DAE＝150°，则∠BAC的度数为（　　） A．100°　　B．105°　　C．110°　　D．120° 图9 二、填空题 11．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________（填“相等”或“不相等”）。 12．已知点P在线段AB的垂直平分线上，且PA＝2a＋1，PB＝7，则a＝________。 13．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E。若AB＝8，AC＝5，则△ACD的周长为________。 图10 14．到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三条________的交点；锐角三角形的这个交点在三角形________（填“内”或“外”）。 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线MN是AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE。若∠CBE＝18°，则∠A＝________°。 图11 三、解答题（ 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD。 （1）若AC＝10，BC＝8，求△ACD的周长； （2）若△ACD的周长为18，AC＝10，求BC的长。 图12 17．如图，A、B、C是某镇三个村庄的村委会所在地，且不在同一直线上。为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在该镇新建一个医疗点P，使点P到A、B、C三个村庄的距离都相等。 请你用尺规作图的方法确定医疗点P的位置。 要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹。 图13 18．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别为C、D，连接CD，OE交CD于点F。 （1）求证：OC＝OD； （2）求证：OE是CD的垂直平分线。 图14 19． 如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接EC。若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，求线段DE的长。 图15 20． 如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC。求证：直线AO垂直平分线段BC。 图16 21． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O是△ABC三边垂直平分线的交点。请利用线段垂直平分线的性质说明：OA＝OB＝OC。 图17 22． 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。求∠CBE的度数。 图18 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，连接BE。 （1）求∠EBC的度数； （2）若△BCE的周长为18，BC＝8，求AC的长； （3）若∠BAC＝α（0°<α<90°），请用含α的代数式表示∠EBC的度数。 图19 参考答案 一、选择题 1．B　【难度：基础】【解析】点P在线段AB的垂直平分线上，根据性质“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，得PB＝PA＝5。故选B。 2．A　【难度：基础】【解析】由AC＝AD知，点A在线段CD的垂直平分线上；由BC＝BD知，点B在线段CD的垂直平分线上。两点确定一条直线，所以直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。故选A。 3．C　【难度：基础】【解析】A：过点P的直线只有过其中点时才是垂直平分线，任意一条直线不一定垂直平分AB，错误；B：垂直平分线上的点到两端点距离一定相等，错误；C：与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是判定定理，正确；D：这两个点确定的直线是CD的垂直平分线，不一定经过AB的端点，错误。故选C。 4．A　【难度：基础】【解析】分别以A、B为圆心、以大于AB的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，连接M、N作直线，直线MN与AB的交点必为AB的中点且MN⊥AB，所以直线MN是线段AB的垂直平分线。故选A。 5．B　【难度：基础】【解析】锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形外部。故选B。 6．D　【难度：基础】【解析】因为MN垂直平分AB，所以AD＝BD，∠ABD＝∠A＝36°。又AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝＝72°，故∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝72°−36°＝36°。故选D。 7．C　【难度：中档】【解析】①△ABD≌△ACD（SSS：AB＝AC，BD＝DC，AD公共）；②△AOE≌△COE（SAS：AE＝CE，∠AEO＝∠CEO＝90°，EO公共）；③△AOF≌△COF（SSS：O、F都在AC的垂直平分线上，AO＝CO、AF＝CF，OF公共）。共3对。故选C。 8．C　【难度：中档】【解析】因为DE垂直平分AB，所以AE＝BE。△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BE＋EC＝AB＋（AC＋AE＋EC）＝AB＋△AEC的周长＝7＋10＝17。故选C。 9．A　【难度：中档】【解析】因为DE垂直平分AB，所以AE＝BE，∠BAE＝∠B。在Rt△ABC中，∠BAC＝90°−∠B，所以∠CAE＝∠BAC−∠BAE＝90°−∠B−∠B＝90°−2∠B＝45°，解得∠B＝22.5°。故选A。 10．C　【难度：难题】【解析】因为D、E分别在AB、AC的垂直平分线上，所以AD＝BD、AE＝CE，∠BAD＝∠B、∠CAE＝∠C。则∠DAE＝∠BAC−∠B−∠C＝∠BAC−(180°−∠BAC)＝2∠BAC−180°。由∠BAC＋∠DAE＝150°，得∠BAC＋2∠BAC−180°＝150°，解得∠BAC＝110°。故选C。 二、填空题 11．相等。【难度：基础】【解析】线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 12．3。【难度：基础】【解析】点P在AB的垂直平分线上，所以PA＝PB，即2a＋1＝7，解得a＝3。 13．13。【难度：中档】【解析】因为DE垂直平分BC，所以DB＝DC。△ACD的周长＝AD＋DC＋AC＝AD＋DB＋AC＝AB＋AC＝8＋5＝13。 14．边垂直平分线，内。【难度：基础】【解析】到三角形三个顶点距离相等的点称为外心，是三边垂直平分线的交点；锐角三角形的外心在三角形内部。 15．48。【难度：中档】【解析】因为MN垂直平分AB，所以AE＝BE，∠ABE＝∠A。又AB＝AC，所以∠ABC＝∠C。设∠A＝x，则∠ABC＝x＋18°，由三角形内角和得x＋2(x＋18°)＝180°，解得x＝48°。 三、解答题 16．解：因为DE是AB的垂直平分线，所以AD＝BD。所以△ACD的周长＝AD＋DC＋AC＝BD＋DC＋AC＝BC＋AC。（1）当AC＝10，BC＝8时，△ACD的周长＝8＋10＝18。（2）由△ACD的周长＝18，AC＝10，得BC＝18−10＝8。 17．解：已知：A、B、C三个村庄的村委会所在地不在同一直线上。求作：一点P，使PA＝PB＝PC。作法：连接AB、BC，分别作线段AB、线段BC的垂直平分线，两线的交点即为点P（如图所示，保留作图痕迹）。理由：点P在AB的垂直平分线上，所以PA＝PB；点P在BC的垂直平分线上，所以PB＝PC。故PA＝PB＝PC，点P即医疗点的位置。 18．证明：（1）因为OE平分∠AOB，所以∠DOE＝∠COE。因为EC⊥OB、ED⊥OA，所以∠EDO＝∠ECO＝90°。在Rt△EDO和Rt△ECO中，∠DOE＝∠COE，∠EDO＝∠ECO＝90°，OE＝OE，所以Rt△EDO≌Rt△ECO（AAS），故OD＝OC。（2）由（1）得OD＝OC，所以点O在线段CD的垂直平分线上；又ED＝EC，所以点E在线段CD的垂直平分线上。两点确定一条直线，所以直线OE是线段CD的垂直平分线，即OE垂直平分CD。 19．解：设DE＝x，DC＝DB＝m，BE＝EC＝n。因为△EDC的周长为24，所以x＋m＋n＝24。①△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝(AE＋EB)＋AC＋2m；四边形AEDC的周长＝AE＋ED＋DC＋AC＝AE＋x＋m＋AC。两者之差为12，即(AE＋n＋AC＋2m)−(AE＋x＋m＋AC)＝n＋m−x＝12。②①−②得2x＝12，所以x＝6，即DE＝6。 20．证明：因为AB＝AC，所以点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。因为OB＝OC，所以点O在线段BC的垂直平分线上。两点确定一条直线，所以直线AO是线段BC的垂直平分线，即AO垂直平分BC。 21．解：因为点O在AB的垂直平分线上，所以OA＝OB。因为点O在AC的垂直平分线上，所以OA＝OC。所以OA＝OB＝OC，即O到△ABC三个顶点的距离相等。 22．解：因为DE垂直平分AB，所以AE＝BE，∠ABE＝∠A＝50°。因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝＝65°。所以∠CBE＝∠ABC−∠ABE＝65°−50°＝15°。 23．解：（1）因为DE垂直平分AB，所以AE＝BE，∠ABE＝∠BAC＝40°。因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝＝70°。故∠EBC＝∠ABC−∠ABE＝70°−40°＝30°。（2）因为BE＝AE，所以△BCE的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC。即18＝AC＋8，所以AC＝10。（3）∠ABC＝，∠ABE＝α，所以∠EBC＝−α＝。 1 学科网（北京）股份有限公司 $