第4讲 函数图象的识别专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数图象的识别 函数与导数 · 专题篇 由式选图（给解析式选图象） 一、读的顺序固定 定义域 → 奇偶性 → 特殊点与符号 → 单调性与趋势 → 渐近线，读到哪一条就排掉一批选项。 不必把四个选项都看全，通常读到第三条就只剩一个。 二、定义域先排 分母不为零、真数为正、偶次根号下非负 —— 定义域是间断点或半边的，图上必定有对应的空缺或断口。 三、奇偶性定骨架 关于 轴对称； 关于原点对称。 含 、、 的常是偶函数；含 、、 的常是奇函数。 四、特殊点与符号 代入 、 等好算的点看正负；某段上 恒正则曲线必在该段的上方。 五、单调性与趋势 求 定升降与极值；看不出来就取 与 的极限。 六、找渐近线 时 趋于某常数，则有一条水平渐近线；某点处趋于无穷，则该处有竖直渐近线。 例1（单选·★☆☆☆☆） 函数的图象大致为（ ） 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 函数的图象大致是（ ） 变式1-2（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致为（ ） 例2（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致为（ ） 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 函数的大致图象是（ ） 变式2-2（单选·★★★☆☆） 函数的大致图象是（ ） 变式2-3（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致为（ ） 例3（单选·★★★☆☆） 函数的大致图象为（ ） 变式3-1（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致是（ ） 变式3-2（单选·★★★☆☆） 函数的大致图象是（ ） 变式3-3（单选·★★★☆☆） 当时，函数的图象大致是（ ） 变式3-4（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致为（ ） 由图选式（给图象选解析式） 一、先读图，再比式 看图的顺序固定：定义域 → 奇偶性 → 特殊点处的符号 → 极值点的位置 → 两端趋势。 每读到一条，就拿它去排掉一批选项；通常读到第三条就只剩一个。 二、定义域看断口 曲线上有竖直断口或只画了半边，说明解析式里有分母为零、真数非正、偶次根号下为负这类限制。 含 的只能取右半轴；含 的在 处断开。 三、奇偶性看对称 曲线关于 轴对称 ⟹ 解析式是偶函数；关于原点对称 ⟹ 是奇函数。 把式中的 换成 验一遍，比盯着图猜可靠。 四、特殊点看正负 图上某段在 轴上方，就说明对应的解析式在该段上取正值 ——代 、 这些好算的点最快。 五、极值点的位置也是判据 图上的极大（小）值点落在哪一侧，选项里对应的极值点就必须落在同一侧。含参数或含高次幂的选项，常常靠这一条区分。 六、两端趋势定渐近 左端或右端贴着某条水平线走，说明解析式在那一端趋于常数；一端冲向无穷而另一端贴轴，就要看两部分的增长速度谁占优。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★☆☆☆☆） 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数的图象如图所示，则可以为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的图象如图，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 变式6-3（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 变式6-4（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 由图判性质（给图象读信息） 一、先分清图上画的是谁 画的若是原函数 ，就读它的升降、极值、零点与截距； 画的若是导函数 ，读到的升降要反过来推原函数的升降。 二、导函数图象的三条对照 的区间上 递增； 的区间上 递减。 的零点是 的极值点候选 —— 还要看两侧是否变号：由正变负是极大值点，由负变正是极小值点。 的零点不等于 的零点，两者不能混。 三、三次函数图象定系数 看右端的走向定 的符号（右端冲上则 ）；看极值点的横坐标之和定 （两根之和 ）；看极值点的横坐标之积定 （两根之积 ）；看 轴截距定 。 四、二次函数图象用根与系数关系 图上的两个零点 、 直接给出 与 ，把 、 都用 表示，再代进选项判断符号或解不等式。 五、读图定比例的题 图给出「某量与该量成正比例」时，先设出正比例关系，把图上某个好读的点代进去定出系数，再回到解析式求参数。 例7（单选·★★☆☆☆） 函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★★☆☆） 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例8（单选·★★☆☆☆） 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数在区间上单调递减 C. 为函数的一个极大值点 D. 是函数的最大值 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 变式8-2（单选·★★★☆☆） 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增 例9（单选·★★★☆☆） 如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 变式9-1（填空·★★★☆☆） 若函数的导函数的部分图象如图所示， 则 = ________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数图象的识别 函数与导数 · 专题篇 由式选图（给解析式选图象） 一、读的顺序固定 定义域 → 奇偶性 → 特殊点与符号 → 单调性与趋势 → 渐近线，读到哪一条就排掉一批选项。 不必把四个选项都看全，通常读到第三条就只剩一个。 二、定义域先排 分母不为零、真数为正、偶次根号下非负 —— 定义域是间断点或半边的，图上必定有对应的空缺或断口。 三、奇偶性定骨架 关于 轴对称； 关于原点对称。 含 、、 的常是偶函数；含 、、 的常是奇函数。 四、特殊点与符号 代入 、 等好算的点看正负；某段上 恒正则曲线必在该段的上方。 五、单调性与趋势 求 定升降与极值；看不出来就取 与 的极限。 六、找渐近线 时 趋于某常数，则有一条水平渐近线；某点处趋于无穷，则该处有竖直渐近线。 例1（单选·★☆☆☆☆） 函数的图象大致为（ ） 【切入点】解析式里既有 又有 ，先看奇偶性定骨架，再看正负定上下。 【关键】，所以它是奇函数，图象关于原点对称，B、C 两图都关于 轴对称，直接排除。再看符号： 时 、，故 ，曲线应在右半平面的 轴上方；A 图右半支却掉到了 轴下方，排除。最后看趋势： 时 ， 与 同增，乘积增长很快，右端应陡峭上升，D 图符合。故选 D。 【易错】三段信息要按「先粗后细」用：奇偶性一次排掉两张，符号再排掉一张，趋势只是最后核实，不必一开始就去求导 —— 求导得到 反而更费事。另外 只影响 那一段的形状，改变不了奇偶性，别看到绝对值就当成偶函数。 【答案】D 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 函数的图象大致是（ ） 【切入点】分子带绝对值、分母是一次式，先看奇偶性，再看定义域断口两侧的走向。 【关键】，定义域 。，是奇函数，关于原点对称。 时拆绝对值： 上 ， 时趋于 、 时为 ； 上 ，递增。所以右半支是「从 轴上方无穷高处落下来、在 处穿过 轴、之后又单调上升」，只有 B 符合。故选 B。 【易错】 处 是穿轴点而不是极值点 —— 后函数继续上升，别把它当成最低点。另外 是定义域的空缺，两边分别趋向 与 ，所以 轴既是左支的上渐近线、也是右支的下渐近线。 【答案】B 变式1-2（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致为（ ） 【切入点】解析式里出现 ，先判奇偶性；分母能被 取到零点，再找竖直渐近线。 【关键】。把 换成 式子不变，所以是偶函数，图象关于 轴对称。定义域要求 ，即 ，也就是 。看 ：分母从正侧趋于 ，分子趋于 ，故 ；：分母从负侧趋于 ，故 ，所以 都是竖直渐近线。再看 ：分母为负，函数值为负，且 时指数增长压过分母，；：分母为正，函数值为正， 时 。合起来是「关于 轴对称 ＋ 在 处断裂反转」，只有 A 符合。故选 A。 【易错】本题最容易被「偶函数」误导成两图都对称就随便挑：还要看对称轴两侧的走向 —— 左边冲到 、右边从 折回，这种「同一条渐近线两侧一上一下」的形状是识别关键。另外 时 而不是无穷：分子是 ，比分母衰减更快。 【答案】A 例2（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致为（ ） 【切入点】分子分母都是 与 的组合，先看奇偶性，再看 与 两端的走向。 【关键】记 。定义域要求分母不为零，即 ，所以 处图必断开。奇偶性：分子是偶函数、分母是奇函数，商为奇函数，图象关于原点对称。两端走势： 时分子趋于 、分母趋于 ，商趋于 ； 时商趋于 ，所以 轴是一条竖直渐近线。 时把分子分母同除以 ，得 ，所以 是一条水平渐近线，曲线从上方无限接近它。四张图里只有 A 同时满足「关于原点对称 ＋ 轴为渐近线 ＋ 右端升到 」。故选 A。 【易错】水平渐近线在上侧还是下侧是本题的分水岭： 时商恒大于 （分母小于分子），所以曲线落在 上方；写成从下方接近就会挑到错误的选项。另外这个函数可以化成 形的「双曲余切」，高中范围内不必知道，会用同除 求极限即可。 【答案】A 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 函数的大致图象是（ ） 【切入点】解析式由「分式 ＋ 一次式」拼成，先看清分式的定义域，再定奇偶性，最后看断口处的走向。 【关键】。定义域要同时满足 与 ，即 且 。奇偶性： 是奇函数、 是偶函数，商为奇函数； 也是奇函数，两个奇函数之和仍为奇函数，故图象关于原点对称。看 ：分子趋于 为正，分母 ，商趋于 ； 时分母趋于 ，商趋于 ，所以 处曲线一上一下地断开。四张图里只有 D 同时满足「关于原点对称 ＋ 在 处断开反转」。故选 D。 【易错】定义域有三个空缺（ 与 ），漏掉 就会把断口当成连续的。另外「奇函数 ＋ 奇函数 ＝ 奇函数」这条要用上，只看 一项会以为它是奇函数、忘了后面的 还破坏了对称 —— 实际上刚好也保持对称。 【答案】D 变式2-2（单选·★★★☆☆） 函数的大致图象是（ ） 【切入点】分式上下都趋于 ， 处要看极限而不是直接判无定义。 【关键】，定义域 。看 ：分母 与 是等价无穷小量，所以 ，曲线在原点附近穿向原点， 是一个可去间断点。符号： 时 ，函数值为正； 时 ，函数值为负。两端： 时指数增长压过 ，； 时 ，分母趋于 ，。合起来是「左半支从下方贴轴、右半支从上方先升后落贴轴、过原点」，只有 A 符合。故选 A。 【易错】 的极限不要想当然写成 ： 使分母趋于 （不是 ），所以 而非 。另外 处分子分母同时为零，必须用等价无穷小量 代换，直接说「无定义」会错失这一特征。 【答案】A 变式2-3（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致为（ ） 【切入点】 就是 ，先把它化简，奇偶性就露出来了。 【关键】，定义域 。 是偶函数、 是奇函数，商为奇函数，关于原点对称。看 ： 时 ，故 ， 轴是竖直渐近线； 时 ，； 后 。 时对数增长慢于一次式，。所以右半支是「从 升上来、在 处穿过 轴、达到一个正的最大值后回落贴轴」。四张图中只有 B 符合。故选 B。 【易错】 时是趋于 不是 —— 时 ，而 ，商为负。另外最大值的位置不必求出（在 处），只要判断「在 上先升后落」就能排除其余三项。 【答案】B 例3（单选·★★★☆☆） 函数的大致图象为（ ） 【切入点】 是「指数除以一次式」，奇偶性用不上，直接求导定升降与极值。 【关键】定义域 。求导：。因为 、，所以 的符号只由 决定： 且 时递减， 时递增，于是 处取到极小值 。两端： 时 、 时 ， 轴是竖直渐近线； 时 ， 时 。合起来是「左端贴着 轴从下方过来、在 处断裂、右支从 降到 再到 、然后重新爬升」，只有 A 符合。故选 A。 【易错】极小值是 ，不要算成 —— 指数上是 ， 时指数为 。另外 时曲线是从下方趋于 轴： 时 而 ，商为负，所以贴着 轴下侧；写成从上方接近就选错了。 【答案】A 变式3-1（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致是（ ） 【切入点】 两个部分都很熟，先看奇偶性，再求导判断升降。 【关键】，定义域为 。，是奇函数，关于原点对称。求导： 恒成立，且只有在 这些孤立点处取到零，两侧并不变号，所以函数在整个 上单调递增。合起来是「单调递增的奇函数」——曲线穿过原点向右缓缓抬升（该段被 型的波浪压住，起伏但总体向上）。只有 B 符合。故选 B。 【易错】 有解不一定是极值点： 在 处为零，但两侧导数为正，该点只是「瞬时水平」，函数仍然整体递增。把 当作极值点去看波浪形图，就会挑到 A 或 D 这类带起伏的图。 【答案】B 变式3-2（单选·★★★☆☆） 函数的大致图象是（ ） 【切入点】解析式含 与 ，奇偶性先看，升降靠求导，节点值挑 、 这些好算的。 【关键】，定义域为 。，是奇函数，关于原点对称。求导：。于是 时： 上 ，递增； 上 ，递减。再看两个节点：，，说明曲线先升到 处的正峰、再落到 处的负谷。只有 B 满足「关于原点对称 ＋ 右半支先升后降且过 轴两次」。故选 B。 【易错】 里的因子 是关键： 时导数的符号完全由 决定，所以升降的分界点就是 、、（不是 、）。另外 时 与 的符号再翻一次，正好与右半支关于原点对称，不必单独重算。 【答案】B 变式3-3（单选·★★★☆☆） 当时，函数的图象大致是（ ） 【切入点】条件 把两个零点都钉在了非正半轴，先把分母的零点找出来，再分别看两侧的走向。 【关键】，定义域 且 。因为 ，两个零点 与 一右一左地落在 轴两侧。 时分母 ： 且 （ 更左），积为负且趋于 ，分子趋于 ，故 ； 时积为正且趋于 ，。 时 、 变号，分母在 两侧由正转负，故 在 左侧趋于 、右侧趋于 。两端： 时 、分母为正，； 时 增长占优，。合起来是「左侧贴轴过来、在 处反转、在 处再反转、右端冲向无穷」，只有 B 符合。故选 B。 【易错】两条竖直渐近线 与 的左右走向是相反的：在 处是「左上右下」，在 处是「左下右上」 ——这正对应分母二次式在两个零点处系数符号的变化，把它们当成同一种走向就会选到 A 或 C。另外 时是趋于 而非 ：分母 两项都负、积为正。 【答案】B 变式3-4（单选·★★★☆☆） 函数的图象大致为（ ） 【切入点】 里一个奇一个偶，奇偶性要先定；再求导找极值点的位置。 【关键】，定义域 。，是奇函数，关于原点对称。求导：，令 得 ，即 。 处取极小值 ，由对称性 处取极大值 。两端： 时 ，贴近原点从下方过来； 时 ； 时 。所以右半支是「从原点下方起来、在 处触底（在 轴下方）、穿过 后一路上升」，只有 D 符合。故选 D。 【易错】极小值 是负的，所以最低点落在 轴下方 —— 这一点是区分 C、D 的关键。另外 与 是对称的两个穿轴点，曲线在 与 上分别位于 轴两侧。 【答案】D 由图选式（给图象选解析式） 一、先读图，再比式 看图的顺序固定：定义域 → 奇偶性 → 特殊点处的符号 → 极值点的位置 → 两端趋势。 每读到一条，就拿它去排掉一批选项；通常读到第三条就只剩一个。 二、定义域看断口 曲线上有竖直断口或只画了半边，说明解析式里有分母为零、真数非正、偶次根号下为负这类限制。 含 的只能取右半轴；含 的在 处断开。 三、奇偶性看对称 曲线关于 轴对称 ⟹ 解析式是偶函数；关于原点对称 ⟹ 是奇函数。 把式中的 换成 验一遍，比盯着图猜可靠。 四、特殊点看正负 图上某段在 轴上方，就说明对应的解析式在该段上取正值 ——代 、 这些好算的点最快。 五、极值点的位置也是判据 图上的极大（小）值点落在哪一侧，选项里对应的极值点就必须落在同一侧。含参数或含高次幂的选项，常常靠这一条区分。 六、两端趋势定渐近 左端或右端贴着某条水平线走，说明解析式在那一端趋于常数；一端冲向无穷而另一端贴轴，就要看两部分的增长速度谁占优。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】图上能直接读出三件事：曲线左右贯通、关于原点对称、在 处位于 轴上方。三条恰好各排掉一个选项。 【关键】由图可见定义域是全体实数，曲线关于原点对称（奇函数），且 。B 项含 ，定义域只有 ，与「左右贯通」矛盾；C 项是偶函数（ 换成 式子不变），与「关于原点对称」矛盾；D 项含 也是偶函数，同样矛盾。只剩 A 项： 的分母恒正，定义域为 ；把 换成 得 ，是奇函数； 时分子为正、分母为正，函数值为正。三条全中。故选 A。 【易错】 是偶函数这一点要一眼看出：它是「两个互为倒数的指数之和」，换 为 后两项互换，值不变。所以整个分式的奇偶性完全由分子的 或 决定 ——分子带一次 的是奇函数，带 或 的是偶函数。 【答案】A 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 同图同法：读定义域、读对称性、读 处的正负。 【关键】图上定义域为全体实数、关于原点对称、。B 项定义域只有右半轴，排除；C 项分子是 ，换 为 后式子不变，是偶函数，排除；D 项在 处 ，与图上该点在上方矛盾，排除。A 项定义域为 、是奇函数、，三条全中。故选 A。 【易错】C 与 A 只差分子上的一次方与二次方，一次方保留奇性、二次方变成偶性，读图时只要看曲线是「穿过原点」还是「在原点处触底」就能分开：穿过原点的是奇函数，原点处取到极值的是偶函数。 【答案】A 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】图上有竖直断口（ 处），再把「 时曲线在 轴下方」这一条读出来。 【关键】四个选项的分母都是 或 ，所以定义域都是 ，断口一致，这一条分不开它们。改看奇偶性：B 项分子 是偶函数，整体为偶函数，排除；D 项分母换成 后整体也是偶函数，排除。剩 A、C 对比：两者只差分子上 与 的先后，也就是互为相反数。代入 ：，而 ，所以 A 项的函数值为负 —— 与图上「 时在 轴下方」一致；C 项恰好相反，函数值为正。故选 A。 【易错】A 与 C 的差别不能靠奇偶性分（两者都是奇函数），必须在具体点上比大小。取 代入最快：A 项得 ，C 项得正。另外 B、D 的偶性要用「偶＋偶＝偶」或直接代入 验，别看到分式就以为一定是奇函数。 【答案】A 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】图有两个显眼特征：关于原点对称，右半支先升后降。四条选项都是奇函数或偶函数，得靠极值点的位置来分。 【关键】由图知曲线关于原点中心对称，所以解析式应为奇函数。C 项 中 换成 式子不变，是偶函数，排除。剩下三项比对「右半支先增后减」：A 项 求导得 ，在 上单调递增，画不出「先升后降」，排除；B 项在 时的极值点是 （由 得），而图上极大值点明显落在 左侧，排除；D 项 ，求导得 ，极大值点在 处，这是一个小于 的正数，与图相符。故选 D。 【易错】B 与 D 的区别全在极值点位置上：两道都是「先升后降」，不把极值点解出来就没法分。解 B 项时不用把导数算全： 的极值点在 ，而 的分母次数更高、顶点被压向原点，所以 D 的峰在 左边 —— 这个「分母次数越高峰越靠里」的直觉，是从 里 读出来的。 【答案】D 变式5-1（单选·★☆☆☆☆） 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ） A. B. C. D. 【切入点】图上除了「关于原点对称」以外，还有一个容易被忽略的特征 ——曲线上下起伏，不是一路单调。这一条能排掉最关键的一个选项。 【关键】图上曲线既以原点为对称中心，又有升有降 —— 不是一路单调的。B 项 中 换成 式子不变，是偶函数，排除；C 项分母 在 处为零，定义域不含 ，与图上曲线连续矛盾，排除；D 项化简便知 ， 在 上递增，取倒数后递减，再加负号、加常数，整体递增，是 上的单调函数，与图上起伏矛盾，排除。只剩 A 项 ： 是奇函数、 是偶函数，乘积为奇函数；又因为 本身在 处取最大值、两边递减，乘上 后曲线出现起伏。故选 A。 【易错】D 项 要会化简成 ，这样单调性一眼可见 —— 它是常见的「S 形」函数，图象夹在 与 之间。另外「不是单调函数」这条判据在本节点非常好用：只要图上出现一个峰或一个谷，就能把 这类「单调递增型」的选项一次性排除。 【答案】A 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数的图象如图所示，则可以为（ ） A. B. C. D. 【切入点】图是「关于原点对称 ＋ 右半支先升后降贴回 轴」，先定奇偶，再比对右端的走向。 【关键】曲线关于原点对称，解析式应为奇函数。A 项 ：把 换成 得 ，式子不变，是偶函数，排除。再看右端趋势：C 项 在 时 而 ，函数值趋向 ，与图上左端贴着 轴过来不符，排除；D 项 在 时趋向 ，与图上右端贴回 轴不符，排除。B 项 ：换 为 得 ，是奇函数； 时求导 ，在 上递增、在 上递减，且 时 ，正是「先升后降贴轴」。故选 B。 【易错】B 与 C 只差一个绝对值，形状却差很远：C 项 在左端趋向 （曲线向左下方甩出去），B 项因为分母带了 ，左端被折成对称的上方，整体关于原点对称。「绝对值只改一半」是这类题最常见的分水岭，读到图上「左端贴轴、右端也贴轴」时，就要想到分母上挂了个 。 【答案】B 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的图象如图，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】图的最强特征是右端贴着一条水平线，先把这条线读出来，再逐项比两端。 【关键】由图可知：定义域为 、曲线关于原点对称、且 时函数值趋近于 。A 项 在 时趋向 ，与「趋近于 」矛盾；B 项 的真数为正要求 ，定义域只有一段，与图上左右贯通矛盾；D 项 是奇函数、右端也趋向 ，与图不符；C 项 定义域为 ，代入 化简得 ，是奇函数；又把它写成 ， 时后面一项趋于 ，函数值趋于 。三条全中。故选 C。 【易错】把 化成 是本题的关键一步 ——不化就看不到「右端趋于 」，而图上的水平渐近线正是靠这一条判出来的。另外 B 项的定义域容易算错：真数 解得 ，不是「除 以外」—— 分式不等式要看两个零点之间还是之外。 【答案】C 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】图上有三处可直接读的点：原点处无定义、左半支在 轴下方、右半支在 轴上方，且 。 【关键】A 项分母 恒为正，定义域为 ，在 处有定义，与「原点处无定义」矛盾；B 项在 处 ，与「」矛盾；C 项分子 恒为正，故函数值恒正，与「左半支在 轴下方」矛盾；D 项 的分母在 处为零，原点无定义； 时 ，分子为负，函数值为负； 时分子为正，函数值为正； 时 。四条全中。故选 D。 【易错】B 项与 D 项都是「奇函数 ÷ 分母」的形状，区别在分母的零点： 在 处为零，所以 B、D 都在原点处断开；但 B 的分母还多了一个「相减」带来的数值偏小，于是 掉到 以下。另外别把 在 处的值估错：、，相差约 ，明显大于 。 【答案】D 变式6-3（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】图关于原点对称，所以解析式必须是奇函数；选项里都是 与 的组合，逐项验奇偶性即可。 【关键】由图知曲线关于原点对称，解析式应为奇函数。A 项 中 换成 得 ，式子不变，是偶函数，排除；B 项 同理也是偶函数，排除；C 项 换 为 得 ，是奇函数，但它在 上三项全正，函数值为正，而图上紧接着原点右侧曲线就在 轴下方，矛盾；D 项 换 为 得 ，也是奇函数，且在原点右侧足够小的区间上 、，两项相减趋于零，符号与图相符。故选 D。 【易错】判断 与 组合的奇偶性有一条快法： 是偶的、 是奇的，再乘上 的幂看总奇偶。A、B 两项的 是奇×奇＝偶，与 这个偶函数相加仍是偶；C、D 两项的 是奇×偶＝奇，与 相加仍是奇。分完奇偶还要在具体区间上比正负 —— 这就是 C 与 D 的分水岭。 【答案】D 变式6-4（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】图在原点处断开，且关于原点对称，又在 处位于 轴上方 —— 三条信息分别排掉一批选项。 【关键】由图可知：定义域为 ，曲线关于原点对称（奇函数），且 。A 项 是奇函数、定义域也合适，但 ，而 是负的（ 弧度在第二象限），函数值小于零，排除；B 项 中 换成 式子不变，是偶函数，排除；D 项 也是偶函数，排除；C 项 是奇函数，且 （ 弧度在第二象限，），与图相符。故选 C。 【易错】本题的分水岭是 与 的符号： 弧度略大于 （约 ）而小于 （约 ），落在第二象限，正弦为正、余弦为负。这一点想清楚，A 与 C 立刻分开。另外 B 与 C 只差分母的次数： 给出奇函数、 给出偶函数，读图时看曲线是「穿过原点附近」还是「两侧同号」就能判断。 【答案】C 由图判性质（给图象读信息） 一、先分清图上画的是谁 画的若是原函数 ，就读它的升降、极值、零点与截距； 画的若是导函数 ，读到的升降要反过来推原函数的升降。 二、导函数图象的三条对照 的区间上 递增； 的区间上 递减。 的零点是 的极值点候选 —— 还要看两侧是否变号：由正变负是极大值点，由负变正是极小值点。 的零点不等于 的零点，两者不能混。 三、三次函数图象定系数 看右端的走向定 的符号（右端冲上则 ）；看极值点的横坐标之和定 （两根之和 ）；看极值点的横坐标之积定 （两根之积 ）；看 轴截距定 。 四、二次函数图象用根与系数关系 图上的两个零点 、 直接给出 与 ，把 、 都用 表示，再代进选项判断符号或解不等式。 五、读图定比例的题 图给出「某量与该量成正比例」时，先设出正比例关系，把图上某个好读的点代进去定出系数，再回到解析式求参数。 例7（单选·★★☆☆☆） 函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】图是三次函数的完整形状：三个零点、两个极值点、在 轴上的截距已知为正。四张选项各问一个系数的符号。 【关键】先看右端： 充分大时曲线冲向右上方，故 。再看 轴截距，图上 ，而 ，所以 。最后看两个极值点：它们的横坐标 、 都是正的大于零。求导得 ，、 正是这个方程的两根，由根与系数关系有，而 ，故 ；，故 。合起来是 、、、，只有 B 正确。故选 B。 【易错】两个极值点都在 轴右侧这条信息是关键：它同时给出了「两根之和为正」与「两根之积为正」，一次定出 与 的符号。若图上只看到一个极值点在右侧、另一个在左侧，那就只能说 的符号不确定。另外不要一上来就对原函数求导去解极值点 —— 用根与系数关系更快，因为 的符号已经从开口方向定出来了。 【答案】B 变式7-1（单选·★★★☆☆） 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【切入点】图是「分式函数」的形状：有一条竖直渐近线、一个零点、在 轴上的截距为正。三条信息各定一个系数。 【关键】。曲线在某一处断开，那是分母为零的地方，即 ；由图上断口落在 轴右侧知 ，故 。再看 轴截距：，分母为正，故 。最后看零点：曲线穿过 轴的地方满足 ，即 ；图上零点落在 轴右侧，故 ，而 ，所以 。合起来是 、、，只有 C 正确。故选 C。 【易错】分式函数的竖直渐近线位置由分母的零点定，而分母是 ，零点为 ——符号上带了一个负号，很容易把 的正负写反。验证方法：断口在 轴右边说明 ，于是 是负数。另外 轴截距是 ，因为 恒正，截距的符号直接就是 的符号。 【答案】C 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】图给的是「 与 成正比例」的直线，先把这个正比例关系设出来，用图上的点把系数定死。 【关键】设 （ 为正常数）。图上过点 ，代入得 ，故 ，即 。两边取以 为底的对数：。题干又给 ，两式对照得 ，即 ，所以 。故选 B。 【易错】取对数时用的是「积的对数等于对数的和」：，两个常数项才能对得上。另外 是图上读出来的（ 时 ），这一步不能省 —— 不读图就无法定 。最后 要认出「底数的几次方等于真数」，即 ，不要习惯性地写成 。 【答案】B 例8（单选·★★☆☆☆） 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数在区间上单调递减 C. 为函数的一个极大值点 D. 是函数的最大值 【切入点】图给的是导函数 ，所以先把它在 轴上方、下方的区间读出来，再翻译成原函数的升降。 【关键】由导函数的图象读出： 时 ； 时 ； 时 。逐项对：A 项把 说成零点 —— 只能说明 是原函数的极小值点，原函数在该点的值是否为零图上并没有给，A 错；B 项说的区间 整段落在 里，原函数应递增，B 错；C 项： 左侧 、右侧 ，导数由正变负，所以 是极大值点，C 对；D 项说 是最大值 —— 极大值只在附近最大，全局是否最大图上看不出来，D 错。故选 C。 【易错】A 项是这类题的经典陷阱：「」与「」是两回事。前者说明切线水平（可能是极值点），后者才是零点。D 项的第二层陷阱：极大值点是局部概念，写成「最大值」就把局部性质说成全局了。 【答案】C 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【切入点】图给的是 而不是 ，多了一层「除以 再翻符号」，要先算这一步。 【关键】由图象读 的符号，再按 的正负反推 ： 时 而图象在 轴下方，乘积为负，故 为正，原函数递增； 时 而图象在 轴上方，乘积为正，故 为负，原函数递减； 与 时 而图象都在上方，乘积为正，故 也为正，原函数递增。逐项核：A 项说 在 上递减 ——该段 为负，结论成立；B 项说 上递减 —— 该段 为正，实际是递增，B 错；C 项说 上递增 —— 这个区间里 那一段是递减的，整个区间并不单调，C 错；D 项说 上递增 —— 同样含递减段 ，D 错。故选 A。 【易错】 与 差一个因子 ，在 的区间上符号要翻过来，这是本题最大的坑：直接把图的符号当成 的符号，会把左半轴的升降全部判反。分区间处理时先按 切成两段，各段内部再按图象的上下定符号。 【答案】A 变式8-2（单选·★★★☆☆） 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增 【切入点】图给的是导函数，逐段读它在 轴上、下方的位置，再判断原函数在各选项区间上是否单调。 【关键】由图读出： 与 上 ； 与 上 。A 项区间 跨越了 这个变号点，导函数先负后正，原函数先降后升，不是单调递增，A 错；B 项区间 整段落在 里，原函数递减，B 对；C 项区间 整段落在 里，原函数递增，C 对；D 项区间 跨越了 这个变号点，先降后升，不是单调递增，D 错。故选 BC。 【易错】判断某区间上原函数是否单调，标准是该区间整段落在导数的同一个符号区间内。A 与 D 都栽在「跨过了变号点」上 —— 里有 ， 里有 。读图时先把导函数的零点标出来（、、），再用它们去切选项给的区间，比一段段硬看快得多。 【答案】BC 例9（单选·★★★☆☆） 如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【切入点】图上给了两个零点与开口方向，足够把 、 都用 表示出来，再逐个判断选项。 【关键】图象经过 与 ，所以 与 是方程 的两根。由根与系数关系： 得 ； 得 。又图象开口向上，故 ，于是 、，A 对。B 项： 落在两根之间，图象在 轴下方，所以 ，B 错。C 项： 即 ，两边同除以正数 得 ，解得 ，C 对。D 项： 即 ，同除以 得 ，即 ，解得 ，与选项写的「小于 或大于 」相反，D 错。故选 AC。 【易错】把 除过去时要注意 的符号 ——本题由开口向上已经确定 ，所以不等号方向不变；若开口向下，同除之后不等号要反过来。另外 C、D 两项都是「换成不含 的一元二次不等式再解」，这一步比直接在原式里讨论系数符号清楚得多。 【答案】AC 变式9-1（填空·★★★☆☆） 若函数的导函数的部分图象如图所示， 则 = ________. 【切入点】图给的是导函数的图象，先把 求出来，再把图上能读到的零点代进去。 【关键】，求导得 。由导函数的图象可以看到曲线在 处穿过 轴，故 ，代入得 ，解得 或 。两个值都要代回去验图： 时 ，两个零点是 与 ，图象应在 处先穿轴，与图不符； 时 ，两个零点是 与 ，与图相符。故 。 【易错】本题必须两个根都代回图里验 ——只解方程 会得到 或 两个答案，而「 是零点」这条信息两者都满足。区分它们靠的是另一个零点的位置：图上的第二个零点显然大于 ，对应 ； 的第二个零点 小于 ，位置不对。 【答案】3 学科网（北京）股份有限公司 $