精品解析：辽宁大连市某校2026-2027学年高一上学期阶段学情反馈数学试卷

2026-2027学年度上学期高一阶段性学情反馈 数学试卷 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，分别考虑，注意借助集合元素的互异性进行分析. 【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性， 当时，或（舍），此时，满足条件， 综上可知：的值为. 故选：C. 【点睛】本题考查根据元素与集合的属于关系求解参数值，难度较易.根据元素与集合的关系求解参数时，注意集合中元素的互异性. 2. 已知集合，，或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A，以及，，根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，即可得答案. 【详解】由题意知，或， 故，， 所以图中阴影部分表示或． 故选：A 3. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有. 故选：C 4. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值可说明充分性不成立；根据不等式的性质可说明必要性成立，由此可得结论 【详解】取，，但不满足“”， 故“”不能推出“”，充分性不成立； 反之，若“”，记，则， 所以，，即，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 已知为正数，且，则 （  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式且均为正数，可以直接判断选项A正误；根据“1”的代换可以判断选项B正误；根据消元，用二次函数最值可以判断选项C正误；根据基本不等式和定积最大可以判断选项D正误. 【详解】对于A，由于为正数，且，则，所以，故A错误； 对于B，由可得，则，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，由可得，则， 由选项A可知，，所以，，即，故C错误； 对于D，由可得，此时，当且仅当时取等号，所以，故D正确. 7. 设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 8. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，分三种情况讨论，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得 解得， 若，将代入方程得 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 10. 下列命题正确的是（   ） A. 最小值 B. 若，，，则 C. 方程有个不等实根 D. 且，则的取值范围是集合，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，令，得到对勾函数，由对勾函数的单调性即可判断A；由基本不等式即可判断B；令，求出对应方程的解即可判断C；根据已知条件，得到以及，代入不等式即可判断D. 【详解】对于A，由于， 令，因为，所以，函数变为，其中， 根据对勾函数的性质，可知在上单调递增， 因此，当时，取得最小值，所以最小值为，故A错误； 对于B，已知，根据基本不等式，有， 当且仅当，即时取等号，所以，故B正确； 对于C，令，则， 方程化为 ，解得或， 当时， ， 判别式，有两个不等实根； 当时， ，有一个实根（重根）； 综上所述，原方程共有个不等实根（的两个根和），故C错误； 对于D，已知且， 因为最大，最小，且和为，所以， 由，代入，得（因为，除以变号）, （因为，除以变号），所以，故D正确. 11. 已知实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为1 D. 有最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】因为结合题目化简得到， 所以有最大值为，故A正确；设，所以，由，所以，即，所以，故B正确；因为且，所以，故C 错误；因为且，所以，所以，故D正确. 【详解】对于A，因为且，所以，即，当且仅当或 时取等号，有最大值为，故A正确； 对于B，设，则， 所以，由，所以， 所以，即，所以， 当且仅当时，有最小值为故B正确； 对于C，因为且，所以， 当且仅当或时取等号，有最小值为，故C 错误； 对于D，因为且，所以，所以， 当且仅当或时，有最大值为2，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由该命题为假命题，可知其否定为真命题，分离参数，结合函数单调性可得参数范围. 【详解】因为“存在使得”是假命题， 所以“，有”是真命题，即，恒成立， 所以只需，， 而函数在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 13. 已知集合，，若，求实数a的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，然后由，根据集合中元素个数分类讨论可得. 【详解】由已知，且， 由， （1），即，则，满足， （2）是一元集，若，则，此时，不满足， 若，则也不满足， （3），则，解得， 综上，的取值范围是. 14. 已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】关于的不等式恒成立，令，，根据一次函数性质及不等式关系得到则当时，有，可得到参数和的关系式，再通过换元将转化为只含一个参数的式子，利用基本不等式即可求最值. 【详解】由题意可知，令，， 因为，所以函数为增函数，因为当时，解得， 所以当时，，当时，， 又因为当时，关于的不等式恒成立，即， 所以当时，，当时，， 所以当时，，即， 所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：4. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围． （2）若命题是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，由条件得，再利用集合间的关系，即可求解； （2）根据条件得，从而得，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，等价于，解得， 所以，又命题是真命题，则， 又，则，解得. 【小问2详解】 由（1）知，又命题是真命题， 则，又， 所以，解得. 16. 求下列各小题中的最值 （1）求函数的最大值； （2）已知，且满足，求的最小值； （3）已知，，求的最小值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得，再由基本不等式得，进而可得及函数的最大值； （2）由条件可得，利用基本不等式并结合“”妙用可得； （3）由条件得，进而可将所求式子化为，再结合“”妙用可得. 【小问1详解】 ，因为，所以. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 即，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立. 即函数的最大值为 【小问2详解】 由，得，又因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立，再代入解得. 所以当时，取得最小值. 【小问3详解】 因为，所以，，所以，， 所以， 当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为. 17. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）是否存在整数，使的值为整数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不存在，理由如下： 因为是一元二次方程的两个实数根， 所以，解得：， 由韦达定理得：， 又， 则， 即，解得：， 因为，所以不存在实数，使成立. （2）的值为或或，理由如下： 由 ， 由于的值为整数即：的值为整数， 所以只能取， 又，所以当时，得出（舍）或， 当时，得出（舍）或， 当时，得出（舍）或， 综上所述：若的值为整数，则的值为或或. 【解析】 【分析】（1）由求出的取值范围，再根据韦达定理以及得出方程，解方程即可； （2）由，代入韦达定理化简，再结合题意分析得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数，， （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）或. 【解析】 【分析】（1）将不等式化为，当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果. （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果. （3）分别在、和三种情况下，讨论根的个数，结合判别式及韦达定理求解. 【小问1详解】 不等式， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，， 当时，或；当时，；当时，或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 方程化为， 当时，，解得，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，关于的一元二次方程只有一个正根，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，原方程有4个不同的实根，则关于的一元二次方程有两个不同的正根， 因此，解得或， 所以实数的取值范围为或. 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 【答案】（1），证明如下： . 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （2）证明： 由（1）及是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. （3）证明：由（1）可知. 取，则 ，故有 ， 则有， 因为， 所以 ， 故，且. 【解析】 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. （3）先由结论得到，再利用乘法法则证明结论. 【小问1详解】 ，证明略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高一阶段性学情反馈 数学试卷 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知集合，，或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 4. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 已知为正数，且，则 （  ） A. B. C. D. 7. 设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 10. 下列命题正确的是（   ） A. 最小值 B. 若，，，则 C. 方程有个不等实根 D. 且，则的取值范围是集合，则 11. 已知实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为1 D. 有最大值为2 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 13. 已知集合，，若，求实数a的取值范围是_______________. 14. 已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围． （2）若命题是真命题，求实数的取值范围． 16. 求下列各小题中的最值 （1）求函数的最大值； （2）已知，且满足，求的最小值； （3）已知，，求的最小值； 17. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）是否存在整数，使的值为整数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，， （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $