第25章 一元二次方程 章末测试题 2026-2027学年数学人教版九年级上学期

第25章 一元二次方程 章末测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上学期 一、单选题 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是，则可得方程（     ） A． B． C． D． 3．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 5．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 6．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 7．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 9．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 二、填空题 11．一元二次方程2x（x﹣1）﹣3＝0的一次项系数为 _____． 12．若x＝0是关于x的一元二次方程m2x2+6x+m2﹣2m＝0的一个根，则m＝_____ 13．某污水净化站今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，则这两个月净化污水量每月的平均增长率为______． 14．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则_________． 15．若α，β是一元二次方程的两个根，那么的值是________． 三、解答题 16．解下列方程． (1)x（3x＋2）＝6（3x＋2） (2)3x2－2x－4＝0 17．已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 18．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 19．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 20．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． （1）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （2）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由． 21．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，该台灯的月销售量y（个）和销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)如果该商场想获得10000元的月利润，且尽快占有市场，那么该台灯的销售单价应定为多少元？ 22．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）． (1)______cm，______cm（用含x的式子表示）； (2)若时，求x的值； (3)当x为何值时，将成为以为斜边的直角三角形． 23．阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A B B B C A D 1．C 根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 2．B 【详解】解：由题意可得，. 3．A 本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 4．A 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 5．B 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 6．B 将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 7．B 本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 8．C 本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 9．A 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分别求得和的值即可． 【详解】解：因为是一元二次方程的根，可得 ． 变形，得 ． 由一元二次方程根与系数的关系，得 ． 所以． 10．D A．将代入方程判断即可； B．将变为，将代入方程可得，即方程有一根为； C．根据解为和可将原方程化为，展开后可知，，代入求解即可； D．根据不等式的性质得到，则，判断判别式的正负即可． 【详解】解：对选项A：∵是方程的根，代入方程得，整理得，∴或，并非一定满足，故A错误． 对选项B：∵，移项得，将代入方程得，∴方程有一根为，不是，故B错误． 对选项C：∵原方程的解为和，则原方程可写为，展开得，即，，代入新方程得：，，整理得，解得或，与选项结论不符，故C错误． 对选项D：∵，，∴，可得，又∵，∴，方程判别式，∴方程一定有实数根，故D正确． 11．-2 观察发现原方程为一元二次方程的一般式，找出所对应的a，b及c，其中b的值即为一次项的系数． 【详解】解：化简2x（x-1）-3=0得， 2x2-2x-3=0， ∴a=2，b=-2，c=-3， ∴一次项的系数为-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题要求学生熟练掌握一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0，（a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，a，b，c为常数且a≠0）．学生找一次项时容易把负号忽略，认为一次项的系数为1，做题时应注意不要掉了符号． 12．2 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=0代入方程求解可得m的值． 【详解】把x=0代入方程m²x²﹣6x+m²﹣2m=0 得到m²﹣2m=0， 解得：m=2或0． ∵m²≠0， ∴m=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题型． 13． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两个月净化污水量每月的平均增长率为x，根据今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这两个月净化污水量每月的平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 故答案为：． 14．或2 本题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用．正确理解题意是解题的关键． 由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 15． 根据一元二次方程根与系数关系和根的定义得到，得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：α，β是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系和根的定义、代数式的求值等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的定义是解题的关键． 16．(1)， (2)， （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 17． 证明：∵，， ∴ ； ∵不论m为何值， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根． 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 计算一元二次方程根的判别式，通过配方法得出判别式大于等于0即可求解． 【详解】略 18．这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 19．(1)解：等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：， ∴， ∴为等腰三角形； (2) 解：直角三角形，理由如下： 根据题意得， 即， 所以为直角三角形； (3)， （1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：为等边三角形， ， 方程化为， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理等知识． 20．（1）栅栏的长为10米；（2）矩形围栏面积不可能达到240平方米． （1）先表示出AB的长，再根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米． 【详解】解：（1）依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （2）不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到240平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 21．(1) (2)元 （1）根据函数图象中的点，利用待定系数法求解析式即可求解． （2）设该台灯的销售单价应定为元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意取舍方程的解． 【详解】（1）解：设月销售量y与销售单价x的函数关系式为， 将代入， ， 解得， ∴月销售量y与销售单价x的函数关系式为， （2）解：设该台灯的销售单价应定为元，根据题意得， ， 解得， ∵尽快占有市场， ∴， 答：为了尽快占有市场，想获得10000元的月利润，该台灯的销售单价应定为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． 22．(1)， (2)或 (3)当为或时，是以为斜边的直角三角形 （1）直接根据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案； （2）在中，根据勾股定理即可求出答案； （3）表示出、和，由勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）由题可得：，， ∴，， 故答案为：，； （2）在中，，即， 解得：或； （3），，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 解得：或， ∴当为或时，是以为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键． 23．(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $