精品解析：河北石家庄市第一中学2026-2027学年高三年级上学期10月学情检测数学试题

2024级10月学情检测数学试题 命题人：田紫钰 审核人：高宏 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 5. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 6. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题： 本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且函数在上单调，则的取值范围为__________. 13. 已知角的终边经过点，则_____________． 14. 已知过抛物线焦点的直线与交于两点，以线段为直径的圆与轴交于两点，则的取值范围为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四面体中，，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）设，，求二面角的余弦值. 16. 已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 17. 在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 18. 已知函数，，. （1）若时，求在，处的切线方程； （2）已知时，，求的取值范围； （3）已知数列满足，其前项和为，证明：对任意正整数，都有. 19. 已知数列：，，…，的各项均为正整数，且，，，…，.定义变换，将数列变换为数列：，，…，，其中，为数列中不小于的项的个数. （1）若数列：4，3，3，2，求，并求一个数列，满足（直接写出结果即可）； （2）记为数列的各项之和，若，. （i）求的最小值； （ii）求的最大值，并求出取得最大值时的所有满足条件的数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级10月学情检测数学试题 命题人：田紫钰 审核人：高宏 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 2. 已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 3. 已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有项，即可得的值. 【详解】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得. 故选：C 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即，所以， 则解得或， 所以不等式的解集为. 5. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列通项公式列方程，舍去不符合正项条件的解即可求得公差. 【详解】因为，公差为，所以，， 由题意可得：， 即 ， 化简整理得， 解得或， 因为数列是正项等差数列，及公差，故. 6. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据，得， 所以， 所以. 7. 函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性公式运算发现函数为非奇非偶函数，排除A；易知当时，，故排除C；观察B，D选项，发现它们的主要区别是当时，的图象在y轴两侧的变化趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验，即可得出结果. 【详解】解：易知函数的定义域为， 因为， 所以函数为非奇非偶函数，排除A； 易知当时，，故排除C； 因为，，所以，所以排除D． 故选：B． 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用两角差的余弦公式求解，再利用二倍角公式求出，最后利用诱导公式得到. 【详解】， ,，,， 又，， ， ， ， ， . 二、选择题： 本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性. 【详解】如图： 由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误； 当时，方程有4个不同的解，且. 所以，且，故B正确； 又，且关于直线对称，所以，故C错误； 由，又.所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且函数在上单调，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为在上单调，且为减函数，所以在上递减， 则，解得. 13. 已知角的终边经过点，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，利用三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】由于角的终边经过点，故， 所以. 故答案为：. 14. 已知过抛物线焦点的直线与交于两点，以线段为直径的圆与轴交于两点，则的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程，联立方程组，由抛物线的弦长公式，求出，结合圆的弦长公式求出，得到的表达式，利用对勾函数单调性，即可求得其取值范围. 【详解】由抛物线，可得其焦点， 设直线的方程为，联立方程组，整理得， 设，，根据韦达定理， 因为且，可得，， 所以， 由抛物线弦长公式得， 且圆心横坐标为，半径 可得圆心到轴距离， 则， 所以， 令，则，可得， 设，则，且，所以， 因为在上为单调递增函数，所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四面体中，，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）设，，求二面角的余弦值. 【答案】（1）因为，，， 所以△△， 所以， 由于为的中点，所以， 又，所以， 而，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角空间向量法计算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，， 所以△是边长为2的等边三角形，且， 因为，，是的中点，所以， 所以，即， 又，，，平面， 所以平面， 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 易知平面的一个法向量为， 所以， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 16. 已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）联立直线与椭圆的方程，根据斜率之积得出，再利用化简即可. 【小问1详解】 由题意得，， 得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 联立，得， 设，则， 即， ， 则 ， 得， 则的面积 . 17. 在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； （3）由结合三角形的面积公式得出，利用基本不等式可得出的最小值，由此可求得面积的最小值. 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 因为、，所以，则，故. 【小问2详解】 解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. 【小问3详解】 因为，平分，所以， 又，则由，得， 所以， 由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最小值为. 18. 已知函数，，. （1）若时，求在，处的切线方程； （2）已知时，，求的取值范围； （3）已知数列满足，其前项和为，证明：对任意正整数，都有. 【答案】（1） （2） （3）证明：由题，其前项和为，即， 因为， 则， 因此要证， 只需证， 即需证每个都有， 令，则需证明， 即证明， 令， 则， 因此在上递增， 所以，所以原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数与单调性的关系，二次求导计算即可求解； （3）由，，结合题意转化为证明，即证成立，令，构造函数，结合导数计算即可证明. 【小问1详解】 当时，，则， 又，则， 所以在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，， 因为，所以， 设，则， 因为，所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，所以， 下证充分性，当且时，， 设，则，易知在上单调递增， 则，所以在上单调递增， 则，所以在上单调递增， 即，所以原不等式成立； 【小问3详解】 略 19. 已知数列：，，…，的各项均为正整数，且，，，…，.定义变换，将数列变换为数列：，，…，，其中，为数列中不小于的项的个数. （1）若数列：4，3，3，2，求，并求一个数列，满足（直接写出结果即可）； （2）记为数列的各项之和，若，. （i）求的最小值； （ii）求的最大值，并求出取得最大值时的所有满足条件的数列. 【答案】（1）， （2）（i） （ii），满足条件的数列有，两种可能 【解析】 【分析】（1）根据定义变换的意义，设数列：，，，，结合数列：4，3，3，2，即可求解和数列. （2）（i）根据，可得，，代入即可求出的最小值. （ii）设，，则数列共有项，且有项不小于2，可得，由题意，，，…，，可知，结合，求得，然后检验即可求出结果. 【小问1详解】 数列：4，3，3，2，中，因为，设数列：，，，， 数列中不小于1的项有4个，所以， 数列中不小于2的项有4个，所以， 数列中不小于3的项有3个，所以， 数列中不小于4的项有1个，所以， 所以数列：4，4，3，1， 因为：4，3，3，2共4个元素，所以数列的首项为4， 根据题意数列中不小于4的项有2个，不小于3的项有3个，不小于2的项有3个，不小于1的项有4个， 由数列各项均为正整数，且非递增数列，所以数列：4，4，3，1. 【小问2详解】 （i）由题意知，中的最大项即为数列的项数，结合，得， 故，因为，则， 又，故， 注意到数列，满足，且， 所以存在数列满足要求，所以的最小值为. （ii）设，，则数列共有项，且有项不小于， 故， 由题意，，，…，，故，从而， 因为，，故， 若，，则数列有且仅有两个1， 则，不符合题意； 若，，则数列有且仅有一个1， 则， 故，由，故只能，， 此时数列满足要求； 若，，则数列每一项均不小于2， 则， 故，从而， 此时数列可能为，，， 验证只有符合题意， 故取最大值507时，可能的数列有，两种可能. 【点睛】1、自共轭条件：数列项数等于首项，对每一个下标，数列中不小于的项的个数； 2、等差数列求和公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $