辽宁沈阳市第二中学2026-2027学年高二上学期10月阶段能力测试数学试题

2026-2027学年上学期阶段能力测试 高二（28届）数学试题答案 1、 单项选择题： 1. A 2.C 3.A 4.C 5.A 6.C 7.C 8.B 2、 多项选择题： 9. A C 10.A B 11.B C 3、 填空题： 12. 13.   14. 4、 解答题： 15.解：设点的坐标为则中点的坐标为， 依题意可知，点在直线上，点在中线上则有 解得，， 即点的坐标为． 设点关于直线的对称点为，则在直线上设点的坐标为， 则点的中点坐标为则有解得，， 即点的坐标为． 直线的斜率为，所以直线的直线方程为化简得：， 即直线的方程为．  16.解：由题可得圆心在的垂直平分线上，，，在轴上，设，，，即，解得，，圆的半径为，圆的方程为． 当直线的斜率存在时，设，即，由弦长为和半径为可得，圆心到直线的距离，即，即，解得，，即； 当直线的斜率不存在时，其方程为， 联立解得或此时弦长为，符合题意． 综上所述，的方程为或． 17. 解：证明：因为和都是直角梯形，，， ， 所以，，二面角的平面角为 因为，所以平面， 因为平面，则， 又，，， 则是等边三角形， 因为为中点，所以， 又因为，， 所以平面， 故F． 解：由于平面，建系如图， 所以，，，，，则， ，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以，，， 设与平面所成角为， 则．  18.解：（1）取平面内的任意两点，， 则两式相减得，， 即，所以，从而， 故是平面的法向量. （2）记平面，的法向量为，， 设直线l的方向向量， 因为直线l为平面和平面的交线，所以，， 即，取，则， 所以直线l的单位方向向量为. （3）设， 由平面经过点，，， 所以，解得，即， 所以记平面、、的法向量为，，， 与（2）同理，与确定的交线方向向量为， 所以，即，解得. 19：解：，， 所以，． 设，， 则 ， 当时，等号成立， 所以的最小值为． ，， 故，- ， 令，则， 问题转化为求半圆与直线有公共点时的取值范围． 由半圆方程得， 故半圆所在圆的圆心坐标为，半径为． 如图，当直线过点时， 当直线与半圆相切时， 由圆心到直线的距离等于圆的半径， 得，解得， 结合图知，． 故半圆与直线有公共点时，， 于是，， 所以，． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年上学期阶段能力测试 高二（28届）数学试题 说明：1．测试时间：120分钟，总分：150分； 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上． 第I卷（73分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的一个方向向量是（ ） A． B． C． D． 2．两条平行线，间的距离等于（ ） A． B． C． D． 3．已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 4．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 5．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 6．已知，是圆上不同的两个动点，，为坐标原点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．某工厂生产的一种零件是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体，如图所示．棱和平面都与圆柱侧面相切，是棱与圆柱侧面的切点．平面．已知，，圆柱的底面圆半径为，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或1 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 10．已知圆，为圆心），动点，直线，分别与圆切于点，．则下列说法正确的是（ ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直钱过定点为 11．下列说法正确的是（ ） A．过点且在、轴截距相等的直线方程为 B．过点且垂直于直线的直线方程为 C．过两圆及的交点的直线的方程是 D．已知圆，，过圆上一点作圆的两条切线，切点分别是、，则的最小值是5． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为__________． 13．已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是__________． 14．已知正方体的棱长为4，M，N分别是，的中点，P是线段上的动点，的最小值是__________． 第II卷（77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 16．（本题满分15分） 已知的三个顶点分别为，，，其外接圆为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 17．（本题满分15分） 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点． （I）证明：； （II）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本题满分17分） 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）证明：向量是平面的法向量； （2）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）； （3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数的值． 19．（本题满分17分） 设，，定义曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）．余弦距离亦可由二维平面推广至三维空间． 据此，解决下面的问题： （1）若空间中两点，，求，之间的余弦距离； （2）若动点在直线上，动点在圆上，求的最小值； （3）若，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $