3.3轴对称与坐标变化（分层作业，13大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 3.3 轴对称与坐标变化 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 坐标系上点关于坐标轴的对称 题型02 判断两点的对称关系 B组 能力进阶 题型01 坐标系上点关于其他直线对称的变化 题型02 在坐标系中确定两点的对称轴 题型03 根据对称性求坐标中的参数 题型04 作对称图形 题型05 根据对称坐标求代数式 C组 思维拔高 题型01 坐标系上的对称变化 题型02 坐标系中的动点问题 题型03 坐标系上的最短路径问题 题型04 坐标与图形 题型05 结合图形面积确定点的坐标 题型06 与轴对称的特征有关的综合型问题 坐标系上点关于坐标轴的对称题型01 1．（25-26八年级·期末）在平面直角坐标系中，下列各点关于轴对称的点在第一象限的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级·期中）点关于y轴的对称点的坐标是________． 3．（25-26八年级下·北京·期中）已知点的坐标为，设点关于轴对称的点为点，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 4．已知点，根据下列条件求出各点的坐标． (1)若点在第二象限，且点到轴的距离为，则点的坐标； (2)若点到两坐标轴的距离相等，则关于轴的对称点的坐标． 判断两点的对称关系题型02 1．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将点向轴负方向平移两个单位长度 D．将点向轴负方向平移一个单位长度 2．（25-26八年级·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 坐标系上点关于其他直线对称的变化题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．点关于直线对称的点的坐标为________． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，关于直线l对称，点B的坐标为，则点C的坐标为_____． 4．已知平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，. (1)作出关于轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标__________，__________，__________； (3)直接写出点关于直线（直线上各点的纵坐标都是-2）对称的点的坐标__________． 5．（25-26八年级上·湖北应城·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，直线m 上各点的横坐标都为1，请按要求分别完成下列各小题． (1)画出关于直线m对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标； (2)若点为的内部一点，请直接写出点P关于直线m对称的点的坐标． 在坐标系中确定两点的对称轴题型02 1．（25-26八年级·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 2．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)若关于直线对称的的顶点的坐标为；请直接画出直线并写出点的坐标． 根据对称性求坐标中的参数题型03 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）若点和点关于轴对称，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·二模）若点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级·期中）已知点和点关于轴对称，则__________． 4．（25-26八年级上·海南·期中）如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴对称的． (2)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． (3)若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 5．（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． (1)画出与关于轴对称的； (2)画出与关于直线对称的图形； (3)线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； (4)点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 作对称图形题型04 1．（25-26八年级上·天津·期中）如图，点坐标为． (1)在平面直角坐标系中作出关于轴对称的； (2)直接写出点的坐标，______，______，______； 2．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)写出，，三点的坐标：______，______，______； (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为______，点关于轴对称的点的坐标为______； 3．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)若与关于轴对称，则点的对应点的坐标为______，点的对应点的坐标为______ (2)请在平面直角坐标系中画出关于直线对称的．（点、、的对应点分别是点、、） 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． (1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． (1)根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； (2)在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 根据对称坐标求代数式题型05 1．（24-25九年级上·吉林长春·月考）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶纸是一部轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 3．（25-26八年级下·湖南张家界·期中）点，关于轴对称，则___． 4．已知点和点关于轴对称，则______． 5．（25-26八年级上·黑龙江·期末）点与点关于y轴对称，则的值为_____． 坐标系上的对称变化题型01 1．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴成轴对称的图形是，关于轴成轴对称的图形是，则点的坐标为________． 3．（24-25八年级上·内蒙古·期中）将点向_______平移______个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 4．（25-26八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； (2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，C，B，D的坐标分别是．如何通过平移其中一盏灯，使得y轴两边的灯笼对称？把所有能够实现要求的平移方法都说出来． 坐标系中的动点问题题型02 1．新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 2．（25-26八年级·期末）如图1，点A，B的坐标分别是，，点为x轴正半轴上一点． (1)求证：； (2)如图1，若，过点O作于点D，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点P为线段的延长线上的一动点，当点P在的延长线上向下运动时，作于点M，于点N，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 坐标系上的最短路径问题题型03 1．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当在上移动时，则四边形周长最小值为_____． 3．如图，在直角坐标系中，，，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形的周长的最小值是________． 4．如图，，，都在边长为1个单位的正方形网格的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)画出点关于直线的对称点，连，．直接写出为 ； (3)点，分别为边，上的动点，请找出点，的位置，使得最小，直接写出的最小值为 ． 5．阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ∴ 这就是两点间的距离公式，例如， ∴ (1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空： 作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． (2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值． ②的最大值． 坐标与图形题型04 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______． 2．（1）在平面直角坐标系内，已知点关于轴对称，求的值． （2）在平面直角坐标系内，已知点在轴上，求点的坐标． 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点A的坐标为点B的坐标为． (1)画出关于y轴对称的图形． (2)画出关于x轴对称的图形． (3)在（1）（2）的基础上，直接写出线段的长． 4．如图4所示，四边形在平面直角坐标系中，且点，，，点M是点关于轴的对称点，求四边形的面积． 5．（25-26八年级·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形中，点，D为的中点，P为边上一点．若为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标． 结合图形面积确定点的坐标题型05 1．在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，点关于轴对称． (1)已知，求出点的坐标； (2)已知，的面积为，求点的坐标． 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示． (1)在图中作出关于轴对称的图形（请先用铅笔绘图，确认无误后，再用黑色水性笔描绘一遍）；并直接写出点的坐标_____； (2)直接写出的面积：_____； (3)已知点在轴上，且的面积等于4，求点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对称； (1)点B的坐标为________； (2)点C的坐标为，顺次连接，若在四边形内部有一个点P，满足，且，求点P的坐标； (3)在四边形外部是否存在点Q，满足，且，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由． 4．（25-26八年级上·湖北·月考）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，，分别在轴和轴上找点，，使得的值最小，请在图2中画出点和点的位置，并直接写出点，的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点在线段上，且，交于点，求点的坐标．      与轴对称的特征有关的综合型问题题型06 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 2．我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____． 3．（24-25八年级上·河南·期中）在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则______． 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，，的顶点都在格点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，且使点的纵坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)在图中作出关于轴的轴对称图形（点，，的对称点分别是，，），并直接写出，，的坐标； (3)若在该坐标系内，存在一点，使得与全等，直接写出两个符合条件的点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点． (1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________； ②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 轴对称与坐标变化 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 坐标系上点关于坐标轴的对称 题型02 判断两点的对称关系 B组 能力进阶 题型01 坐标系上点关于其他直线对称的变化 题型02 在坐标系中确定两点的对称轴 题型03 根据对称性求坐标中的参数 题型04 作对称图形 题型05 根据对称坐标求代数式 C组 思维拔高 题型01 坐标系上的对称变化 题型02 坐标系中的动点问题 题型03 坐标系上的最短路径问题 题型04 坐标与图形 题型05 结合图形面积确定点的坐标 题型06 与轴对称的特征有关的综合型问题 坐标系上点关于坐标轴的对称题型01 1．（25-26八年级·期末）在平面直角坐标系中，下列各点关于轴对称的点在第一象限的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点以及各象限点的坐标符号特征．关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；第一象限的点横坐标和纵坐标均大于0．据此解答即可． 【详解】解：A、关于y轴对称的点的坐标为，其横坐标，纵坐标，在第二象限，不符合题意； B、关于y轴对称的点的坐标为，其横坐标，纵坐标，在第三象限，不符合题意； C、 关于y轴对称的点的坐标为，其横坐标，纵坐标，在第一象限，符合题意； D、 关于y轴对称的点的坐标为，其横坐标，纵坐标，在第四象限，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级·期中）点关于y轴的对称点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中的轴对称性．根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变即可解答． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·北京·期中）已知点的坐标为，设点关于轴对称的点为点，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标平面内关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，即可分别求出点B和点C的坐标． 【详解】解：根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数， 且点坐标为，点关于轴对称的点为点， 因此点的坐标为， 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 点关于轴对称的点为点， 因此点的坐标为． 4．已知点，根据下列条件求出各点的坐标． (1)若点在第二象限，且点到轴的距离为，则点的坐标； (2)若点到两坐标轴的距离相等，则关于轴的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，轴对称的性质； （1）根据题意可得，得，即可求解； （2）根据点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标绝对值相等求得点的坐标，进而根据轴的对称点的特征求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在第二象限，且点到轴的距离为， ∴， 解得： ∴， ∴ （2）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴ 解得：或 ∴或 ∴关于轴的对称点的坐标为或． 判断两点的对称关系题型02 1．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将点向轴负方向平移两个单位长度 D．将点向轴负方向平移一个单位长度 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标乘，纵坐标不变， ∴点的坐标为， ∵与的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴两点关于轴对称． 2．（25-26八年级·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质与平移规律，熟练掌握关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征及点的平移规律是解题的关键。根据平面直角坐标系中关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征，以及点的平移规律，逐一判断每个选项的正确性，从而选出正确答案。 【详解】∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 又∵点，的横坐标相同，纵坐标与互为相反数． ∴与关于轴对称，选项正确． ∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵将点向右平移个单位长度，横坐标为，得到的点为，不是点． ∴选项错误． 故选：A． 坐标系上点关于其他直线对称的变化题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征．熟练掌握平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于直线对称的点的坐标特征来求解点的坐标即可． 【详解】关于直线对称，且直线上各点的横坐标都为1， 关于直线对称． 点的坐标为，设点坐标为， ， 解得，故点坐标为． 故选A． 2．点关于直线对称的点的坐标为________． 【答案】 【分析】考查了平面直角坐标系中各种点对称的基本性质，解题的关键是对这些基本性质要有清晰的认识。根据题意，设出相关点的坐标，依据相关性质入手即可 【详解】解：当所求的点与点关于对称时，其对称点的坐标为 ∵， ∴对称点的坐标为， 故答案是：． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，关于直线l对称，点B的坐标为，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，中点坐标公式，掌握对称的性质是关键；由题意得B、C关于直线l对称，则得的中点的坐标为，由中点公式即可求解． 【详解】解：由题意得B、C关于直线l对称， ∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，， ∴线段的中点的坐标为， 则点C的横坐标为，点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 4．已知平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，. (1)作出关于轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标__________，__________，__________； (3)直接写出点关于直线（直线上各点的纵坐标都是-2）对称的点的坐标__________． 【答案】(1) 如图，即为关于轴对称的三角形； (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标，根据点的位置写出坐标等知识． （1）根据关于轴对称的点的特点分别确定点，，，即可作出； （2）根据第（1）步即可写出，，三点的坐标； （3）先作出直线n，再作出点关于直线（直线上各点的纵坐标都是-2）对称的点，即可写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：，，的坐标分别是． 故答案为： （3）解：如图，点关于直线（直线上各点的纵坐标都是-2）对称的点的坐标是． 故答案为： 5．（25-26八年级上·湖北应城·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，直线m 上各点的横坐标都为1，请按要求分别完成下列各小题． (1)画出关于直线m对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标； (2)若点为的内部一点，请直接写出点P关于直线m对称的点的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示， 为所求： ； (2) 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出，再依次连接，即可作答． （2）设点P关于直线m对称的点的坐标为，运用轴对称的性质，进行列式，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设点P关于直线m对称的点的坐标为， ∵点为的内部一点，且直线m 上各点的横坐标都为1， ∴ ∴， ∴点的坐标为． 在坐标系中确定两点的对称轴题型02 1．（25-26八年级·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称坐标特征，通过分析两点横纵坐标的关系，即可确定对称轴． 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线，即轴． 2．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)若关于直线对称的的顶点的坐标为；请直接画出直线并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示，即为所求，； (2) 直线如图所示，． 【分析】本题考查了作图轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据点的坐标结合轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 根据对称性求坐标中的参数题型03 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）若点和点关于轴对称，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：． 2．（2026·广东广州·二模）若点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标规律得到对称点坐标，再结合第四象限点的坐标特征列不等式求解m的取值范围． 【详解】解：∵关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点坐标为， ∵第四象限内点的纵坐标小于，该对称点在第四象限， ∴， ∴． 3．（25-26八年级·期中）已知点和点关于轴对称，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数解答即可得． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·海南·期中）如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴对称的． (2)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． (3)若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 【答案】(1) 如图：即为所求； (2)，，； (3)或 【分析】本题主要考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出即可； （2）根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可； （3）先根据对称的性质求出点P的横坐标，进而确定点P的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； （3）解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 即 ∴或， ∴点P的坐标或． 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． (1)画出与关于轴对称的； (2)画出与关于直线对称的图形； (3)线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； (4)点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 【答案】(1) 如图，即为所求作； (2) 如图，即为所求作； (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、关于坐标轴对称或关于直线对称的点的坐标特征，在平面直角坐标系中画图以及关于对称找点的坐标特征是解题的关键． （1）首先根据点关于y轴对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （2）首先根据点关于直线对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （3）首先利用轴得到横坐标相等，再根据线段的长度为4，得到存在两个满足条件的点D，再进行求解即可； （4）利用点关于直线对称的坐标特征，直接列出方程组求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点， ∵线段轴，且线段的长度为4， ∴，， ∴点或； （4）解：∵点关于直线的对称点为， ∴，解得：， ∴点的坐标是． 作对称图形题型04 1．（25-26八年级上·天津·期中）如图，点坐标为． (1)在平面直角坐标系中作出关于轴对称的； (2)直接写出点的坐标，______，______，______； 【答案】(1) 解：如图所示： 即为所求； (2) 【分析】本题考查坐标系中的轴对称： （1）（2）一个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可画图并得到点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：， 故答案为：； 2．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)写出，，三点的坐标：______，______，______； (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为______，点关于轴对称的点的坐标为______； 【答案】(1)如图，即为所求； (2)，， (3)， 【分析】（1）根据轴对称图形的特征画出对应的点，连接成三角形即可； （2）结合坐标系直接写出点的坐标即可； （3）由关于坐标轴对称的点的坐标的特征写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，，，； （3）解：点关于轴对称的点的坐标为；点关于轴对称的点的坐标为． 3．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)若与关于轴对称，则点的对应点的坐标为______，点的对应点的坐标为______ (2)请在平面直角坐标系中画出关于直线对称的．（点、、的对应点分别是点、、） 【答案】(1)； (2) 解：如图所示，即为所求： 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，熟练掌握对称作图是解题的关键． （1）根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，确定坐标即可； （2）先作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵与关于x轴对称，，， ∴， 故答案为：；； （2）略 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． (1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 【答案】(1) 轴及原点O，如图， (2) 如图，为所求作； ，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，作轴对称图形； （1）由点A的坐标为，确定原点，即可确定轴，写出的坐标，即可求解； （2）作出，写出坐标，即可求解； 能根据已知点的坐标建立直角坐标系，会作轴对称图形是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． (1)根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； (2)在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 【答案】(1) 如图，建立平面直角坐标系，即为所求作的三角形； (2) 如图，即为所求作的三角形，点的坐标为． 【分析】本题主要考查了坐标和图形，作轴对称图形，解题的关键是作出对应点的位置． （1）根据点A、B的坐标，建立平面直角坐标系，然后画出即可； （2）先作点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 根据对称坐标求代数式题型05 1．（24-25九年级上·吉林长春·月考）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶纸是一部轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题考查坐标与图形变化-对称，首先根据点与点关于轴对称，可知两点的纵坐标相等、横坐标互为相反数，所以可得：，整理得：． 【详解】解：点的坐标为 ，点的坐标为， 点与点关于轴对称， 与相等， ， 去括号得：， 移项得：； 故选：B． 2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点的性质，得，求出n值代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称， ∴， 解得，， ∴． 3．（25-26八年级下·湖南张家界·期中）点，关于轴对称，则___． 【答案】 【分析】利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：点，关于轴对称， ，， ． 4．已知点和点关于轴对称，则______． 【答案】2 【分析】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，，再代入即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：. 5．（25-26八年级上·黑龙江·期末）点与点关于y轴对称，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查关于y轴对称的性质和求代数式的值，根据关于 y 轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵点与点 关于 y 轴对称， ∴且． 解方程 得； 解方程 得 ． ∴， 故答案为：4． 坐标系上的对称变化题型01 1．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一种新型的运算法则，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是理解两种运算改变了哪个坐标的符号．根据变换定义，先计算内层函数，再计算外层函数g的结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴成轴对称的图形是，关于轴成轴对称的图形是，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，先利用两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，再利用两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 简记：关于谁对称谁不变． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是，点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·内蒙古·期中）将点向_______平移______个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 【答案】 上 5 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点特征、点平移的特征，根据关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得出点关于轴对称的点，再根据点平移的特征：把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减，即可得出结果． 【详解】解：根据关于坐标轴对称的点特征，可知：点关于轴对称的点为， 又∵点， ∵， ∴将点A向上平移个单位长度后得到的点． 故答案为：上；． 4．（25-26八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； (2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 【答案】(1) 为所求作的三角形，如图所示： ； (2) 如图，为所求作的三角形； ； (3) 【分析】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征． （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可； （2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵与关于y轴对称， ∴点在线段上的对应点的坐标为． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，C，B，D的坐标分别是．如何通过平移其中一盏灯，使得y轴两边的灯笼对称？把所有能够实现要求的平移方法都说出来． 【答案】 根据题意可得灯和灯关于y轴对称， 故灯A和灯C关于y轴对称即可， 即灯A向右移动平移7个单位长度到点，或灯C向右移动7个单位长度到点． 【分析】本题主要考查关于x轴、y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化-平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据对称和平移即可得出答案． 【详解】略 坐标系中的动点问题题型02 1．新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 【答案】点E的坐标不变，点E的坐标为 【分析】本题主要考查坐标与图形及全等三角形的性质与判定，熟练掌握图形与坐标及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：点E的坐标不变．理由如下： ， ． ， ， ． 又， ， ， ， ． 又， ， ， ∴点E的坐标为． 2．（25-26八年级·期末）如图1，点A，B的坐标分别是，，点为x轴正半轴上一点． (1)求证：； (2)如图1，若，过点O作于点D，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点P为线段的延长线上的一动点，当点P在的延长线上向下运动时，作于点M，于点N，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ； (2) (3)不变，其值为 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识， （1）结合题意得，，再利用“”证明，即可证明结论； （2）由三角形面积公式可得，代入数值即可获得答案； （3）连接，由三角形面积公式可得，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：若， ， ∴， ； （3）解：不变，其值为， 如下图，连接， ，，， ， ∵， ． 坐标系上的最短路径问题题型03 1．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短问题．如图，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接PA，则PA十PB的最小值为的长度． 【详解】解：如图，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的最小值为5， 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当在上移动时，则四边形周长最小值为_____． 【答案】## 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、坐标与图形变化等知识，勾股定理，能够求出E点坐标，并得出周长最短时P点即EC与OA的交点是解决此题的关键． 根据已知条件得到，，求得，，得到作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时，四边形周长最小，，运用勾股定理求出，代入四边形周长进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴ 作D关于直线的对称点E，连接交于P， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴点在轴上， 则，此时四边形周长最小， ∴， ∵四边形周长， ∴四边形周长 ， 故答案为：． 3．如图，在直角坐标系中，，，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形的周长的最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，两点间距离公式，分别作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，连接、，根据 轴对称的性质得出，，即，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即的值最小，根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】解：如图，分别作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，连接、， 根据轴对称可知：，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即的值最小， ∵的长度一定， ∴此时四边形的周长最小， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴四边形的周长的最小值是． 故答案为：． 4．如图，，，都在边长为1个单位的正方形网格的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)画出点关于直线的对称点，连，．直接写出为 ； (3)点，分别为边，上的动点，请找出点，的位置，使得最小，直接写出的最小值为 ． 【答案】(1)△ACB是直角三角形，理由见解析； (2)如图所示： 作图见解析，8； (3)． 【分析】（1）求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案； （2）作出图形，利用三角形的面积公式可得答案； （3）先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短，利用三角形的面积可得答案． 【详解】（1）△ACB是直角三角形， ∵AC2=5，BC2=20，AB2=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形； （2）△CDB的面积为：×CD×4=×4×4=8， 故答案为：8； （3）如图所示：先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短， ∵， ∴， ∴DQ=， ∴CP+PQ的最小值， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形． 5．阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ∴ 这就是两点间的距离公式，例如， ∴ (1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空： 作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． (2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值． ②的最大值． 【答案】(1)0，；13；13 (2)①10；② 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）根据题目提供的思路解答即可； （2）①按照（1）的思路解答即可； ②若不在同一条直线上可构成一个三角形，则有，当在同一条直线上则有故可得结论 【详解】（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得， ∴的最小值是13． 故答案为：0，；13；13； （2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于， 由两点间的距离公式得， ∴的最小值是10． ②表示, 若点不在直线上，则在中，有， 若点在直线上时，有， 故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上， 此时，, 即的最大值为 坐标与图形题型04 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图： (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立、点的坐标确定以及关于x轴对称点的坐标规律，解题的关键是根据已知点的坐标确定坐标系的原点、x轴和y轴的位置，并掌握关于x轴对称点的坐标变化规律． （1） 根据点和点的坐标，确定坐标原点及坐标轴的位置，建立平面直角坐标系； （2） 在建立好的坐标系中，读出点C的坐标；根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”的规律，求出点C关于x轴的对称点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：在建立的坐标系中，可得点C的坐标为． ∵ 点关于x轴的对称点为， ∴ 点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 2．（1）在平面直角坐标系内，已知点关于轴对称，求的值． （2）在平面直角坐标系内，已知点在轴上，求点的坐标． 【答案】（1）（2）点的坐标为 【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标关于y轴对称，则“横坐标互为相反数，纵坐标相同”，列方程直接求解即可； （2）根据平面直角坐标系在y轴上的点的横坐标，列方程求出m的值，即可知道Q的坐标. 【详解】（1）解：∵点关于轴对称， ∴解得. （2）解：∵点   在  y 轴上， ∴ ∴， ∴. 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质和坐标轴上点的坐标特征，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点A的坐标为点B的坐标为． (1)画出关于y轴对称的图形． (2)画出关于x轴对称的图形． (3)在（1）（2）的基础上，直接写出线段的长． 【答案】(1)如图，即为所求作的三角形； (2) 即为所求作的三角形： . (3) 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （3）连接，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， 由勾股定理可得：. 4．如图4所示，四边形在平面直角坐标系中，且点，，，点M是点关于轴的对称点，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查图形与坐标，轴对称，由轴对称可得，轴，过点P作于点A，过点N作于点B，结合点的坐标，根据即可求解，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． 【详解】解：由轴对称可得，轴， 如图所示，过点P作于点A，过点N作于点B， 则四边形PABN是梯形， ，，，，， ． 5．（25-26八年级·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形中，点，D为的中点，P为边上一点．若为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标． 【答案】点P的坐标为或或或 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，关键是要分情况讨论． 根据等腰三角形的定义，利用勾股定理分情况讨论即可． 【详解】解：∵长方形，， ∴， ∵D为的中点， ∴． （1）当时，点P在的垂直平分线上，点P的横坐标是，点P坐标是； （2）当时， ， ∴点P的坐标是； （3）当时， ①点P在点D左侧，作于E， ， ∴， ∴点P的坐标是； ②点P在点D右侧，作于F， ， ∴， ∴点P的坐标是． 结合图形面积确定点的坐标题型05 1．在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，点关于轴对称． (1)已知，求出点的坐标； (2)已知，的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数可得点的坐标； （2）根据点坐标和的面积，可得的值，进而得点的坐标． 本题主要考查了坐标系中的对称和轴对称的性质，熟练掌握坐标系中点的对称是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）∵点，关于轴对称， ∴的坐标． （2）∵点在第一象限，点，关于轴对称， ∴的坐标， ∴， ∵的面积为， ∴，（舍去）， ∴的坐标． 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示． (1)在图中作出关于轴对称的图形（请先用铅笔绘图，确认无误后，再用黑色水性笔描绘一遍）；并直接写出点的坐标_____； (2)直接写出的面积：_____； (3)已知点在轴上，且的面积等于4，求点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)或 【分析】（1）画出三点关于轴对称的三点，依次连接即可，进而写出的坐标； （2）利用割补法求解即可； （3）设，由，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： 则； （2）解：的面积为； （3）解：设，则， ∵的面积等于4，， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对称； (1)点B的坐标为________； (2)点C的坐标为，顺次连接，若在四边形内部有一个点P，满足，且，求点P的坐标； (3)在四边形外部是否存在点Q，满足，且，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据对称性可知到的距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解； （2）根据对称性可知点与点关于对称，则点在上，设点，根据三角形的面积公式求解即可求解； （3）方法同（2）即可求解． 【详解】（1）点A的坐标为，过点作x轴的垂线l， 到的距离为, 则 故答案为： （2）如图，,， 点与点关于对称， 在四边形内部有一个点P，满足， 则点在上，设点， ， 即 解得或 在四边形内部 （3）存在，由（2）可知时，在四边形外部 故 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点到坐标轴的距离，数形结合是解题的关键． 4．（25-26八年级上·湖北·月考）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，，分别在轴和轴上找点，，使得的值最小，请在图2中画出点和点的位置，并直接写出点，的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点在线段上，且，交于点，求点的坐标．      【答案】 （1）解：完成画图，如图， ； （2）如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点． ，； （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的轴对称变换，图形的面积等知识点，解题关键是熟练掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先完成画图，再设，根据，列出关于的方程求解，即可求得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，根据，，列出方程求解即可； （3）过点作交的延长线于点，过点作轴于点，先利用“”易证出，可得，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）设， ，， ． ， ， ． ， ， 解得：， ． （2）根据对称可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，过点作交的延长线于点，过点作轴于点． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ， ， 即，解得． ∴， ∴． ∴． 与轴对称的特征有关的综合型问题题型06 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 2．我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____． 【答案】 3.5 【详解】解：经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为； 关于轴对称得； 关于平行于轴的直线对称得， 根据关于水平直线对称的性质：对称点的纵坐标中点在对称轴上，即． 3．（24-25八年级上·河南·期中）在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则______． 【答案】1或3 【分析】本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式．根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可． 【详解】解：根据题意得，，，， ，， 的面积为1， ， 解得或3， 故答案为：1或3． 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，，的顶点都在格点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，且使点的纵坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)在图中作出关于轴的轴对称图形（点，，的对称点分别是，，），并直接写出，，的坐标； (3)若在该坐标系内，存在一点，使得与全等，直接写出两个符合条件的点的坐标． 【答案】(1) 解：建立平面直角坐标系如图， (2) 解：如图，J即为所求， ，，； (3)符合条件的的坐标为或或． 【分析】（）根据与关于轴对称，且使点的纵坐标为，建立平面直角坐标系即可； （）找出点，，关于轴对称的点，，，然后连接即可； （）根据全等三角形的性质，找到的点即可； 本题考查了平面直角坐标系，轴对称，全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， ∴符合条件的的坐标为或或． 5．在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点． (1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________； ②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【分析】（1）点关于x轴对称的点坐标为，再关于y轴对称的点坐标为，故可得点坐标，即可求解． （2）①当时，A点坐标为，直线m为，此时点A先关于x轴对称的点坐标为，再关于m轴对称的点坐标为，进而得到点的坐标； ②由题意得，直线m为， A、B、C三点的【轴，】随图形点坐标依次表示为：、、，结合图形，列出关于t的不等式，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①由题意知，沿x轴翻折得点坐标为；沿y轴翻折得点坐标为， 故答案为：． （2）解：①当时，A点坐标为， 由题意得：直线m为， 沿x轴翻折得点坐标为， 沿直线翻折得点坐标为， 故答案为：； ②直线m经过原点，且经过点， 直线m为， A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：、、， A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：、、， ∵的【轴，】伴随图形上只存在两个与x轴的距离为1的点， ∴且， 解得： 且．    【点睛】本题考查了直角坐标系中的点的对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点的坐标表示出来． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $