精品解析：福建省同安第一中学2026-2027学年高三上学期学情监测数学试题

同安一中2026-2027学年第一学期学情监测数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，P为两个球面交线上一点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若是奇函数，则a和b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知椭圆的焦距为是上的任意一点，过点作两条直线与圆相切，切点分别为.若当最大时，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 已知事件，互斥，，，则 D. 已知事件，相互独立，，，则 10. 函数的部分图象如图所示，其中点在曲线上，若，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 曲线在点C处的切线斜率为 11. 已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时， C. 当时，单调递减 D. 实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处的切线与直线垂直，则____． 13. 已知，则数列的前项和______． 14. 已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为边上一点，，，证明：． 16. 如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面 为直角梯形，其中 ， ， ， 为线段 中点，连接 . （1）证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 已知函数，． （1）设，讨论的单调性； （2）若在定义域上单调递增，求的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）直线交于两点． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程． 19. 若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． （1）若是16项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和； （2）已知且，数列，，记随机变量． （ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望； （ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2026-2027学年第一学期学情监测数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，集合，而， 因为，所以. 2. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条直线一般式的平行条件列等式求出参数的可能值，再代入验证排除两直线重合的情况，最终得结果. 【详解】、平行，得： ， 整理：，解得或. 当时，，，两条直线完全重合，不符合平行要求，舍去； 当时，，，斜率均为1且截距不同，是平行直线，符合条件. 因此最终. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可得，根据对数函数的单调性可得，从而可判断. 【详解】由，有，可得， 又由，可得. 故选：A. 5. 葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，P为两个球面交线上一点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再根据向量数量积的定义式计算即得. 【详解】 如图，连接，在中，，，， 由余弦定理，可得， 故． 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性及特殊值即可解决. 【详解】函数定义域为，， 函数为奇函数，图象关于原点对称， 排除选项B、D； 对于选项A,C，，故C错误，A正确. 7. 若是奇函数，则a和b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域及奇偶性的性质求解即可. 【详解】函数的定义域需满足，即， 又函数为奇函数，其定义域关于坐标原点对称， 即，解得， 所以，定义域为， 所以，即， 经检验，，满足题意. 故选：B. 8. 已知椭圆的焦距为是上的任意一点，过点作两条直线与圆相切，切点分别为.若当最大时，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线性质可得垂直关系，进而根据锐角三角函数得，即可求解为短轴端点时，最小，根据三角形边角关系即可求解，进而根据齐次式即可求解离心率. 【详解】设坐标原点为，由题意知，，故. 因为，当最大时，最大， 即最大，故只需最小， 当为短轴端点时，最小，此时，， 所以，所以，即， 化简得，得，故. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 已知事件，互斥，，，则 D. 已知事件，相互独立，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A、利用二项分布公式即可求解；B、利用正态分布的对称性，求出对称轴；C、由于事件，互斥，直接将两事件概率相加，得到并事件概率；D、由事件，相互独立，得，独立，二者概率相乘即可算出结果． 【详解】对于A、若， 则，故A正确； 对于B、若，且， 则 这表明，故B错误； 对于C、已知事件，互斥，，， 则，故C正确； 对于D、已知事件，相互独立，，， 则，也相互独立，，故D错误． 10. 函数的部分图象如图所示，其中点在曲线上，若，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 曲线在点C处的切线斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合正弦函数的图象性质求解判断ABC；求出函数的导数，利用导数的几何意义判断D. 【详解】观察给定图象，得函数的最小正周期，解得，A正确； 由点在曲线上，得，由，得，B正确； 函数，函数为奇函数，C错误； 求导得，因此曲线在点C处的切线斜率为，D正确． 11. 已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时， C. 当时，单调递减 D. 实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案． 【详解】根据题意得：由知是偶函数， 由知是周期为2的周期函数， 因为当时，，所以函数图象如图所示， 对于A：由图可知图象关于对称，所以A正确； 对于B：当时，，所以，所以B正确； 对于C：当时，由图象可知单调递增，所以C错误； 对于D：设， 则函数在上至少有三个不同的零点， 等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点， 若，则函数与图象在上无交点，所以，如图所示， 结合图象可知，有， 即，解得，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处的切线与直线垂直，则____． 【答案】 【解析】 【分析】先求导算出切线的斜率，再利用两直线垂直斜率乘积为建立方程，即可求解. 【详解】因为，所以，则切线斜率为， 又因为直线的斜率为， 由切线与直线垂直，所以，解得. 13. 已知，则数列的前项和______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，解得， 由等比数列求和公式得． 14. 已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，其中，由空间四点共面定理可得，再由，得，结合基本不等式求解即可. 【详解】设，其中， 取空间基底, 因为底面是平行四边形， 所以 , 又因为为的中点， 所以, 又因为四点共面， 所以, 所以，解得， 又因为, 又因为， ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以四棱锥体积的最小值为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为边上一点，，，证明：． 【答案】（1） （2）由（1）知，因为，所以， 由及， 得， 所以， 所以， 由余弦定理，得 ，即， 所以，解得， 整理得 ，又，所以为等边三角形， 又，所以． 【解析】 【小问1详解】 由及，得； 由正弦定理，得， 所以，又，所以． 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面 为直角梯形，其中 ， ， ， 为线段 中点，连接 . （1）证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1） 在四棱锥中，取的中点，连接， 由为的中点，且， 得，， 则四边形为平行四边形，所以． 而平面，平面， 所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理可证明； （2）利用面面垂直性质定理证明平面，进而证明直线，，两两垂直，然后建系，利用二面角的向量计算公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，．由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设平面与平面所成的角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知函数，． （1）设，讨论的单调性； （2）若在定义域上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上递增；当时， 在上递减，在上递增. （2） 【解析】 【分析】（1）在两种情况下，讨论的符号，可得函数的单调性； （2）由题可得对一切恒成立，然后分三种情况进行讨论，通过参变分离转化为最值问题后求解的取值范围. 【小问1详解】 ，则， ①当时，对任意的恒成立，则在上单调递增； ②当时，由， 所以当时，，当时，， 因此，在上单调递减，在上单调递增. 综上所述： 当时,在上递增； 当时， 在上递减，在上递增. 【小问2详解】 由题可得对一切恒成立. ①当时，，此时可取任意实数； ②当时，由题可得恒成立，则. 令，则， 由可得，由可得； 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 最大值为， 故此时； ③当时，由题可得恒成立. 对任意的，，则函数在上单调递增， 且当时，，且时，，故. 综上可得，. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）直线交于两点． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设，则， 联立，得， 则， ， 所以，即为定值. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质列方程组求解，进而得到椭圆方程. （2）（ⅰ）将直线与椭圆联立消元得到韦达定理，表示出后将韦达定理代入即可证明结论. （ⅱ）由的重心在轴上可求得点横坐标，再由，在上的投影向量相等可得，且， 则可表示直线，进一步得到点坐标；再根据在椭圆上列方程求即可得到直线的方程． 【小问1详解】 由题意得，所以，则， 因此椭圆的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）如图，设弦的中点的坐标为，点的坐标为，的重心的坐标为， 因为的重心在轴上，所以， 所以， 所以， 因为在上的投影向量相等，所以，且， 所以直线的方程为， 所以， 所以点； 又点在上，所以，即. 又因为，所以，所以直线的方程为. 19. 若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． （1）若是16项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和； （2）已知且，数列，，记随机变量． （ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望； （ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）的分布列 X 0 1 2 3 ． （ⅱ）证明：因为数列，是从集合中任意取出的两个不同数列， 则数列，为项数列，所以的可能取值为：1，2，3，…，k， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相反，其余项，两者均在同一位置数字相同， 由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 因为， 所以 ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知数列即，结合并项求和法运算求解； （2）（ⅰ）分析可知的可能取值为：0，1，2，3，且集合中元素的个数共有个，进而可得分布列和期望；（ⅱ）分析可知的可能取值为：1，2，3，…，k，集合中元素的个数共有个，结合组合数的性质求分布列和期望，进而分析证明. 【小问1详解】 因为是16项数列，当且仅当时，， 当，和时，， 又因为，所以数列即， 设的所有项的和为S， 则 所以数列的所有项的和为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为数列，是从集合中任意取出的两个数列， 则数列，为项数列，所以的可能取值为：0，1，2，3， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 可得，；；； 随机变量的分布列 X 0 1 2 3 所以． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $