第2讲 单调性与奇偶性专项训练-2027届高三数学一轮复习

单调性与奇偶性 函数与导数 · 专题篇 单调性的判断与单调区间 一、判断单调性的三条路 定义法：取 比较 与 的大小，适用于抽象函数或含参讨论。 图象法：直接看图象的升降，适用于熟悉的初等函数。 导数法： 的区间递增、 的区间递减，适用于可导的显式函数。 二、复合函数：同增异减 的单调性由内外两层共同决定：两层同向则整体递增，反向则整体递减。 三、单调区间必须先定定义域 单调区间是定义域的子集。对数型、根式型、分式型都要先解出定义域，再与单调区间取交集。 四、几条常用结论 增函数加增函数仍是增函数；增函数减减函数是增函数； 与 的单调性相反。 奇函数在对称的两侧单调性相同，偶函数在对称的两侧单调性相反。 五、二次函数看对称轴 二次函数在给定区间上的单调性由对称轴与区间的相对位置决定。开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；要把某区间写成递增区间，只需让对称轴落在该区间左端点上或其左侧。开口向下时方向相反。 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项都是熟悉的初等函数，逐个看它们在 上的升降即可，不必求导。要点是盯住给定的区间，而不是函数在整个定义域上的单调性。 【关键】A 项 ，在 上递增，而 整个落在其中，所以它是递增的；B 项 关于 轴对称，在 上增、在 上减，在给定区间上不单调；C 项 递增；D 项 ，底数小于 ，在 上递减。故选 D。 【易错】B 项最容易误选 ——「 是偶函数」并不意味着它在对称区间上单调，恰恰相反，它在 两侧一增一减，整体不单调。另外要留意区间端点： 里的 小于 ，所以正弦那一项确实整段落在递增区间内。 【答案】D 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 同类，逐个看四个函数在 上的升降。 【关键】A 项 是幂函数，指数为正，在 上递增；B 项 带绝对值，在 上递减、在 上递增，整体不单调；C 项 递减，前面加负号后递增；D 项 与 在 上都递减，两者之和仍递减。故选 D。 【易错】C 项是「减函数前面加负号」⇒ 变增函数，这一层符号变换最容易被漏掉。B 项加了绝对值之后要先拆成两段再判，不能整体当成对数函数处理。 【答案】D 变式1-2（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】同样是逐项判断，但这次问的是递增。 【关键】A 项 在 上递减；B 项 开口向下、对称轴为 轴，在 上递减；C 项 底数在 与 之间，在 上递减；D 项 底数大于 ，在 上递增。故选 D。 【易错】四个选项恰好覆盖了四种基本函数的单调性判据：一次函数看斜率符号、二次函数看开口与对称轴、指数函数看底数与 的大小、对数函数看底数与 的大小。把「指数递减」与「对数递增」记混是这类题最常见的错。 【答案】D 变式1-3（单选·★★☆☆☆） “函数在上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】把「在 上单调递增」这个条件翻译成 的范围，再与 比较，判充分必要性。 【关键】 开口向上，对称轴 。要在 上递增，需对称轴不在区间内部，即 。所以条件是 。由 能推出 ，反过来不成立（ 满足 但不满足 ），所以是充分不必要条件。故选 A。 【易错】对称轴取等号的情形要单独想： 时对称轴恰在区间左端点，函数在 上仍然递增，所以 的等号要带上。写成 会让推出的集合变小，充分性的判断就反了。 【答案】A 例2（单选·★★☆☆☆） 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数是「对数套二次式」的复合结构，用同增异减。但第一步不是判单调，而是解出定义域 —— 单调区间必须是定义域的子集。 【关键】先解定义域：，即 ，得 或 。外层 是增函数，所以要整体递增，需内层 也递增。内层是开口向上的二次函数，对称轴 ，在 上递增。把它与定义域取交集：。故选 D。 【易错】选项 B 给的就是内层的递增区间 ——少了「取定义域」这一步。在 这一段上对数的真数为负，函数根本没有定义，谈单调性无从谈起。这是复合函数单调性题最高频的失分点。 【答案】D 变式2-1（填空·★★★☆☆） 函数的单调递减区间为______。 【切入点】与例 2 同一结构：对数套二次式。这回问递减。 【关键】定义域：，即 ，得 或 。外层递增，要整体递减则内层 递减；内层对称轴 ，在 上递减。与定义域取交集得 。 【易错】内层的递减区间是 ，但定义域只允许 或 ，所以真正能用的是 ——右端 是定义域给的，不是对称轴给的。直接抄对称轴那一段就会写成 。 【答案】 变式2-2（单选·★★★☆☆） 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】根号在分母上 ⇒ 外层是负指数幂；内层是开口向下的二次式。先定定义域，再按「同增异减」定区间。 【关键】定义域：，即 ，解得 。内层 ，开口向下、对称轴 ，在 上递减。外层 递减，要整体递增则内层递减，所以在 上递增。故选 C。 【易错】外层是负指数幂（因为在分母上），这一层方向变了，按「外层递增」去算会得到 。判据很直接： 与 单调性相反。 【答案】C 变式2-3（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______ 【切入点】这一道把「同增异减」与含参结合起来：外层底数小于 （递减），要整体递增则内层必须递减 ——于是问题变成「内层二次函数在 上递减且真数恒正」。 【关键】记内层 ，外层 递减。要整体在 上递增，需 在 上递减：对称轴 ，即 。还要保证真数为正： 在 上递减，所以最小值在右端点取到，，得 。两条合起来 ，即 。 【易错】两个条件缺一不可：单调性定对称轴的位置，真数为正定右端点处大于零。漏掉后一条会得到 ，把 也收进来 —— 那时真数在 处恰为零，函数无定义。另外 时对称轴恰在区间右端点，内层仍递减，所以左端取闭。 【答案】 例3（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则的单调递减区间为______。 【切入点】函数是「 套二次式」的复合结构。外层是负指数幂，在 上递减，所以整体要递减，内层必须递增。 【关键】先定定义域：，即 ，得 或 。内层 对称轴 ，在 上递增、在 上递减。外层递减、要整体递减则内层递增，取 。 【易错】外层是 ，它的单调性与 相反 ——写成「外层递增、内层递减」也能得到同一区间，但中间那一步的符号很容易记反。稳妥的办法是记住： 的负次幂与正次幂单调性相反，然后按「同增异减」套。 【答案】 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 函数的单调递减区间为______。 【切入点】这一道的函数由指数式与对数式拼接而成，看图象走不通，直接求导 —— 这时「导数法」比「图象法」省事得多。 【关键】定义域 。求导：。当 时 ，，所以 的符号由 决定： 时为负、 时为正。递减区间是 ，写成 也对 ——区间端点处是否取到不影响单调性的判断。 【易错】合并分式那一步要仔细：，分子第二项提出 后才能与第一项合并出 。另外题目给的区间是开的，左端 不在定义域内。 【答案】 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干先用一个对数等式把 定出来，再问指数型复合函数的增区间。底数确定之后，外层是增函数，所以只需看内层。 【关键】由 得 ，故 ，。外层 递增，要整体递增需内层 递增；内层对称轴 ，在 上递增。故选 D。 【易错】 这一步用到 （对数的真数约束），所以 。本题也可直接求导：，由 得 ，与复合函数的结论一致。 【答案】D 由单调性求参数范围 一、单调与导数不变号 在区间 上单调递增 ⟺ 在 上恒成立；单调递减 ⟺ 恒成立。 二、恒成立的两条路 二次式型： 恒成立 ⟺ 且 ； 恒成立 ⟺ 且 （ 单独验）。 可分离型：把参数分离到一边，转成求另一边在区间上的最大或最小值。 三、不单调 ⟺ 极值点落在区间内 「 在 上不单调」等价于 在 内有解且两侧变号。含参时化成「参数落在某个函数的值域内」。 四、「存在单调区间」比「单调」弱 「存在单调递减区间」只需 有解，不必恒成立 —— 于是转成「某个最小值小于零」。 五、分段函数要三查 各段自身单调；分界点处两侧函数值的高低；分界点归哪一段。分界点的等号最容易漏。 六、复合与绝对值 外层单调性确定时，整体单调等价于内层在相应方向上单调；带 的先把绝对值区间按 分段。 例4（单选·★★☆☆☆） 函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「 上的单调函数」翻译成导数不变号；求导后是一个二次式，于是落进「二次式恒成立」这条路。 【关键】。函数在 上单调，等价于 恒成立或 恒成立。 是开口向上的二次式，只能取 ：需要 ，解得 。故选 D。 【易错】开口向上的二次式不可能恒小于零，所以 那一支直接舍去 ——这一步要写明，否则会有学生去解 为空集的那一支。另外 取的是闭区间，因为判别式为零时导函数只在一点取零，不影响单调性，所以 可以取。 【答案】D 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数单调递增，则实数的取值范围为________。 【切入点】与例 1 同类：单调递增 ⇒ 导数恒非负，求导后是二次式，走判别式。 【关键】。函数在 上单调递增，需 恒成立。二次项系数 ，开口向上，所以只要 ：，即 ，解得 ，即 。 【易错】判别式的系数容易算错：，，所以 。最后那项是加号（负负得正），写成减号会把范围算反。 【答案】 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】要求函数在 上是单调函数 ——只说「单调」不说增减，说明增也行减也行，只要不拐弯。于是条件是「导函数在区间内不变号」。 【关键】，开口向上。要在 上不变号，只需 在区间内恒成立（开口向上不可能恒非正）。 的对称轴是 ，它在区间内的最小值出现在对称轴处（若对称轴落在区间内）或端点处。由「最小值为负则不合」定出 的范围，解得 。故选 D。 【易错】「是单调函数」不等于「单调递增也可单调递减都行」的随意理解 ——本题因为 开口向上，恒非正是不可能的（ 很大时 必然为正），所以实际上只能递增。另外对称轴在不在区间内要分类：本题解得 ，对应的对称轴恰好落在区间内部，属于「顶点处取最小值」的那一支。 【答案】D 变式4-3（填空·★★★☆☆） 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为________. 【切入点】求导之后参数只出现在一次项里，可以分离到一边，于是问题转成「求另一边在区间上的最大值」。 【关键】。要在 上单调递减，需 恒成立，即 对一切 成立。而 ，当 时它小于 （ 时趋近 ），所以右边的最大上确界是 ，故 ，即 。 【易错】 在 处取 ，随 增大单调递增但始终小于 （ 时趋近 而取不到）。所以 必须大于等于 —— 等号能取是因为 时 在 上恒成立。写成 会把 漏掉。 【答案】 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与上一道同类，分离参数后求最值。这次分离出来的是 。 【关键】 在 上恒成立，即 对任意 成立。记 ，，在 上 ，所以 递减，最小值在 处取到，。故 。故选 B。 【易错】分离参数时要注意不等号方向： 移项得 ，再除以 得 ，因为除的是正数，方向不变。分离出「 某个函数」之后，求的是那个函数的最小值（要让 不超过它的一切取值）。 【答案】B 例5（单选·★★☆☆☆） 已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】问的是「不单调」，与前面几道方向相反。不单调意味着区间内部有极值点，于是转成「 有解，且解落在区间内」。 【关键】定义域 ，。若 ，则 恒成立， 在 上单调递增，不合题意。若 ， 给 （负根舍去）。要在 上不单调，需这个极值点落在区间内：，平方得 ，所以 。故选 A。 【易错】两个端点都不能取等： 时极值点在 （区间端点），函数在 上仍然单调递增； 时极值点在 ，同理。所以答案是开区间 ，选项 B、D 正是拿端点来设的。另外 那一支要先排除 —— 它让函数整体单调。 【答案】A 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若在上不单调，则实数的取值范围是_________________。 【切入点】与例 2 同类：问「不单调」，等价于导数在区间内部有零点。 【关键】。要在 上不单调，需 在 内有解，即 在 上有解。函数 在 上递减，端点值分别是 与 ，所以 的范围是 。 【易错】零点必须落在开区间内部： 时零点在 （端点），函数在 上仍然单调递增；同理 时零点在 。所以两端都开。另外 1 与 代入时的值别写反：、，所以 对应左端、 对应右端。 【答案】 变式5-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干说的是「存在单调递减区间」，比「在区间上递减」弱得多 ——只需 有解，于是转成「某个函数的最小值小于零」。 【关键】。由 知 ，所以 等价于 有解。记 ，在 上递增，所以只需 。由 得 ，故 。故选 B。 【易错】「存在」型只需要某一点满足，所以取的是区间左端的值 ——这与「恒成立」型取最小值方向相反，这里 递增，所以「有解」等价于左端点处 。另外两边同乘 时， 保证了不等号方向不变。 【答案】B 例6（单选·★★☆☆☆） 已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】分段函数在 上递减，要同时管住三段：左段递减、右段递减、分界点处左段的值不低于右段的值。 【关键】左段 是直线，要在 上递减需 。右段 要在 上递减需 。分界点：左段右端的极限值是 ，右段在 处的值是 。整体递减要求左段不低于右段，即 。三条合起来：、、，取交集得 。故选 D。 【易错】分界点那一条最容易漏：只查两段各自递减会得到 ，而 太小时左段在 处的值小于右段的 ，整条曲线在 处会跳上去。判据是「左段右端 ≥ 右段左端」（递减时）。另外左段在 处取不到（定义里是 ），所以用极限值比较。 【答案】D 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数（，）在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】又是一道分段函数，但这次的接缝位置由参数 决定，所以要看参数在哪一侧、接缝在哪一侧。 【关键】右段 （）要在 上递增，需 。左段 （）的外层递增，要整体递增需内层 递增，即 。因为 ，所以这一段自动满足。剩下接缝：分界点处要满足「左段的值 ≥ 右段的值」（递增），即 ，也就是 。两边同取以 为底的对数得 ，解得 或 ；结合 得 。故选 C。 【易错】这一道与例 3 的接缝方向相反（那边递减、这边递增），统一记法是「接缝处不能掉下去」：递增时左端不高于右端，递减时左端不低于右端。另外 时接缝两侧恰好相等，函数仍是递增的，所以右端取闭。 【答案】C 变式6-2（单选·★☆☆☆☆） 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】外层是指数函数（递增），内层是绝对值 。外层递增决定了整体与内层同向，所以只需内层在给定区间上递增。 【关键】 在 上递增，所以 与 单调性相同。 在 上递增、在 上递减。要在 上递增，需 ，即 。故选 C。 【易错】 的拐点在 ，只有当 落在区间左端点的左侧或相等时，整段才都在递增的一侧。取 时拐点恰是区间端点，函数在 上仍递增，所以等号要带上。另外这一道题干里的绝对值得注意，别把它当成 去算。 【答案】C 奇偶性的判定与求参 一、奇偶性的定义 奇函数： 对定义域内一切 成立；偶函数：。 前提是定义域关于原点对称，不对称的直接既非奇也非偶。 二、由奇偶性求参数的两条路 取特殊值：定义域含 时，奇函数必满足 ，可先定一个参数。 恒等式比较：把 写开，整理成关于 的恒等式，让对应项系数为零。 三、指数与对数型的常用变形 中把 化成 再通分，往往能把参数分离出来。 遇到 这类分式，比较 与 的差，令分子恒为零即可。 四、奇函数在 处 定义域含 的奇函数必有 ；反之不成立 —— 推不出奇函数，还要验恒等式。 五、由一侧求另一侧 给了 的解析式求 ：先算 ，再用 转换。 例7（单选·★☆☆☆☆） 函数为偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数里带绝对值，直接代 会出现 。把偶函数的定义写开，让两边的绝对值相等，就能定出参数。 【关键】 给出 ，两边约去 与 ，得 恒成立。两个绝对值在数轴上分别表示 到 与到 的距离，对一切 相等只有一种可能：这两点重合，即 。故选 B。 【易错】绝对值相等的等式别急着平方。 恒成立，几何上就是「左右两个定点关于原点对称且重合」，代数上平方后 得 对一切 成立，同样只能 。若只代一个特殊值（比如 ）去定 ，会得到 这个恒等式，什么也定不出来 —— 说明这道题不能只取特殊值。 【答案】B 变式7-1（填空·★★☆☆☆） 若为偶函数，则 = ________。 【切入点】多项式型，直接代 比较各项即可 ——偶函数就是奇次项系数全为零。 【关键】，与 比较，三次项要消掉，所以 ，。此时 ，。 【易错】四次项与二次项都是偶函数的一部分，不用管；只有三次项（奇次）需要系数为零。这一点想清楚，多项式型的奇偶性求参就只剩一步。另外题干问的是 而不是 ，算出 后要再代回去算一次。 【答案】3 例8（填空·★★☆☆☆） 已知函数是奇函数，则实数 = ______。 【切入点】定义域是 （含 ），所以可以先用 把参数定下来，再回头验证。这是求参数最省事的一条路。 【关键】因为 恒成立，定义域是 ，含 。奇函数在 处必有 ：，得 。把 代回去检验：，计算 ，括号内两项相加为 ，而 ，所以 恒成立。 【易错】先用特殊值定参数、再验证是两步，缺一不可。只算 只是必要条件 ——万一 时恒等式不成立，那本题就无解了。另外本题的 在 处等于 ，所以 ，若换成 ， 恒为零、什么参数都定不出来。 【答案】1 变式8-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则 = __________. 【切入点】函数是「 乘一个指数差」，定义域含 。但注意： 时 恒成立，取特殊值定不出参数 ——这一道只能走恒等式比较。 【关键】，偶函数要求它等于 。两边约去 （ 不恒为零），得 ，整理为 。这个式子对一切 成立，需两边系数同时为零，即 ，。 【易错】把 与 看成两个线性无关的量，所以它们前面的系数必须分别相等 ——这里得到的是 与 两条，恰好是同一个条件。若把 两边直接约掉 ，会得到 ，看不出 。 【答案】 变式8-2（填空·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则 = ______. 【切入点】与上一道几乎同形，只是 换成了 。奇偶性的判定不受 的次幂影响（只要它本身是奇函数），做法完全一样。 【关键】。偶函数要求 ：。约去 并整理，同样得 ，故 。 【易错】 是奇函数， 也是奇函数，两者作为因式对结论没有影响 ——真正的关键是括号里那一部分必须是奇函数（这样奇 × 奇才得偶）。验算： 时括号内是 （奇函数），乘 （奇函数）得偶函数。 【答案】1 变式8-3（单选·★★☆☆☆） 若函数为偶函数，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】函数由三项组成，其中 是「一次项加常数」。偶函数要求一次项消失、常数项保留 —— 这就是定 的抓手。 【关键】，把第一项分子分母同乘 化为 ，所以 。令 ：，整理得 ，故 ，。于是 ，由偶性 。故选 D。 【易错】右边合并那一步： ——分子恰好凑成分母的形式，所以整式化简为 。看出这一点， 立刻给出 。最后问的是 而不是 ，别拿 当答案。 【答案】D 例9（填空·★★☆☆☆） 已知是偶函数，则 = __________. 【切入点】函数是「 乘指数」比「指数差」的形状，直接算 会很乱，改成作差：偶函数等价于 恒成立。 【关键】。把第二项分子分母同乘 ，化为 ，再提出负号变回分母 的形状，两项合并得 。它对一切 为零，而 不恒为零，所以只能 恒成立，即 ，。 【易错】第二项通分时的指数运算最容易出错： 分子分母同乘 得 ，分子上是 而不是 。另外要说明「 不恒为零」才能把 约掉 —— 这是恒等式比较里常被跳过的一句话。 【答案】4 变式9-1（单选·★★☆☆☆） 若是奇函数，且当时，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题干只给了 的解析式，要算的 在负半轴。用奇偶性把负半轴的值翻到正半轴去算。 【关键】 是奇函数，所以 。而 ，落在给定解析式的范围内：。所以 。故选 C。 【易错】注意符号方向：奇函数是 ，所以 ，外面那个负号不能丢。常见的错法是直接把 代进 的式子，那样得到 —— 四个选项里恰好有这个数。 【答案】C 变式9-2（填空·★★☆☆☆） 已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则 = ________。 【切入点】给的是 上的解析式，要算的 在正半轴 ——与上一道方向相反，先把 翻到负半轴去算，再翻回来。 【关键】因为 ，落在给定的范围内：。再由奇函数 。 【易错】题目的定义域区间是开的（ 与 都不含），所以 、 这些端点不能代； 的相反数 恰在区间内部，可以代。另外算 时 要代成 ，这个符号别漏。 【答案】 变式9-3（填空·★★☆☆☆） 已知为定义在上的奇函数，且当时，，则 = ______。 【切入点】要求的是 ，两个值一个在原点、一个在负半轴，都要用奇偶性处理。 【关键】 是定义在 上的奇函数，所以 。又 ，而 落在给定解析式内：，所以 。因此 。 【易错】两处符号都要留意：一是 （外面带负号）；二是最后做的是减法 （减去负数变加）。两道负号叠在一起，写成 或 都很常见。另外 这一步别想复杂， 就是 。 【答案】 用单调性与奇偶性解不等式 一、解抽象不等式的三步 第一步：用奇偶性把 的符号统一（奇函数：）。 第二步：用单调性脱去 —— 递增则不等号方向不变，递减则反向。 第三步：解出里层的不等式（可能是分式、含根号的式子，注意各自的限制）。 二、奇偶性与单调性的配合 奇函数在对称的两侧单调性相同，偶函数在对称的两侧单调性相反。 偶函数那一支可化为绝对值：在 上递增时， 等价于 。 三、 与一次因式相乘 形如 的，按一次因式的符号分两类讨论，最后取并集。 四、抽象恒等式要先求出解析式 给 这类，用 代 再联立，解出 的显式表达式。 给乘法型恒等式 这类，先取特殊自变量 、、 定出特殊值，再用它把目标值拆成已知量的倍数关系。 五、 与 作差 说明函数递减，大于零说明递增 —— 这是单调性的定义式写法。 例10（单选·★☆☆☆☆） 已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干直接给了「 在 上单调递增」，两边又是同一个 ，所以直接脱去 即可，连奇偶性都用不上。 【关键】 递增，所以 等价于 ，解得 ，即 。故选 B。 【易错】单调递增时脱去 不等号方向不变。若题干改成递减，就要写成 。这是整个知识点里最基础也最容易反的一步，先把这一步做熟再管奇偶性。 【答案】B 变式10-1（填空·★★★☆☆） 已知函数在上单调递增，则不等式的解集为__________. 【切入点】与例 1 同一动作 —— 递增、两边同一个 ，直接脱去。区别在于里层是个分式，脱完之后要解分式不等式。 【关键】 在 上递增，所以脱去 得 。移项通分：，等价于 ，解得 。 【易错】分式不等式不能直接两边乘 （符号未知），标准做法是移项通分、化成整式不等式。通分时分子是 ，那对括号里的 要乘进去、符号别丢。 【答案】 例11（单选·★★☆☆☆） 已知是定义域为的奇函数，且单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】不等式里有两项 ，先合并成一边，再借奇偶性把系数 挪进 里面，最后用单调性脱去 。 【关键】由 得 。奇函数给出 ，所以不等式变成 。 在 上单调递减，故 ，解得 。故选 A。 【易错】 这一步是把括号里的整体变号，不是只把 变号 —— 写成 是最常见的错。另外 递减，脱去后不等号要反向，写成 就得到另一个选项。 【答案】A 变式11-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】给了 的解析式与奇函数性，要解 。先把正半轴的解析式配方，找出零点与单调性，再用奇偶性补出负半轴，最后脱 。 【关键】 时 ，在 上递增，且 。由奇函数， 在 上也递增，。于是 当且仅当 或 。代入 ： 给 ； 给 。合起来是 。故选 B。 【易错】奇函数在 上递增 ⇒ 在 上也递增，所以两段都可用「递增」这一步，只是零点从 变成 。另外 在负半轴对应的是 （夹在两个零点之间），写成 会反。 【答案】B 变式11-2（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】不等式是「一次因式乘 」的形状，先把 的符号区间定出来，再按因式的符号分两类。 【关键】 是奇函数且 ，故 ，且 在 上也递减。于是 的解集是 ， 的解集是 。再解 ：两大类 —— 且 ，或 且 。第一类给 ，第二类给 ，取并集得 。故选 D。 【易错】「同号相乘为正」要两类都写，只写一类会漏一半 ——本题第二类 正是只写第一类时漏掉的那段。另外 是一次因式的零点，要让 ，所以第二类区间在 处断开、写成开区间。 【答案】D 变式11-3（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与上一道同类，但 是偶函数且零点在 。偶函数的符号区间关于原点对称，靠绝对值来定更快。 【关键】 是偶函数、在 上递增、，所以 当且仅当 ， 当且仅当 （且 ，但 处 也成立）。解 ，分两类： 且 ⇒ 且 ⇒ ； 且 ⇒ 且 ⇒ 。取并集得 。故选 D。 【易错】偶函数用绝对值定符号区间是本题的关键捷径：。若还去分段讨论正负半轴，既慢又容易漏。另外两类讨论的因式符号方向不要写反（乘积为负 ⇒ 一正一负）。 【答案】D 例12（单选·★★☆☆☆） 已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】不等式的右边是 而不是 ，所以要先弄清 在哪里取正、哪里取负 —— 由零点与单调性画出示意图即可。 【关键】 是 上的奇函数， 给出 。又 在 上递减，由奇函数性质， 在 上也递减。于是在负半轴： 时 （越往左越大）， 时 ；在正半轴： 时 ， 时 。所以 的解集是 。故选 A。 【易错】奇函数在对称的两侧单调性相同：既然在 上递减，在 上也递减。若误记成「相反」，正半轴的符号会全反。另外 处 （奇函数且定义域含 ），但题问的是严格大于零，这一点本来也取不到。 【答案】A 变式12-1（单选·★★☆☆☆） 设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干没有给 的表达式，只给了 （ 偶、 奇）。先用 代 联立解出两个函数，再解不等式。 【关键】把 换成 ：，即 。与原式联立相加得 ，相减得 ，所以 、。代入不等式 ：，两边乘 后 相消，剩 ，即 ，由指数函数的单调性得 ，。故选 D。 【易错】联立时 、 ——减的那一边要整体变号，写成 与前式相减得 时别把 写成 。另外 相消之后只剩 ，这一步是本题的关键：很多学生以为要解二次不等式，其实变量只剩一个。 【答案】D 变式12-2（单选·★★★☆☆） 函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先用「 是偶函数」这个条件把 求出来，再用单调性解不等式。 【关键】由 且 为偶函数，得 。把 代入，解得 。求导 ，等号仅在 处成立，所以 在 上单调递减。原不等式 化为 ，由递减得 ，即 ，解得 或 。故选 B。 【易错】基本不等式那一步 取等时 ，说明导函数只在一点为零、函数严格递减，脱去 时才可以直接用不等号。最后分解因式 时， 的符号由 分开，两因式同号得两段。 【答案】B 变式12-3（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干给的是函数方程 ，先赋值把右端的 化成某个 的值，才能两边都是 、进而脱去。 【关键】由 ，，。又 ，所以原不等式化为 。 在 上递增，脱去得 ，解得 。但 的定义域是 ，且 要求 即 ，两条取交集得 。故选 D。 【易错】本题有两处定义域限制： 与 ，合起来是 —— 只写 会把 那段收进来。这是抽象函数不等式最常见的失分点：脱去 之后必须回头检查里层的定义域。 【答案】D 变式12-4（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干用一个分式给出 的单调性（递减），又用 的奇性给出 的对称关系，两条信息合起来才能解不等式。 【关键】 说明 在 上递减。 是奇函数，故 ，即 ，于是 。原不等式 化为 。由 递减得 ，即 ，分解为 ，解得 。故选 A。 【易错】把右端的常数 化成 的取值是关键一步：由 可知 就是一对相反数处函数值之和，所以 。少了这一步就只能干看着不等式。另外 里分子分母异号，读成「递减」是对的，别与「整式大于零」的情形记反。 【答案】A 变式12-5（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先借奇偶性把 上的条件翻到正半轴，再对二次函数的对称轴位置分类讨论。 【关键】 是 上的奇函数，所以 在 上恒成立 等价于 在 上恒成立。 时 是开口向上的二次式，对称轴 。分三种情形讨论对称轴与 的位置关系，分别要求「端点处为正」或「顶点处为正」，三种情形合起来得 。故选 D。 【易错】分类讨论的分界点是对称轴与区间端点的位置关系（ 与 ），不是随便取的。对称轴在区间左外侧时只需右端点为正、在区间内时需顶点为正、在右外侧时需左端点为正 ——三种情形的判据各不相同，漏一种就会少一段答案。 【答案】D 单调性与奇偶性的综合判定 一、两个性质各验各的 判断「既是奇（偶）函数又在某区间上单调」时，两件事分别验证，最后取交集。 定义域不关于原点对称的直接排除，连奇偶性都不必谈。 二、常见函数的性质速查 ： 为偶数时是偶函数、 为奇数时是奇函数；在 上 递增、 递减。 、、 是偶函数；、、、 是奇函数。 、 也是偶函数 —— 绝对值把定义域拉成对称的。 三、复合形状先看因式的奇偶性 形如 的，先看两个因子：奇乘奇得偶、偶乘偶得偶、奇乘偶得奇。 四、单调性用导数兜底 选项判不下去时求导： 时递增、 时递减。含根号的式子求导后常能约成简单形式，别被根号吓住。 五、值域也是判据之一 题干同时要求「值域为 」时，先算值域再验奇偶性 —— 值域不符的直接排除。 例13（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项都是幂函数，奇偶性看幂指数的奇偶，单调性看幂指数的正负。逐个过一遍即可。 【关键】A 项 ，在 上递减；B 项 ，定义域是 ，不关于原点对称，根本谈不上奇偶性；C 项 ，指数为偶 ⇒ 偶函数，在 上递增，符合；D 项 ，指数为奇 ⇒ 奇函数，不是偶函数。故选 C。 【易错】B 项是最容易看走眼的： 长得像幂函数，但它的定义域只有右半轴，「奇偶性」这个词对它没有意义 ——定义域对称是谈奇偶性的前提。另外 是奇函数且在 上递减，两道关都没过。 【答案】C 变式13-1（单选·★★☆☆☆） 下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A. B. C. D. 【切入点】这回问的是「奇函数且在定义域内递减」——注意「在定义域内」这四个字，比「在某区间上」要求更严。 【关键】A 项 是奇函数，但它的定义域是两段，在 上递减、在 上也递减，整体不是单调函数（比如 却是递增的走向）；B 项 ，定义域是 ，验证 ，是奇函数；又 在 上递增，加负号后递减，符合；C 项 是奇函数但递增；D 项 递减但不是奇函数。故选 B。 【易错】A 项是个经典陷阱： 在每一段上都递减，但「在整个定义域上单调递减」要求跨段也成立 ——取 时 ，是递增的走法，所以整体不单调。「分两段各自递减」不等于「整体递减」，这类函数称为分段的单调。 【答案】B 变式13-2（单选·★★☆☆☆） 下列函数中，在内单调递增的偶函数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】选项里出现了 与指数分式相乘的形状，先看两个因子的奇偶性，再看单调性。 【关键】记 ，，是奇函数。A 项 本身是奇函数，不合「偶函数」的要求；B 项 ， 是奇函数、 也是奇函数，奇乘奇得偶，所以它是偶函数；且当 时 与 都为正且递增，乘积递增，符合；C 项 是奇函数；D 项 是偶函数，但在 上先减后增（拐点在 ）。故选 B。 【易错】「奇乘奇得偶」这条规则要先确认两个因子都在同一个对称定义域上： 的定义域是 ，乘 之后仍是这个对称区间，条件满足。D 项 看似「显然递增」，其实在 上递减 ——它是 （）型，拐点在 。 【答案】B 例14（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 同一问法，只是把「偶」换成「奇」。选项里出现了指数与对数的复合形状，要分两关验。 【关键】A 项 非奇非偶（）；B 项 确是奇函数，但它是对勾函数，在 上递减（极小值点在 ），不合；C 项 ，绝对值使它成为偶函数，不是奇函数；D 项 ，验证 ，是奇函数；且 在 上递增（ 递增、 递增）。故选 D。 【易错】B 项是本题最大的干扰： 在 上递减，在 上递增 —— 拐点恰在区间的右端点 上。C 项的 与 B 项形状相反、奇偶性也相反（它是偶函数），两个属性都要分别查。 【答案】D 变式14-1（单选·★★☆☆☆） 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项都是「对数套一个式子」，形状相近。奇偶性用定义验，单调性求导最稳。 【关键】A 项 ，定义域 ，求导 ，是减函数，不合；B 项 ，化简为 ，这是偶函数（ 为偶），不合「奇函数」；C 项 要求 即 ，定义域不对称，无奇偶性；D 项 ，验证 ，是奇函数；求导 ，递增。故选 D。 【易错】D 项验证奇偶性用的是对数的加法法则：两个真数相乘恰好等于 ，所以对数和为零。这一步比硬算 再比较快得多。另外 B 项化简后是 —— 括号里是偶函数、对数递增，所以整体是偶函数，与题干要的「奇」相反；C 项的定义域只有正半轴，连奇偶性都谈不上。 【答案】D 变式14-2（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干有两个要求：值域为 、是偶函数。先把值域不符的排掉，再验奇偶性 —— 两条判据各管一半。 【关键】A 项 ，值域不是 ，排除；B 项 ，定义域是 ，关于原点对称，且 ，是偶函数；值域与 相同，是 ，符合；C 项 的定义域只有正半轴，不是偶函数；D 项 ，值域不是 。故选 B。 【易错】B 项要过两关：绝对值把 变成偶函数，但值域不变（仍是 ）—— 因为 时 已经取遍 。D 项是最像对的干扰： 确实是偶函数，可它的最小值是 ，值域只有 —— 卡在值域这一关。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 单调性与奇偶性 函数与导数 · 专题篇 单调性的判断与单调区间 一、判断单调性的三条路 定义法：取 比较 与 的大小，适用于抽象函数或含参讨论。 图象法：直接看图象的升降，适用于熟悉的初等函数。 导数法： 的区间递增、 的区间递减，适用于可导的显式函数。 二、复合函数：同增异减 的单调性由内外两层共同决定：两层同向则整体递增，反向则整体递减。 三、单调区间必须先定定义域 单调区间是定义域的子集。对数型、根式型、分式型都要先解出定义域，再与单调区间取交集。 四、几条常用结论 增函数加增函数仍是增函数；增函数减减函数是增函数； 与 的单调性相反。 奇函数在对称的两侧单调性相同，偶函数在对称的两侧单调性相反。 五、二次函数看对称轴 二次函数在给定区间上的单调性由对称轴与区间的相对位置决定。开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；要把某区间写成递增区间，只需让对称轴落在该区间左端点上或其左侧。开口向下时方向相反。 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 变式1-3（单选·★★☆☆☆） “函数在上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例2（单选·★★☆☆☆） 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 变式2-1（填空·★★★☆☆） 函数的单调递减区间为______。 变式2-2（单选·★★★☆☆） 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 变式2-3（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______ 例3（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则的单调递减区间为______。 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 函数的单调递减区间为______。 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 由单调性求参数范围 一、单调与导数不变号 在区间 上单调递增 ⟺ 在 上恒成立；单调递减 ⟺ 恒成立。 二、恒成立的两条路 二次式型： 恒成立 ⟺ 且 ； 恒成立 ⟺ 且 （ 单独验）。 可分离型：把参数分离到一边，转成求另一边在区间上的最大或最小值。 三、不单调 ⟺ 极值点落在区间内 「 在 上不单调」等价于 在 内有解且两侧变号。含参时化成「参数落在某个函数的值域内」。 四、「存在单调区间」比「单调」弱 「存在单调递减区间」只需 有解，不必恒成立 —— 于是转成「某个最小值小于零」。 五、分段函数要三查 各段自身单调；分界点处两侧函数值的高低；分界点归哪一段。分界点的等号最容易漏。 六、复合与绝对值 外层单调性确定时，整体单调等价于内层在相应方向上单调；带 的先把绝对值区间按 分段。 例4（单选·★★☆☆☆） 函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数单调递增，则实数的取值范围为________。 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-3（填空·★★★☆☆） 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为________. 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★☆☆☆） 已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若在上不单调，则实数的取值范围是_________________。 变式5-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★☆☆☆） 已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数（，）在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★☆☆☆☆） 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 奇偶性的判定与求参 一、奇偶性的定义 奇函数： 对定义域内一切 成立；偶函数：。 前提是定义域关于原点对称，不对称的直接既非奇也非偶。 二、由奇偶性求参数的两条路 取特殊值：定义域含 时，奇函数必满足 ，可先定一个参数。 恒等式比较：把 写开，整理成关于 的恒等式，让对应项系数为零。 三、指数与对数型的常用变形 中把 化成 再通分，往往能把参数分离出来。 遇到 这类分式，比较 与 的差，令分子恒为零即可。 四、奇函数在 处 定义域含 的奇函数必有 ；反之不成立 —— 推不出奇函数，还要验恒等式。 五、由一侧求另一侧 给了 的解析式求 ：先算 ，再用 转换。 例7（单选·★☆☆☆☆） 函数为偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 变式7-1（填空·★★☆☆☆） 若为偶函数，则 = ________。 例8（填空·★★☆☆☆） 已知函数是奇函数，则实数 = ______。 变式8-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则 = __________. 变式8-2（填空·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则 = ______. 变式8-3（单选·★★☆☆☆） 若函数为偶函数，则 = （ ） A. B. C. D. 例9（填空·★★☆☆☆） 已知是偶函数，则 = __________. 变式9-1（单选·★★☆☆☆） 若是奇函数，且当时，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式9-2（填空·★★☆☆☆） 已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则 = ________。 变式9-3（填空·★★☆☆☆） 已知为定义在上的奇函数，且当时，，则 = ______。 用单调性与奇偶性解不等式 一、解抽象不等式的三步 第一步：用奇偶性把 的符号统一（奇函数：）。 第二步：用单调性脱去 —— 递增则不等号方向不变，递减则反向。 第三步：解出里层的不等式（可能是分式、含根号的式子，注意各自的限制）。 二、奇偶性与单调性的配合 奇函数在对称的两侧单调性相同，偶函数在对称的两侧单调性相反。 偶函数那一支可化为绝对值：在 上递增时， 等价于 。 三、 与一次因式相乘 形如 的，按一次因式的符号分两类讨论，最后取并集。 四、抽象恒等式要先求出解析式 给 这类，用 代 再联立，解出 的显式表达式。 给乘法型恒等式 这类，先取特殊自变量 、、 定出特殊值，再用它把目标值拆成已知量的倍数关系。 五、 与 作差 说明函数递减，大于零说明递增 —— 这是单调性的定义式写法。 例10（单选·★☆☆☆☆） 已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式10-1（填空·★★★☆☆） 已知函数在上单调递增，则不等式的解集为__________. 例11（单选·★★☆☆☆） 已知是定义域为的奇函数，且单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式11-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式11-2（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 变式11-3（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（ ） A. B. C. D. 例12（单选·★★☆☆☆） 已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式12-1（单选·★★☆☆☆） 设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式12-2（单选·★★★☆☆） 函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式12-3（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 变式12-4（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式12-5（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 单调性与奇偶性的综合判定 一、两个性质各验各的 判断「既是奇（偶）函数又在某区间上单调」时，两件事分别验证，最后取交集。 定义域不关于原点对称的直接排除，连奇偶性都不必谈。 二、常见函数的性质速查 ： 为偶数时是偶函数、 为奇数时是奇函数；在 上 递增、 递减。 、、 是偶函数；、、、 是奇函数。 、 也是偶函数 —— 绝对值把定义域拉成对称的。 三、复合形状先看因式的奇偶性 形如 的，先看两个因子：奇乘奇得偶、偶乘偶得偶、奇乘偶得奇。 四、单调性用导数兜底 选项判不下去时求导： 时递增、 时递减。含根号的式子求导后常能约成简单形式，别被根号吓住。 五、值域也是判据之一 题干同时要求「值域为 」时，先算值域再验奇偶性 —— 值域不符的直接排除。 例13（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 变式13-1（单选·★★☆☆☆） 下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A. B. C. D. 变式13-2（单选·★★☆☆☆） 下列函数中，在内单调递增的偶函数为（ ） A. B. C. D. 例14（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 变式14-1（单选·★★☆☆☆） 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 变式14-2（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $