福建省”龙岩一中、三明二中、永春一中“三校协作2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

“三明二中、永春一中、龙岩一中”三校协作 2026—2027学年第一学期联考 高三数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BD 10．ABC 11．BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．5 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解】（1）解：根据题意，设：“训练方式”与“点球命中”无关 ， 因为，所以有的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关． （2）解：因为乙组球员的命中率近似服从正态分布，其均值为0.75，标准差为0.05， 即乙组球员的命中率近似服从， ，， 根据正态分布的对称性，总概率为1， 可得， 因此该球员命中率介于0.8到0.85之间的概率 16．【详解】（1）已知， 令，得． 即，解得． 因此． 对求导：． 令，结合，得，即，解得． 代入得的解析式：． （2）由（1）得，． 设切点为，切线斜率为，切线方程． 因为切线过点，代入得． 约去并整理得一元二次方程． 曲线存在这样的切线等价于关于的一元二次方程有实数解． 故判别式， 化简得． 解不等式得或，所以实数的取值范围是． 17．【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以，， 又因为，则，所以，， 因为平面，平面，故平面． （2）解：因为平面，，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，则、、、， 设，其中， 则， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 由题意可得， 整理可得，解得，此时点为的中点，故． 18．解：（1）函数的定义域为，， 当时，则， 令，得，在单调递增，在单调递减 ，有极大值0，无极小值 （2）由于，故恒为函数的一个零点． 当时，方程的判别式， 当时，函数有两个极值点，． 设，则，且，， 故，在上单调递增． 又且，所以是该区间唯一零点． 此时． 当时，有且， 又，故恒成立， 故当时，函数只有1个零点． 当时，函数有唯一的极大值点． 若，则． 此时满足，即． 当时，极大值点即为零点，函数只有1个零点． 若，则极大值，在单调递增，在单调递减， 当时，，即，取， 且，由于，又， 则，即． 因为，故． 若，则落在或上． 在上，与矛盾；在上，但，矛盾． 故． 故根据零点存在定理，在区间内存在一个零点． 即时存在2个零点． 当时，，即， 取，，令，则． 此时，，． 设，则， 当时，，故在单调递减， ，即． 设，且是的唯一正根． 因为，抛物线开口向下，， 故当时，，可知． 又，故根据零点存在性定理，在区间内存在一个零点． 综上，当或时，有1个零点；当且时，有2个零点． （3）不妨记所有零点之和为，所有极值点之和为． 当时，零点仅有，故． 极值点为，， 由韦达定理，故． 此时，即． 当时，零点仅有，故． 极值点为1，故． 此时，即． 当且时，有两个零点， 其中一个为1，另一个记为，则． 极值点仅有，故． 由单调性知，且满足，即． 设，， 则 ， 将代入得． 因为，所以恒成立，在上单调递增， 又，即． 显然，取较小的零点，， 因为，所以， 又与均在区间上，且在单调递减， 故，即，即． 综上，当时，所有零点之和等于所有极值点之和的2倍； 当时，所有零点之和小于所有极值点之和的2倍； 当且时，所有零点之和大于所有极值点之和的2倍． 19．解：（1）由题意知，，， ； （2）由已知， 当时，， 所以 ， 当且仅当（）时，上式取得等号，但不可能成立， 当时，，不等式也成立， 所以当，时，； （3）因为， 所以（），注意到， （），注意到， 令（）， 则（），注意到， 令（）， 则（）， 可知当时，， 则当时，，为增函数，即为增函数， 若，即当时， 存在，使得当时，，为增函数，即为增函数， 所以在区间上，，为增函数， 所以不是的极大值点，不符合题意，舍去， 若，即当时， 存在，使得当时，，为减函数，即为减函数， 所以在区间上，，函数单调递减， 在区间上，，函数单调递增， 所以，是的极大值点，符合题意， 综上所述，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ “三明二中、永春一中、龙岩一中”三校协作 2026—2027学年第一学期联考 高三数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 4．若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象关于直线对称．则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知定义在上的函数满足，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A． B．0 C．6 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增 11．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．值域为 B．曲线有且仅有一个对称中心 C．当时，恒有成立 D．若，且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数为偶函数，则__________． 13．已知实数，满足，则的最小值为__________． 14．函数，其中，则关于的不等式的解集是____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 为提升青年球员的点球命中率，某足球青训营开展专项训练对比实验．教练从参训球员中随机选取200人，平均分为两组：甲组采用常规训练，乙组采用“预判+步伐”专项训练．训练周期结束后进行统一测试．得到了如右的列联表： 命中 未命中 合计 常规训练 60 40 100 专项训练 75 25 100 合计 135 65 200 （1）分析列联表数据，能否有95%的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关？请说明理由； （2）经大量训练，乙组球员的命中率（以比例表示）近似服从正态分布，其均值为0.75，标准差为0.05．现从乙组中随机抽取一名球员，求该球员命中率介于0.8到0.85之间的概率． 附：①，． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ②若，则， ，． 16．（本题满分15分） 已知是函数的导函数，且． （1）求的解析式； （2）若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围． 17．（本题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，是棱上一点，且，． （1）若，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 18．（本题满分17分） 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若存在极值点． ①求的零点个数； ②讨论的“所有零点之和”与“所有极值点之和的2倍”的大小关系，并说明理由． 19．（本题满分17分） 定义二元函数（，），同时满足： ①； ②两个条件． （1）求的值； （2）当时，比较（）和0的大小，并说明理由； （3）若为的极大值点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $