辽宁省七校协作体2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题

2025-2026学年度（上）高一七校12月联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：丹东四中 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求. 1．集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．已知函数定义域为，则“”是“是奇函数”的（   ）． A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（   ） A．2 B．0 C． D． 6．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9．已知样本数据，（）（），则（    ） A．若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C．若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 10．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（   ）． A． B．， C．的值域为 D．的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数（且）的图象过定点，则 13．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为 14．若 时，，则的取值范围是 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分）某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计此次测试的平均成绩； (2)试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 17．（15分）已知函数． (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，直接写出的单调性，并解不等式； (3)当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. (1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； (2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 19．（17分）对于二次函数，存在实数，使得成立，则称为关于参数的不动点. (1)当时，求关于参数2的不动点. (2)当时，函数 在上存在唯一一个关于参数的不动点，求实数的取值范围. (3)对于任意的，总存在，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，求实数的取值范围. 高一数学 共 4 页 第 1 页 高一数学 共 4 页 第 2 页 高一数学 共 4 页 第 1 页 高一数学 共 4 页 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $严禁超出矩形边框作答 20252026学年度（上)高一七校12月联考 续15 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（考生禁止填涂）口 1答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并 认直核对条形码上的姓名、准考证号。 填正确填涂 注 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5 意 样 错误填涂 事 毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰 例 品晋 项3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的 无效，在草稿纸、试题卷上作答无效。 4答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 16.（15分) 频率组距 选择题 0.04 1 [A [B]C]D 5A▣BICD 9 [A [B [C]D 0.03 2 [A][B][C][D] 6 [A [B][C][D 10 [A [B[C]D 3 A [B]C][D四 7①BD四 11 [AB [CD 0.02 4 [A [B [C][D 8 [A [B [C][D 0.01 非选择题 O60708090100测试 三、填空题 成绩/分 12. 13. 14. 四、解答题 15.(13分) U B 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 17.（15分) 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 18.(17分) 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 续18 19.（17分) 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 续19 严禁超出矩形边框作答 -------------------- 2025-2026学年度（上）七校协作体高二联考数学答案及评分标准 1．D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 2．A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇函数的定义结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为函数定义域为，若为奇函数，则， 若，满足，但函数为偶函数，不是奇函数， 所以是为奇函数的必要不充分条件， 故选：A. 3．B 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等、求对数函数的定义域、求幂函数的定义域 【分析】逐项验证函数的定义域和对应关系是否都相同即可. 【详解】由题意，函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，但，故A错误； 对于B，函数的定义域为，但，故B正确； 对于C，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，故D错误； 故选：B. 4．B 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 5．C 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出的取值范围，再结合函数奇偶性的定义验证是否满足条件即可． 【详解】函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，其定义域为，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数，满足题意. 所以. 故选：C 6．D 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：D. 7．B 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 8．A 【知识点】函数奇偶性的应用、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解. 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 9．ACD 【知识点】计算几个数的众数、平均数的和差倍分性质、各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据极差的定义即可判断A；根据平均数的性质即可判断B；根据众数的定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D. 【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为，则， 由于在上单调递增， 故样本数据中，最大值为，最小值为， 故， 则样本数据的极差为，故A正确： 对于B，由平均数的性质可得，样本数据的平均值为，故B错误； 对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确； 对于D，根据方差的性质可知，样本数据的方差为，故D正确， 故选：ACD． 10．AC 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】A选项，将指数式化为对数式，得到A正确；BC选项，由对数运算法则进行判断；D选项，由换底公式进行求解. 【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因为，所以，B错误； C选项，，C正确； D选项，由A选项得，D错误. 故选：AC 11．BC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、基本不等式求和的最小值、由函数奇偶性解不等式、函数方程组法求解析式 【分析】利用赋值法可判断A选项，利用消元法可得函数解析式即可判断B选项，利用均值不等式可得值域即可判断C选项，解不等式，结合偶函数可判断D选项. 【详解】A选项：取，则，所以，A选项错误； B选项：由当时，，则， 解得， 当时，，则， 由函数为偶函数，所以当时，，B选项正确； C选项：当时，， 又函数为偶函数，所以当，， 即函数的值域为，C选项正确； D选项：当时。令，解得或， 又因为函数为偶函数，则的解集为，D选项错误； 故选：BC. 12．3 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数型函数过定点问题求出函数过定点（3，0），进而求解即可. 【详解】令，得，此时=1， 则函数过定点（3，0），即m = 3，n = 0， 所以m + n =3. 故答案为：3. 13． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据的解集为或，得到然后逐项判断. 【详解】对A，∵的解集为或， ∴解得，可化为，即， 其解集为，故答案为。 故选：AD. 14． 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据函数图象确定参数取值条件，解不等式得结果. 【详解】分别作函数图象,由图可知 【点睛】本题考查利用函数图象研究不等式恒成立问题,考查基本分析求解能力,属基础题. 15．(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、利用Venn图求集合 【分析】（1）利用交集运算求解即可； （2）把必要不充分条件转化为集合的真包含关系，再讨论端点取值范围即可求解. 【详解】（1）由，······3分 ，结合图象可得阴影部分表示的集合为；······6分 （2）由“”是“”的必要不充分条件，则，······8分 因为，所以，······10分 即， 所以， 故实数的取值范围.······13分 16．(1)79 (2)85分；能录取，但不能进入第一梯队． 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据样本频率分布直方图估计平均数. （2）根据样本频率分布直方图估计88分的学生所在的位置，进行判断. 【详解】（1）此次测试的平均成绩为： .······6分 （2）由题意可知，录取率为，能进入第一梯队的概率为； 设录取分数为，因为分数落在的概率为0.1，······8分 分数落在的概率为0.4， 所以，令，解得， 所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分，······13分 所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队．······15分 17．(1)证明见解析 (2)在上递增，不等式解集为 (3)存在， 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）当时，利用函数奇偶性定义可证明为偶函数； （2）当时，根据指数函数的单调性可得的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性求解即可； （3）当时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据的最小值为4，列方程求解即可， 【详解】（1）当时，，的定义域为R，定义域关于原点对称， 因为，所以是偶函数；······4分 （2）当时，， 因为都是R上的单调递增函数， 所以在上递增，······6分 不等式，即，······7分 所以， 即不等式的解集为；······9分 （3）当时，，且， 所以，当且仅当，即时等号成立，······12分 因为的最小值为4，所以， 即存在，使得的最小值为4.······15分 18．(1)，或； (2)，取最小值时，取最大值时. 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、根据对数函数的最值求参数或范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【详解】（1）函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是；······2分 ，······3分 解，得或；······5分 解，即，得或，······7分 因此或， 所以不等式的解集或.······8分 （2）由（1）知，，······11分 令，由，得，······13分 ， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.······17分 19．(1) (2)或 (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义 【分析】（1）由不动点的定义解方程即可； （2）将在上有两个不同解转化为函数有唯一交点，结合后双勾函数的性质即可得解；. （3）由已知可得有两个不等的实根，即，将问题转化为对于任意的，总存在，使成立，进而转化为存在，，整理得存在，，令，，进而转化为求在上的最大值，进而解即可. 【详解】（1）当时，， 令， 即，解得或， 所以关于参数2的不动点为；······3分 （2）当时，， 因为函数 在上存在唯一一个关于参数的不动点， 所以方程在上有唯一实数根， 即方程在上有唯一实数根， 则函数有唯一交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 当时，，当时，， 作出函数如图所示：    由图可知，或；······9分 （3）由题意知，函数有关于参数的两个相异的不动点， 所以方程，即恒有两个不等实根， 则， 所以对于任意的，总存在，使成立， 即存在，，， 所以存在，， 即存在，， 即，， 令，， 对称轴为， 当，即时，， 所以，解得； 当，即时，， 所以，解得或， 综述所述，实数的取值范围为.······17分 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $