精品解析：上海市虹口区复旦大学附属复兴中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

复旦大学附属复兴中学2026学年第一学期10月质量检测练习 高一年级数学试卷 高一_________班_________号 姓名_________得分_________ 一、填空题：本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知，，则_________． 2. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 3. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________________. 4. 不等式的解集为________. 5. 已知a，b均为正数，且，则的最大值为__________. 6. 若关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为___________ 7. 若关于的不等式只有一个整数解2，则实数的取值范围为 ____________． 8. 已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是_________． 9. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_________． 10. 设a为实数，方程的两根为、，方程的两根为、，集合中的所有点组成的平面区域的面积为，则的最小值为_________． 11. 给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集合，则原来的五个数的最小可能值是_________． 12. 设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是______. 二、选择题：本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 14. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ） A. -81 B. 81 C. -64 D. 64 15. 黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B. 当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C. 无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D. 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 16. 当集合S是R的非空子集且S的元素个数有限时，称S的所有元素之积为S的“厚度”.集合的全部非空子集的厚度之和为（ ） A. 0 B. 10239 C. 2026 D. 三、解答题：本大题共有5题，满分78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知全集，，． （1）求，并写出的所有子集； （2）求． 18. 某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. （1）若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围； （2）怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 19. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）设且的最小值为m，若，求的最小值． 20. 设为实数，为的非空子集.命题：存在，满足，命题：对任意，都有． （1）若，是真命题，求实数的取值范围； （2）若，，与有且只有一个真命题，求实数的取值范围； （3）若，是否存在正实数，使“为假命题”是“为真命题”的必要非充分条件？并说明理由． 21. 已知集合.对于，，定义与之间的距离为． （1）若，写出所有的，使得； （2）已知，若，并且，求的最大值； （3）若T是的子集，满足：对任意，都有，求T的元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属复兴中学2026学年第一学期10月质量检测练习 高一年级数学试卷 高一_________班_________号 姓名_________得分_________ 一、填空题：本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】可知，即，所以. 2. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 3. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到“”是真命题，根据根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】易得“”是真命题， 故，解得， 故取值范围为. 故答案为： 4. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值并分别求解，将各区间的解集取并集得出最终结果. 【详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为3，无解. 综上，不等式的解集为. 5. 已知a，b均为正数，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，且 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 6. 若关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式方程去分母得一元二次方程，再根据已知条件得出该一元二次方程的判别式和根的情况，得到关于的方程，求解可得的取值集合. 【详解】因为，则，故，即， 因为关于的方程的解集中只含有一个元素， 所以方程有两个相等的实数根，且该根不等于1，或者方程有两个不等的实数根，且这两根中有一个根是1， 当方程有两个相等的实数根时，，解得， 方程的解为，符合题意； 当方程有两个不相等的实数根，且这两根中有一个根是1时， 则，解得，此时有两根1和0，则的根为0，符合题意； 故答案为： , 7. 若关于的不等式只有一个整数解2，则实数的取值范围为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出不等式的解后可得端点满足的不等式组，从而可求参数的取值范围. 【详解】的解为， 因为不等式的整数解只有2，故，故， 故答案为：. 8. 已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】设集合或，或， 又是的必要条件，所以. 情况一：，解得，此时，满足题意； 情况二：，解得，无解； 综上所述，实数m的取值范围是. 9. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【详解】由． 已知正实数a，b满足， 则 ， 当且仅当，即，时等号成立． 故的最小值为．+ 10. 设a为实数，方程的两根为、，方程的两根为、，集合中的所有点组成的平面区域的面积为，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】使用因式分解和韦达定理计算和，再将问题转化为一元二次函数的最值求解. 【详解】方程即， 由，得，，集合中的区间长度为， 方程的两根为、， 则，故， 由韦达定理得， 则集合中的区间长度为：， 平面区域的面积， 当时，的最小值为：. 11. 给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集合，则原来的五个数的最小可能值是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】令这5个正整数为，且它们的总和为，表示出任取4个数的求和结果，结合所有和数构成集合，可判断出这5个数必有2个数相等，再结合这5个和的总和为，必须是整数，即必须能被4整除，确定4个数的求和结果的重复情况，即可求解． 【详解】设这5个正整数为，它们的总和为． 任取4个数求和，得到的和分别为，，，，， 所以这5个和的总和为． 因为这些和构成的集合为，只有4个元素， 所以这5个数必有2个数相等，使得这2个数对应的和是相同的． 因为，由于其中1个和被重复计算了一次， 所以． 因为必须是整数，所以必须能被4整除． 又因为，余数为0，所以也必须能被4整除． 在集合中，能被4整除的数为92和96，所以分两种情况． 情况一：92重复．，解得． 此时这5个数分别为，，， ，，即这5个数为18，20，24，24，30； 情况二：96重复．，解得． 此时这5个数分别为，，， ，，即这5个数为19，21，21，25，31． 两组解均满足题意，故原来的五个数的最小可能值是18． 12. 设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】举特例判断①；利用反证法判断②，元素0是关键；利用性质P的定义证明③即可；举反例说明④错误； 【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以，而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ，所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 二、选择题：本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】作差法判断A，根据充分条件、必要条件的判定方法，判断BCD. 【详解】对于A，，则， ， 则，正确； 对于B，由“且”，可得“”，即充分性成立； 反之：例如：，满足，但且不成立，即必要性不成立， 所以且是的充分而不必要条件，正确； 对于C，由，可得或， 所以是的充分不必要条件，所以C不正确； 对于D，根据充分条件、必要条件的关系，可得p是q的充分不必要条件， 则q是p的必要不充分条件，所以D正确. 故选：C. 14. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ） A. -81 B. 81 C. -64 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系致的关系求出的值 ,再计的值. 【详解】不等式可化为， 其解集是， 那么，由根与系数的关系得， 解得， ，故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系以及知识幂的运算，属于简单题. 15. 黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B. 当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C. 无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D. 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断. 【详解】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本； 方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为 ， 所以， 且，则，即， 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低. 故选：D 16. 当集合S是R的非空子集且S的元素个数有限时，称S的所有元素之积为S的“厚度”.集合的全部非空子集的厚度之和为（ ） A. 0 B. 10239 C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用生成函数思想，集合所有非空子集的厚度和等价于将每个元素对应因子相乘后减，代入元素计算得最终结果. 【详解】集合：共个元素. 全部子集乘积和为： 减去空集的，得到非空子集厚度之和:. 三、解答题：本大题共有5题，满分78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知全集，，． （1）求，并写出的所有子集； （2）求． 【答案】（1），的子集为 （2） 【解析】 【小问1详解】 由，又，，所以，解得， 结合，即，的子集为，共4个. 【小问2详解】 因为，，又， 所以. 18. 某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. （1）若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围； （2）怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1） （2）当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元. 【解析】 【分析】（1）设，利用总造价不超过78000元列不等式，由此求得的取值范围. （2）利用基本不等式求得总造价的最小值以及设计方案. 【小问1详解】 设m，m，且， 则依题意可得，且，则，且， 则总造价， 则，即， 整理得，解得，又， 所以边长的范围是. 【小问2详解】 结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元. 19. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）设且的最小值为m，若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分段讨论求解， （2）由绝对值三角不等式求最小值，再由基本不等式求解， 【小问1详解】 当时，， 故即或或， 解得，即原不等式的解集为 【小问2详解】 由题意得， 即，，即， 而，当且仅当即时等号成立， 故的最小值为 20. 设为实数，为的非空子集.命题：存在，满足，命题：对任意，都有． （1）若，是真命题，求实数的取值范围； （2）若，，与有且只有一个真命题，求实数的取值范围； （3）若，是否存在正实数，使“为假命题”是“为真命题”的必要非充分条件？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）若“为假命题”，即对任意，方程； 即方程在上无解， 显然当，即或时， 此时方程在上无实数根，所以在上无解，满足题意； 当时，方程的根为， 因此需满足所有实数根均不在集合内， 因为，二次函数关于对称， 所以方程实数根不可能均在内, 当方程实数根均在内时, 需满足，显然该不等式组无解； 当方程有两实根，且一根在内，一根在内时, 需满足，解得； 综上可知为假命题时实数的取值范围为； 若“为真命题”，即对任意，都有恒成立， 易知的最大值为，因此需满足， 解得， 不妨记，， 则使“为假命题”是“为真命题”的必要非充分条件等价于为的真子集； 因为为正实数，所以，则； 所以只需考虑即可，所以， 解得，这与为正实数矛盾，因此不存在正实数满足题意. 【解析】 【分析】(1)根据方程有解得出判别式符号解不等式可求得结果； (2)利用绝对值的几何意义可解得为真命题时，再由命题真假个数求得实数的取值范围； (3)结合集合并利用二次函数根的分布，并根据必要非充分条件得出集合间的包含关系可知不存在正实数满足题意. 【小问1详解】 依题意可知判别式， 整理可得，解得； 因此实数a的取值范围为. 【小问2详解】 当，时不等式可化为对任意，都有； 又易知， 所以只需满足即可，解得； 由（1）可知当为真命题时，因此当为假命题时； 当为真命题时，因此当为假命题时； 与有且只有一个真命题”可分为以下两种情况： 第一种：为真命题且为假命题， 此时且，因此可得； 第二种：为假命题且为真命题， 此时且，因此可得； 综上所述，可得实数a的取值范围为； 【小问3详解】 略. 21. 已知集合.对于，，定义与之间的距离为． （1）若，写出所有的，使得； （2）已知，若，并且，求的最大值； （3）若T是的子集，满足：对任意，都有，求T的元素个数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，判断中不同数字的个数，再逐一列举所有可能的情况即可. （2）判断和中不同的数字的个数，再分析不同数字个数的情况，对参数的情况进行分类讨论，逐一判断结果. （3）根据的情况，设出与所有数字都相反的，再逐一排除成对出现的其中之一，判断T的元素个数的最大值． 【小问1详解】 可知，因为，所以或， 当时，因为，所以中有三个一个， 则所有的有四种情况：. 【小问2详解】 因为，当时，可知这个数中有五个和个， 同理，当时，这个数中有五个和个， 当时，时， 当时，最多有个位置不同，则的最大值为， 当时，最多有个位置不同，则的最大值为， 综上所述，. 【小问3详解】 已知，设， 此时，中满足的情况共有种， 对任意，都有时，可知， 此时和只能有一个属于，即T的元素个数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $