第2讲·一元二次方程根与系数关系·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第2讲·一元二次方程根与系数关系·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能熟练求两根之和与两根之积 · 能利用根与系数的关系求代数式的值，掌握整体代入与完全平方公式变形 · 能结合判别式判断方程根的情况并求参数范围 · 能由方程的根或根与系数的关系求参数的值，并回代验证 · 能把根与系数的关系与二次函数、分式化简等其他知识综合运用 📚 知识梳理 ☆ 1.根与系数的关系（韦达定理） 若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=-，x1x2= 使用前提：方程是一元二次方程（a≠0）且有两个实数根（Δ≥0） 把方程化为一般形式后再读取系数，注意各项系数含符号 特例：若二次项系数为1，方程x2+px+q=0的两根和=-p、两根积=q 概念辨析例题：若x1、x2是方程x2-4x+3=0的两个根，则x1+x2与x1x2的值分别是（　　） 答案：4，3 解析：a=1，b=-4，c=3，x1+x2=-=4，x1x2==3。注意两根之和是一次项系数相反数。 ☆ 2.代数式变形与整体代入 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 += (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2；|x1-x2|= 分式化简后再代入：先通分或约分，再用两根和、积整体代入 概念辨析例题：若x1、x2是方程x2-2x-1=0的两个根，则x12+x22的值是（　　） 答案：6 解析：x1+x2=2，x1x2=-1，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=22-2×(-1)=4+2=6。 ☆ 3.由根的情况求参数 方程有两个不相等实数根⇔Δ>0；两个相等实数根⇔Δ=0；无实数根⇔Δ<0 求参数范围：由Δ的符号列不等式（组）求解，注意二次项系数a≠0 由解求参数：把方程的根代入方程建立等式求参数，再回代验证 含参数的一元二次方程，先确认方程为一元二次方程再谈根与系数的关系 概念辨析例题：关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） 答案：m<1 解析：Δ=(-2)2-4×1×m=4-4m，有两个不相等实数根需Δ>0，即4-4m>0，解得m<1。 ☆ 4.根与系数关系的综合应用 与判别式联用：先由Δ≥0确定参数范围，再用韦达定理求表达式范围 与二次函数综合：抛物线与x轴交点的横坐标即对应方程的两根 与几何综合：利用勾股定理、三角形边长等建立方程，注意检验是否满足实际意义 与分式、二次根式综合：先化简所求代数式，再整体代入两根和、积 概念辨析例题：抛物线y=x2-3x+2与x轴交于A、B两点，则AB两点的横坐标之和为（　　） 答案：3 解析：令y=0得x2-3x+2=0，其两根即A、B横坐标，由韦达定理两根之和=-=3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 先化一般形式，注意符号 两根平方和 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 完全平方公式变形 两根差 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 先平方再开方 倒数形式 += 通分后整体代入 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0两不等根、Δ=0两相等根、Δ<0无实根 与x轴交点 交点是方程两根 令y=0化为一元二次方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】根与系数的直接应用（第1-24题） · 先把方程化为一般形式，再读a、b、c（含符号）代入韦达定理 · 两实根是前提：先验证Δ≥0，再求两根和、积 · 二次项系数为1的方程，两根和=-p、两根积=q，可直接口算 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段检测）一元二次方程 的两根是，则是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 2．（23-24八年级下·山东济南·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（    ） A．1 B． C．3 D． 3．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段检测）下列一元二次方程中，两根之和是的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北襄阳·一模）关于x的一元二次方程的两根之和是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若一元二次方程的两个根为，则这个一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·全国·二轮复习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（    ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 10．（23-24九年级上·四川德阳·期末）一元二次方程的解为，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 11．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段检测）若关于x的方程的两个实数根互为相反数，则______． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值是______． 13．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若方程的两根互为相反数，则_______，若两根互为倒数，则_______． 14．（2026·贵州·模拟预测）若m，n是方程的两根，则的值是______． 15．（23-24九年级上·四川成都·期中）设是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16．（23-24九年级上·河北保定·阶段检测）已知是方程的一个实数根，则另一根是_______． 17．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）设是方程的两个根，则________． 18．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 19．（26-27九年级上·新疆和田·阶段检测）若，是方程的两个根，则________，________． 20．（24-25八年级下·山东淄博·期末）设是方程的两个实数根，则的值为_____． 21．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根为________． 22．（24-25九年级上·全国·期末）若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为___________ 23．（2024·湖南岳阳·一模）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________． 24．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是______． 【考点2】代数式变形与整体代入（第25-30题） · 常见变形：x12+x22、+、(x1-x2)2均化为两根和、积的表达式 · 含分式的先通分化简，含根号的先平方再开方 · 整体代入时保持代数式结构，逐步替换，勿拆解成单个根 25．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的两个实数根，则的值（  ） A． B．1 C．0 D．2 27．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若两个不等实数满足条件：，，则的值是_____． 28．（23-24九年级上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． （1）材料理解：一元二次方程两个根为，则： ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 29．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1) (2) 30．（22-23九年级上·青海西宁·阶段检测）已知关于的方程的两个根，求： (1) (2)的值． 【考点3】由解求参数与由根情况求参数（第31-42题） · 由解求参数：把根代入方程列等式求参数 · 由根的情况求参数：Δ的符号列不等式求范围，注意a≠0 · 求出的参数要回代检验是否满足Δ的条件 31．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 33．（25-26九年级下·上海长宁·期中）如果关于x的方程有一根是，那么该方程的另一根是________． 34．（22-23九年级上·四川德阳·阶段检测）设，是方程的两个实数根，则的值是_____． 35．（24-25七年级上·上海闵行·期中）设是关于x的一元二次方程的两个根，有，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于_______． 36．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）在解关于的一元二次方程时，佳佳将二次项系数“”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为___． 37．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 38．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． （提示：一元二次方程根与系数的关系为：，） 39．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 40．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知关于的方程的一个根为3，求k的值及它的另一个根． 41．（23-24九年级上·山东济宁·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且满足，求m的值． 42．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 【考点4】根的判别式综合（第43-46题） · Δ>0⇔两不等实根；Δ=0⇔两相等实根；Δ<0⇔无实根 · 先化一般形式再算Δ，二次项系数含参时注意a≠0 · 判别式与韦达定理联用：先定Δ范围，再算表达式 43．（23-24九年级上·福建莆田·期中）已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 44．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试判断此一元二次方程根的存在情况； (2)若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值． 45．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)设方程的两个根分别为，，求的值． 46．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的方程，问： (1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为，且满足，求的值． 【考点5】与二次函数及其他知识综合（第47-50题） · 抛物线与x轴交点横坐标即方程两根，可用韦达定理求交点相关量 · 求对称轴、不等式解集等可转化为两根关系 · 几何问题用勾股等建立方程后，检验根是否符合实际 47．（25-26九年级上·天津南开·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 48．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）关于的二次函数，甲同认为：若，则当时，随的增大而增大，乙同学认为：若该二次函数的图象在轴上截得的线段长为3，则的值是1或，以下对两位同学的看法判断正确的是（   ） A．甲、乙都错误 B．甲、乙都正确 C．甲正确、乙错误 D．甲错误、乙正确 49．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 若方程是倍根方程， 且相异两点都在抛物线 上，则一元二次方程的两根之积为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程的两根为．在平面直角坐标系中有，，，，且，若，则的值为____． 【考点6】解法与根与系数综合（第51题） · 先解方程（因式分解、公式法、换元），再求两根关系式 · 换元法解出的t要代回验证原方程的根 · 综合题按步骤书写：化一般式→算Δ→韦达→变形代入 51．（23-24九年级上·广东东莞·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个根，求： (1)； (2)． 💯 课后巩固 复习建议 · 用韦达定理前先化一般形式、验证Δ≥0，注意符号 · 整体代入把所求代数式化为两根和、积的表达式再代入 · 由根的情况求参数先列判别式不等式，别忘了a≠0 · 由解求参数把根代入方程，求出后回代检验 · 与二次函数综合时，抛物线与x轴交点即对应方程的两根 【作业1】．（2024·天津·一模）若一元二次方程的两个实数根是和，则（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若方程的两根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）若是方程的两根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【作业5】．（23-24九年级上·天津河北·期末）已知抛物线 是常数且)过和两点，且，下列四个结论：①；②若抛物线过点，则；③若关于x的方程有实数根，则，其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业6】．（23-24九年级下·四川泸州·阶段检测）已知是一元二次方程的两实根，则___________． 【作业7】．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段检测）关于的方程有一个根是，则方程的另一个根是________． 【作业8】．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）设，是方程的两个实数根，则的值为____________ ． 【作业9】．（24-25八年级下·广西梧州·期末）如果，是方程的两根，那么的值为__________． 【作业10】．（2024·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个根，则代数式的值为______． 【作业11】．（23-24九年级上·广东佛山·阶段检测）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【作业12】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 【作业13】．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）已知关于x的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和k的值． 【作业14】．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【作业15】．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 【作业16】．（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： 【作业17】．（25-26九年级上·广东佛山·期末）（1）解方程： （2）方程有两个不相等的实数根且都为正数，正确吗？为什么？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲·一元二次方程根与系数关系·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能熟练求两根之和与两根之积 · 能利用根与系数的关系求代数式的值，掌握整体代入与完全平方公式变形 · 能结合判别式判断方程根的情况并求参数范围 · 能由方程的根或根与系数的关系求参数的值，并回代验证 · 能把根与系数的关系与二次函数、分式化简等其他知识综合运用 📚 知识梳理 ☆ 1.根与系数的关系（韦达定理） 若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=-，x1x2= 使用前提：方程是一元二次方程（a≠0）且有两个实数根（Δ≥0） 把方程化为一般形式后再读取系数，注意各项系数含符号 特例：若二次项系数为1，方程x2+px+q=0的两根和=-p、两根积=q 概念辨析例题：若x1、x2是方程x2-4x+3=0的两个根，则x1+x2与x1x2的值分别是（　　） 答案：4，3 解析：a=1，b=-4，c=3，x1+x2=-=4，x1x2==3。注意两根之和是一次项系数相反数。 ☆ 2.代数式变形与整体代入 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 += (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2；|x1-x2|= 分式化简后再代入：先通分或约分，再用两根和、积整体代入 概念辨析例题：若x1、x2是方程x2-2x-1=0的两个根，则x12+x22的值是（　　） 答案：6 解析：x1+x2=2，x1x2=-1，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=22-2×(-1)=4+2=6。 ☆ 3.由根的情况求参数 方程有两个不相等实数根⇔Δ>0；两个相等实数根⇔Δ=0；无实数根⇔Δ<0 求参数范围：由Δ的符号列不等式（组）求解，注意二次项系数a≠0 由解求参数：把方程的根代入方程建立等式求参数，再回代验证 含参数的一元二次方程，先确认方程为一元二次方程再谈根与系数的关系 概念辨析例题：关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） 答案：m<1 解析：Δ=(-2)2-4×1×m=4-4m，有两个不相等实数根需Δ>0，即4-4m>0，解得m<1。 ☆ 4.根与系数关系的综合应用 与判别式联用：先由Δ≥0确定参数范围，再用韦达定理求表达式范围 与二次函数综合：抛物线与x轴交点的横坐标即对应方程的两根 与几何综合：利用勾股定理、三角形边长等建立方程，注意检验是否满足实际意义 与分式、二次根式综合：先化简所求代数式，再整体代入两根和、积 概念辨析例题：抛物线y=x2-3x+2与x轴交于A、B两点，则AB两点的横坐标之和为（　　） 答案：3 解析：令y=0得x2-3x+2=0，其两根即A、B横坐标，由韦达定理两根之和=-=3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 先化一般形式，注意符号 两根平方和 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 完全平方公式变形 两根差 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 先平方再开方 倒数形式 += 通分后整体代入 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0两不等根、Δ=0两相等根、Δ<0无实根 与x轴交点 交点是方程两根 令y=0化为一元二次方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】根与系数的直接应用（第1-24题） · 先把方程化为一般形式，再读a、b、c（含符号）代入韦达定理 · 两实根是前提：先验证Δ≥0，再求两根和、积 · 二次项系数为1的方程，两根和=-p、两根积=q，可直接口算 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段检测）一元二次方程 的两根是，则是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据即可求解； 【详解】解：在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关这是是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东济南·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，则，即可求解． 【详解】解：设另一个根为，则， 解得：， 故选：C． 3．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握．利用根与系数关系求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：C． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段检测）下列一元二次方程中，两根之和是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】、两根之和等于，不合题意； 、两根之和等于，符合题意； 、两根之和等于，不合题意； 、两根之和等于，不合题意； 故选：． 6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据已知条件和，可得和，逐一验证各选项的系数是否满足这些比例即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，且，， ∴，， A、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； B、中，，，则， 且，故满足条件，符合题意； C、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； D、中，，，则，但 ，故不满足条件，不符合题意； 故选：B． 7．（2025·湖北襄阳·一模）关于x的一元二次方程的两根之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设的两根为、， ． 故选：D． 8．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若一元二次方程的两个根为，则这个一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若、是一元二次方程的两个实数根，则，． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为、， 设关于的一元二次方程的两个根为，， ∴，， A．，该方程没有实数根，故此选项不符合题意； B．，，故此选项符合题意； C．其中，故此选项不符合题意； D．，该方程没有实数根，故此选项不符合题意． 故选：B． 9．（24-25九年级下·全国·二轮复习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（    ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式及根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系表示出，，再用b，c表示出，进而得出，，之间的关系，据此进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，， 所以，， 则， 又因为关于x的方程的根为， 所以， 则， 所以，， 则当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 当，且时，，， 所以； 当，且时，，， 所以． 综上所述，所有可能正确的结论是①；③． 故选：C 10．（23-24九年级上·四川德阳·期末）一元二次方程的解为，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后利用整体代入的方法计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， ∴， 故选：B． 11．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段检测）若关于x的方程的两个实数根互为相反数，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可． 【详解】解：设x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则 ，即， 当时，方程无解，故舍去． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可知，再代入得出答案． 【详解】∵是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：1． 13．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若方程的两根互为相反数，则_______，若两根互为倒数，则_______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由两根互为相反数，可得，由两根互为倒数，可得，再进一步可得答案； 【详解】解：若两根互为相反数， 则， ∴； 若两根互为倒数， 则， ∴， 故答案为：1；． 14．（2026·贵州·模拟预测）若m，n是方程的两根，则的值是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先将原方程整理为一般形式，再利用根与系数的关系直接计算两根之和即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得，． 15．（23-24九年级上·四川成都·期中）设是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，再变形原式得到，然后利用整体代入的方法进行计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·河北保定·阶段检测）已知是方程的一个实数根，则另一根是_______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系的关系列出等式，求解即可． 【详解】解：设方程的另一根为a，则， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的根与系数的关系． 17．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）设是方程的两个根，则________． 【答案】5 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握，，即可解题． 【详解】解： 、是方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 18．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，两根之和为．设方程的另一个根为，利用根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得： ， 解得， 即方程的另一个根为． 19．（26-27九年级上·新疆和田·阶段检测）若，是方程的两个根，则________，________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，代入对应系数计算即可得到结果． 【详解】解：， ． 20．（24-25八年级下·山东淄博·期末）设是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 将代入原方程，可得，再求出，然后将待求式整理为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，， ∴. 故答案为：． 21．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根为________． 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，则根据根与系数的关系得出，求出即可． 【详解】解：设另一个根为，则， 解得：， 所以，另一个根为， 故答案为：． 22．（24-25九年级上·全国·期末）若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为___________ 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得到，；，； ，，把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴由根与系数的关系得：，；，； ，； ∴原式 ． 故答案为：． 23．（2024·湖南岳阳·一模）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】8 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟记一元二次方程根与系数的关系： ． 由根与系数的关系可得： ，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是， ， ， 故答案为：8． 24．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是______． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入化简后的表达式计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， 原式化简为： ， 代入得 ， 故答案为：3． 【考点2】代数式变形与整体代入（第25-30题） · 常见变形：x12+x22、+、(x1-x2)2均化为两根和、积的表达式 · 含分式的先通分化简，含根号的先平方再开方 · 整体代入时保持代数式结构，逐步替换，勿拆解成单个根 25．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 26．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的两个实数根，则的值（  ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】D 【知识点】分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、分式化简求值等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由，代值求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及分式化简求值是解决问题关键． 【详解】解： 是方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 27．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若两个不等实数满足条件：，，则的值是_____． 【答案】/ 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形应用，由，，得到是关于的一元二次方程的两个不等实数根，由根和系数的关系得到，，再由完全平方公式可得，代入计算即可求解，理解是关于的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是关于的一元二次方程的两个不等实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 28．（23-24九年级上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． （1）材料理解：一元二次方程两个根为，则： ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）5，；（2）；（3）． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据材料1解答即可； （2）由题可知m，n是方程的两个不相等的实数根，再根据材料1可得出，，将所求式子变形为，再整体代入求值即可； （3）等式两边同时除以，得：即，即说明实数s和可看作方程的两根，即得出，，将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵一元二次方程两个根为， ∴，． 故答案为：5，； （2）由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，， 所以； （3）∵要求的值， ∴， ∴等式两边同时除以，得：，即， ∴实数s和可看作方程的两根， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 29．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)5； (2)； 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查根与系数的关系，完全平方公式，解决此题的关键是熟记根与系数的关系； （1）根据根与系数的关系得到两根之积和两根之和，再把要求的式子变形即可得到答案； （2）运用完全平方公式把要求的式子进行变形即可得到答案； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴． 30．（22-23九年级上·青海西宁·阶段检测）已知关于的方程的两个根，求： (1) (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了根与系数的关系及求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）利用根与系数的关系得，，化简得，把，代入求解即可； （2）利用根与系数的关系得，，化简得，把，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个根，， ∴，， ∴； （2）解：∵关于的方程的两个根，， ∴，， ∴； 【考点3】由解求参数与由根情况求参数（第31-42题） · 由解求参数：把根代入方程列等式求参数 · 由根的情况求参数：Δ的符号列不等式求范围，注意a≠0 · 求出的参数要回代检验是否满足Δ的条件 31．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 32．（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 33．（25-26九年级下·上海长宁·期中）如果关于x的方程有一根是，那么该方程的另一根是________． 【答案】4 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据一元二次方程根的定义，将已知根0代入原方程求出参数的值，再利用根与系数的关系计算出方程的另一根． 【详解】解：将0代入方程中， 得 解得， 设方程的另一根为， ∵其中一根为， ∴ 解得． 34．（22-23九年级上·四川德阳·阶段检测）设，是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 35．（24-25七年级上·上海闵行·期中）设是关于x的一元二次方程的两个根，有，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于_______． 【答案】7 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程的解的定义得到，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 36．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）在解关于的一元二次方程时，佳佳将二次项系数“”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为___． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据看错二次项系数后的方程有两个相等实数根求出的值，再代入原方程，利用根与系数的关系计算原方程的两根之积． 【详解】解：∵佳佳将原方程二次项系数错看成，得到看错后的方程，且该方程有两个相等的实数根， ∴判别式， 整理得， 解得， 将代入原方程，得原方程为， ∴两根之积为． 37．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． （1）根据一元二次方程有实数根则求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； （2）解：∵该方程的两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得． 38．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． （提示：一元二次方程根与系数的关系为：，） 【答案】(1) (2)整数m的值为1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得： （2）解：设、是方程的两个根， 依题意得：，， 解得： m的取值范围是：， m是整数， 或， 当时，方程两个根均为整数， 当时，方程两个根不是整数， 整数m的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键． 39．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为，方程的另一个根为 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，设方程的另一个根为，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴m的值为，方程的另一个根为． 40．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知关于的方程的一个根为3，求k的值及它的另一个根． 【答案】，另一根为 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由于一根为3，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根． 【详解】解：方程的一个根为3， ， 解得， 设另一根为， ， ， ∴另一根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 41．（23-24九年级上·山东济宁·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且满足，求m的值． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先求出两根之积与两根之和的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：， 依题意得：，  ， ∵， ∴，即 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 42．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． （1）根据题意可知，解出不等式即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和 解得：． 则实数的取值范围是． （2）解：根据题意，， ，即 ，即 解得：或1 舍去 ． 【考点4】根的判别式综合（第43-46题） · Δ>0⇔两不等实根；Δ=0⇔两相等实根；Δ<0⇔无实根 · 先化一般形式再算Δ，二次项系数含参时注意a≠0 · 判别式与韦达定理联用：先定Δ范围，再算表达式 43．（23-24九年级上·福建莆田·期中）已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)k的值为 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式列出关于k的式子． （1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，利用，即可得到k的值． 【详解】（1）略 （2）解：根据根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即k的值为． 44．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试判断此一元二次方程根的存在情况； (2)若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值． 【答案】(1)有两个不相等的实数根 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，判断其符号，即可求解， （2）根据一元二次方程根与系数关系，代入，即可求解， 本题考查了，一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关熟练掌握相关知识点． 【详解】（1）解：， 有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ， ，解得：． 45．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)设方程的两个根分别为，，求的值． 【答案】(1) 证明：法1，∵，，， ∴ ． ∵， ∴． ∴不论为何值，方程总有实数根． 法2，原方程可化为， 即， ∴，， ∴不论为何值，方程总有实数根． (2)0 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． （1）根据根判别式或解方程即可证明； （2）根据根与系数的关系或解方程即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：法1：∵由方程的两个根，得，，． ∴ ， ∴． 法2：∵解方程， 得，． ∴． 46．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的方程，问： (1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为，且满足，求的值． 【答案】(1) 证明：， 由于， 所以，即， 所以不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)0或2 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键； （1）计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断； （2）由根与系数的关系得：，把变形为，然后整体代入得到关于a的方程，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或． 【考点5】与二次函数及其他知识综合（第47-50题） · 抛物线与x轴交点横坐标即方程两根，可用韦达定理求交点相关量 · 求对称轴、不等式解集等可转化为两根关系 · 几何问题用勾股等建立方程后，检验根是否符合实际 47．（25-26九年级上·天津南开·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用一元二次方程的根与系数关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴两根之和， 两根之积， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 48．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）关于的二次函数，甲同认为：若，则当时，随的增大而增大，乙同学认为：若该二次函数的图象在轴上截得的线段长为3，则的值是1或，以下对两位同学的看法判断正确的是（   ） A．甲、乙都错误 B．甲、乙都正确 C．甲正确、乙错误 D．甲错误、乙正确 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据解析式，得到对称轴为直线，当时，抛物线开口向下，对称轴的左侧y随x的增大而增大，且，判断在对称轴的左侧，可判断甲的判断正确，设的两个根为，根据截长为3，构造方程解答即可，本题考查了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】∵解析式， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，对称轴的左侧y随x的增大而增大，且， ∴在对称轴的左侧， 故甲的判断正确， 设的两个根为， 则， ∵， ∴ ∴， 整理得，， 解得， 经检验，都是原方程的根， 故乙的说法是正确的， 故选B． 49．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 若方程是倍根方程， 且相异两点都在抛物线 上，则一元二次方程的两根之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了根与系数的关系，由方程是倍根方程，可设，由已知条件得到得到抛物线的对称轴，可得一元二次方程的根,进而可得答案． 【详解】∵方程是倍根方程， ∴设方程两个根分别为，且， ∵相异两点都在抛物线 上， ∴抛物线的对称轴为， ∴， ∵， ∴，， ∴一元二次方程的两根之积为， 故选：A． 50．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程的两根为．在平面直角坐标系中有，，，，且，若，则的值为____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．根据勾股定理得出，推出，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，则，进而得出，最后根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， 整理得：， ∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点6】解法与根与系数综合（第51题） · 先解方程（因式分解、公式法、换元），再求两根关系式 · 换元法解出的t要代回验证原方程的根 · 综合题按步骤书写：化一般式→算Δ→韦达→变形代入 51．（23-24九年级上·广东东莞·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个根，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)31 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再将式子通分计算，再整理得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． （2）利用完全平方公式配出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：，是一元二次方程的两个实数根， ，； ． （2） ． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 💯 课后巩固 复习建议 · 用韦达定理前先化一般形式、验证Δ≥0，注意符号 · 整体代入把所求代数式化为两根和、积的表达式再代入 · 由根的情况求参数先列判别式不等式，别忘了a≠0 · 由解求参数把根代入方程，求出后回代检验 · 与二次函数综合时，抛物线与x轴交点即对应方程的两根 【作业1】．（2024·天津·一模）若一元二次方程的两个实数根是和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】∵一元二次方程的两个实数根是和， ∴， 故选：A． 【作业2】．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若方程的两根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，，完全平方公式，熟记关系式是解题的关键． 首先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后将利用完全平方公式变形代入解答即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， ∴． 故选：D． 【作业3】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）若是方程的两根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出，，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，，， ∴ 故选：C． 【作业4】．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【作业5】．（23-24九年级上·天津河北·期末）已知抛物线 是常数且)过和两点，且，下列四个结论：①；②若抛物线过点，则；③若关于x的方程有实数根，则，其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据交点确定不等式的解集、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系．根与系数的关系判断①；根与系数的关系结合特殊点判断②；根据方程有实数根得到顶点纵坐标小于等于3，判断③．掌握二次函数与一元二次方程的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线 是常数且)过和两点， ∴方程有两个实数根为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； ∵图象过和， ∴， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∵有实数根， ∴抛物线 与直线有交点， ∴， ∴；故③错误； 综上：正确的结论有2个； 故选：B． 【作业6】．（23-24九年级下·四川泸州·阶段检测）已知是一元二次方程的两实根，则___________． 【答案】64 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了二次函数根与系数的关系以及已知式子的值，求代数式的值，先根据根与系数的关系得出，，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，， ∴ ， 故答案为：64． 【作业7】．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段检测）关于的方程有一个根是，则方程的另一个根是________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有一个根是， ∴由，则， 即方程的另一根为． 故答案为：． 【作业8】．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）设，是方程的两个实数根，则的值为____________ ． 【答案】4049 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据方程的根的定义以及根与系数的关系，进行计算即可. 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴. 【作业9】．（24-25八年级下·广西梧州·期末）如果，是方程的两根，那么的值为__________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，因式分解的应用，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子因式分解为，整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【作业10】．（2024·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个根，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，整式的混合运算，解题的关键是牢记两根之和等于、两根之积等于． 根据先将整式化简，，是方程的两个根，求得，，代入即可求解； 【详解】解： ，是方程的两个根， ，， 将，代入 可得： 故答案为： 【作业11】．（23-24九年级上·广东佛山·阶段检测）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】或 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，由完全平方公式求得，从而求得，即，再分别代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 当时， ， 当时， ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式及代数式求值，利用完全平方公式求得，是解题的关键． 【作业12】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) 【知识点】分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次根式的化简求值： （1）直接利用根与系数的关系求解即可； （2）m，n可看作方程的两个不相等的实数根，则利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式计算，然后根据算术平方根的定义得到的值． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为，， ∴，． 故答案为：4，； （2）解：∵，，且， ∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根． ∴，． ∴m，n均为正数， ∴． ∴． 【作业13】．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）已知关于x的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和k的值． 【答案】， 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键． 由题意得，，，由代入求出，再求出k． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，． 【作业14】．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系，完全平方公式，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，求出k的值即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有实数根 即，解得：； （2）方程的两个实数根分别为 ，． 整理得： 解得：， 又， 【作业15】．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 【答案】(1) 是，理由如下： 解： 解得， 两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义 一元二次方程是“逆根方程”； (2) 方程的两个根为和 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可； （2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得： 整理得 由求根公式得 方程的两个根为和． 【作业16】．（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】运用换元法解方程，设，将原方程转化为关于的方程，求解后再求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为， 整理可得：， 分解因式可得：， 解得：，， ①当时， 可得：， 整理可得：， ， 方程无实数解； ②当时， 可得：， 整理可得：， 分解因式可得：， 解得：，； 综上所述，原方程的解为，． 【作业17】．（25-26九年级上·广东佛山·期末）（1）解方程： （2）方程有两个不相等的实数根且都为正数，正确吗？为什么？ 【答案】（1），； （2）解：不正确，理由如下： ∵， 原方程有两个不相等的实数根， 由韦达定理得：， 两个实数根应为一正一负． 综上，说法不正确． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，根的判别式． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）先证明原方程有两个不相等的实数根，再根据两根的积为负数，说明根的情况即可． 【详解】解：（1）， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $